专题23 多边形内角和问题(解析版)
专题23多边形-重难点题型(学生版)
专题4.1 多边形-重难点题型【题型1 多边形的截角问题】【例1】（2020秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）A ．14或15B ．13或14C ．13或14或15D ．14或15或16【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）如图，将五边形ABCDE 沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF ，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．【变式1-2】（2020春•文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【变式1-3】（2020秋•肇源县期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【知识点1 多边形的对角线】连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从一个n 边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n 边形分割成（n -2）个三角形， 共有12n （n ﹣3）条对角线. 【题型2 多边形的对角线】【例2】分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n 边形的边数n 表示对角线总条数S 的式子： ．（2）从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【变式2-2】（2020春•福清市校级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道计算n 边形的对角线条数公式为n(n−3)2，如果有一个n 边形的对角线一共有20条，则可以得到方程n(n−3)2=20，去分母得n （n ﹣3）＝40；∵n 为大于等于3的整数，且n 比n ﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n （n ﹣3）＝40的整数n ＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A 同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A 同学说地正确吗？为什么？【变式2-3】（2020秋•东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n 及其对角线条数t 的关系，再完成下面问题：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 ，n 边形的对角线条数为t ＝ （用n 表示）．（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．【知识点2 多边形的内角和】n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．【题型3 多边形的内角和】【例3】（2021春•江阴市校级月考）下列哪个度数不可能是一个多边形的内角和（ ）A ．360°B ．450°C ．900°D ．1800°【变式3-1】（2020秋•路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（ ）A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°【变式3-2】（2021春•玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A ．10或11B ．11或12或13C ．11或12D ．10或11或12【变式3-3】（2020春•新化县月考）如果一个正五边形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．【知识点3 多边形的外角和】在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【题型4 多边形的外角和】【例4】（2021春•金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）A ．720°B ．540°C ．1080°D ．900°【变式4-1】（2020春•永州期末）富有灿烂文化的永州，现今保留着许多具有历史和文化价值的建筑，古朴的建筑代表，无规则多边形的形状，蕴含了丰富而和谐的数学美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的多边形，根据绘制的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为（）A．72°B．108°C．360°D．540°【变式4-2】（2020秋•越秀区校级月考）五边形ABCDE中，∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，则∠E的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式4-3】（2020春•郓城县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠AED的度数是（）A．120°B．115°C．105°D．100°【题型5 多边形的内角和与外角和的实际应用】【例5】（2020秋•汤阴县期中）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小聪同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（）A．60米B．100米C．120米D．150米【变式5-1】（2020秋•兰山区期末）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A．12米B．16米C．18米D．20米【变式5-2】（2020春•永年区期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（）【变式5-3】（2021•昆明模拟）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6B．7C．8D．9【题型6 多边形的内角和与外角和的综合应用】【例6】（2020春•遂宁期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于230°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．55°C．40°D．45°【变式6-1】（2020秋•朝阳区校级月考）如图，l1∥l2，正五边形ABCDE的顶点A、B分别落在l1、l2上，若∠1＝25°，则∠2的大小为（）A．60°B．61°C．62°D．65°【变式6-2】（2021春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC 上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为°．【变式6-3】（2020秋•路北区期中）如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE 的平分线交于点G，则∠G等于（）。
高考数学专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形(解析版)
专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比拟多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决 一、题型选讲题型一 、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2021年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，3,45a c B ===︒．〔1〕求sin C 的值；〔2〕在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】〔1〕在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =〔2〕在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C ==那么sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯变式1、〔2021届山东省潍坊市高三上期末〕在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ，a = (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【解析】假设选择条件①，那么答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =. 所以2113352252BMCSm sin BMC =∠=⨯⨯= 在Rt ABM 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABMS =， 所以31527288ABCS=+= 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠，因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又152sin sin sin 4b c a B C A ===所以152sin ,4b B =152sin ,4c C = 所以11152152445sin sin sin sin sin 2244542ABCSbc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭454527sin cos sin 2448C C C === 假设选择条件②，那么答案为:(1)因为252B C bsin asinB +=，所以252Absin asinB π-=， 由正弦定理得252AsinBcos sinAsinB =，因为0sinB ≠，所以25,2A cos sinA =5222A A Acos sin cos =，因为02Acos≠，所以125A sin =，那么225A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①变式2、(2021徐州、连云港、宿迁三检〕如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． 〔1〕求cos B 的值； 〔2〕求CD 的长．【解析】：〔1〕在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈， 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．A B CD同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． 〔2〕在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． 又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD==变式3、〔2021·浙江镇海中学高三3月模拟〕在中，，为的平分线，，那么___________．【答案】【解析】原题图形如下图：那么： 设，那么，又解得：此题正确结果：变式4、【2021年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，假设45BDC ∠=︒，那么BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，那么cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF 1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 变式1、(2021徐州、连云港、宿迁三检〕如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．【解析】： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010，(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD ＝5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7. 变式2、〔2021年苏北四市模拟〕如图，在四边形ABCD 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值；(2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．【解析】： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C→＝5013×10＝513.(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665 ＝28.题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题例3、〔2021届山东师范大学附中高三月考〕泉城广场上矗立着的“泉标〞，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标〞高度，某同学在“泉标〞的正西方向的点A 处测得“泉标〞顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标〞顶端的仰角为30︒，那么“泉标〞的高度为〔 〕 A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标〞高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =-(舍去), 应选：B.变式1、〔2021·山东新泰市第一中学高三月考〕某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖留鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离〔如图〕，环保监督组织测绘员在〔同一平面内〕同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得〔单位：千米〕，测得、两点的距离为___________千米.【答案】【解析】在中，，，，那么，在中，，，，那么，由正弦定理得，可得，A B D CE D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE A B 3ACD △45ACD ∠=67.5ADC ∠=CD =67.5CAD ∴∠=AC CD ==BCE 60BEC ∠=75BCE ∠=CE 45CBE ∠=sin 45sin 60CE BC=2sin 60sin 452CE BC ===在中，，， 由余弦定理得，因此，〔千米〕.故答案为：.变式2、〔2021届山东实验中学高三上期中〕“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我〞?麦田里的守望者?中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如下图，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量2AB BC CD ===，AD =〔1〕霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； 〔2〕霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【解析】〔1〕在ABD ∆中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-， 那么)8cos 8A C -=，cos 1A C -=； 〔2〕1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=， 那么()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由〔11cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，ABC AC =BC 18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=3AB =3配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=-+ ⎝⎭，∴当A =2212S S +取到最大值14.变式3、(2021南京、盐城二模〕如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，那么塔高AB ＝________m.【答案】 30解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．二、达标训练1、〔2021届浙江省十校联盟高三下学期开学〕如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，假设b =5c =，2B C =，那么cos C ______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，那么ADC∆的面积为______.10【解析】因为b =5c =，2B C =， 由正弦定理可得：sin sin b cB C=，5sin C ==那么cos 5C =；4sin 2sin cos 25B C C ===，14561225ABD S ∆∴=⨯⨯⨯=，由余弦定理可得：2cos C == 解可得5a =〔舍)或11a =， 所以65ABD ADC S BD S CD ∆∆==， 512106ADC S ∆∴=⨯=．，10．2、(2021南通、扬州、淮安、连云港二调〕如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，那么tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.3、〔2021届浙江省高中开展共同体高三上期末〕在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .假设45ADC ∠=.BD sin C =___________.【解析】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠= AD 为BAC∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=()10sin sin 451021025C DAC ∴=∠+∠=+=..4、(2021南通、扬州、淮安、连云港二调〕如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，那么tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.5、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】 选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠4822202⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，那么04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA=∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==.6、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.【解析】 (1)由310,6,8,90cos 5AB km AC km BC km ACB A ===∴∠=∴=，.设当乙到达C 地时,甲处在D 点,那么65310AD km =⨯=所以在ACD ∆中,由余弦定理得:2222231172cos 6323655CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=CD ∴=即此时甲､(2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲､乙两交警之间的距离为()f t km , 在BCD ∆中，48,7,cos 5BC km BD km ABC ==∠= 乙从C 地到达B 地,用时45t =小时,甲从D 处到达B 地,用时75t =小时,所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且454,35DE km BE km =⨯==所以当405t ≤≤时，()t f ==令282()3,1,560,033f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >〔舍去〕又当4755t ≤≤时,甲､乙两交警间的距离()753f t t km =-≤因为甲､乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系 所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过25小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.。
多边形内角和附答案
多边形内角和、外角和及有关性质一．选择题（共11小题）1．如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠6＞180°B．∠2+∠5＜180°C．∠3+∠4＜180°D．∠3+∠7＞180°2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形3．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）A．13 B．14 C．15 D．166．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α7．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°8．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A．90°B．135°C．270°D．315°9．下列正多边形中，内角和等于外角和的是（）A．正三边形B．正四边形C．正五边形D．正六边形10．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．511．如图，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．540°B．360°C．300°D．240°二．填空题（共4小题）12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=_________度．13．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是_________．14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3= _______．15．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_________．三．解答题（共5小题）16．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．17．一个多边形的内角和与外角和的度数之比是13：2，求这个多边形的内角和及边数．18．如图，长方形纸片EFGH可以绕着长方形纸片ABCD上的点O自由的旋转，当边EH与AB相交时，形成了∠1，∠2，求∠1+∠2的度数．19．如图，已知在锐角△ABC中，BE、CD分别垂直AC、AB．求证：∠DHE+∠A=180°．20．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．2014年09月07日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•泰安）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠6＞180°B．∠2+∠5＜180°C．∠3+∠4＜180°D．∠3+∠7＞180°考点：平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：根据平行线的性质推出∠3+∠4=180°，∠2=∠7，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠3=180°+∠A，推出结果后判断各个选项即可．解答：解：A、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，∵∠6=∠4，∠3＞∠1，∴∠6+∠1＜180°，故A选项错误；B、∵DG∥EF，∴∠5=∠3，∴∠2+∠5=∠2+∠3=（180°﹣∠1）+（180°﹣∠ALH）=360°﹣（∠1+∠ALH）=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A＞180°，故B选项错误；C、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，故C选项错误；D、∵DG∥EF，∴∠2=∠7，∵∠3+∠2=180°+∠A＞180°，∴∠3+∠7＞180°，故D选项正确；故选：D．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．2．（2014•三明）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点：多边形内角与外角．分析：此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．解答：解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．3．（2014•来宾）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解答：解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是6．故选：C．点评：考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．4．（2014•衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：C．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．5．（2014•莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）A．13 B．14 C．15 D．16考点：多边形内角与外角．专题：常规题型．分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解答：解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选：C．点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．6．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．专题：几何图形问题．分析：先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．解答：解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．点评：本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．7．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：利用多边形的内角和公式即可求出答案．解答：解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选：C．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．8．（2014•大丰市模拟）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A．90°B．135°C．270°D．315°考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．分析：先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．解答：解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故选：C．点评：本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理．知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．9．（2014•燕山区一模）下列正多边形中，内角和等于外角和的是（）A．正三边形B．正四边形C．正五边形D．正六边形考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和和外角和列出方程求解即可．解答：解：根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，解得：n=4，故选B．点评：本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征．10．（2014•密云县二模）一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．5考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．解答：解：多边形的内角和是：2×360=720°．设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：n=6．即这个多边形的边数是6．故选C．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．11．（2014•将乐县质检）如图，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．540°B．360°C．300°D．240°考点：多边形内角与外角．分析：根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．解答：解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．故选：C．点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．二．填空题（共4小题）12．（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．13．（2014•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．解答：解：根据题意，得（n﹣2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．点评：考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．14．（2014•通城县模拟）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=180．考点：多边形内角与外角；平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．故答案为：180°．点评：本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．15．（2014•丹徒区二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 240°．考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．分析：三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．解答：解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°﹣120°=240°．故答案为：240°．点评：主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．三．解答题（共5小题）16．（2012•海曙区模拟）一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：设这个正多边形的一个外角的度数为x，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x=6x+12°，解得x=24°，再根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．解答：解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，根据题意得180°﹣x=6x+12°，解得x=24°，所以这个正多边形边数==15，所以这个正多边形的内角和=（15﹣2）×180°=2340°．点评：本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）；多边形的外角和等于360度．17．一个多边形的内角和与外角和的度数之比是13：2，求这个多边形的内角和及边数．考点：多边形内角与外角．分析：一个多边形的内角和与外角和的度数之比是13：2，任何多边形的外角和是360度，因而多边形的内角和是13×（360÷2）=2340度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：这个多边形的内角和：13×（360÷2）=2340°，设这个多边形的边数为n，依题意得：（n﹣2）180°=2340°，解得n=15．答：这个多边形的内角和是2340°，边数是15．点评：考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．18．如图，长方形纸片EFGH可以绕着长方形纸片ABCD上的点O自由的旋转，当边EH与AB相交时，形成了∠1，∠2，求∠1+∠2的度数．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形外角和为360°可得∠1+∠2=360°﹣3×90°，进而得到答案．解答：解：∵五边形JHGIB外角和为360°，∠B、∠H、∠G的外角都是直角，∴∠1+∠2=360°﹣90°×3=90°．答：∠1+∠2的度数是90°．点评：此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°．19．如图，已知在锐角△ABC中，BE、CD分别垂直AC、AB．求证：∠DHE+∠A=180°．考点：多边形内角与外角．专题：证明题．分析：根据垂直，可得直线所成的角是90°，根据四边形的内角和公式，可得答案．解答：证明：∵BE、CD分别垂直AC、AB，∴∠HDA=∠HEA=90°．∵∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=（4﹣2）180°，∴∠A+∠DHE=360°﹣90°﹣90°，∴∠A+∠DHE=90°点评：本题考查了多边形内角与外角，利用了垂直的定义，四边形的内角和公式．20．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．考点：多边形内角与外角．分析：此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．解答：解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得x+x=180°，x=180°，x=108°．360°÷（×108°）=5．（5﹣2）×180°=540°．答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．点评：本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．。
人教版八年级数学上册11.3.2 多边形的内角和(解析版)
第十一章三角形11.3.2多边形的内角和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180（x−2）=1080，解得x=8，故选C．2．已知一个多边形的外角和是内角和的2倍，则这个多边形是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】A3．如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是3∶1，那么这个多边形是A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形【答案】B【解析】设这个多边形的边数是n，则(2)180nn-⋅∶360n=3∶1，解得n=8．故选B．4．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是A．a>b B．a=b C．a<b D．b=a+180°【答案】B【解析】∵四边形的内角和等于a，∴a=（4-2）·180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．学科&网二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是__________边形．【答案】九【解析】根据正多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，可得360÷40=9，因此这个正多边形是正九边形．故答案为：九．6．若一个多边形的边数增加1，则它的内角和增加__________．【答案】180°【解析】设多边形边数为n，那么增加1条即为n+1，原来内角和：（n-2）×180°=n×180°-360°，现在内角和：（n+1-2）×180°=n×180°-180°，内角和增加了180°，故答案为：180°．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得（n-2）·180+360=2160，解得x=12，所以此多边形的边数是12．8．某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为1520°，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．问：这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？。
北师版八年级下册6.4多边形及其内角和(含答案详解)
北师版八年级下册6.4多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质 ⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．模块一多边形的对角线【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】9．【巩固】已知从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解． 【答案】567891011，，，，，，．【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数．【解析】提示：设边数为x ，则()322x xx -=．【答案】7【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（ ）边形．【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得n 1=5，n 2=0（舍去）， 故多边形的边数为5．【答案】C ．【巩固】一个n 边形的边数增加一条，那么它的对角线增加 条． 【解析】略 【答案】1；【例3】 从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成三角形的个数是（ ） 【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成三角形的个数是（n-2）． 【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（ ）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14． 【答案】A ．模块二 多边形的内角和与外角和内角和【例4】 已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形【解析】略 【答案】Ｂ．【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.【解析】一个n 边形，从一个顶点出发，有()3n -条对角线，故共有()132n n -条对角线，于是有()13142n n -=，从而7n =，∴这个三角形的内角和为()72180900-⋅︒=︒【答案】900︒【例5】 在四边形ABCD 中，60D ∠=︒，B ∠比A ∠大20︒，C ∠是A ∠的2倍，求A ∠，B ∠，C ∠的大小．【解析】设(度)，则，．根据四边形内角和定理得，． 解得，，∴，，．【答案】，，【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为210cm 的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm ，求剩余纸张的面积．【解析】四边形ABCD 的内角和为360︒，故四个扇形的面积和等于π，∴剩余纸张的面积为10π-．【答案】10π-【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角． 【解析】略 【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．【解析】略【答案】π2n ．外角和【例7】 若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是( )A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】略x A =∠20+=∠x B x C 2=∠360602)20(=++++x x x 70=x ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C DCBA第3个第2个第1个【答案】Ｂ【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小． 【解析】略【答案】60︒，84︒，108︒，132︒，156︒；【例8】 如右图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【解析】略【答案】能，36m ．【例1】 如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）A ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，，∴122APB ∠+∠=∠， 又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．A222220︒20︒20︒B'A'21FEDC BA【答案】B模块三 正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【例9】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．【答案】C ．【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正八边形【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C 、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D 、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．【答案】D ．【例10】 有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）A .4种B .3种C .2种D .1种【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；P'PB'A'21FEDCB A④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．【答案】B．【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图∴D能镶嵌平面的图形．【答案】C．【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．【答案】D．【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．【答案】C．【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．【答案】A．【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；…第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D．1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】82. 一凸n边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n=_________．【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴6n=．【答案】63. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【答案】C．课后作业。
多边形及其内角和练习题(含答案)
9.2 多边形的内角和与外角和练习一一、填空题1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.2.五边形的内角和等于______度.3.十边形的对角线有_____条.4.正十五边形的每一个内角等于_______度.5.内角和是1620°的多边形的边数是___.6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( )A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.89.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.810.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )A.600°B.720°C.900°D.1080°11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( )A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形12.用下列两种正多边形能拼地板的是( )A.正三角形和正八边形B.正方形和正八边形C.正六边形和正八边形D.正十边形和正八边形三、解答题13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.11．3 多边形及其内角和16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3, 求这个多边形的边数及内角和.17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数.20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形?21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地板的理由.22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.23.一个多边形除了一个内角等于α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地板的理由.22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°求各内角的度数.23.一个多边形除了一个内角等于α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.24.一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米, 则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）A．80° B．90° C．170° D．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．63．内角和等于外角和2倍的多边形是（） A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．六边形的内角和等于_______度．5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？•为什么？8．求下列图形中x的值：综合创新作业9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，•DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，•所有代表队要打多少场比赛？11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形（2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度．13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（探究题）（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？……猜想并探索：n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，•那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？攻其不备壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B•处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，•壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？答案:1．A 点拨：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故选A．2．B 点拨：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180=1080．解得n=8．故选B．3．B 点拨：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故选B．4．7205．144°；36°点拨：正十边形每一个内角的度数为：(102)18010-⨯︒=144°，每一个外角的度数为：180°-144°=36°．6．有27个不同的四边形．7．解：四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，•则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．•所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，所以四个内角可以都是直角．8．解：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．9．解：BE∥DF．理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．10．解：12n（n-3）=12×10×（10-3）=12×10×7=35（场）．答：按此规定，所有代表队要打35场比赛．点拨：问题类似于求多边形对角线的个数．11．解：（5-2）×180°÷360°×12=1.5．点拨：不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和．12．（1）C 点拨：设这个多边形的边数为n，依题意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故选C．（2）540 点拨：（n-2）×180°=（5-3）×180°=540°．13．C 14．解：（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；…… n边形有(3)2n n-条对角线．（2）当n边形的边数增加1时，对角线增加（n-1）条．点拨：从n边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n个顶点共可引n（n-3）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形的对角线条数为(3)2n n-．15．180°，n·180°．是最短的路程．可用纸板做一个模型，沿AB剪开便可看出结论．。
多边形的内角和与外角和练习题及解析
一、选择题1. 从六边形的一个顶点，可以引（）条对角线．A.3B.4C.5D.62. 一个凸多边形的每一个内角都等于150∘，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A.42条B.54条C.66条D.78条3. 一个多边形的内角和是1800∘，则这个多边形是（）边形．A.9B.10C.11D.124. 十二边形的外角和是（）A.180∘B.360∘C.1800∘D.2160∘5. 从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A.6B.7C.8D.96. 一个多边形的每个外角都等于30∘，则这个多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.137. 能够铺满地面的正多边形组合是（）A.正六边形和正方形B.正五边形和正八边形C.正方形和正八边形D.正三角形和正十边形8. 用同样大小的多边形地砖不能镶嵌成一个平面的是（）A.正方形B.正六边形C.正五边形D.正三角形9. 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是()A.360∘B.540∘C.720∘D.900∘10. 若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（）A.2:1B.1:1C.5:2D.5:411. 一个多边形的内角和是720∘，这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.六边形12. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340∘的新多边形，则原多边形的对角线条数为（）A.77B.90C.65D.10413. 小明在加一多边形的角的和时，不小心把一个角多加了一次，结果为1500∘，则小明多加的那个角的大小为（）A.60∘B.80∘C.100∘D.120∘二、填空题14. 与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是________．（只要求写出一种即可）15. 从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成15个三角形，则这个多边形的边数为________．16. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个________时，就拼成一个平面图形．17. 用边长相等的正三角形与正方形能够密铺，设在一个顶点周围有x个正三角形的角，有y个正方形的角，则x=________，y=________．18. 一个正________边形的每个内角都是108∘，则________＝________．19. 过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(m−k)n=________．20. 用两个边长为1的正六边形拼接成如图(a)的图形，其周长为10；用三个边长为1的正六边形可以拼接成如图(b)或(c)的图形，其周长分别为12和14．若要拼接成周长为18的图形，所需这样的正六边形至少为x个，至多为y个，则x+y=________．21. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形．正方形．正六边形．正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有________种．三、解答题22. 小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220∘，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？23. 已知一个正多边形相邻的内角比外角大140∘．（1）求这个正多边形的内角与外角的度数；（2）直接写出这个正多边形的边数；（3）只用这个正多边形若干个，能否镶嵌？并说明理由．24. 一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．25. 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．26. 某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x ，y ，z ．求1x +1y +1z 的值． 补充练习1.若一个多边形的边数增加１，则它的内角和 （ ） Ａ.不变 Ｂ.增加１ Ｃ.增加180° Ｄ.增加360°2.当一个多边形的边数增加时，其外角和 （ ） Ａ.增加 Ｂ.减少 Ｃ.不变 Ｄ.不能确定3.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ） A.180° B.540° C.1900° D.1080°4.已知:如图,五边形ABCDE 中,AE ∥CD,∠A=107°,∠B=121°,求∠C 的度数..EDBCA5. 如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.6. 一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的23, 求这个多边形的边数及内角和.7.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数.8.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.9.一个多边形除了一个内角等于α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.E FDBCAAB10、在ΔABC 中，AB ＝AC ，中线BD 把ΔABC 的周长分为12和9两部分，求ΔABC 各边的长。
多边形内角和(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
多边形内角和（7种题型）【知识梳理】一、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形；二、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．三．平面镶嵌（密铺）（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．180°【考点剖析】题型一：利用内角和求边数例1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．【详解】解：设该多边形的边数为n则：（n-2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程【变式2】（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，∴n−2＝4，∴n＝6．∴这个多边形的边数为6．故选：C．【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．题型二：求多边形的内角和例2.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【变式1】（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°【答案】D【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC= ．所以∠APC= ．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【详解】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠D．所以∠APC= 12（∠B＋∠D）=38°．解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，∴∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，∴∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．故答案为：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型三：复杂图形中的角度计算例3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540° C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【变式1】（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．【答案】80【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【变式2】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．【变式3】（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．【变式4】（2022春•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．【解答】解：（1）如图，由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．题型四：利用方程和不等式确定多边形的边数例4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x 为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x ＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数． 【变式1】．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？【答案】(1)理由见详解(2)13【分析】（1（2）根据题意设多边形的边数为x ，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵设多边形的边数为n ，则n 边形的内角和是180(2)n ︒⨯−，∴内角和一定是180︒度的倍数，∵20141801134÷=，∴内角和为2014︒不可能．（2）解：设多边形的边数为x ，∴180(2)2014x ︒⨯−<︒，解得，171390x <， ∴多边形的边数是13，∴小华求的是十三边形的内角和．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170︒，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形(2)八边形【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360︒建立方程，解方程即可得；（2）设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合0180x ︒<<︒建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设这个多边形是n 边形，由题意得：()18023360n ︒−=⨯︒，解得8n =，答：这个多边形是八边形．（2）解：设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，由题意得：()18021170n x ︒−+=︒，解得1530180x n =︒−︒，则01530180180n ︒<︒−︒<︒，即153018001530180180n n ︒−︒>︒⎧⎨︒−︒<︒⎩，解得151722n <<， n Q 为正整数，8n ∴=，答：这个多边形是八边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．题型五：已知各相等外角的度数，求多边形的边数例5.正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【变式1】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形的边数是__________．【答案】12【分析】利用任何多边形的外角和是360︒除以外角度数即可求出答案．÷=，【详解】解：多边形的外角的个数是3603012所以多边形的边数是12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．【变式2】（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求这个n边形的内角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每个内角=180°-30°=150∴内角和=12×150°＝1800°．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．题型六：多边形内角和与外角和的综合运用例6.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．【变式1】（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为1260︒，求这个多边形的边数．【答案】多边形的边数为7【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得，()21803601260n−⨯︒+︒=︒，n=．解得：7答：多边形的边数为7．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【分析】（1）根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°，n 边形的外角和为360°即可得出答案；（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n 边形内角和是：180°（n ﹣2）；外角和分别为：360°、360°、360°；故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）这个八边形一个内角的度数是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．题型七：平面镶嵌例7．（2022春·八年级单元测试）用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【答案】C【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：A．正三角形的每个内角是60︒，能整除360︒，能密铺，故A不符合题意；B．长方形的每个内角是90︒，能整除360︒，能密铺，故B不符合题意；C．正八边形的每个内角为：1803608135︒−︒÷=︒，不能整除360︒，不能密铺，故C符合题意；D．正六边形的每个内角为120︒度，能整除360︒，能密铺，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是熟练掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360︒．【变式】（2022春·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360︒．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．【详解】解：用公式()1802nn︒⨯−分别计算出正三角形的内角为60︒，正方形的内角为90︒，正六边形的内角为120︒，正八边形内角为135︒，正十边形的内角为144︒，正十二边形的内角为150︒，正十五边形的内角为156︒，∵609090120360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；∵606090150360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；∵90120150360︒+︒+︒=︒，∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360︒．【过关检测】一、单选题A．180︒B．360【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于360︒可知，123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360︒是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的一个内角为（）A．90︒B．60︒C．120︒D．135︒【答案】C【分析】由正多边形的内角和为720︒，可得()2180720n−︒=︒，再求解n可得答案．【详解】解：∵正多边形的内角和为720︒，∴()2180720 n−︒=︒，解得：6n=，∴这个多边形的一个内角为720=1206︒︒；故选C【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关键．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】A【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和都是360︒，列出方程即可求出结论．【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，()21802360n−⨯︒=⨯︒，解得：6n=，∴这个多边形为六边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【分析】根据多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每一个外角均相等，根据外角和等于360︒即可求解．【详解】解：由题意得，多边形的每个内角都相等，∴这个多边形的每一个外角均相等．∴每一个外角的度数整除360︒，∵30︒、40︒、60︒均能整除360︒，50︒不能整除360︒，∴选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记知识点是解题关键． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠等于（ ）A ．240︒B ．300︒C ．360︒D ．540︒【答案】C 【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠++∠+∠+∠=︒，再由“8”字三角形可得OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，进而可得答案．【详解】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，∴360A ABO E F CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．6．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2520，则原多边形的边数为（ ）A ．15或16B ．16或17C ．15或16或17D ．16或17或18【答案】C【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成()2180n −⋅︒（3n ≥且n 是正整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得()21802520n −⋅︒=︒，解得：16n =，则多边形的边数是15或16或17，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 7．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020︒；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】D【分析】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由多边形内角和定理可得等式：180(2)2020n x −=+，由n 为整数即可确定x 的值．【详解】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由题意得：180(2)2020n x −=+，4013180xn +∴=+，由于n 为整数，x 为正数且小于180，40180x ∴+=，则140x =，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．8．（2023·全国·八年级假期作业）已知一个多边形内角和为1080︒，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）A ．10B ．16C ．20D ．40【答案】C【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得，()180210802n⨯−=，∴8n=，∴这个多边形为八边形，∴这个多边形可连对角线的条数是()883202⨯−=，故选C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是()32 n n−是解题的关键．9．（2023秋·八年级课时练习）一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【答案】C【分析】画出所有可能的情况，即可作答．【详解】如图所示∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形故选C．【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答．二、填空题10．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）若n边形的每个内角都是108，则边数n为___．【答案】5【分析】根据多边形的内角和公式()2180n︒−⋅列方程求解即可．【详解】解：由题意得， ()2180108n n ︒︒−⋅=⋅解得：5n =．故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 11．（2022春·八年级单元测试）如图是由射线AB 、BC 、CD 、DA 组成的平面图形，则1234∠+∠+∠+∠=______°．【答案】360【分析】根据多边形的外角和为360︒求解即可．【详解】解：由图可知，1∠、2∠、3∠、4∠为组成的四边形的外角，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：360．【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为360︒是解题的关键．12．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n =___________．【答案】10【分析】由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案．【详解】解：∵一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，∴正多边形的每一个外角为：180365︒=︒，∴3601036n ︒==︒，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．【答案】1440【分析】依据多边形外角和为360︒求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为多边形的每个外角均为36︒，且外角和为360︒，所以这个多边形边数：3603610︒÷︒=，则这个多边形的内角和为：()1021801440−⨯︒=︒，故答案为：1440．【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为360︒；通过外角和求得边数是解题的关键．【答案】12【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，∴() 36052180n⨯=−⨯，解得：12n=，所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键．15．（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校考阶段练习）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是____________边形．【答案】八【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的3倍，则多边形的内角和是()3603︒⨯度，根据多边形的内角和可以表示成()2180n−⋅︒，依此列方程可求解．【详解】解：设多边形边数为n．则() 36032180n⨯=−⋅，解得8n=．∴这个多边形是八边形．故答案为：八．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16．（2023·全国·八年级假期作业）一个n边形的所有内角和等于540︒，则n的值等于__．【答案】5【分析】已知n边形的内角和为540︒，根据多边形内角和的公式易求解．【详解】解：依题意有()2180540n−⋅︒=︒，解得5n=．故答案为：5．【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角和为()2180n−⋅︒是解题的关键．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，。
最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《多边形的内角和》综合测试题及答案解析-精品试题
《11.3 多边形及其内角和》一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．若一个多边形的边数增加1，它的内角和（）A．不变 B．增加1 C．增加180°D．增加360°2．当多边形的边数增加时，其外角和（）A．增加 B．减少C．不变 D．不能确定3．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A．180°B．540°C．1900°D．1080°4．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6 B．9 C．14 D．205．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（）A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+26．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．19 B．17 C．15 D．137．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形8．一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（）A．60° B．80° C．100°D．120°二、填空题9．n边形的内角和= 度，外角和= 度．10．从n边形（n＞3）的一个顶点出发，可以画条对角线，这些对角线把n边形分成三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和．11．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是边形．12．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么此多边形的边数为．13．若n边形的每个内角都是150°，则n= ．14．一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是边形．15．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是度，其内角和等于度．16．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是边形．17．n边形的内角和等于度．任意多边形的外角和等于度．18．若一个多边形的外角和是它的内角和的，则此多边形的边数是．19．如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于度，每个外角都等于度．20．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形边形．21．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．．（判断对错）22．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n= ；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n= ．三、解答题23．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．24．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．25．某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．《11.3 多边形及其内角和》参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（2009秋•腾冲县校级期中）若一个多边形的边数增加1，它的内角和（）A．不变 B．增加1 C．增加180°D．增加360°【考点】多边形内角与外角．【分析】设原来的多边形是n，则新的多边形的边数是n+1．根据多边形的内角和定理即可求得．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2）•180°．则（n+1﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°．故选C．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．2．（2012春•城西区校级期中）当多边形的边数增加时，其外角和（）A．增加 B．减少C．不变 D．不能确定【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理即可判断．【解答】解：任何多边形的外角和是360°，因而当多边形的边数增加时，其外角和不变．故选C．【点评】任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．3．（2015秋•宣威市校级期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A．180°B．540°C．1900°D．1080°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案．【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．∴在这四个选项中不是180的倍数的是1900°．故选C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．（2013秋•硚口区校级月考）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6 B．9 C．14 D．20【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．【专题】计算题．【分析】首先根据多边形的内角和计算公式：（n﹣2）×180°，求出多边形的边数；再进一步代入多边形的对角线计算方法：求得结果．【解答】解：多边形的边数n=720°÷180°+2=6；对角线的条数：6×（6﹣3）÷2=9．故选B．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．5．（2016秋•长葛市校级月考）如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（）A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+2【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角的度数，然后利用多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：设多边形的边数为m，根据题意列方程得，（m﹣2）•180°=n×360°，m﹣2=2n，m=2n+2．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．6．（2015秋•凉山州期末）一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．19 B．17 C．15 D．13【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520°的多边形的边数，即可求得原多边形的边数．【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．根据题意得：（n﹣2）•180=2520，解得：n=16．则原来的多边形的边数是16﹣1=15．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，理解新多边形的边数比原多边形的边数增加1是解题的关键．7．（2015春•金东区期末）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得（n﹣2）×180°=360°×4，解得n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．8．一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（）A．60° B．80° C．100°D．120°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用960°÷180°所得商的整数部分加1就是多边形的边数．【解答】解：∵一个内角外，其余各内角和是120°，∴这个角的度数是60°．故选A．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．同时要注意每一个内角都应当大于0°而小于180度．二、填空题9．n边形的内角和= （n﹣2）×180 度，外角和= 360 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理和外角和特征即可求出答案．【解答】解：任意n边形的内角和是（n﹣2）×180度，外角和是360度．故答案为：（n﹣2）×180，360．【点评】本题考查了多边形的外角和定理和内角和定理，这是一个需要熟记的内容．10．从n边形（n＞3）的一个顶点出发，可以画n﹣3 条对角线，这些对角线把n边形分成n ﹣2 三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和相等．【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；多边形的对角线．【分析】多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有n﹣3个，因而从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，把n边形分成n ﹣2个三角形，根据三角形内角和定理即可求得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，都等于（n﹣2）•180°．【解答】解：从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，可以把n边形划分为n﹣2个三角形，由此，可得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，故答案为：n﹣3，n﹣2，相等．【点评】本题考查多边形的对角线与三角形内角和定理，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题解决，是转化思想在多边形中的应用．11．（2012•宝安区校级模拟）已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是四边形．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据多边形的外角和为360°，由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，得到内角和，再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，∴（n﹣2）•180°=360°，∴n=4，故答案为：四．【点评】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和=（n﹣2）•180°；多边形的外角和为360°．12．（2014春•邵阳期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么此多边形的边数为12 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=5×360，解得：n=12．所以此多边形的边数为12．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．13．（2016春•苏仙区期末）若n边形的每个内角都是150°，则n= 12 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】由题可得，该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据n边形的每个内角都是150°，可得该正多边形的内角和为n×150°，再列方程求解．【解答】解：依题意得，（n﹣2）×180°=n×150°，解得n=12故答案为：12【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．14．（2012春•工业园区期末）一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是十边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：这个多边形是360÷36=10边形．故答案为：十．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．15．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是120 度，其内角和等于720 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可求出n的值，进而求出多边形的内角度数，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数，然后求出其内角和即可．【解答】解：设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可得：n+2n=180°，解得：n=60°，∴2n=120°，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数为：360÷60=6，∵多边形的每个内角都相等，∴多边形内角和为：120×6=720°．故答案为：120，720．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理与多边形外角和为360度．16．（2015秋•广西期末）一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是12 边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解得：n=12．∴这个多边形是12边形．故答案为：12．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．17．n边形的内角和等于（n﹣2）•180度．任意多边形的外角和等于360 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （（n≥3）且n为整数），且多边形的外角和等于360度，进行求解即可．【解答】解：根据多边形内角和定理可得n边形的内角和为：（n﹣2）•180，任意多边形的外角和等于360度．故答案为：（n﹣2）•180，360．【点评】本题考查了多边形内角和外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理和多边形的外角和等于360度．18．（2016秋•长葛市校级月考）若一个多边形的外角和是它的内角和的，则此多边形的边数是10 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360度，外角和是它的内角和的，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=1440，解得：n=10．则此多边形的边数是10．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．19．如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于144 度，每个外角都等于36 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出每个内角的度数．【解答】解：∵十边形的每个内角都相等，∴十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°．故答案为：144，36．【点评】本题主要考查了多边形的外角性质及内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．20．（2016春•诸城市期末）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形8 边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）=1080，解得：n=8，故答案为：8．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．21．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．对．（判断对错）【考点】多边形内角与外角．【分析】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°=360°．解得：n=4．所以该多边形为四边形．故答案为：对．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．22．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是十二边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n= 8 ；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n= 10 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得：n=12，则这个正多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角=45°，则n==8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n==10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．三、解答题23．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）．（2）从十五边形的一个顶点可以引出12 条对角线，十五边形共有90 条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【考点】多边形的对角线．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线：×15×（15﹣3）=90（条）；（3）设多边形有n条边，则n（n﹣3）=n，解得n=5或n=0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．24．（2014秋•岳池县月考）若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】本题根据等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．【解答】解：设多边形较少的边数为n，则（n﹣2）•180°+（2n﹣2）•180°=1440°，解得n=4．2n=8．故这两个多边形的边数分别为4，8．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，考查多边形的内角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式．25．某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得：+=．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．。
专题23 多边形篇(解析版)
专题23 多边形考点一：多边形1. 多边形的概念：由多条线段首位顺次连接组成的图形叫做多边形。
2. 多边形的对角线：连接任意两个不相邻的顶点得到的线段叫多边形的对角线。
多边形一个顶点引出的对角线条数为：()3-n条，把多边形分成了()2-n个三角形。
多边形所有对角线条数为：()23-nn条。
（n表示多边形的边数）3. 对变形的内角和：多边形的内角和计算公式为：()︒⨯-1802n。
（n表示多边形的边数）4. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都是360°。
1．（2022•大连）六边形内角和的度数是（ ）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．故选：D．2．（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（ ）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．3．（2022•临沂）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）A．900°B．720°C．540°D．360°【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°即可得出答案．【解答】解：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．4．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．5．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n ＝7．故选：A ．6．（2022•福建）四边形的外角和度数是 ．【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得出答案．【解答】解：四边形的外角和度数是360°，故答案为：360°．7．（2022•淮安）五边形的内角和是 °．【分析】根据多边形的内角和是（n ﹣2）•180°，代入计算即可．【解答】解：根据题意得：（5﹣2）•180°＝540°，故答案为：540°．8．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的92，则这个多边形的边数为 ．【分析】多边形的内角和定理为（n ﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．【解答】解：设这个多边形的边数为n ，根据题意可得：，解得：n ＝11，故答案为：11．考点二：正多边形1. 正多边形的概念：每一条边都相等且每个角都相等的多边形叫做正多边形。
多边形的内角和】(解析版)-2022-2023学年八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义(人教版)
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第11章《三角形》11.3 多边形的内角和一．选择题1．（2022•盈江县模拟）一个十一边形的内角和等于（ ）A．1620°B．1800°C．1980°D．2340°解：十一边形的内角和等于：（11﹣2）×180°＝1620°．故选：A．2．（2021秋•禹州市期末）将一个n边形变成（n+2）边形，外角和将（ ）A．增加360°B．减少360°C．增加180°D．不变解：∵多边形的外角和是360°，∴将一个n边形变成（n+2）边形，外角和将不变，故选：D．3．（2021秋•钢城区期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是（ ）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正六边形解：设这个正多边的一个外角为x°，由题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8．故选：C．4．（2021秋•微山县期末）如图，正六边形IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若∠FHG＝28°，则∠BIM等于（ ）A．28°B．32°C．48°D．52°解：∵六边形IMNPGH和六边形ABCDEF都是正六边形，∴∠B＝∠A＝∠F＝∠MIH＝∠IHG＝＝120°，∵∠FHG＝28°，∠AHI+∠FHG+∠IHG＝180°，∴∠AHI＝32°，∵∠A+∠AHI+∠AIH＝180°，∴∠AIH＝28°，∵∠AIH+∠BIM+∠MIH＝180°，∴∠BIM＝32°，故选：B．5．（2021秋•丰台区期末）下列图形中，内角和等于外角和的是（ ）A．B．C．D．解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．故选：B．6．（2022•同安区二模）如图，2022年是中国共青团建团100周年．中国共产主义青年团团徽是由团旗的五角星和环绕它的圆圈、旗边、旗杆、齿轮、麦穗、初升的太阳及其光芒以及写有“中国共青团”五个字的绶带构成．其中五角星的锐角A的度数为（ ）A．25°B．30°C．36°D．72°解：将五角星拆分为5个等腰三角形和一个正五边形组成，由于正五边形的内角为180度，可知等腰三角形的两个底角为72度，根据三角形的内角和为180度可知，五角星的锐角为36度．故选：C．7．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小解：∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．8．（2021秋•青县期末）小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（ ）A．600°B．720°C．1080°D．1440°解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）•180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．∴在这四个选项中不是180的倍数的是600°．故选：A．9．（2021秋•凉山州期末）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）度．A．180B．270C．360D．540解：如图所示，∵∠4+∠6＝∠7，∠1+∠5＝∠8，又∵∠3+∠2+∠7+∠8＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，故选：C．10．（2021秋•思明区校级期末）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（ ）A．180°B．360°C．270°D．300°解：∵∠6＝∠4+∠2，∠7＝∠1+∠3，∴∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4，∵∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝180°．故选：A．二．填空题11．（2022•紫金县二模）如图，小江沿一个五边形的广场小道按一定方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是 360度 ．解：∵多边形的外角和等于360度，∴他每跑完一圈，身体转过的角度之和是360度．故答案为：360度．12．（2021秋•和硕县校级期末）一个多边形的内角和度数是720°，则它的边数是 6 ．解：设这个多边形是n边形，则180°•（n﹣2）＝720°，解得：n＝6，故答案为：6．13．（2021秋•合川区期末）五边形ABCDE的内角都相等，则该五边形的一个内角的度数为 108° ．解：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°．故答案为：108°．14．（2021秋•望花区期末）如图，学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的 不稳定性 ．解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性．故答案为：不稳定性．15．（2022•湖北一模）一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是 8 ．解：360÷45＝8（条），故答案为：8．16．（2022•运城二模）如图，在正六边形ABCDEF的左边以AF为边作正五边形AFGHM，连接BM，则∠ABM，则∠ABM的度数为 24° ．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，五边形AFGHM是正五边形，∴∠FAM＝＝108°，∠FAB＝＝120°，AF＝AM＝AB，∴∠MAB＝360°﹣∠FAM﹣∠FAB＝132°，∵AM＝AB，∴∠ABM＝∠AMB＝×（180°﹣∠MAB）＝×（180°﹣132°）＝24°，故答案为：24°．17．（2021秋•绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，点F在BC的延长线上，∠ABC的平分线和∠DCF的平分线交于点E，若∠A+∠D＝224°，则∠E＝ 22° ．解：如图，∵∠A+∠D＝224°，∠A+∠ABC+∠3+∠D＝360°，∴∠ABC+∠3＝360°﹣224°＝136°，∴2∠1+∠3＝136°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠ABC＝2∠1，∠DCF＝2∠2，∵∠3+∠DCF＝180°，∴2∠2+∠3＝180°，∴2（∠2﹣∠1）＝180°﹣136°＝44°，∴∠2﹣∠1＝22°，∵∠2＝∠1+∠E，∴∠E＝∠2﹣∠1＝22°，故答案为：22°．18．（2021秋•汝州市期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少 10 度．解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而图中∠D＝20°，∴∠D应减少10°．故答案为：10．19．（2021秋•绵竹市期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD＝ 80° ．解：∵180°×（6﹣2）＝720°，∴六边形ABCDEF的内角和为720°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣440°＝280°，∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝80°．即∠BGD的度数是80°．故答案为：80°．20．（2021秋•江陵县期末）如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝230°，则∠E的度数为 65° ．解：由四边形内角和可得，∵∠B+∠C+∠CDA+∠BAD＝360°，∵∠MAD+∠CDA+∠NAD+∠BAD＝360°，∴∠MDA+∠NAD＝∠B+∠C，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE+∠EAD＝（∠MDA+∠NAD）＝（∠B+∠C），∵∠B+∠C＝230°，∴∠ADE+∠EAD＝×230°＝115°，∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠EAD）＝180°﹣115°＝65°，故答案为：65°．三．解答题21．（2021秋•陇县期末）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？解：设它的边数为n，由题意得：180（n﹣2）﹣360＝540，解得n＝7，答：它是七边形．22．（2021秋•襄都区校级期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．解：（1）设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为x，由题意得，x+x＝180°，解得，x＝120°，x＝60°，这个多边形的边数为：＝6，答：这个多边形是六边形；（2）由（1）知，该多边形是六边形，∴内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，答：这个多边形的内角和为720°．23．（2021秋•威县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠G＝90°，∠E＝140°，质检工人测得∠F＝140°，就断定这个零件不合格，这是为什么？解：五边形DHGFE的内角和是180×（5﹣2）＝540°．则∠F＝540°﹣（90°﹣90°﹣90°﹣140°）＝130°．则这个零件不合格．24．（2021秋•赵县月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．解：∵∠AKG＝∠A+∠B，∠DHG＝∠C+∠D，∠FGB＝∠E+∠F，又∵∠AKG+∠DHG+∠FGB＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．25．（2021秋•朝天区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB 于点E．（1）若∠B＝∠BCD，则∠B＝ 60 °；（2）若CE∥AD，求∠B的大小．解：（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，∠B＝∠BCD，∴．故答案为：60；（2）∵CE∥AD，∴∠DCE+∠D＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠DCE＝80°，∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°．26．（2021秋•岚皋县期末）一个多边形的外角和是它的内角和的，求这个多边形的边数和内角和．解：设这个多边形是n边形，由题意，得，解得n＝11．故这个多边形的内角和是（11﹣2）×180°＝1620°，∴这个多边形是十一边形，其内角和为1620°．27．（2021秋•平山县期末）按要求完成下列各小题．（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数．解：（1）∵正方形内角和为360°，∴其每个内角为360°÷4＝90°．∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∴其每个内角为720°÷6＝120°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；（2）∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°．∵∠EAD＝5°，∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝85°．∵∠C＝50°，∴∠CAD＝∠ADE﹣∠C＝35°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAD＝70°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．28．（2021秋•平罗县期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）求：∠ABC+∠ADC＝ 180 °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，写出DE与BF的位置关系．（3）如图②，若BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和（3）任选一个加以证明．解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∴在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，故答案为：180；（2）DE⊥BF．延长DE交BF于G，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠ADC＝∠CBM，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，∴∠CDE＝∠ADC，∠EBF＝∠CBM，∴∠CDE＝∠EBF．∵∠DEC＝∠BEG，∴∠EGB＝∠C＝90°，∴DE⊥BF．（3）DE∥BF，连接BD，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠NDC+∠MBC＝180°，∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠EDC+∠CBF＝90°，∵△CDB中，∠C＝∠A＝90°，∴∠CDB+∠CBD＝90°，∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC＝180°，∴DE∥BF。
八年级数学下册《多边形内角和》练习题及答案解析(沪科版)
八年级数学下册《多边形内角和》练习题及答案解析(沪科版)班级姓名考号一、选择题（每题4分，共10题，满分40分）1．一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（）A．60°B．45°C．72°D．40°2.五边形的对角线的总条数是（）A．3 B．4 C．5 D．63.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有（）．A．6条B．7条C．8条D．9条4.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36° B．54° C．60° D．72°5.下列命题正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形6.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为n）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()2n-个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．0个7.下列命题①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1a=a16的平方根是4±④各边都相等的多边形是正多边形，其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38.下列说法正确的是（）A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线D．n边形共有(3)2n n-条对角线9.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A．十边形B．十一边形C．十二边形D．十三边形10.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题（每题5分，共4题，满分20分）11.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是边形．12.若过十二边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是________．13.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是．14.如图所示，正五边形中α∠的度数为________．三、解答题（每题10分，共4题，满分40分）15.如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．16.一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．17.一个多边形的每一个外角都等于30．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形对角线的条数．18.在一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角的度数等于与它相邻的内角度数的2求3这个多边形的边数及内角和．参考答案与解析一、选择题（每题4分，共10题，满分40分）1．一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（）A．60°B．45°C．72°D．40°【答案】D【分析】先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求得内角即可，进而得出其外角度数．【解答】解：设正多边形的边数为n∵正多边形的内角和为1260°∴（n-2）×180°=1260°解得：n=9∵360°÷9=40°∴正九边形的每个外角40°故选：D．2.五边形的对角线的总条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C【分析】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有（n-3）条对角线，总共有(3)2n n-条对角线，据此解答即可．【解答】解：五边形的一个顶点处有5-3=2条对角线，共有52=52⨯条对角线．故选：C3.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有（）．A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】D【分析】根据多边形的内角和计算公式：（n-2）×180°，求出多边形的边数，从而求出结论．此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，掌握多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法是解题关键，属于需要识记的知识．【解答】解：多边形的边数为720°÷180°+2=6那么这个多边形的对角线共有6×（6－3）÷2=9（条）故选D．4.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36°B．54°C．60°D ．72° 【答案】B【分析】先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG 中，利用四边形内角和求出∠G.本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.【解答】∵正五边形外角和为360°，∴外角360==725∠EDF ∴内角18072108∠=∠=∠=-=ABC C CDE ∵BG 平分∠ABC ，DG 平分正五边形的外角∠EDF∴1=ABC=542∠∠CBG 1==362∠∠EDG EDF在四边形BCDG 中，G=360∠+∠+∠+∠+∠CBG C CDE EDF∴()()G=360=3605410810836=54∠-∠+∠+∠+∠-+++CBG C CDE EDF 故选B.5.下列命题正确的是（ ） A ．各边相等的多边形是正多边形 B ．各内角分别相等的多边形是正多边形C ．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 【答案】D【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.【解答】解：A 、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； B 、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； C 、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； D 、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确； 故选：D6.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为n ）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()2n-个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】A【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解．本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键．【解答】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误；②从一个多边形（边数为n）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶n-个三角形，判断正确；点，可以把这个多边形分割成()2③角的边越长，角越大，判断错误；④一条射线就是一个周角，判断错误．故选：A7.下列命题①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1a=a16的平方根是4±④各边都相等的多边形是正多边形，其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据不等式的性质即可判断①；根据算术平方根的定义即可判断②；根据平方根的定义即可判断③；根据正多边形的定义可判断④，进而可得答案．本题考查了不等式的性质、平方根和算术平方根的定义以及正多边形的概念等知识，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．【解答】解：若a＞b，由于c的正负未知，所以不能得出ac＞bc，故①是假命题；若a=1a a，故②是真命题；162±，不是4±，故③是假命题；各角都相等、各边都相等的多边形是正多边形，故④是假命题；综上，真命题只有1个．故选：B．8.下列说法正确的是（）A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线D．n边形共有(3)2n n-条对角线【答案】D【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案．本题考查了多边形的相关知识，属于基本题型，熟练掌握多边形的定义及其相关知识是解题的关键．【解答】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；D、n边形共有(3)2n n-条对角线，故本选项说法正确，符合题意．故选：D．9.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A．十边形B．十一边形C．十二边形D．十三边形【答案】C【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解题过程】解：设这个多边形为n边形，它的外角分别为x1，x2，⋯，x n，则对应的内角分别为4x1+30°，4x2+30°，⋯，4x n+30°根据题意得，x1+x2+⋯+x n＝360°（4x1+30°）+（4x2+30°）+⋯+（4x n+30°）＝（n﹣2）×180°∴4×（x1+x2+⋯+x n）+30°n＝（n﹣2）×180°∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°∴1440°+30°n＝180°n﹣360°∴150°n＝1800°∴n＝12故选：C．10.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选：A．二．填空题（每题5分，共4题，满分20分）11.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是边形．【答案】五【分析】根据平角的定义，先求出每一个外角的度数，多边形的边数等于360°除以外角的度数，列式计算即可．多边形内角与外角【解答】解：∵多边形每个内角都为108°∴多边形每个外角都为180°﹣108°＝72°∴边数＝360°÷72°＝5．故答案为：五．12.若过十二边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是________．【答案】9【分析】根据从一个n边形的一个顶点出发，可以画()3n-条对角线即可得．本题考查了多边形的对角线条数问题，熟练掌握从一个n边形的一个顶点出发，可以画()3n-条对角线是解题关键．【解答】解：因为过十二边形的一个顶点可以画1239-=条对角线所以9n=故答案为：9．13.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是．【答案】5【解答】中心角的度数=360n︒36072n︒︒=5n=考点：正多边形中心角的概念．14.如图所示，正五边形中α∠的度数为________．【分析】根据正五边形性质求出∠A =108°，AB =AE ，再根据等腰三角形性质即可求解．本题考查了正五边形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正五边形性质，等腰三角形性质是解题关键． 【解答】解：如图，∠五边形ABCDE 是正五边形 ∠∠A =()52180=1085-⨯︒︒，AB =AE∠∠ABE =∠AEB =180108=362︒-︒︒即α∠=36°．故答案为：36°三、解答题（每题10分，共4题，满分40分）15.如图所示，△ABC 中，AB=BC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点D ，交AC 于F ． ⑴若∠AFD=155°，求∠EDF 的度数； ⑵若点F 是AC 的中点，求证：∠CFD=12∠B ．【答案】（1）50°；（2）见解析【分析】⑴根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与四边形的内角和为360°，可求得所求角的度数.⑵连接BF ，根据三角形内角和定理与等腰三角形三线合一，可知12CFD ABC ∠=∠.【解答】⑴ ∵∠AFD =155°，∴∠DFC =25°，∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ∴∠FDC =∠AED =90°在Rt △EDC 中，∴∠C =90°﹣25°=65°∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．⑵连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点∴BF⊥AC12ABF CBF ABC ∠=∠=∠∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°∴∠CFD=∠CBF∴12CFD ABC ∠=∠．16.一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．【答案】20°．【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．考查了多边形内角与外角，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．【解答】设多边形的边数为x，由题意有（x﹣2）•180=2680解得x=168 9因而多边形的边数是17则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°．17.一个多边形的每一个外角都等于30．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形对角线的条数．【答案】（1）12；（2）54【分析】（1）利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是30°，即可求出答案．（2）根据一个多边形有()32n n-条对角线，即可算出有多少条对角线．本题主要考查了多边形的外角和，多边形的对角线的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．任何多边形的对角线条数为()32n n-条．【解答】（1）3603012︒÷︒=答：这个多边形的边数为12；（2）()12123542⨯-=（条）．答：这个多边形的对角线的条数是54条．18.在一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角的度数等于与它相邻的内角度数的23，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数为5，内角和为540°【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的23，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键．【解答】解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为23x．根据题意得：x+23x=180°．解得：x=108°，23x=72°360°÷72°=5108°×5=540°．答：这个多边形的边数为5，内角和为540°。
人教版2021-2022学年八年级数学 《多边形的内角和》含答案解析
专题03 多边形的内角和一、单选题1．（2020·重庆市第二十九中学校八年级月考）某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．7【答案】A【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n﹣2)•180＝4×360，解得n＝10．则这个多边形的边数是10．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式与外角和定理，利用方程法求边数．2．（2021·四川七年级期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正六边形C．正五边形和正八边形D．正方形和正十边形【答案】B【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可．【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点睛】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．3．（2021·全国八年级课前预习）下列叙述正确的是（ ）A ．每条边都相等的多边形是正多边形；B ．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；C ．每个角都相等的多边形叫正多边形；D ．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形【答案】D 【详解】由题意可知，A 、B 、Cj 均不正确，只有D 是正确的。
第七讲 多边形的内角和(解析版) -2021年新八年级数学上册(人教版)
第七讲多边形的内角和【学习目标】1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.【新课讲解】知识点1：多边形的内角和问题1：三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？都是360°.问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度？猜想：四边形ABCD的内角和是360°.证明：方法1 如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．问题4 根据下列表格探究n边形内角和公式多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180 °.【例题2】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？【答案】内角是135°，九边形．【解析】多边形的内角的度数在0°—180°之间.设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．知识点2：多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？答：互补问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？答：5×180°=900°问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？答：五边形外角和=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°=360 °结论：五边形的外角和等于360°.探究：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和 =n个平角-n边形内角和= n×180 °－(n－2) × 180°=360 °结论：n边形的外角和等于360°.【例题3】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】见解析。
多边形及其内角和(2)基础强化解析版-人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列
人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列11.3 多边形及其内角和（2）基础强化作业解析一、选择题1．若一个多边形的边数增加1，它的内角和（）A．不变 B．增加1 C．增加180° D．增加360°【考点】多边形内角与外角．【分析】设原来的多边形是n，则新的多边形的边数是n+1．根据多边形的内角和定理即可求得．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2）•180°．则（n+1﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°．故选C．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．2．当多边形的边数增加时，其外角和（）A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理即可判断．【解答】解：任何多边形的外角和是360°，因而当多边形的边数增加时，其外角和不变．故选C．【点评】任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．3．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A．180° B．540° C．1900° D．1080°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案．【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．∴在这四个选项中不是180的倍数的是1900°．故选C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6 B．9 C．14 D．20【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．【专题】计算题．【分析】首先根据多边形的内角和计算公式：（n﹣2）×180°，求出多边形的边数；再进一步代入多边形的对角线计算方法：求得结果．【解答】解：多边形的边数n=720°÷180°+2=6；对角线的条数：6×（6﹣3）÷2=9．故选B．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．5．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（）A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+2【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角的度数，然后利用多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：设多边形的边数为m，根据题意列方程得，（m﹣2）•180°=n×360°，m﹣2=2n，m=2n+2．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．6．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．19 B．17 C．15 D．13【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520°的多边形的边数，即可求得原多边形的边数．【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．根据题意得：（n﹣2）•180=2520，解得：n=16．则原来的多边形的边数是16﹣1=15．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，理解新多边形的边数比原多边形的边数增加1是解题的关键．7．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得（n﹣2）×180°=360°×4，解得n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．8．一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用960°÷180°所得商的整数部分加1就是多边形的边数．【解答】解：∵一个内角外，其余各内角和是120°，∴这个角的度数是60°．故选A．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．同时要注意每一个内角都应当大于0°而小于180度．二、填空题9．n边形的内角和=（n﹣2）×180度，外角和=360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理和外角和特征即可求出答案．【解答】解：任意n边形的内角和是（n﹣2）×180度，外角和是360度．故答案为：（n﹣2）×180，360．【点评】本题考查了多边形的外角和定理和内角和定理，这是一个需要熟记的内容．10．从n边形（n＞3）的一个顶点出发，可以画n﹣3条对角线，这些对角线把n边形分成n﹣2三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和相等．【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；多边形的对角线．【分析】多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有n﹣3个，因而从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，把n 边形分成n﹣2个三角形，根据三角形内角和定理即可求得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，都等于（n﹣2）•180°．【解答】解：从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，可以把n边形划分为n﹣2个三角形，由此，可得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，故答案为：n﹣3，n﹣2，相等．【点评】本题考查多边形的对角线与三角形内角和定理，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题解决，是转化思想在多边形中的应用．11．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是四边形．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据多边形的外角和为360°，由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，得到内角和，再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，∴（n﹣2）•180°=360°，∴n=4，故答案为：四．【点评】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和=（n﹣2）•180°；多边形的外角和为360°．12．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么此多边形的边数为12．【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=5×360，解得：n=12．所以此多边形的边数为12．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．13．若n边形的每个内角都是150°，则n=12．【考点】多边形内角与外角．【分析】由题可得，该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据n边形的每个内角都是150°，可得该正多边形的内角和为n×150°，再列方程求解．【解答】解：依题意得，（n﹣2）×180°=n×150°，解得n=12故答案为：12【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．14．一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是十边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：这个多边形是360÷36=10边形．故答案为：十．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．15．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是120度，其内角和等于720度．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可求出n的值，进而求出多边形的内角度数，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数，然后求出其内角和即可．【解答】解：设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可得：n+2n=180°，解得：n=60°，∴2n=120°，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数为：360÷60=6，∵多边形的每个内角都相等，∴多边形内角和为：120×6=720°．故答案为：120，720．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理与多边形外角和为360度．16．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是12边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解得：n=12．∴这个多边形是12边形．故答案为：12．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．17．n边形的内角和等于（n﹣2）•180度．任意多边形的外角和等于360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （（n≥3）且n为整数），且多边形的外角和等于360度，进行求解即可．【解答】解：根据多边形内角和定理可得n边形的内角和为：（n﹣2）•180，任意多边形的外角和等于360度．故答案为：（n﹣2）•180，360．【点评】本题考查了多边形内角和外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理和多边形的外角和等于360度．18．若一个多边形的外角和是它的内角和的，则此多边形的边数是10．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360度，外角和是它的内角和的，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=1440，解得：n=10．则此多边形的边数是10．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．19．如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于144度，每个外角都等于36度．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出每个内角的度数．【解答】解：∵十边形的每个内角都相等，∴十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°．故答案为：144，36．【点评】本题主要考查了多边形的外角性质及内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．20．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形8边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）=1080，解得：n=8，故答案为：8．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．21．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．对．（判断对错）【考点】多边形内角与外角．【分析】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°=360°．解得：n=4．所以该多边形为四边形．故答案为：对．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．22．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是十二边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n=8；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n=10．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得：n=12，则这个正多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角=45°，则n= =8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n= =10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．三、解答题23．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】本题根据等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．【解答】解：设多边形较少的边数为n，则（n﹣2）•180°+（2n﹣2）•180°=1440°，解得n=4．2n=8．故这两个多边形的边数分别为4，8．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，考查多边形的内角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式．。
多边形及其内角和经典例题透析
知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。
镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
多边形的内角和专题(含答案)
13.一个正多边形的每个外角为 ફ ，那么这个正多边形的内角和是________．
14.如图，
ꡰમ⺁
三、解答题 1 一个多边形的各内角都等于 1ꡰફ ，它是几边形？
1 一个多边形的内角和等于 1ꡰ ફ ，它是几边形？
17.如图，在四边形 ꡰમ⺁ 中， 与 મ 互补， ꡰમ、 ⺁મ 的平分线分别交 મ⺁、 ꡰ 于点 、 ܧ䁞䁞 ꡰ，交 ꡰમ
ꡰમ ⺁મ ફ 1ౘફ 1ౘફ ，
ꡰ 、⺁ 分别平分 ꡰમ、 ⺁મ，
1
1 ꡰ
⺁મ，
ꡰ
ܧ䁞䁞 ꡰ，
1 ꡰ
ꡰમ，
ꡰ
ꡰ，
1
ꡰ
1 ꡰ
⺁મ
1 ꡰ
ꡰમ
Ꟑફ ，
即 1 与 ꡰ 互余．
ꡰમ
1ફફ ， 1 ꡰꡰ ，
મ ౘફ ， ꡰ ꡰౘ ，
ꡰ
મꡰ ꡰౘ ，
ꡰ મ 1ౘફ ꡰౘ ౘફ ꡰ ，
મ ܧꡰ ꡰౘ ꡰ ．
因为多边形的外角和为 ફ ，
所以这个多边形的边数为 ફ ફ ，
所以这个多边形是六边形．
16.【答案】解：设这个多边形是 边形，
根据多边形内角和公式，得 ꡰમ 1ౘફ 1ꡰ ફ ， 解得 Ꟑ
所以这个多边形是九边形．
17.【答案】解： 1મ 1 与 ꡰ 互余．
四边形 ꡰમ⺁ 的内角和为 ફ ， 与 મ 互补，
A. ꡰ1ફ
B. 11ફ
C. 1 ફ
D. 1ફફ
1
10.若一个正 边形的每个内角为1ꡰꡰ ，则这个正 边形的所有对角线的条数是 ( )
A.
B. 1ફ
C.
D. ફ
二、填空题
11.若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是______．
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专题23 多边形内角和问题1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6．多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
8.多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。
【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a +b 不可能是（ ）A ．360°B ．540°C ．630°D ．720°【答案】C ．【解析】一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a +b 不可能是630°．专题知识回顾 专题典型题考法及解析【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°【答案】D．【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。
多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．【答案】144．【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。
专题典型训练题一、选择题1．（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】C【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．2．（2019内蒙古巴彦卓尔）下列命题：①若x2+kx +是完全平方式，则k＝1；②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断．若x2+kx +是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．3．（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π【答案】B．【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC＝120°，∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，4.（2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A． 27 B． 35 C． 44 D． 54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴=445.（2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）A．3 B，4 C.5 D.6【答案】D【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6．6.（2018武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A． 27 B． 35 C． 44 D． 54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴=447.（2018大连）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= ．【答案】110°．【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，∴∠OBC+∠OCB=70，∴∠BOC=180﹣70=110°8.（2018沈阳）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】根据多边形的内角和，可得答案．设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）180°=150n ，解得n=129．（2018山东临沂）内角和为540°的多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°列式进行计算即可求解．设多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=540°，解得n=5．10.（2018江苏镇江）已知n 边形的内角和θ=（n -2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n .若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n +x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x .【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.试题解析：(1)甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n -2）×180°=360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n -2）×180°=630°，解得n=211. ∵n 为整数，∴θ不能取630°.(2)由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.11．（2018湖南岳阳）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．12.（2018四川绵阳）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D．【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．13.（2019大庆模拟题）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】D．【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°14.（2019长沙模拟题）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C．【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144°n=180°×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．15.（2018江西）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【答案】C【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°二、填空题16．（2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是．【答案】5【解析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝517.（2019陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为【答案】6【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为618．（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝．【答案】140°【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠OAD＝．19.（经典题）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________. 【答案】8【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可. 设这个多边形边数为n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8.。