三次函数

2.对称中心
三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)是关于点对称的，且对称中心为点(- b , f (- b )),此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a
证明：只需证明f (- b + x)+ f (- b - x) = 常数，即可。
3a
3a
3.三次函数f (x)图象的切线条数
0,∴
x0
=1,
x0
=
-
1 2
,
∴过点(1,1)与曲线y = x3相切的直线方程为3x - y - 2 = 0或3x - 4 y +1= 0，故有2个。
方法2：由大招结论，y = x3的中心对称点为A(0,0),过点A的切线方程为y = 0.
点P(1,1)在曲线y = x3上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三.P与曲线y = x3有2条切线。
32
12 2x -1
2016 2016
2016
解：依题意得：f ′(x) = 3x2 - 6x+3,∴ f ′′(x) = 6x - 6.
由f ′′(x) = 0,即6x - 6 = 0.∴ x =1. 又 f (1) = 2,∴函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为(1,2).
的距离为
1 1+ t
2
，则z
=
a2
+ (b
-1)2的最小值为
1 1+ t
2
.故选A
(2)依题意，设h(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 ,得h′(x) = x2 - x+3,∴ h′′(x) = 2x -1.
32
12
由h′′(x) = 0,即2x -1= 0,∴ x = 1 ,又 h(1 ) =1.
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
∴函数h(x)的对称中心为(1 ,1), h(x)+ h(1- x) = 2. 2
y′ = 3ax2 +2bx+c
Δ = (2b)2 - 4(3a)c = 4(b2 - 3ac)
∴当Δ = 4(b2 - 3ac) ≤ 0时，y′ = 3ax2 +2bx+c与x轴无交点或有一个交点，y′ ≥ 0或y′ ≤ 0恒成立，
原函数单调.
当Δ = 4(b2 - 3ac) ≥ 0时，y′ = 3ax2 +2bx+c与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间.
设m(x) = 2 ,它的对称中心为(1 ,0),∴ m(x)+ m(1- x) = 0.
2x -1
2
g(x) = h(x)+ m(x),∴ g(x)+ g(1- x) = h(x)+ h(1- x)+ m(x)+ m(1- x) = 2.
∴ g( 1 )+ g( 2 )+...+ g( 2015) = 2015.
由g′(m) = 0, 解得m = 0或m = a, a＜0，可得m = 0为极小值点, m = a为极大值点，
由题意得g(0) = 0, g(a)＞0,即有b+ at = 0,b = -at表示以O为端点在第二象限的射线，
z = a2 +(b -1)2 表示点(0,1)与(a,b)两点的距离的平方，由点(0,1)到射线at +b = 0
例2：对于三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+ d (a ≠ 0),定义：f ′′(x)是函数
y = f (x)的导数f ′(x)的导数，若方程f ′′(x) = 0有实数解x0 ,则称点(x0 , f (x0 )) 为函数y = f (x)的“拐点”.有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；
解：设切点为(m, n), f (x) = x3 - tx的导数为f ′(x) = 3x2 - t,
可得切线的方程为y - (m3 - tm) = (3m2 - t)(x - m),
代入点P(a,b)，可得b - (m3 - tm) = (3m2 - t)(a - m),
即有2m3 - 3am2 +b+ at = 0, 设g(m) = 2m3 - 3am2 +b+ at, g′(m) = 6m2 - 6am,
三次函数
大招总结
1.单调性
当b2 - 3ac ≤ 0时，三次函数y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)在R上是单调函数；
当b2 - 3ac＞0时，三次函数y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)在R上有3个单调区间.
证明：y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)
任何三次函数都有对称 中心，且‘ 拐点’就是对称中心”.请你将这一机智的
发现作为条件，求：
（1）函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为 ;
（2）若函数g(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 + 2 ，则g( 1 )+ g( 2 )+...+ g( 2015) = .
2016 2016
2016
故答案为：(1)(1,2); (2)2015.
例3：已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f (x) = x3 - tx(t为给定的正常数)
的图象作两条切线，则z = a2 +(b -1)2的最小值为？？
A. 1 1+ t
2
,
B.
1 , C.1+t 2 , D. 1+t 2 1+t 2
过f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f (x)的图象分割成四个区域，有以下结论：
①过区域A，B内的点作f (x)的切线，有且仅有三条；
②过区域C, D内的点以及对称中心作f (x)的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数f (x)图象(除去对称中心)上的点作f (x)的切线，有且仅有两条。
切线条数口诀：内一、上二、外三。
例1：已知过点P(1,1)且与曲线y = x3相切的直线的条数有几个？
方法1：若直线与曲线切于点(x0 ,
y0 )(x0
≠
0), 则k
=
y0 x0
-1 = -1
x03 x0
-1 = -1
x02
+ x0
+1
y′
=
3x
2
,∴
y′
x
=
x0
=
3x02
, ∴ 2 x02
-
x0
-1=