三次函数
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
三次函数的极大值和极小值
三次函数的极大值和极小值三次函数是指函数的最高次项是三次的多项式函数。
在三次函数中，极大值和极小值是指函数在某个区间上的最大值和最小值。
这些极值点对于函数的图像和性质具有重要意义，可以帮助我们更好地了解函数的变化规律和特点。
我们来看极大值点。
在三次函数中，极大值点通常对应着函数曲线的局部最高点。
要找到一个三次函数的极大值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极大值点。
当f''(x1) < 0，f''(x2) < 0，f''(x3) < 0时，这些驻点就是函数的极大值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最高点。
接下来，我们来看极小值点。
在三次函数中，极小值点通常对应着函数曲线的局部最低点。
同样地，要找到一个三次函数的极小值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极小值点。
当f''(x1) > 0，f''(x2) > 0，f''(x3) > 0时，这些驻点就是函数的极小值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最低点。
在实际问题中，极大值和极小值点的应用非常广泛。
例如，在经济学中，三次函数可以用来描述市场供求关系，极大值和极小值点则可以帮助我们确定市场的最大供给量和最低需求量。
在物理学中，三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，极大值和极小值点则可以帮助我们确定物体的最高高度和最低速度。
三次函数公式
三次函数公式
（实用版）
目录
1.引言
2.三次函数的一般形式
3.三次函数的图像特征
4.三次函数的实际应用
5.结论
正文
【引言】
在数学中，三次函数是一个重要的函数类型，其在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将从三次函数的公式、图像特征和实际应用三个方面进行详细的介绍。
【三次函数的一般形式】
三次函数的一般形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数，且 a≠0。
在这个公式中，a、b、c、d 分别代表了三次项、二次项、一次项和常数项的系数。
【三次函数的图像特征】
三次函数的图像通常具有以下特征：
1.当 a>0 时，函数图像呈现上开口的形状，且具有一个拐点；当 a<0 时，函数图像呈现下开口的形状，同样具有一个拐点。
2.当 b=0 时，函数图像具有一个对称轴，即 x 轴；当 b≠0 时，函数图像的对称轴为 x = -b/3a。
3.当 c=0 时，函数图像与 x 轴有一个交点；当 c≠0 时，函数图
像与 x 轴有两个交点（若 a≠0 且 c≠0，则函数图像与 x 轴没有交点）。
【三次函数的实际应用】
三次函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理、化学、生物、经济学等领域。
其中，最著名的三次函数应用是描述物体自由落体运动的
公式：h(t) = 1/2 * g * t^3 + v0 * t^2 + h0，其中 h 表示物体下落
的高度，t 表示时间，g 表示重力加速度，v0 表示物体的初速度，h0 表示物体的初始高度。
【结论】
综上所述，三次函数在数学及实际应用中具有重要地位。
三次函数的韦达定理公式
三次函数的韦达定理公式在高中数学中，我们学习了很多函数的知识，其中三次函数是一种非常重要的函数类型。
三次函数的韦达定理公式是三次函数的一个重要性质，它可以帮助我们更好地理解和应用三次函数。
韦达定理公式是指，对于一个三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，如果它有三个不同的实数根x1、x2、x3，那么有以下三个等式成立：x1+x2+x3=-b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a这三个等式被称为韦达定理公式，它们可以帮助我们求解三次函数的根、系数等问题。
我们来看一下韦达定理公式的第一个等式。
它告诉我们，如果一个三次函数有三个不同的实数根，那么这三个根的和等于-b/a。
这个等式的意义在于，它可以帮助我们求解三次函数的根。
例如，如果我们知道一个三次函数的系数a、b、c、d，但不知道它的根，那么我们可以通过韦达定理公式的第一个等式来求解它的根。
我们来看一下韦达定理公式的第二个等式。
它告诉我们，如果一个三次函数有三个不同的实数根，那么这三个根的两两乘积之和等于c/a。
这个等式的意义在于，它可以帮助我们求解三次函数的系数。
例如，如果我们知道一个三次函数的根x1、x2、x3，但不知道它的系数a、b、c、d，那么我们可以通过韦达定理公式的第二个等式来求解它的系数。
我们来看一下韦达定理公式的第三个等式。
它告诉我们，如果一个三次函数有三个不同的实数根，那么这三个根的乘积等于-d/a。
这个等式的意义在于，它可以帮助我们求解三次函数的系数。
例如，如果我们知道一个三次函数的根x1、x2、x3，但不知道它的系数a、b、c、d，那么我们可以通过韦达定理公式的第三个等式来求解它的系数。
韦达定理公式是三次函数的一个重要性质，它可以帮助我们更好地理解和应用三次函数。
通过韦达定理公式，我们可以求解三次函数的根、系数等问题，从而更好地掌握三次函数的知识。
一个三次函数的解题方法与技巧
一个三次函数的解题方法与技巧引言三次函数是一种常见的数学函数形式，其方程为y = ax^3 + bx^2 + cx + d。
解三次函数可以帮助我们找到函数的根、极值以及曲线的行为。
本文将介绍一些解三次函数的方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决相关问题。
方法一：因式分解当三次函数的形式比较简单，并且存在因式分解的可能时，我们可以尝试使用因式分解的方法来解题。
通过因式分解，我们可以将三次函数拆解成若干个一次因子与一个二次因子相乘的形式，从而更容易找到函数的根。
方法二：求导数与极值对于三次函数，我们可以通过求导数的方法找到函数的极值点。
通过求函数的一阶导数和二阶导数，并令导数等于零，我们可以求得函数的极值点和曲线的转折点。
方法三：图像分析与差值法利用数学软件或手绘曲线图，我们可以通过观察曲线的特征来了解函数的行为。
通过分析曲线的上升段、下降段以及拐点，我们可以推断函数的根和极值点的位置。
此外，还可以运用差值法，通过代入特定值来估算函数的零点。
方法四：牛顿法和二分法如果以上方法无法解决问题，我们可以尝试使用数值计算的方法。
牛顿法和二分法是两种常用的数值计算方法，可以较快地逼近函数的根。
牛顿法通过迭代计算函数的切线与x轴的交点，逐步逼近根的位置。
二分法则通过不断将区间一分为二，判断根位于哪一半区间内，逐步逼近根的位置。
总结解三次函数的方法与技巧多种多样，我们可以根据题目的不同特点和要求选择合适的方法来解决问题。
因式分解、求导数与极值、图像分析与差值法以及数值计算方法都是常用的解题手段，但需要根据具体情况选择合适的方法。
希望本文的介绍对读者在解题过程中有所帮助。
三次函数的极值与拐点
三次函数的极值与拐点
引言
三次函数是一种形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其
中a、b、c和d为常数。
本文将讨论三次函数的极值与拐点。
极值
极值点即函数的局部极大值或极小值的点。
对于三次函数来说，极值点可以通过求导数来找到。
三次函数的一阶导数可以表示为
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。
求导之后，我们可以将导数设置为0，然后
解方程求得极值点对应的x值。
拐点
拐点是函数曲线出现从凸向上或凹向下的转折点。
类似于极值，我们可以通过求函数的二阶导数来找到拐点。
对于三次函数来说，
其二阶导数为f''(x) = 6ax + 2b。
同样地，我们可以将二阶导数设置
为0，然后解方程求得拐点对应的x值。
总结
通过求导数和二阶导数，我们可以找到三次函数的极值点和拐点。
这些点在函数图像上具有重要的意义，帮助我们了解函数的性质和特点。
对于三次函数来说，它们可能存在零个、一个或两个极值点和拐点。
以上就是关于三次函数的极值和拐点的讨论。
希望本文能够对读者理解三次函数的特性有所帮助。
注意：本文中的内容仅供参考，具体计算过程需要根据具体的函数形式进行合理推导和计算。
三次函数的切线
三次函数的切线简介在数学中，三次函数是指具有三次方的最高次项的函数。
三次函数的特点是曲线更加复杂，而且可以通过切线来研究曲线在某一点的斜率和变化趋势。
本文将探讨三次函数的切线的性质和求解方法。
三次函数的定义三次函数的一般形式为：f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，且a≠0。
三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，曲线上的点的坐标为(x,f(x))。
三次函数的切线性质三次函数的切线具有以下性质： 1. 切线与函数曲线相切于一点。
切线和曲线在该点处有相同的横坐标和纵坐标。
2. 切线的斜率等于曲线在该点处的斜率。
设曲线的函数为f(x)，则切线的斜率为f′(x)，其中f′表示f(x)的导数。
3. 切线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
求解三次函数的切线的步骤步骤1：求导首先，我们需要求解三次函数的导数，以得到三次函数在某一点的斜率。
对于一般形式的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，其导数f′(x)可以通过对每一项分别求导得到。
具体求导公式如下：•对于常数项d，其导数为0。
•对于x的一次幂项cx，其导数为c。
•对于x的二次幂项bx2，其导数为2bx。
•对于x的三次幂项ax3，其导数为3ax2。
将上述导数相加即可得到三次函数的导数。
在某一点x0处，三次函数的斜率等于其导数在该点处的值。
将x代入导数f′(x)中，即可求得斜率k。
步骤3：求解截距已知切线通过点(x0,f(x0))，且斜率为k，可以利用点斜式来求解切线的截距b。
点斜式的一般形式为y−y0=k(x−x0)，其中(x0,y0)为已知点，k为斜率。
将已知点(x0,f(x0))代入点斜式，整理得到切线方程y=kx+(f(x0)−kx0)，即可得到切线的方程。
步骤4：验证结果为了验证切线是否正确，可以将切线方程代入原函数，观察切线上的点是否满足原函数。
示例以三次函数f(x)=x3−2x2+3x+1为例，来演示如何求解切线。
三次函数系数的 几何意义
三次函数系数的几何意义
三次函数是一个包含三次项（x^3）的多项式函数。
它的一般形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数且a 不等于零。
对于三次函数的系数，它们具有以下几何意义：
1. a的意义：a是三次项的系数，决定了函数的开口方向。
当a大于零时，函数的开口向上；当a小于零时，函数的开口向下。
这是因为当x的值很大或很小时，x^3的值也会很大或很小，所以a的正负决定了函数的整体趋势。
2. b的意义：b是二次项的系数，决定了函数的曲率。
当b大于零时，函数的曲线向上凸起；当b小于零时，函数的曲线向下凹陷。
这是因为二次项的存在使得函数曲线的斜率发生变化，从而影响了曲线的凹凸性。
3. c的意义：c是一次项的系数，决定了函数的斜率。
当c大于零时，函数的曲线向上倾斜；当c小于零时，函数的曲线向下倾斜。
这是因为一次项的存在使得函数曲线在直线方向上产生了位移。
4. d的意义：d是常数项，决定了函数曲线与y轴的位置关系。
当d
大于零时，函数曲线位于y轴的上方；当d小于零时，函数曲线位于y轴的下方。
这是因为常数项的存在使得函数曲线在y轴方向上产生了位移。
综上所述，三次函数的系数具有特定的几何意义，它们决定了函数的开口方向、曲率、斜率和与y轴的位置关系。
这些几何意义可以帮助我们更好地理解和分析三次函数的性质和行为。
三次函数判别式
三次函数判别式
△=(q/2)^2+(p/3)^3。
一般的三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，先将等号两边除以a，再做换元y=x+(b/(3a))，即将x=y-(b/(3a))代入整理可得
y^3+py+q=0。
其中p，q是按以上计算跟据a，b，c，d算出来两个常数，就得到三次方程的判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3；当△>0时，有一实根；当△=0时，有重的实根；当△<0时，有三个不等的实根。
补充：最高次数项为3的函数，形如y=ax+bx+cx+d（a,b,c,d为常数,且a不等于0）的函数叫做三次函数(cubic function)。
三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
三次函数-
三次函数三次函数是一种椭圆形状的曲线，它是二次函数的一种升级版，因为它比二次函数更加复杂和灵活。
三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。
在这篇文章中，我将探讨三次函数的定义、特点、应用和解法，让读者更好地理解和应用三次函数。
一、三次函数的定义三次函数是指一个以三次幂为最高次方的多项式函数。
一般的三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。
三次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出椭圆形状。
它的导数是一个二次函数，它的图像呈现出一条抛物线。
二、三次函数的特点1. 对称性三次函数的对称轴为一条直线，该直线平分曲线的两侧，并且与曲线的最高点和最低点相交。
对称轴的方程式为x = -b / 3a。
2. 零点三次函数通常有三个零点，但是有时候会有一个或两个重根。
这些零点可以通过求解所给方程的根来获得，其中方程的系数a、b、c和d是已知的。
当三次函数与x轴相交时，y等于0，因此方程式可以写成ax³ + bx² + cx + d = 0。
3. 最值三次函数有局部最高点和局部最低点。
可以通过求导数来获得最高点和最低点的位置。
三、三次函数的应用下面是一些三次函数的应用领域：1. 经济学三次函数通常用于经济学中的成本和利润分析。
基于不同的成本和利润相关的方程，可以得出三次函数的表达式。
这对分析和管理公司的经济活动非常有用。
2. 物理学三次函数也常用于物理学中的运动方程。
例如，弹道学家可以使用三次函数来描述抛物线的运动，而声学专家则可以使用三次函数来描述声波等物理量的传播。
3. 生物学在生物统计学中，三次函数通常用于研究生长曲线。
这些曲线可以描述有机体个体生长的趋势，并对某些遗传因素的作用进行分析。
四、三次函数的解法三次函数的解法与二次函数有很大的不同。
三次函数的求根公式
三次函数的求根公式ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中a、b、c和d为实数且a不等于0。
根据代数学原理，对于三次方程，最多存在三个根，可能有重根或复根。
三次函数的求根公式有多种不同的形式，以下将介绍其中两种常见的求根公式：一种是基于二次复合正负开方，另一种是基于牛顿迭代法。
第一种求根公式的推导始于文艺复兴时期的意大利数学家Cardano，他首次给出了解一般三次方程的方法。
为了简化公式推导，引入变量y，将原方程变形为：x^3 + px + q = 0其中p和q为实数。
接下来的步骤是将原方程转化为一个二次方程，然后进行求解。
首先，引入两个新的变量u和v，使得x的三次项系数为0：x=u+v通过展开和合并同类项的方式，我们可以将方程转化为一个关于u和v的二次方程：(u+v)^3+p(u+v)+q=0展开并合并同类项后，化简得到：u^2v + 3uv^2 + pu + pv + q = 0为了使得方程中的二次项系数为0，我们要求uv的系数为0，即uv = -p/3、再进行变量替换，引入新的变量s和t，使得：u^3+v^3=s3uv = t则有：u^3+v^3=u^3+(t/(3u))^3=s移项后，可以得到一个关于u的代数方程：u^6 + pu^3 - (t^3)/27 = 0这是一个关于u^3的三次方程，可以使用前述的二次根公式解出一个u^3的表达式：u^3 = [-p/2 +/- sqrt((p/2)^2 + (t^3)/27)]^(1/3)由于方程中(u+v)^3的展开有3个项等于s，因此还需要更多的麦克劳林展开来抵消掉余下的项。
通过进一步的推导，可以得到：v^3=[s+p/(3u)]^3v=[s+p/(3u)]^(1/3)由于u和v是x的根的形式，可以将u和v的表达式代入x=u+v的式子中，就可以得到三次函数的求根公式。
第二种求根公式是牛顿迭代法的应用。
牛顿迭代法是一种通过逼近的方式求根的方法。
三次函数的性质及应用
三次函数的性质及应用
1. 三次函数的定义
三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式
为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。
2. 三次函数的性质
- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
由于三次函数
是三次方程，理论上有三个实根或复根。
零点可以通过求解方程
f(x) = 0得到。
- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。
三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。
可以通过
求解f'(x) = 0找到极值点。
- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称
为三次曲线。
根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同
形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。
3. 三次函数的应用
三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一
些常见的应用领域：
- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。
- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成
本曲线等。
- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁
设计、道路设计等。
- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢
曲线等。
三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。
深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解
和应用这一数学工具。
有关三次函数的五个考点
18
— ——河北秦皇岛市燕山大学里仁学院机械系 韩新宝
归纳
f ′（x）>0，函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函 数 f（x）没有极值点.当 a >0 时，由 f ′（x）=0，得 x=
± 姨 a .当 x∈（-∞，- 姨 a ）时，f ′（x）>0，函数 f（x）单
解 （Ⅰ）据题意有 f ′（x）=3x2-3a.
∵ 曲线 y ＝ f（x）在点（2， f（2））处与直线 y ＝ 8 相
∈ ∈ f ′（2）＝0，
3（4-a）＝0，
切，∴
整理有
解得 a ＝ 4，b＝24.
f（2）＝8.
8-6a+b＝8.
（Ⅱ）由已知有 f ′（x）=3（x2-a）（a≠0）.当 a <0 时，
y
y
y
y
x2
O
x
x1O
x
Ox
x2 O x1 x
a > 0，Δ ≤ 0 a > 0，Δ > 0 a < 0，Δ ≤ 0 a < 0，Δ > 0
性质 3：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈[m，
∈∈ ∈∈
n]，若 x0∈[m，n]，且 f ′（x0）＝0，则有 fmax（x）＝max{f（m）， f（x0 ），f（n）}，fmin（x）＝min{f（m），f（x0 ），f（n）}.
0 时，其单调递减区间是 （-∞，x2]和[x1，+∞），单调递
增区间是[x2，x1]. 性 质 2：函 数 y = ax3+bx2+cx+d（a≠0）， 当 Δ≤0
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2.对称中心
三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)是关于点对称的，且对称中心为点(- b , f (- b )),此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a
证明：只需证明f (- b + x)+ f (- b - x) = 常数，即可。
3a
3a
3.三次函数f (x)图象的切线条数
0,∴
x0
=1,
x0
=
-
1 2
,
∴过点(1,1)与曲线y = x3相切的直线方程为3x - y - 2 = 0或3x - 4 y +1= 0，故有2个。
方法2：由大招结论，y = x3的中心对称点为A(0,0),过点A的切线方程为y = 0.
点P(1,1)在曲线y = x3上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三.P与曲线y = x3有2条切线。
32
12 2x -1
2016 2016
2016
解：依题意得：f ′(x) = 3x2 - 6x+3,∴ f ′′(x) = 6x - 6.
由f ′′(x) = 0,即6x - 6 = 0.∴ x =1. 又 f (1) = 2,∴函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为(1,2).
的距离为
1 1+ t
2
，则z
=
a2
+ (b
-1)2的最小值为
1 1+ t
2
.故选A
(2)依题意，设h(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 ,得h′(x) = x2 - x+3,∴ h′′(x) = 2x -1.
32
12
由h′′(x) = 0,即2x -1= 0,∴ x = 1 ,又 h(1 ) =1.
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
∴函数h(x)的对称中心为(1 ,1), h(x)+ h(1- x) = 2. 2
y′ = 3ax2 +2bx+c
Δ = (2b)2 - 4(3a)c = 4(b2 - 3ac)
∴当Δ = 4(b2 - 3ac) ≤ 0时，y′ = 3ax2 +2bx+c与x轴无交点或有一个交点，y′ ≥ 0或y′ ≤ 0恒成立，
原函数单调.
当Δ = 4(b2 - 3ac) ≥ 0时，y′ = 3ax2 +2bx+c与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间.
设m(x) = 2 ,它的对称中心为(1 ,0),∴ m(x)+ m(1- x) = 0.
2x -1
2
g(x) = h(x)+ m(x),∴ g(x)+ g(1- x) = h(x)+ h(1- x)+ m(x)+ m(1- x) = 2.
∴ g( 1 )+ g( 2 )+...+ g( 2015) = 2015.
由g′(m) = 0, 解得m = 0或m = a, a＜0，可得m = 0为极小值点, m = a为极大值点，
由题意得g(0) = 0, g(a)＞0,即有b+ at = 0,b = -at表示以O为端点在第二象限的射线，
z = a2 +(b -1)2 表示点(0,1)与(a,b)两点的距离的平方，由点(0,1)到射线at +b = 0
例2：对于三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+ d (a ≠ 0),定义：f ′′(x)是函数
y = f (x)的导数f ′(x)的导数，若方程f ′′(x) = 0有实数解x0 ,则称点(x0 , f (x0 )) 为函数y = f (x)的“拐点”.有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；
解：设切点为(m, n), f (x) = x3 - tx的导数为f ′(x) = 3x2 - t,
可得切线的方程为y - (m3 - tm) = (3m2 - t)(x - m),
代入点P(a,b)，可得b - (m3 - tm) = (3m2 - t)(a - m),
即有2m3 - 3am2 +b+ at = 0, 设g(m) = 2m3 - 3am2 +b+ at, g′(m) = 6m2 - 6am,
三次函数
大招总结
1.单调性
当b2 - 3ac ≤ 0时，三次函数y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)在R上是单调函数；
当b2 - 3ac＞0时，三次函数y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)在R上有3个单调区间.
证明：y = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)
任何三次函数都有对称 中心，且‘ 拐点’就是对称中心”.请你将这一机智的
发现作为条件，求：
（1）函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为 ;
（2）若函数g(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 + 2 ，则g( 1 )+ g( 2 )+...+ g( 2015) = .
2016 2016
2016
故答案为：(1)(1,2); (2)2015.
例3：已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f (x) = x3 - tx(t为给定的正常数)
的图象作两条切线，则z = a2 +(b -1)2的最小值为？？
A. 1 1+ t
2
,
B.
1 , C.1+t 2 , D. 1+t 2 1+t 2
过f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f (x)的图象分割成四个区域，有以下结论：
①过区域A，B内的点作f (x)的切线，有且仅有三条；
②过区域C, D内的点以及对称中心作f (x)的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数f (x)图象(除去对称中心)上的点作f (x)的切线，有且仅有两条。
切线条数口诀：内一、上二、外三。
例1：已知过点P(1,1)且与曲线y = x3相切的直线的条数有几个？
方法1：若直线与曲线切于点(x0 ,
y0 )(x0
≠
0), 则k
=
y0 x0
-1 = -1
x03 x0
-1 = -1
x02
+ x0
+1
y′
=
3x
2
,∴
y′
x
=
x0
=
3x02
, ∴ 2 x02
-
x0
-1=