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2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 三角形综合(包含答案)

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北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)

北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

2020年北京初三数学竞赛 专题练习：极端原理(含答案)

2020年北京初三数学竞赛 专题练习：极端原理(含答案)

2020北京初三数学竞赛专题练习：极端原理（含答案）1.两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．2.在一次乒乓球循环赛中，n（n≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．解析没取胜场数最多的一名选手为A，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n名选手中存在一名选手C，C胜A．考虑A击败的选手的全体，其中必有选手B胜C．事实上，若A的手下败将也都负于C，那么C胜的场数比A胜的场数至少要多1，这与A是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．3.平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB是最大的距离．分别以A、B为圆心，12AB为半径作圆，如图所示．点A与除点B之外的995个点的连线的中点在圆A的内部或边界上；点B与除点外的995个点的连线的中点在圆B的内部或边界上，这样我们得到了995+995＝1990个红点．另外，AB的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．4.证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析如图所示，在凸五边形ABCDE中，一共有5条对角线：AC、AD、BD、BE、CE，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC最长．ABEPD由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则 AC AP PC AD CE <+<+．因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．5. 平面上给定3个点。

2019-2020北京市初三上数学期末考试几何压轴题汇总(含答案)

2019-2020北京市初三上数学期末考试几何压轴题汇总(含答案)

2019-2020初三上期末考试几何综合汇总1、（19-20朝阳期末）27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图1备用图2、（19-20东城期末）27．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图23、（19-20西城期末）27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0<n<180）得线段PQ，连接AP，BO.（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；AP，（2）M为线段BQ的中点，连接PM.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=12并说明理由.4、（19-20海淀期末）27．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1, 记∠ABC =α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，① 依题意补全图1； ② PQ 的长为_____________； （2）如图2，当α=45°，且43BD时, 求证：PD =PQ ； （3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）图 1图 2备用图N5、（19-20丰台期末）26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ． （1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE，并证明．6、（19-20石景山期末）27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．FEP DCBA7、（19-20大兴期末）27.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.8、（19-20房山期末）27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________. （3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________图27-1 备用图备用图9、（19-20门头沟期末）27．如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．备用图10、（19-20密云期末）27. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段B C上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．图1（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．图211、（19-20平谷期末）27．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求∠BAE的度数；（2）连结BD，延长AE交BD于点F．Array①求证：DF=EF；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．12、（19-20顺义期末）27．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF.（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．C C（备用图）13、（19-20通州期末）27.如图，MO⊥NO于点O,△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=90°，当△OAB绕点O旋转时，记∠MOA=a(0°≤a≤90°)。

北京课改版九年级数学上册 第20章 《解直角三角形》 综合测试卷 (含答案)

北京课改版九年级数学上册 第20章 《解直角三角形》 综合测试卷 (含答案)

北京课改版数学九年级上册第20章 解直角三角形综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．cos60°的值为( )A.12B.22C.32D.322．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列等式中正确的是( )A ．cosA ＝a cB ．sinB ＝c bC ．tanB ＝a bD ．以上都不正确 3．Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．245cm C. 185cm D. 65cm 4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是（ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm5．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中错误的是( )A ．sinα＝cosαB ．tanC ＝2 C ．sinβ＝cosβD ．tanα＝16．如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 35的值是（ ）A. 14B. 13C. 12D ．27．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边上一点，∠DAC ＝30°，BD ＝2，AB ＝23，则AC 的长是( A ) A. 3 B ．2 2 C ．3 D.3228、如图,小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.()3214+米9．如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒10．如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ）A ．（30+20）m 和36tan30°mB ．（36sin30°+20）m 和36cos30°mC ．36sin80°m 和36cos30°mD ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。

北京市各区2020届九年级数学期末试卷精选汇编：相似三角形专题(含答案)

北京市各区2020届九年级数学期末试卷精选汇编：相似三角形专题(含答案)

相似三角形专题海淀区18． 如图，在ABC △与ADE △中，AB AC AD AE=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE △∽△．18．证明：∵EAC DAB ∠=∠,∴EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠.∴BAC DAE ∠=∠. ∵AB AC AD AE=, ∴ABC △∽ADE △.朝阳区23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ， P 是△ABC 内一点， ∠PAC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =45°，AP =1，求BP 的长.小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP ∽△CBP ，进一步推理可得BP的长. 请回答：∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB . ∵∠PCB =∠PBA ， ∴∠PCA = . ∵∠PAC =∠PCB ， ∴△ACP ∽△CBP .∴AP PC ACPC PB CB==. ∵∠ACB =45°，BCEDA图1 图2∴∠BAC =90°. ∴=AC CB.∵AP =1，∴PC .∴PB = .参考小军的思路，解决问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内一点，∠PAC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =30°，求AP BP的值；东城区17． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ．使∠ADE =∠B ，DE 交AC 于点E ；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若ADDB=2，AC =6，求AE 的值．房山区18.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD 上一点，且AB ：AC＝AE ：AD．判断BE与BD的数量关系并证明．18. BE=BD …………………1分⸪AD平分∠BAC⸪∠CAD=∠DAB …………………2分⸪AB ：AC＝AE ：AD⸪△EAB∽△DAC …………………3分A DCBE ⸪∠AEB=∠ADC⸪∠BED=∠BDE …………………4分 ⸪BE=BD …………………5分丰台区18．如图，E 是□ ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．求证：△EBC ∽△CDF ．18. 证明： ∵□ ，∴∠B =∠D . ……2分 且BE ∥CD ， ……3分 ∴∠E =∠DCE ． ……4分 ∴△EBC ∽△CDF ．……5分平谷区18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）如果AC =8，BC =6，CD =3，求AE 的长．18．（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠AED =∠C =90°． ································································· 1 ∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE ． ··································································· 2 （2）解： ∵AC =8，BC =6， ∴AB =10． ·············································································· 3 ∵△ABC ∽△ADE ， ∴AE ADAC AB=． ······································································· 4 ∴AE =4．顺义区20．如图，矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，且2AB AE DE =．求证：BE ⊥CE ．FAB CDE ABCD321EBCDA 20．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD ． ……………………………………… 2分 ∵2AB AE DE =，∴AB DEAE AB =．……………………… 3分 ∴AB DEAE CD=． ∴△ABE ∽△DEC ． ………………………………………………… 4分 ∴∠1=∠2． ∵∠A =90°． ∴∠1+∠3=90°． ∴∠2+∠3=90°． ∴∠BEC=180°-（∠2+∠3）=90°．∴BE ⊥CE ． …………………………………………………… 5分西城区19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是AD 上一点，且BE =BD ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BD =1，CD =2，求AE AD的值．19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ∵ BE =BD ，∴∠BED =∠BDE ． ∴∠AEB =∠ADC ． ∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵ △ABE ∽△ACD ，∴ AE BE AD CD=． ∵ BE =BD =1，CD = 2，∴ 12AE AD =．········································································································ 5分密云区18．已知：在△ABC 中，点D 、点E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，BE 平分∠ABC ．（1）求证：BD=DE；（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．18．（1）证明：∵DE // BC，∴∠DEB=∠EBC …1分∵BE平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC …2分∴∠DEB=∠DBE∴BD=DE ………3分(2)解：∵AB=10，AD=4∴BD=DE=6∵DE // BC∴△ADE∽△ABC ………4分∴ADABDEBC=∴4106BC=∴BC=15 ……………………5分通州区20.如图。

【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-几何综合+答案

【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-几何综合+答案

如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述 圆心O 的位置②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上（2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题 意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2 丰台如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是（2）如果21=AC AD ，那么=BF AF （3）如果nAC AD 1=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD（1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值4 怀柔在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1） 依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明 （3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）BBA BCDPA BCD如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中 点，连接FG（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF①在图2中，依据题意补全图形 ②求证:DF =6 燕山正方形ABCD 中，将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ，过点C 作CE ⊥AM ，垂足为E ，连接BE(1) 当045α︒<<︒时，设AM 交BC 于点F① 如图1，若α＝35°，则∠BCE ＝ ° ② 如图2，用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3)，请直接用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H（1）依题意补全图形8 门头沟如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E （1）求证：∠CAE =∠CBD（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点（不与A ，B 重合）MC BP ⊥，垂足为P ，将CPB ∠绕点P 旋转，得到''PB C ∠，当射线'PC 经过点D 时，射线'PB 与BC 交于点N （1）依题意补全图形 （2）求证：CPD ∽∆∆BPN（3）在点M 的运动过程中，图中是否存在与BM 始终相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明，若不存在，请说明理由10 西城如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论 （2）若AB =2，AD =22，∠BAC =105°，∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求PQ 长的思路如图，在ABC Rt ∆中，BC AB ABC ==∠，090，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将ACE ∠的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转090，得到射线''CA CE ，，过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线''CA CE ，于点F ，G（1）依题意补全图形（2）若α=∠ACE ，求AFC ∠的大小（用含α的式子表示） （3）用等式表示线段AE ，AF ，与BC 之间的数量关系，并证明 12 东城如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且MB MN BMN 2900==∠，，点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF=PM ，连接DF （1）依题意补全图形 （2）求证：DF=BM（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD 交于点F （1）求∠AFB 的度数 （2）求证：BF=EF（3）连接CF ，直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系14 石景山在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，BC =，过点B 作直线l ∥AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，直线CA '，CB '分别交直线l 于点D E ，．（1）当点A '，D 首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形； ②直接写出A CB '∠的度数； （2）如图2，若CD AB ⊥，求线段DE 的长；（3）求线段DE 长度的最小值．1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=ABEA证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵»»BCBC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中，=AB∴=AB2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）11AF BF n =- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60°∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上CAE BD FlD A 图1②12α （2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =，⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥，BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）134（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120° 证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP图2∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）BF =（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上∵»»BFBF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CEBE 证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2A BCDP HQ∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE ＝2BE ∴AE ＝AG ＋GE ＝CE ＋2BE (2) AE ＋CE ＝2BE7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分（2）证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠CHF ∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠BFG（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末） （1）证明：如图1，∵ ∠ACB = 90°，AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD （2）① 补全图形如图2HG FEDABC图1②2=+EF CE BE证明：在AE上截取AM，使AM=BE又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴2.=ME CE又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE+2CE9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）10（2019.1+++西城+++初三上+++期末）11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末）（1）补全的图形如图所示(2)解:由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A作AB的垂线AD ∴∠BAD=90°∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME∵E 为MN 的中点 ∴MN ＝2ME ∵MN ＝2MB∴MB ＝ME＝D F ．…………………………………………………………3分（3）结论：AM = …………………………………………………………4分 连接AF由（2）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP. ∴DF ∥ME.∴∠FDN ＝∠MND.在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90°∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA∴∠FAM＝∠DAB ＝90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分 ∴FM =又∵FM ＝2PM∴ AM = …………………………………………………………7分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。

2020年九年级中考数学专题复习几何：三角形综合(含答案)

2020年九年级中考数学专题复习几何：三角形综合(含答案)

2020中考数学专题复习几何：三角形综合(含答案)一、选择题（本大题共6道小题）1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于()A.5B.6C.7D.82. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD=3，BE=1.则DE的长是 ()A.B.2 C.2D.3. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 ()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.()4. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为()A.21B.22C.24D.265. 如K19-6，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为 ()A.35°B.40°C.45°D.50°6. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sinθ-cosθ)2= ()A.B.C.D.二、填空题（本大题共5道小题）7. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD 绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B在同一直线上，则∠ABD的度数是.8. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是.9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是.10. 如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是.11. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.三、解答题（本大题共6道小题）12. 已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.求证:∠E=∠C.13. 如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)求证:BE=DE.14. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.15. 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF 的位置，使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B 不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数.17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D 作☉O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.2020中考数学几何：三角形综合-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】B[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得BC=6，故选B.考点：相似三角形及其应用2. 【答案】B[解析]∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE-CD=3-1=2，故选B.考点：全等三角形3. 【答案】B[解析]过点B作BH⊥AO于点H，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).考点：等腰三角形4. 【答案】C[解析]∵MN∥BC，∴∠MEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴△MBE是等腰三角形，∴ME=MB.同理，EN=CN，∵AM+AN+MN=18，MN=ME+EN=BM+CN，∴AM+AN+BM+CN=18，∴AB+AC=18，∴AB+AC+BC=24.即△ABC的周长为24.考点：等腰三角形5. 【答案】C[解析]因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是线段AE的垂直平分线，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故选C.考点：等腰三角形6. 【答案】A[解析]∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ-5sinθ=5，∴cosθ-sinθ=，∴(sinθ-cosθ)2=.故选A.考点：直角三角形与勾股定理二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】22.5°[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD，∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.∵D'，D，B三点在同一直线上，∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.考点：等腰三角形8. 【答案】(2，2)[解析]如图，作AE⊥x轴于E，∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，∴∠ABO=∠OAE=30°.∵点B的坐标是(6，0)，∴AO=OB=3，∴OE=OA=，∴AE===，∴A.∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∴点C的坐标为，即(2，2).考点：相似三角形及其应用9. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD2=()2=8+4.考点：直角三角形与勾股定理10. 【答案】8[解析]∵DC⊥BC，∴∠BCD=90°.∵∠ACB=120°，∴∠ACD=30°.延长CD到H使DH=CD，∵D为AB的中点，∴AD=BD.在△ADH与△BDC中，∴△ADH≌△BDC(SAS)，∴AH=BC=4，∠H=∠BCD=90°.∵∠ACH=30°，∴CH=AH=4，∴CD=2，∴△ABC的面积=2S△BCD=2××4×2=8.考点：全等三角形11. 【答案】[解析]如图①，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.设ED=x，则CD=x，AD=12-x.∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴x=.如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，则12×5=13CP，∴CP=.设ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，∴=，y=<，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.考点：相似三角形及其应用三、解答题（本大题共6道小题）12. 【答案】证明:∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，∴∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E=∠C.考点：全等三角形13. 【答案】证明:(1)在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD.(2)由(1)知∠BAE=∠DAE.在△BAE与△DAE中，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE=DE.考点：全等三角形14. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE，∴DE=BD.∴点D在线段BE的垂直平分线上.(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.考点：等腰三角形15. 【答案】解:(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE，∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中，AB=AE，∠BAC=∠EAF，AC=AF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF=BC.(2)∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB=28°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.考点：等腰三角形16. 【答案】解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°.又AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE==67.5°.考点：等腰三角形17. 【答案】证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠BDE=∠B，∴EB=ED，∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°，AC是☉O的直径，∴CB是☉O的切线，又∵DE是☉O的切线，∴DE=EC.∵DE=EB，∴EC=EB.∵OA=OC，∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.考点：相似三角形及其应用与圆有关的位置关系。

2019年北京初三数学汇编 几何综合答案

2019年北京初三数学汇编 几何综合答案

1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=AB证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵BC BC =∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中，=AB∴=AB2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）11AF BF n =- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60° ∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG ∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG ∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-CAE BD F3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②12α（2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =，⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥，BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）134（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120°图2lD A 图1lE DA图2证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP ∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）BF =（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上 ∵BF BF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =A BCDP HQ6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CE证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2 ∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE∴AE ＝AG ＋GE ＝CE(2) AE ＋CE7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分（2）证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）证明：如图1，∵∠ACB = 90°，AE⊥BD ∴∠ACB =∠AEB = 90°又∵∠1=∠2 ∴∠CAE =∠CBD（2）①补全图形如图2②EF BE =+证明：在AE上截取AM，使AM=BE又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴.ME=又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）图2 图110（2019.1+++西城+++初三上+++期末）11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）补全的图形如图所示 (2)解:由题意可知，∠ECF=∠ACG=90° ∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A 作AB 的垂线AD ∴∠BAD=90° ∵AB=BC,∠ABC =90° ∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPEFPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△FPD（SAS）…………………………………………………………2分∴DF＝ME∵E为MN的中点∴MN＝2ME∵MN＝2MB∴MB＝ME＝D F．…………………………………………………………3分（3）结论：AM …………………………………………………………4分连接AF由（2）可知：△MPE≌△FPD∴∠DFP＝∠EMP.∴DF∥ME.∴∠FDN＝∠MND.在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°又∵∠BMN＝90°∴∠MBA＋∠MNA＝180°又∵∠MNA＋∠MND＝180°∴∠MBA＝∠MND∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA∴∠FAM ＝∠DAB ＝90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴FM 又∵FM ＝2PM∴AM = …………………………………………………………7分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。

2019-2020 学年北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题(含答案)

2019-2020 学年北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题(含答案)

2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题（含答案）1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． ADEG FB HCAEP BDCG K MNF4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA⊥且交于E ，求证：CE MN =． 解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ===，1AE ED ==，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==．5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．AB D CADEMN BCAEFGB解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．8.ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==．解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值．评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．G AE BDCFA E DQGH POB F CF AEB G D C9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥．10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+． AF DOB CEARP Q BDC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC=+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．12. 设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．13. 设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．A DE MF GNHBCCABbca DDA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 14. AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．15. 足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h '''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．ADF B EG P CA MBCND P图(a)跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B BC CD D PB PC PD'"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．16. 求日高公式． 解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh HRxDB'A A'hhCB。

人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

BE =5，EF =2，则 FG 的长是 ________________【例2】如图，已知△ ABC 中，DE // GF // BC ,且AD : DF : FB 则S A ADE :S四边形DFGE: 5边形FBCGA.1：9:36C. 1:8: 27D. 1:8:36【例3】如图，在△ ABC 的内部选取一点 P ,过P 点作三条分别与厶的三个三角形t !, t 2, t 3的面积分别为4, 9和49,求厶ABC 的面积.【例4】如图，△ ABC 中，O 是三角形内一点，满足 • BAO 二.CAO 二.CBO = • ACO . 求证： BC 2 =AC AB .人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质（含答案）【例1】如图，已知口 ABCD 中，过点B 的直线顺次与 AC , AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若C=1:2:3 ,B. 1:4:9ABC 的三边平行的直线，这样所得AB_ ' C 【例引如图，在梯形ABCD中，AD // BC, AD =3 , DC = 5, A^ 4 2 , B = 45 .动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.(1) 求BC 的长;(2) 当MN // AB时，求t的值；(3) 试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形【例6】设厶A! B i C i的面积为$,△ A2B2C2的面积为S2(3 ：：：S2)，当△ A i B i C i A2B2C2，且0.3岂蛍岂0.4时，则称△ A i B i C i与厶A2B2C2有一定的“全等度” •如图，已知梯形ABCD , AD // S2 BC, • B =30 , BCD =60，连接AC.(1)若AD=DC，求证：△ DAC与厶ABC有一定的“全等度”；(2)你认为：△ DAC与厶ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明A D 能力训练1.如图，在△ ABC与厶BED中, AB BC BD 一BE△ ABC的周长为(第1题）如图，△ ABC中, CE:EB =1:2，DEAC =3 4 5，且△ ABC与厶BED的周长之差为10cm，则DE 3（第 2 题）（第 3 题）// AC.若厶ABC的面积为A.1： 4B.1:9C.2:5D.1: 2C（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题）6. 如图，直角梯形 ABCD 中，.BCD =90 , AD // BC , BC=CD , E 为梯形内一点，且.BEC =90 .将△ BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△ DCF ,连接EF 交CD 于点M.已知BC =5 , CF = 3 , 则DM :MC 的值为（）误的是（如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC , . ACD 二/B .求证：CD 「 AD10. 如图1,在Rt △ ABC 中，/BAC =90 , AD 丄BC 于点D ,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交AD 于 F , OE 丄OB 交BC 于点 E.A. 5:3B. 3:5C.4:3D.3: 47.如图,△ABC 中, DE // BC , BE 与 CD 交于点 O , AO 与 DE , BC 分别交于点N , M ，则下列结论错AN ON A.A M "OMS A ONE ANB. OEON SA ADE8.如图，在正方形 1A.-2（第 8 题）S A OMB AMABCD AMOC点在CD 上.2 D.-5D OM 2 _ S A ABCCNNMBC，（AB 2 BC 中，M 是AD 的中点,DC（第 9题）1 B.-3N(1) 求证：△ ABF s\ COE ;11. 如图，△ ABC 中，AB =4 , D 在AB 边上移动(不与A , B 重合)，DE // BC 交AC 于E ,连接CD.设(1 )当D 为AB 中点时，求S ：S 的值；S(2) 当AD 二x ,巳二y ，用x 的代数式表示y ,并求x 的取值范围；S1(3) 是否存在点D ，使得$ . S ?若存在，求出 D 点位置；若不存在，请说明理由412. 在等腰△ ABC 中，AB =AC =5 , BC =6.动点M , N 分别在两腰 AB , AC 上 (M 不与A , B 重合， N 不与A , C D 重合)，电MN // BC.将厶AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为P . (1 )当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上;BC(2)设MN =x , △ MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积为 y ,试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值 时，y 的值最大，最大值是多少?(2) 当O 为AC 边中点, (3) 当O 为AC 边中点,AC OFAB =2时，如图2，求 OE 的值; AC AB 二n 时，请直接写出OF的值. OES A ABCS A DECA2则 AE:ED =（5. 如图，△ ABC 中，D , E 分别是边 BC , AB 上的点,且 1= 2= 3.女口果△ ABC , △ EBD , △ ADC的周长依次是 m , m 1, m 2，证明：巴一m 4A.2B.32C.42如图，梯形ABCD 中,AB // C D ，且 CD -3AB , EF // CD , EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分,NCBPB 级A DAGFCCB的值是） C.2AD.3AAORECCDCBQPD（第1题）（第 2 题） 那么正方形OPQR 的边长是 B. .3.. 21.如图，在△ ABC 中，DE // FG // BC , GI // EF // AB.若厶 ADE ,△ EFG , △ GIC 的面积分别为 20cm 2 A B1BB—H —ID ■ EE32（第 3 题）（第 4 题） （第 5 题） M3.如图，正方形OPQR 内接于△ ABC ,已知△ AOR,△ BOP 和厶CRQ 的面积分别是, S^3和= 12.如图，梯形ABCD 中，AD // BC , ABC = 90，对角线AC 丄BD 于P 点，已知AD : BC =3: 4，则BDAC 45 cm 2, 80 cm 2,则厶ABC 的面积为6. 如图，卩是厶ABC 内的一点，等长的三条线段 DE ,FG 和HI 分别平行于边AB, BC 和CA,并且AB = 12 ,BC =8，CA =6.求证：Al : IF : FB =1:5:3 .如图，锐角△ ABC 中，PQRS 是厶ABC 的内接矩形，且 ABC 二nS 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数.求证： BS为无理数•AB8. 如图，已知直线11的解析式为y =3x 6，直线h 与x 轴，y轴分别相交于 A ，B 两点，直线I ?经过B ， C 两点，点C 的坐标为（8,0）.又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线I 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒 1个单位长度•设移动时间为t 秒.（1） 求直线I 2的解析式；（2） 设厶PCQ 的面积为S,请求出S 关于t 的函数关系式； （3） 试探究：当t 为何值时，△ PCQ 为等腰三角形？（第 6 题）Cy9. 如图，设△ ABC三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等•求证：△ ABC为正三角形.AAD CG10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知k，连接DE与AF交于点P,连接CP.AB CEAF（1）如图1，当k=1时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值•DE（2）如图2，当k=1时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度AF①求竺的值；DE②求证：CP丄AF.AF（3）如图3,当k -1时，请直接写出用含k的式子表示的一匚的值.DEE E11. 在直角梯形 ABCD 中，CB // OA , / COA=90 , CB =3 , 0A =6 , BA=3「5.分别以 OA , OC 边 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系参考答案E. T DE // AC ,A Z 0AC= / 1,A Z 1 = / BA0,vZ 0AC= / 0CA ,「. A0 = 0C , AE=0E ,「.A A0EAC OCAB AEACO ，二①，T DE // AC ,「.②，•••/ 2= / OBC ，/ BCO= / BCO ,A ^ OCDAO E0CB CDBCO ,A 0^ -CD ③，①X ②X ③得些UBC COCO（1） 求点B 的坐标；（2） 已知D ，E 分别为线段 OC , 0B 上的点, 线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点0D =5，0E=2EB ，直线DE 交x 轴于点F ，求直x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N ，使以0、D 、N 的坐标；若不存在，请说明理由例 110.5BE AE EF EG ECBE例3144 提示例4 解法一：如图1，过点0作AC 的平行线交BC ，AB 于点D ,提示：BDC图1AB OCOC AE CD BC BCOE CD OCAC AB21 (AO=OC , AE=OE ),BC ••• BC 2 =AC AB .解法二：如图2，不妨设AB >AC ,延长CA 至点P ,使CP=AB ，连接PB , PO .BA 二 PC•△ BAO ^A PCO ,•••/ CPO= / ABO .• O , A , P , B 四点共圆, 而/ 又/AC BC一-——，注意到PC=AB ,BC PC2• BC =AC AB ，即△ ABC 三边成比例.A在厶BAO 和厶PCO 中, NBAO =ZPCO , 例 5 提示：(1) BC=10 (2)如图1,过点D 作DG // AB 交BC 于点G ,则 BG=AD=3, GC=7, MN // DG , 当 M , N 运动 t 秒时，CN=t , CM=10-2t , CN 由厶 MNC sA GDC ，得一 CD (3)①当NC=MC 时, 如图CM t 10「2t 即… ，解得 CG5 7 10 2,贝U t=10-2t , t ： 350 t :17②当MN=NC 时，如图 由厶NEC s^ DHC ，得3，过点N 作NE 丄MC 于点E , CN EC t 5 —t 即 ：CD HC53③当MN=MC 是，如图 过点D 作DH 丄BC 于点H ,5，解得t ：811 4,过点M 作MF 丄CN 于点F ，则FC NC t . 22OAB=Z OPB=Z OBC . CPO= / ABO , ABC=Z CPB , ACB=Z BCP , CBA sA CPB ,AO 二 COC例 6 (1)V AD=DC ,•••/ DAC= / DCA • DAC= Z ACB • BCD=60° , DCA= Z ACB=30° • B=30° , DAC= Z B=30° ,DAC ABC •D 作DE 丄AC 于点E • •AD=DC , • AC=2EC •在 Rt △ DEC 中，T Z DCA=30° ,•- cos^DCA =DCDC 1 AC .3 '•/ o.3 乞S DAC<Q .4S.A BC• △ DAC 与厶ABC 有一定的 全等度（2）△ DAC 与厶ABC 有一定的 全等度”不正确. 反例：若Z ACB=40° ,则厶DAC 与厶ABC 不具有一定的vZ B=30° , Z BCD=60° , • Z BAC=110° ••/ AD // BC ,• Z D=120° ••△ DAC 与厶ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等.由厶 MFCDHC ，得 ZC图11t 即乙 310_2t 5图2图3图4SDAC _ DCS.A BC.AC1 0.3,3AD // BC , Z Z Z Z 过点 全等度” •3•••△ DAC 与厶ABC 不相似.•••若/ ACB=40° ,则厶DAC 与厶ABC 不具有一定的 全等度”.21 . 252 . - S92ABS ABCBC9 .提示：由△ ABC s^ DCA ，得2A —CD S 也DC AD10.提示：(1)z ABF = Z COE ,/ BAF = Z C ,可证明△ ABF —OE .(2)如图，作 OG 丄AC ,交AD 的延长线于 G ,则/ G=/ C , •/ O 为 AC 中点，AC=2AB , •••/ FOG= / BOA= / COE=45° , •••△ FOGEOC , • OF OGOE OC '又 AO=BA ,/ G= / C ,/ AOG = / BAC , • △ AGO 也厶 BCA , • OG=AC=2OC ,S t -x 2 亠4x— 0 ：：: x ：：: 4 .S 161(3 )不存在点D ，使得S 1 •-S 成立，从而反面说明.412. (1)当 MN=3 时，点 P 在 BC 上.1 2(2)①当0：：：x 乞3时，y x .当x=3时，y 有最大值为3;3421 S PEF x -3, y = S AMN —S PEF x33当x=4时，y 有最大值为4222x -3 x 8x -12 = - X -44 .23提示：Rt △ BAD s Rt △ CBA . 3. C .2OF OG=2OE OC(3) OFOE11.提示:(1)S1(4_ x _4 344.7375. B6. C7. C8. AG(第10题)2 一DE 1 . 405cm 提示：—BC F— J—冷BC BC3延长DA 、CB 相交于G , 2竺SGDC (CD 丿设 S GAB 二 S 则 S GDC =9S , S ABCD =8S , 2 2 _ GA :GE : GD = S GAB : SGEF:S G.DC =1:5:9 . m 1 BD 5.A EBDDACABC,—-m BC m 2 m DCACAC mi m 2 BD AC BC -DC AC AC BC BCDC + BC BCAC+—— BCAC 1 BC 26 .提示：DE 二 FG 二HI 由厶 AFGABC , 得辽 AB 16 ,IF3GF 二AB -DE 二20 AF 20 二 Al IF 二 Al37 .设BC=a , BC 边上的高 BC ' AD=h , 4 Al , FB=4. 3 PS=x , RS=y .由厶 ASRs^ ABC ，得 y =——a , h ， 一 nS矩形PQRS ? h -x 二 nxy 二 nx --- a , h 整理得 2 2 2nx —2nxh 亠 h 0 , 1 +丄 J n 2-2n . 2 2n 2 2 2 -2 :::n 2n ：：： n -1 , -2n 不是完全平方数, \ n 2 为无理数, 从而-为无理数，于是 h BS BA x 为无理数• 8•提示: h (1)3 y x 6.(2)4 (3)如图1,当CP=CQ 时，即10 -t = t ,得t =5.如图 则CD 」PC 二2 1 10 "••••△ QDC “△ BOC 」CD 2 CO 2，当QC=QP 时，过点 1 -10-t2 Q 作QD 丄x 轴于D ,(3)如图3, PC=PQ 时，过CD CP CO CB ' 10 t 10，d ，即 CB—，得t 二色10 131P 作 PD _ I 2于 D ,则 CD CQ2CDP COB.9•设三角形边长为a, b, c.设x为正方形的边长，h为三角形的高，S为三角形的面积•设D、E、F、G ah a 2S 2S 2S , ,X a - .同理可得：X b,血.据题意X a = X b = X c，故得a h a a h ab h bc h c2S 2S 2S 111---- ---- = ------ ，或a h a = b h^c h c ①，但S ah a bh b ch c,a h ab h bc h c 2 2 22 2故ah a 二bh b 二ch c②.由①②得 a - h a b - h b，因此a-h a| |b-h b，故a-h a=b-h b③,或a - h a = h b - b④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得a = h b，矛盾(直角三角形斜边大于直角边)，故③式成立.有①③得a = b .同理可证b=c，故a=b=c，即△ABC为正三角形.AF —10.(1)连结AC, CF，可证明△ACFDCE，得 2 .DE(3)存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO= 5时，四边形ODMN为菱形.作MP丄y轴于点P,则AMP PD MP /x轴‘•△MPD心FOD，- OTOD MDFD.又当y二0时, 解得MP _ PD _ 510 5 5. 5MDB是立于a边上的正方形的顶点.••• GF // BC ,•••△ AGFABC,X aha _ Xh a(3)AFDE-2. ②证明△ADH CPH，/ CPH= / ADH= 90 ° 故CP 丄AF.AFDE11.(1)B(3,6). ⑵作EG丄x轴于点G,可求得E (2, 4),直线DE的解析式旳=一1-x 5. 23. 如图，在△ ABC 中，DE / BC , DE , CD 交于 F ，且 衣 ^3S /FH D ，则 S△ADE: S4ABC ~ -----------------------------------.②如图2,当OD=DN=NM=MO= 5时，四边形 ODNM 为菱形，延长 NM 交x 轴于点P ,贝U MP 丄x 轴.•••点M 在直线“寸・5上..••设M 点坐标为a ，-1a 5，在 R f°PM中, I 3 .2•••点M 的坐标为（4, 3） . •••点N 的坐标为（ OP 2 PM 2 = 0M 2 ,.•• a 2 -- i 1 a 5 2 =52, 解得a i =4, a^ = 0 舍去，4, 8)r.V/M A③如图3，当OM=MD=DN=NO 时，四边形 OMDN 为菱形, 连结 NM 交OD 于点P ，贝U OD 互相垂直平分，• yM 二yN = OP = £ -1xM 52NM 与-xM - - 5.（ 5 ■ • N的坐标为5,厂综上所述, x 轴上方的点 N 2 4, 8 , N 3 -5,- JB” DN V- ——、尸/ \ Jr\0 A pxN 有三个，分别为图m4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm, 则此正方形的边长为_____________ cm.5. 如图，口ABCD中, E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O, FE的延长线交CB的延长线于G点，那么S^AOF : S^ COG -( )②当3 ::x ：：:6时，设△ PMN与BC相较于点E、F, BC边上的高为4,则X ^10.• F 点的坐标为(10, 0) . • OF=10.在Rt A ODF 中，FD -、.OD2OF2 =、52102=5〔5 ,MP =^.5 , PD = .5.二点M 的坐标为- 2.5, .5 . •••点N 的坐标为-2^5, .5 .。

北京市朝阳区2019-2020学年九年级综合练习数学试卷及答案

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北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2020.5学校 班级 姓名 考号 考 生 须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113 800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113 800用科学记数法表示应为（A ）51.13810⨯ （B ）411.3810⨯ （C ）41.13810⨯ （D ）60.113810⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆锥 （B ）球 （C ）长方体（D ）圆柱3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（A ）a（B ）b（C ）c（D ）d4.一个不透明的袋中装有8个黄球，m 个红球， n 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m 与n 的关系一定正确的是 （A ）8m n == （B ）8n m -= （C ）8m n += （D ）8m n -= 5. 如果31a =-，那么代数式1)1112-÷-+a aa （的值为 （A ）3 （B ）3（C ）33（D ）32-6．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD =4， tan C ＝12，则AB 的长为 （A ）2.5 （B ）4 （C ）5 （D ）107．如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直 线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误．．的是 （A ）∠ABC =70° （B ）∠BAD =80°（C ）CE =CD （D ）CE =AE8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量（千吨） 1≤x ＜22≤x ＜3 3≤x ＜44≤x ＜5 5≤x ≤6 合计 频数 1 2 b 3 m 频率0.050.10a0.151表中3≤x ＜4组的频率a 满足0.20≤a ≤0.30． 下面有四个推断： ①表中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x ＜5组； ④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2288x x ++= ．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD =1，AB =4，则DEBC= ．12．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB∠COD (填“＞”、“=”或“＜”)．13．如图，∠1～∠6是六边形ABCDEF的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．14．用一个a的值说明命题“若a为实数，则a＜2a”是错误的，这个值可以是a=．15．某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往所A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同的路线匀速去追甲．乙刚出发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．有下列三个说法：①甲出发10分钟后与乙相遇；②甲的速度是400米/分；③乙返回办公室用时4分钟．其中所有正确说法的序号是．16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：乘坐缆车方式乘坐缆车费用（单位：元/人）往返180单程100已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有人．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：1132cos60(2020)3π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭．第11题图第12题图第13题图18．解不等式组： 2(1)21.2x x x x -<+⎧⎪⎨+<⎪⎩，19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E .求证：∠BAD =∠CDE .20．关于x 的一元二次方程041)1(22=+++m x m x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）写出一个符合条件的m 的值，并求出此时方程的根.21．如图，四边形ABCD 是平行四边形,AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE =DF . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若∠CEG =30︒，AE =2,求EG 的长.22．先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x≤90）：b．先进制造业城市发展指数得分在70≤x＜80这一组的是：71.1 75.7 79.9c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9.根据以上信息，回答下列问题：（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第______；（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l的上方．请在图中用“○”圈出代表北京的点；（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为_______亿件.（结果保留整数）23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．24．有这样一个问题：探究函数62yx=-的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数62yx=-的自变量x的取值范围是2x≠；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．x…-4-2-101 1.2 1.25 2.75 2.834568…y…1 1.52367.5887.563m 1.51…m的值为；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数62yx=-的图象是轴对称图形，它的对称轴是；②过点P（-1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数62yx=-的图象交于点M，N (点M在点N的左侧)，则PN PM-的值为.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点A （1，1）与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M （-2，-a -2），N （0， a ）．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(045)α︒︒＜＜,得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 交DE 的延长线于F ,连接BE ． （1）依题意补全图1； （2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1 备用图28．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0) ，B(t+2，0) ，C(n，1) ，若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．(1)如图，t=0，①若n=0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是_____；②若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；(2)若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2020．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADACBCCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：原式 1321+32=+⨯- 3+3=．18．解：原不等式组为()21212x x x x -+⎧⎪⎨+⎪⎩＜，①＜． ②解不等式①得，4x ＜． 解不等式②得，1x ＞． ∴原不等式组的解集为1x ＜＜4．19．证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C . ∵ AD ⊥BC ， ∴∠ADB =90︒. ∴∠BAD +∠B =90︒. ∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC =90︒.题号 9 101112 答案 x ≠2 ()222x +14＜ 题号 13 14 15 16 答案360答案不唯一， 如 a =0①②③20∴∠CDE +∠C =90︒. ∴∠BAD =∠CDE .20．解：（1）由题意得, 221(1)404m m ∆=+-⨯＞．解得21->m . （2）答案不唯一，如：m =0.此时，方程为20x x +=． 解得1201x x ==-，．21．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B =∠ADC ．∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD=90°. ∵BE = DF ，∴△ABE ≌△ADF .∴AB =AD .∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：由（1）知AD //BC .∴∠EAG =90°，∠G =∠CEG =30°. ∴EG =2AE =4．22．解：（1）3；（2）（3）31．23．（1）a =1；（2）①由题意可知图形G 是以O 为圆心，a 为半径的圆， AB ，AC ，BC 与⊙O 相切．∴∠ABM =∠NBM ．∵AB =3，AC =4，BC =5， ∴∠A =90°． ∵MN ⊥BC ，∴∠A =∠BNM =90°．∴∠BMA =∠BMN ．②如图，设⊙O 与AC 的切点为D ，连接OD ，作OE ⊥MN 于点E ．∴OD ⊥AC ．∴OD = OE ．∴OE 为⊙O 的半径．∴MN 为⊙O 的切线．∴直线MN 与图形G 的公共点个数为1．24．解：（2）m =2；（3）（4）①直线2x =．②6．25．解：（1）B (-1，1)；（2）把1y =代入y x m =-+，得1x m =-．把1y =代入m y x =，得x m =． ∴P (1m -，1)， Q (m ，1)．（3）10m -≤＜或12m ＜≤．26．解：（1）∵抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+．∴A （0， a +1）．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∴抛物线的对称轴是直线32x =．（3）对于任意的实数a ，都有+1a a ＞．可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点C （-2，C y ）．∴111C y a =+．①如图1，当a ＞0时，2C y a --＞．∴点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．②当a ＜0时，（ⅰ）如图2抛物线经过点M 时，=2C y a --． ∴1=4a -． 结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个有 公共点M ．（ⅰ）当14a -＜＜0时，可知抛物线与线段MN 没有公共点． （ⅰ）如图3，当14a ＜-时，2C y a --＜． ∴点C 在点M 的下方结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个有公共点．综上所述，a 的取值范围是14a -≤．27．解：（1）①补全图形，如图所示．图1图2 图3②∠FBE =45︒；（2）2DE AF=．证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，设DF与AB交于点G，根据题意可知，CD=CE，∠ECD=2α,∠ABC=∠BCD =∠CDA=∠DAB=90︒．∴∠EDC=90︒-α, CB= CE,∠BCE =90︒-2α．∴∠CBE =45︒+α,∠ADF=α．∴∠ABE =45︒-α．∵BF⊥DE,∴∠BFD=90︒．∵∠AGD =∠FGB，∴∠FBG =α．∴∠FBE =∠FEB =45︒．∴FB = FE ．∵AH⊥AF，∠BAD=90︒，∴∠HAB =∠FAD．∴△HAB≌△FAD．∴HB= FD, AH=AF．∴HF= DE,∠H =45︒．∴2HF AF=．∴2DE AF=．28．解：（1）(0,2)；（2）如图，设以O为圆心，AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D，作DE垂直x轴于点E,∴OD=2，DE=1．在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE=3．∴n的取值范围是n＜3-．（3）-4＜t≤-2或4323＜t≤2或t =0或t=433．。

2019-2020年度北师大版九年级数学上册《一元二次方程与三角形的综合》专题练习及答案-精品试题

2019-2020年度北师大版九年级数学上册《一元二次方程与三角形的综合》专题练习及答案-精品试题

专训1 一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为( )A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a ＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，第二步应用的数学思想是______________，确定a值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形的综合3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．一元二次方程与等腰三角形的综合5．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．一元二次方程与动态几何的综合6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7 cm2？并说明理由．【京师导学号：93602018】(第6题)答案1．C2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义3．134．解：△ABC 是直角三角形．理由如下：原方程可化为(b ＋c)x 2－2max ＋cm －bm ＝0，Δ＝4ma 2－4m(c －b)(c ＋b)＝4m(a 2＋b 2－c 2)．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．5．(1)证明：∵a＝1，b ＝－(2k ＋1)，c ＝k 2＋k ，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k)＝1＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．(2)解：∵△ABC 的两边AB ，AC 的长是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的两个实数根， ∴由(1)知，AB≠AC，∵△ABC 的第三边BC 的长为5，且△ABC 是等腰三角形， ∴AB＝5或AC ＝5，即x ＝5是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的一个解．将x ＝5代入方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0，得25－5(2k ＋1)＋k 2＋k ＝0，解得k ＝4或k ＝5.当k ＝4时，原方程为x 2－9x ＋20＝0，解得x 1＝5，x 2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k ＝5时，原方程为x 2－11x ＋30＝0，解得x 1＝5，x 2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．综上，k 的值为4或5.6．解：设A ，P 运动的时间为x s ，则由题意知AP ＝x cm ，BP ＝(5－x) cm ，BQ ＝2x cm ，CQ ＝(7－2x) cm.(1)S △PBQ ＝12·PB·BQ＝12×(5－x)×2x＝4. 解得x 1＝1，x 2＝4.当x ＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意；当x ＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题意，舍去．故1 s 后，△PBQ 的面积为4 cm 2.(2)由题意知PQ 2＝PB 2＋BQ 2＝(5－x)2＋(2x)2，若PQ ＝5 cm ，则(5－x)2＋(2x)2＝25.解得x1＝0(舍去)，x2＝2.故2 s后，PQ的长度为5 cm.(3)不能．理由如下：仿照(1)，得12(5－x)·2x＝7，整理，得x2－5x＋7＝0，∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数解．∴△PBQ的面积不能为7 cm2.。

北京市部分区2020届九年级数学期末试卷精选汇编：解三角形专题(含答案)

北京市部分区2020届九年级数学期末试卷精选汇编：解三角形专题(含答案)

三角形专题西城区19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是AD 上一点，且BE =BD ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BD =1，CD =2，求AE AD的值．19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ∵ BE =BD ，∴∠BED =∠BDE ． ∴∠AEB =∠ADC ． ∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵ △ABE ∽△ACD ，∴AE BEAD CD=． ∵ BE =BD =1，CD = 2，∴12AE AD =． ········································································································ 5分海淀区18． 如图，在ABC △与ADE △中，AB ACAD AE=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE △∽△．18．证明：∵EAC DAB ∠=∠,∴EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠.∴BAC DAE ∠=∠. ∵AB AC AD AE=, ∴ABC △∽ADE △.BCEDA23. 如图，90ABC ∠=︒，2,8AB BC ==，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD上一点，且满足90AEF ∠=︒. （1）若3BE =，求CF 的长；（2）当BE 的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值.23. 解：（1）如图，∵90ABC AEF ∠=∠=︒, ∴2+2190BAE ∠∠=∠+∠=︒,∴1BAE ∠=∠. ∵CD BC ⊥, ∴90ECF ∠=︒. ∴ABE ECF ∠=∠,可知ABE ECF △∽△. ∴AB BEEC CF=. ∵2AB =，8BC =，3BE =, ∴5EC =. ∴235CF=. ∴152CF =.（2）设BE 为x ，则8EC x =-.∵（1）可得AB BEEC CF=, ∴28x x CF=-. ∴()28CF x x =-.∴22114(4)822CF x x x =-+=--+.∴当4BE =时，CF 的最大值为8.朝阳区ED FCBAFB A18．如图，在△ABC中，∠B=30°，tan C=43，AD⊥BC于点D. 若AB=8，求BC的长．19. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数.19. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数.昌平区18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A tan ＝31，BC ＝2，求AB 的长．18．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴tan A ＝BC AC ＝13. …………………………………2分 ∵BC ＝2， ∴2AC ＝13，AC ＝6. …………………… 4分 ∵2AB ＝22AC BC2AB ＝40∴AB ＝ ………………… 5分22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图所示，分别为Rt △ABC 和Rt △DEF ，其中∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DE ＝2cm ． 当边AC 与DE 重合，且边AB 和DF 在同一条直线上时：22．（1）补全图形如图： 情况Ⅰ：45°FABC30°……… 1分情况Ⅱ：45°FABC30°… 2分（2）情况Ⅰ：45°FABC30°解：∵在Rt △ACF 中，∠F ＝∠ACF ＝45°∴AF ＝AC ＝2cm ．∵在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，∴BC ＝4，AB＝ …………………3分 ∴BF ＝(2)cm ． ……4分情况Ⅱ：45°FABC30°解：∵在Rt △ACF 中，∠F ＝∠ACF ＝45°∴AF ＝AC ＝2cm ．∵在Rt △ACB 中，∠B ＝30°， ∴BC ＝4，AB＝∴BF ＝(2)cm ． ………………………………… 5分房山区19. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=32，BC= 6，解这个直角三角形.19. ∵∠C=90°，AC=32，BC= 6∴AB=34=6+3222）（ …………………2分∴33=632=BC AC =tanB …………………3分 ∴∠B=30° …………………4分 ∴∠A=60° …………………5分 ∴∠A=60°；∠B=30°；AB=3421.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架23米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？20. ⸪∠AEB=90°，∠BAE=45°，AB=23 ⸪AE=BE=3=22•23=45sin •23 …………2分⸪∠BCE=60° ⸪3=33=tan60BE =CE …………4分⸪3-3=CE -AE =AC …………5分 即胡同左侧的通道拓宽了）（3-3米.门头沟区平谷区20.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边AB 、BC 于点D 、E ，连结AE ． （1）如果∠B =25°，求∠CAE 的度数； （2）如果CE =2，2sin 3CAE ∠=，求tan B 的值．A20．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴EA = EB ， ··············································································· 1 ∴∠EAB =∠B =25°． ∴∠CAE =40°． ··········································································· 2 （2）∵∠C =90°，∴2sin 3CE CAE AE ∠==． ∵CE =2， ∴AE =3． (3)∴AC (4)∵EA = EB =3， ∴BC=5．∴222AC CE AE +=，∴tan AC B BC ==． (5)A23．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D 处，无人机测得操控者A 的俯角为37°，测得点C 处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC 距离为57米，求教学楼BC 的高度．（注：点A ,B ,C ,D 都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ． ···························· 1 由题意得，AB =57，DE =30，∠A =37°，∠DCF =45°． 在Rt △ADE 中，∠AED =90°， ∴tan37°=DEAE≈0.75． ∴AE =40． ································· 2 ∵AB =57， ∴BE =17． ································· 3 ∵四边形BCFE 是矩形， ∴CF=BE =17．在Rt △DCF 中，∠DFC =90°， ∴∠CDF =∠DCF =45°． ∴DF=CF =17． ··························· 4 ∴BC=EF =30－17=13．················· 5 答：教学楼BC 高约13米．石景山21. 在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边）， 就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以 求出其余的未知元素呢? 思考并解答下列问题：（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的 序号是．737°83°60°37°1237°60°1037°60°① ② ③ ④DCBA37°（2）如图⑤，在ABC △中，已知37A ∠=°，12AB =，10AC =，能否求出BC 的 长度？如果能，请求出BC 的长度；如果不能，请说明理由. （参考数据：sin370.60≈°，cos370.80≈°，tan370.75≈°）21．解：（1）③，④；2分 （2）过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图． ………………………… 3分 在ADC Rt △中，37A ∠=°， ∴sin 100.606CD AC A =⨯≈⨯=， cos 100.808AD AC A =⨯≈⨯=． ∴1284BD AB AD =-=-=． ∴在CDB Rt △中，BC ==．即BC 的长度为 ………………………… 5分顺义区21．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45°方向上的B 处． （1）问B 处距离灯塔P 有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB 上，距离灯塔150海里的点O 处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B 处是否有触礁的危险？如果海伦从B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由.1.732≈≈）21．解：（1）过点P 作PD ⊥AB 于点D ． …………………………………… 1分依题意可知，P A=100，∠APD=60°，∠BPD=45°． ∴∠A =30°． ∴PD=50． ………………………………… 2分 在△PBD 中，50BD PD ==，∴70.771PB =≈≈．答：B 处距离灯塔P 约71海里． …………… 3分B北45°30°B APD 北45°30°BAPD 北45°30°BP（2）依题意知：OP=150，OB=150-71=79＞60．∴海轮到达B处没有触礁的危险．…………4分（3）海伦从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．………………………………………………5分密云区21．已知：在△ABC中，AB=AC，AD BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连结BE，若，AD=BE的长．21．(1)证明：∵AE // BC，CE // AD∴四边形ADCE是平行四边形…………………………1分∵AD BC，∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形…………2分（2）解：在Rt△ABD中，∠ADB =90°∵∴12BDAB=∴设BD=x，AB=2x∴∵AD=∴x=2∴BD=2 …………4分∵AB=AC，AD BC∴BC=2BD=4∵矩形ADCE中，EC=AD=∴BE=…………5分燕山区19．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．(1) 求证：△CDE∽△CBA；(2) 若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．19．(1)证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝∠B＝90°．……1分⊥1cos2ABD∠=⊥1cos2ABD∠=⊥EDAB C又∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CBA ． …………2分(2)解：Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，∴BC ＝4．∵E 是BC 中点，∴CE ＝2． …………………3分∵△CDE ∽△CBA ， ∴DE CE AB AC=， …………4分 即CE AB DE AC=g ． ∵AB ＝3，AC ＝5，CE ＝2， ∴235DE ⨯=＝65． ………5分 22．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的，其转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．当AC 长度为9m ，张角∠CAE 为112°时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ．（结果精确到0.1m ） 参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．22．解：如图，作AG ⊥CF 于点G ， ………………………1分∵∠AEF ＝∠EFG ＝∠FGA ＝90°，∴四边形AEFG 为矩形， ………………………2分 ∴FG ＝AE ＝3.5m ，∠EAG ＝90°，∴∠GAC ＝∠EAC －∠EAG ＝112°－90°＝22°， ………………………3分 在Rt △ACG 中，sin ∠CAG ＝CG AC， ∴CG ＝AC ·sin ∠CAG ＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m ， ………………………4分 ∴CF ＝CG ＋GF ＝3.33＋3.5≈6.8m ． ………………………5分 通州区18.如图，在中，于点.若，求的值.图1 图2F D A C E B18. ·····5分22. 将矩形纸片沿翻折，使点落在线段上，对应的点为，若，求的长.22. ①·····1分②·····2分③设，则···3分④·····4分⑤······5分。

2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考锐角三角函数试卷及答案含答案

2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考锐角三角函数试卷及答案含答案

2020北京海淀初三（上）期末数学备考锐角三角函数（教师版）一．选择题（共5小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．D．【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sin A的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A进行计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，∴sin A＝，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接根据三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝．故选：A．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即sin A＝∠A的对边：斜边＝a：c．5．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tan B′的问题，转化为在Rt△BCD中求tan B．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD中，tan B＝＝，∴tan B′＝tan B＝．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．二．填空题（共3小题）6．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的大小为60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：∠A为锐角，且tan A＝，则∠A＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7．已知∠A为锐角，若sin A＝，则∠A＝45 度．【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠A为锐角，sin45°＝，∴∠A＝45°．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．8．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tan B＝2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tan B的值为．【分析】（1）由正方形的性质得ED＝EC，∠CED＝90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE＝2BE，则CE＝BE，所以＝；（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得＝＝，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用正方形性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，最后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED＝EC，∠CED＝90°，在Rt△BDE中，∵tan B＝＝2，∴DE＝2BE，∴＝＝；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即＝，∴△DBB′∽△DCC′，∴＝＝，设DC＝3x，BD＝5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE＝3x，在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC′得到＝．三．解答题（共42小题）9．计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．11．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×﹣2×＝1﹣+2＝1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、，再在△ABD中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．13．计算：（）2﹣2sin30°﹣（π﹣3）0+|﹣|．【分析】原式利用平方根定义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：原式＝2﹣2×﹣1+＝2﹣1﹣1+＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝＝＝，∴BD＝米，在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝，∴CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝米，即这栋楼的高度BC是米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．15．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．17．如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α＝45°，β＝50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【分析】设EF＝x米，在Rt△FCE中，∠FCE＝∠FEC＝45°，可得出FC＝EF，FD＝x﹣10，在Rt△FBE中利用锐角三角函数的定义即可求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：如图，依题意，可得CD＝AB＝10，FG＝AC＝1.5，∠EFC＝90°，在Rt△EFD中，∵β＝50°，，∴EF＝1.2FD，在Rt△EFC中，∵α＝45°，∴CF＝EF＝1.2FD，∵CD＝CF﹣FD＝10，∴FD＝50，∴EF＝1.2FD＝60，∴EG＝EF+FG＝60+1.5＝61.5答：塔的高度为61.5米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝；tan∠AOD＝ 5 ；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD＝．【分析】（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF＝，AB＝，由△AOE∽△BOF，可以求出AO＝，在Rt△AOF中，可以求出OF＝，故可求得tan∠AOD．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD＝DE＝2，∴AE＝2．∵CD⊥AE，∴DF＝AF＝．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO＝2：3．∴CO＝．∴DO＝．∴OF＝．tan∠AOD＝．（3）如图3所示：根据图形可知：BF＝2，AE＝5．由勾股定理可知：AF＝＝，AB＝＝．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB＝AE：FB＝5：2．∴AO＝．在Rt△AOF中，OF＝＝．∴tan∠AOD＝．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．20．计算：．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项分母有理化，第三项了零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣+1+2＝4+1．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．计算：．【分析】首先对特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝（4分）＝．（5分）【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．22．已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形ABD可求出BD，AD的长，解直角三角形ACD可求出CD的长．进而求BC的长．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．在△ADB中，∠ADB＝90°，∵sin B＝，AB＝15，∴AD＝AB•sin B＝．由勾股定理，可得＝＝9．在△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝13，AD＝12，由勾股定理，可得．∵AD＜AC＜AB，∴当B、C两点在AD异侧时，可得BC＝BD+CD＝9+5＝14．当B、C两点在AD同侧时，可得BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4．∴BC边的长为14或4．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．23．当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是C；（2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．【分析】（1）利用关系式sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．（2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB＝AE+BE，分别让带有α两式相等即可．（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G 点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S△ADC的面积公式即可．【解答】解：（1）C．2sin（α+30°）＝2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）＝．故答案选C．（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，∴∠ACD＝α+30°．∴在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝AC•sin∠ACD＝sin（α+30°）．∵在△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝2sin（α+30°）过点C作CE⊥AB于E．∴在△CEA中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα．在△BEC中，∠BEC＝90°，．∴．∴．（3）由上面证明的等式易得．如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝，∴∠ADG＝75°，AD＝8，．∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝．∴在△ADG中，∠AGD＝90°，．∴S△ADC＝＝＝．【点评】本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用．24．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】设CB部分的高度为xm，则BC＝xm，CD＝xm，CE＝2xm，结合CE＝CF＝CD+DF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，解得：x＝2+．∴BC＝2+≈3.4（m）．答：CB部分的高度约为3.4m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及解一元一次方程，通过解直角三角形及CE＝CF＝CD+DF，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．25．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设CH＝tkm，则BH＝tkm，AH＝tkm，结合AB＝150km，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其与50进行比较即可得出结论．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形用CH的长表示出AH，BH的长是解题的关键．26．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE＝90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE＝xnmile，则AE＝x（nmile），BE＝x（nmile），由AB＝6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝3+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．27．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，根据坡度的定义分别求出DC、CP，设MF＝ym，根据正切的定义用y分别表示出DF、PE，根据题意列方程，解方程得到答案．【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．29．如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，≈1.7）【分析】（1）作AM⊥CD于M，根据矩形的性质得到CM＝AB＝16，AM＝BC，根据正切的定义求出AM；（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM＝，则AM＝＝＝16（m），答：AB与CD之间的距离16m；（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，则DM＝AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM+CM＝35.36+16≈51（m），答：建筑物CD的高度约为51m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．30．如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）【分析】设PQ＝MN＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN，根据题意列式计算即可．【解答】解：设PQ＝MN＝xm，在Rt△APQ中，tan A＝，则AQ＝≈＝4x，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝，则BN＝≈＝x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．31．如图，为解决市民停车难的问题，长春市交警部门在一段街路旁开辟了一个停车场（图中的矩形MNPQ），并划出了若干个停车位，每个车位都是长为5m，宽为2.5m的矩形，已知第一个车位的AD边与停车场边缘MQ成35°角，据此，请你求出这个停车场的宽度MN的值．（结果精确到到0.1m）【参考数据：sin35°＝0.574，cos35°＝0.819，tan35°＝0.700】【分析】由矩形的性质得出∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，由三角函数求出AM＝1.435，由角的互余关系证出∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，由三角函数求出AN＝4.095，即可得出答案．【解答】解：∵四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形，∴∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝2.5，∠ADM＝35°，∴sin∠ADM＝，∴AM＝AD×sin∠ADM＝AD×sin35°＝2.5×0.574＝1.435，∵∠ADM+∠DAM＝∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，AB＝5，∠BAN＝35°，∴cos∠BAN＝，∴AN＝AB×cos∠BAN＝AB×cos35°＝5×0.819＝4.095，∴MN＝AM+AN＝1.435+4.095＝5.53≈5.5（m）；答：这个停车场的宽度MN约为5.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形，根据锐角三角函数求出AM和AN的长是解题的关键．32．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．33．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．34．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC ＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC＝DE，DF＝EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．35．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．【分析】过A作AD⊥BC于点D，求出∠CAD、∠DAB的度数，求出∠BAC和∠ABC，根据等边对等角得出AC＝BC ＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10＞10，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．36．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设AB＝x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，∴山高AB为546.4米【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．37．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）【分析】（1）作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，则AH＝CH＝（x+15）千米，构建方程即可解决问题．（2）求出BA的长，再求出校车的速度即可判断．【解答】解：（1）如图，作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，∵点C是AB的中点，CH∥BD，∴AH＝HD＝（x+15）千米，在Rt△ACH中，tan37°＝，∴＝，∴x＝45，∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），。

2020年北京市西城初三(上)期末数学备考解直角三角形试卷及答案含答案

2020年北京市西城初三(上)期末数学备考解直角三角形试卷及答案含答案

2020北京西城初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．5【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB的长是解题的关键．2．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cos50°C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x ﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为（）A．2 B．8 C．D．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tan A＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．5．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解：AC＝10．①当∠A＝30°时，BC＝AC tan30°＝10×≈5.7．②当∠A＝45°时，BC＝AC tan45°＝10．∴5.7＜h＜10，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义求得相应角度时树的高度是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sin A＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD＝sin A是解题关键．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，则sin A＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tan A的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．3【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．12．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）A．（）米B．（a）米C．（1.5+）米D．（1.5+a）米【分析】过小莉的视点作树的垂线，通过构建直角三角形来求这棵树的高度．【解答】解：如图．过A作CD的垂线，设垂足为E点，则AE＝BC＝a，AB＝CE＝1.5米．Rt△ADE中，AE＝a，∠DAE＝30°，∴DE＝AE•tan30°＝a（米），∴CD＝CE+DE＝（a+1.5）米．故选：C．【点评】此题考查了仰角的定义及通过解直角三角形解决实际问题的能力．构造直角三角形是关键．二．填空题（共3小题）13．如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝10 ．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共18小题）16．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．19．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB＝AC﹣BC，∴，解得，x＝．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．22．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．23．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝3×+（）2﹣2×＝+﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【分析】根据等角对等边得出PB＝AB＝400米，再利用三角函数求出PC的长即可．【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，∴∠PAC＝∠APB．∴PB＝AB＝400米．在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，∴PC＝PB•sin∠PBC＝400×＝200＝346.4≈346（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可．【解答】解：原式＝2×+3×﹣2×﹣＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键．26．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．【分析】设河宽AB为x米．分别解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x．∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝x，∴CD＝BD﹣BC＝x﹣x，∴x﹣x＝30解得x＝15+15≈41．答：河宽AB约为41米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．27．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．28．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如图）在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．∴．在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．∴．答：B处距离灯塔P有海里．（2）海轮到达B处没有触礁的危险．理由如下：∵，而，∴．∴OB＞50．∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．29．计算：．【分析】将cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝代入原式，即可得出答案．【解答】解：∵cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝，∴原式＝+×﹣2×＝+3﹣1＝2+．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角：30°、45°、60°、90°的三角函数值，难度一般．30．计算：．【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行逐一计算即可．【解答】解：，＝，＝，＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及实数的运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．31．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，D为CB延长线上一点，且BD＝2AB．求AD 的长．【分析】先根据∠ABC的正弦值求得BC的长，再根据BD＝2AB，以及勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，∴，BC＝1．∵D为CB延长线上一点，BD＝2AB，∴BD＝4，CD＝5．∴．【点评】本题考查了解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．32．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度．（取1.414，取1.732）【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，又因为BC＝BD+DC，所以分别求出BD，CD就可以．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝50（m）．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴（m）．∴BC＝BD+CD＝＝（m）．答：这栋楼约高136.6m．【点评】此题主要考查了仰角俯角问题，以及利用三角函数关系解直角三角形，题目难度不大，是中考中常考题型．33．计算：﹣tan45°+sin245°【分析】分别把cos60°＝sin30°＝，tan45°＝1，sin45°＝代入原式计算即可．【解答】解：﹣tan45°+sin245°＝（4分）＝．（5分）【点评】此题比较简单，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．。

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2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 三角形综合（含答案）
1.
I 在ABC △内，AI 平分BAC ∠，1
902
BIC A ∠=︒+∠，求证：I 是ABC △内心．
解析如图，作EIF AI ⊥，E 在AB 上，F 在AC 上，则AE AF =，LE IF =， A
E
F B
C
I
1902BEI IFC A BIC ∠=∠=︒+∠=∠．又1
902EBI EIB A EIB FIC ∠+∠=︒-∠=∠+∠，故EBI FIC ∠=∠，
于是EBI FIC △∽△，BI BE BE
IC IF EI
==
．而BEI BIC ∠=∠，故BEI BIC △∽△，ABI IBC ∠=∠，所以I 为ABC △内心．
2. 已知：ABC △中，2BC AB AC =+，D 是内心，DE 与BC 垂直于E ，求2
DE BE CE
⋅的值．
解析设ABC △三边长分别为a 、b 、c ，则2a b c =+．
易知若设DE r =，()1
2p a b c =++，则BE p b =-，CE p c =-．
r =
于是
21
33
DE P a b c a a BE CE p a b c a -+-====⋅++． 3. 设ABC △中，AB 最长，在其上分别找两点M 、N ，使AN AC =，BM BC =，又设I 为ABC △内心，求MIN ∠（用A ∠、B ∠、C ∠及其组合表示）． 解析如图，连结CM 、CN 、CI 、AI ．
C
A
B
M N
I
易知ACI ANI △△≌，CI NI =，同理CI MI =，I 为CMN △的外心，因此 MCN ACN BCM C ∠=∠+∠-∠
11
909022A B C =︒-∠+︒-∠-∠
1
902
C =︒-∠，
2180MIN MCN C ∠=∠=︒-∠．
4.
ABC △的边BC 上有一点D ，ABD △与ACD △的内心与B 、C 四点共圆，求证： AD BD AB
AD CD AC
+=
+． A
M
N
E F
B
D
C
P
I 1
I 2
解析如图，设ABD △与ACD △的内心分别为1I 与2I ．
连结1AI 、2AI 、1BI 、2CI 、12I I ，两端延长12I I ，分别交AB 、AC 于E 、F ，则由条件知
()111
2
AEF ABI EI B ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠，同理AFE ∠也是此值，于是AE AF =． 又设12I I 与AD 交于P ，则由角平分线性质知12
12EI FI AE AF I P AP AP I P ===
，故由梅氏定理（直线AB 截1PDI △及直线AC 截2PDI △），得1212I D I D
I M I N
=
（此处M 、N 分别为1DI 、2DI 延长后与AB 、AC 之交点），又由角平分线性质，知
11I D AD BD I M AB +=
，22I D AD CD
I N AC
+=于是结论成立． 5. 已知ABC △中，AB AC =，O 、I 分别为其外心与内心，D 在AC 上，DI AB ∥，求证：OD CI ⊥．
解析如图，不妨设O 在ABC △内，且在I “之上”(O 在形外、I 之下类似处理），连结AOI 、OC ，则IOC BAC IDC ∠=∠=∠，故O 、I 、C 、D 共圆，于是ODC ICD OIK ICD ∠+∠=∠+∠．这里K 为DO 、CI 直线之交点．
A
D O K
I
B
C
由于AOI BC ⊥，故9090OIK ICD BCI ICD ∠+∠=︒-∠+∠=︒，于是90DKC ∠=︒． 6. 设G 为ABC △
的重心，已知GA =
GB =且2GC =，求ABC △的面积．
解析1由题意可画出图(a)，令D 为AB 中点，GE AB ⊥，
垂足为点E ，因G 为重心，可知1
12
GD GC ==．
由勾股定理可知222222222GE GB EB GE GA EA GE GD DE ⎧=-⎪
=-⎨⎪=-⎩①②③
，
C A
B
D E G
223
22
(a)
令AD BD c ==．由①与②可得
(
()(()2
2
2
2
c DE c DE -+=--，
化简后可得1c DE ⨯=，即1DE c =，代入③得221
1GE c
=-，再代入①式可得 2
2118c c c ⎛
⎫1-=-- ⎪⎝
⎭， 解方程可得3c =，3
GE =
，故 ABC △的面积
=6GBD ⨯△
的面积1632=⨯⨯= 解析2由题意可画出图(b)，令D 为AB 中点，在GD 的延长线上取E 点使得GD DE =，因此GBD △ 之面积为AEG △
之面积的一半．此时因AB 与GE 互相平分，可知四边形AEBG 为平行四边形，也因
此可知AE GB =
=，即AEG △的三边长为2
、故可知AEG
△为直角三角形，故GBD
△
的面积为11
222
⨯⨯=ABC
△的面积6GBD =⨯△的面积=
(b)
22
23
2G
D B
A
C 22
E 11
7. 已知120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒，P 为异于F 的任一点，求证： PA PB PC FA FB FC ++>++．
解析如图，在ABC △外作正三角形ABD ，由于ABC ∠，120BAC ∠<︒，故四边形DBCA 的内角均小于180︒，是凸四边形．
A
D
F F'
P
P'
B
C
对于ABC △中任一异于F 的点P ，将ABP △、ABF △均以点A 为中心顺时针旋转60︒，至ADP '△ 和ADF '△，则AFF △与APP '△均为正三角形．
由全等知AP BP CP PP DP CP CD DF F F FC AF BF CF ''''++=++>=++=++，这是因为DP PC '是一条折线，而120DF A AFC '∠=∠=︒，60AFF AF F ''∠=∠=︒，D 、F '、F 、C 四点共线且仅对于F 满足四点共线．
评注当ABC △内角均小于120︒时，满足条件的点F 称为ABC △的费马点（当ABC △有内角比如
120A ∠︒≥时，到A 、B 、C 距离之和最小的点正是点A ）
．。

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