专题23 多边形内角和问题(解析版)

专题23 多边形内角和问题

1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°

7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：

（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）n 边形共有

2

3)-n(n 条对角线。

【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a +b 不可能是（ ）

A ．360°

B ．540°

C ．630°

D ．720°

【答案】C ．

【解析】一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a +b 不可能是630°．

专题知识回顾 专题典型题考法及解析

【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（）

A．108°B．120°C．135°D．140°

【答案】D．

【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，

则每个内角的度数＝．

【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

【答案】D

【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。

多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．

设所求多边形边数为n，

则（n﹣2）•180°＝1080°，

解得n＝8．

【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．

【答案】144．

【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠E＝∠A＝＝108°．

∵AB、DE与⊙O相切，

∴∠OBA＝∠ODE＝90°，

∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。

专题典型训练题

一、选择题

1．（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）

A．45°B．60°C．72°D．90°

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．

∵正多边形的内角和是540°，

∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，

∵多边形的外角和都是360°，

∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．

2．（2019内蒙古巴彦卓尔）下列命题：

①若x2+kx +是完全平方式，则k＝1；

②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；

③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；

④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．

其中真命题个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断．

若x2+kx +是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；

若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；

等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；

一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．

3．（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）

A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π

【答案】B．

【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，

∴正六边形ABCDEF的面积是：

＝6×＝6，

∠FAB＝∠EDC＝120°，

∴图中阴影部分的面积是：

6﹣＝，

4.（2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A． 27 B． 35 C． 44 D． 54

【答案】C

【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴=44

5.（2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）

A．3 B，4 C.5 D.6