特征函数和矩母函数概要PPT精选文档
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特征函数与矩函数
公式法
根据概率分布的性质和公式，计算相应的矩函数。例如，对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数和概率分布函 数来计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数和概率分布函数来计算。
数值法
对于一些复杂的概率分布，可以使用数值方法来近似计算矩函数。例如，蒙特卡洛方法可以用来模拟随 机变量的样本值，然后通过样本值的数学期望来近似计算矩函数。
05 特征函数与矩函数的扩展
广义特征函数与矩函数
定义
广义特征函数与矩函数是相对于经典的特征 函数与矩函数的扩展，它们在更广泛的意义 下描述了数据的统计特性。
性质
广义特征函数与矩函数具有更强的灵活性和适应性 ，能够更好地处理复杂的数据分布和异常值。
应用
在统计学、机器学习、数据分析等领域，广 义特征函数与矩函数被广泛应用于数据建模 、特征提取和异常检测。
03 特征函数与矩函数的应用
在概率论中的应用
特征函数用于描述随机变量的概率分布， 可以表示为复平面上的函数。通过计算特 征函数的导数，可以得到随机变量的各阶 矩，如均值、方差、偏度、峰度等。
特征函数还可以用于研究随机变量的 变换性质，例如，通过特征函数可以 推导出随机变量的变换规律，以及随 机变量的独立性、相关性等性质。
特征函数与矩函数
目录
• 特征函数 • 矩函数 • 特征函数与矩函数的应用 • 特征函数与矩函数的区别与联系 • 特征函数与矩函数的扩展
01 特征函数
定义与性质
定义
特征函数是概率论和统计学中的一个 概念，用于描述随机变量或随机过程 的特性。
性质
特征函数具有一些重要的性质，如实 部和虚部都是单调递减的，且实部和 虚部都是偶函数。
特征函数的性质
唯一性
根据概率分布的性质和公式，计算相应的矩函数。例如，对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数和概率分布函 数来计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数和概率分布函数来计算。
数值法
对于一些复杂的概率分布，可以使用数值方法来近似计算矩函数。例如，蒙特卡洛方法可以用来模拟随 机变量的样本值，然后通过样本值的数学期望来近似计算矩函数。
05 特征函数与矩函数的扩展
广义特征函数与矩函数
定义
广义特征函数与矩函数是相对于经典的特征 函数与矩函数的扩展，它们在更广泛的意义 下描述了数据的统计特性。
性质
广义特征函数与矩函数具有更强的灵活性和适应性 ，能够更好地处理复杂的数据分布和异常值。
应用
在统计学、机器学习、数据分析等领域，广 义特征函数与矩函数被广泛应用于数据建模 、特征提取和异常检测。
03 特征函数与矩函数的应用
在概率论中的应用
特征函数用于描述随机变量的概率分布， 可以表示为复平面上的函数。通过计算特 征函数的导数，可以得到随机变量的各阶 矩，如均值、方差、偏度、峰度等。
特征函数还可以用于研究随机变量的 变换性质，例如，通过特征函数可以 推导出随机变量的变换规律，以及随 机变量的独立性、相关性等性质。
特征函数与矩函数
目录
• 特征函数 • 矩函数 • 特征函数与矩函数的应用 • 特征函数与矩函数的区别与联系 • 特征函数与矩函数的扩展
01 特征函数
定义与性质
定义
特征函数是概率论和统计学中的一个 概念，用于描述随机变量或随机过程 的特性。
性质
特征函数具有一些重要的性质，如实 部和虚部都是单调递减的，且实部和 虚部都是偶函数。
特征函数的性质
唯一性
概率论课件 特征函数
e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t
)
e itk
k0
ke
k!
e
（e it ）k
k0 k!
e e eit
e（eit -1）
例4.1.5 设随机变量X 服从 [a,a]的均匀分布, 求其特征函数.
(t) E(e jtX )
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
e jtX cos tX j sintX
(t) E(e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
3. 特征函数的计算 e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X 构造出来的复值随机变量的期望。
例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即
求X 的特征函数.
P{X c} 1
( t ) E( e jtX ) e jtxk k
1-4特征函数和母函数
gY ( t ) = ∏ g X k ( t )
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
特征函数讲解.ppt
| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )
eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |
|
eix
|d
x
0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2
x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT
1 2π
《概率论与数理统计课件》 特征函数
n n it k 1
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
第2章 随机变量-特征函数
2
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
e
jtX
f ( x )dx
, a x a ,
jtx
其他
( t ) e
a
a
1 1 jtx dx = e 2a 2ajt
xa x a
1 = sin at at
当t=0时，
(t 0)
e f ( x )dx =1
0
( 0 )
例1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特 征函数.
Z ( t ) e (a1 t , a2 t ).
jtb
性质2.4 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的 特征函数恒等.
三、相互独立随机变量的特征函数 定理2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为
( X 1 , X 2 , , X n )
的特征函数
j ( t1 X 1 t 2 X 2 t n X n )
随机变量 (a1 X b1 , a 2Y b2 ) 的特征函数为
( t1 , t 2 ) e
性质2.3
j ( t1b1 t 2b2 )
(a1 t1 , a2 t 2 ).
设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ), a1 , a 2 , b 为任
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
e
jtX
f ( x )dx
, a x a ,
jtx
其他
( t ) e
a
a
1 1 jtx dx = e 2a 2ajt
xa x a
1 = sin at at
当t=0时，
(t 0)
e f ( x )dx =1
0
( 0 )
例1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特 征函数.
Z ( t ) e (a1 t , a2 t ).
jtb
性质2.4 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的 特征函数恒等.
三、相互独立随机变量的特征函数 定理2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为
( X 1 , X 2 , , X n )
的特征函数
j ( t1 X 1 t 2 X 2 t n X n )
随机变量 (a1 X b1 , a 2Y b2 ) 的特征函数为
( t1 , t 2 ) e
性质2.3
j ( t1b1 t 2b2 )
(a1 t1 , a2 t 2 ).
设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ), a1 , a 2 , b 为任
矩母函数.ppt
E 轾 臌E (Y | X ) =蝌E (Y | X = x) fX (x)dx = yf (y | x)dyfX (x)dx = 蝌yf (y | x) fX (x)dxdy = yf (x, y)dxdy = E (Y )
现代精算风险理论
X～Uniform(0,1)，Y | X～Uniform(x,1) 怎样计算E (Y )？ 一种方法是计算联合密度 f (x, y)，然后计算
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
òå E (X | Y = y)= ìïïïíïïïî
xfX|Y (x | y) 离散情况 xfX|Y (x | y)dx 连续情况
如果r (x, y)是x和y的函数，那么
E (r(X ,Y )| Y
=
y) =
òå ìïïïíïïïî
r (x, y) fX|Y (x | y) r (x, y) fX|Y (x | y)dx
现代精算风险理论
X～Uniform(0,1)，Y | X～Uniform(x,1) 怎样计算E (Y )？ 一种方法是计算联合密度 f (x, y)，然后计算
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
òå E (X | Y = y)= ìïïïíïïïî
xfX|Y (x | y) 离散情况 xfX|Y (x | y)dx 连续情况
如果r (x, y)是x和y的函数，那么
E (r(X ,Y )| Y
=
y) =
òå ìïïïíïïïî
r (x, y) fX|Y (x | y) r (x, y) fX|Y (x | y)dx
特征函数与矩函数的关系28页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。1、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。1、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
特征函数和矩母函数课件
特征函数和矩母函数课件
什么是特征函数？
特征函数是一种连续变量，用来表示给定概率分布的连续特征。
它们借助独特的函数结构来帮助理解该分布的性质。
一般情况下，特征函数被定义为概率密度函数的积分或积分的产物，其中使用的是一组实数序列λ1，λ2，...，λn，称为参数。
它也可以考虑为对概率密度函数的一种广义函数格式的描述。
矩母函数是一种特征函数，用于根据一定的参数描述和控制一组数据的变化模式。
它也被称为矩函数或越积函数，其基本定义为一个有限个参数的多项式，由此引出一组非负实数。
矩母函数拥有独特的性质和拓扑表示，对概率密度函数进行信息可视化具有重要意义。
它也常用于表示一个系统中细胞的状态等普遍现象。
现代精算风险理论01：损失分布
现代精算风险理论01：损失分布⽬录第⼀讲 损失分布第⼀节 随机变量的数字特征⼀、特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数是对分布函数的变换，常⽤于确定独⽴随机变量之和的分布。
特征函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其特征函数的定义为：ϕX (t )=E e i tX .定理：分布函数序列 F n (x ) 收敛于分布函数 F (x ) 的充分必要条件是 F n (x ) 的特征函数 ϕn (t ) 收敛于 F (x ) 的特征函数 ϕ(t ) 。
矩母函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其矩母函数的定义为：m X (t )=E e tX .矩母函数⼀般要求 t >0 ，并且 t 的取值范围和参数分布的参数有关，使得矩母函数存在。
定理：随机变量 X 的 k 阶矩等于矩母函数的 k 阶导数在 t =0 处的取值，即E X k =d kd t km X (t )t =0.定理：如果随机变量 X 和 Y 相互独⽴，则有ϕX +Y (t )=E e i t (X +Y )=E e i tX E e i tY =ϕX (t )ϕY (t ).m X +Y(t )=E e t (X +Y )=E e tXE e tY=m X(t )m Y(t ).注意：随机变量的矩母函数可能存在，也可能不存在。
如果随机变量的矩母函数不存在，则该随机变量的分布被称为重尾分布或厚尾分布（这是重尾分布的⼀种定义）。
定理：假设随机变量 X n 和 X 的矩母函数存在，则 X n 的矩母函数 m n (t ) 收敛于 X 的矩母函数 m (t ) 的充分必要条件是 X n 的分布函数 F n (x ) 收敛于 X 的分布函数 F (x ) 。
⼆、概率母函数和累积量母函数概率母函数：对于随机变量 X ，其概率母函数的定义为：[][][]|[][][][][][]g X (t )=E t X =∞∑k =0t k Pr(X=k ).从定义可以看出，概率母函数仅⽤于取值为⾃然数的随机变量。
特征函数.ppt
aX bY c
服从一维正态分布. 其中a , b , c 为任意常数, 且a , b 不全为0.
定理4.2.2 设( X ,Y )为二维随机变量, E( X kY s )存在, 则其特征函
数
(t2 ,
t2
)的偏导数
ks (t1 ,
t1k
t
s 2
t2
)
存在,
且
E( X kY s )
j
(
k
s
e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为 F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x)的特征函数, 其中 j 1, t R.
1
2
e jtk (t )dt
例 设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为
(t ) (q pe jt )n
求随机变量X 的分布律.
§4.2 多维随机变量的特征函数
一、定义及例 二、二维随机变量特征函数的性质 三、相互独立随机变量和的特征函数
一、定义及例
定义4.2.1 设(X, Y) 是一个二维随机变量, 其分布函数为F ( x, y),
T
jt
不连续点:
F~( x) F ( x 0) F ( x) 2
(t) F~( x)
推论1(惟一性定理) 分布函数 F1( x)及 F2( x) 恒等的充分必要条
服从一维正态分布. 其中a , b , c 为任意常数, 且a , b 不全为0.
定理4.2.2 设( X ,Y )为二维随机变量, E( X kY s )存在, 则其特征函
数
(t2 ,
t2
)的偏导数
ks (t1 ,
t1k
t
s 2
t2
)
存在,
且
E( X kY s )
j
(
k
s
e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为 F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x)的特征函数, 其中 j 1, t R.
1
2
e jtk (t )dt
例 设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为
(t ) (q pe jt )n
求随机变量X 的分布律.
§4.2 多维随机变量的特征函数
一、定义及例 二、二维随机变量特征函数的性质 三、相互独立随机变量和的特征函数
一、定义及例
定义4.2.1 设(X, Y) 是一个二维随机变量, 其分布函数为F ( x, y),
T
jt
不连续点:
F~( x) F ( x 0) F ( x) 2
(t) F~( x)
推论1(惟一性定理) 分布函数 F1( x)及 F2( x) 恒等的充分必要条
特征函数和矩母函数ppt课件
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(t) eitx f (x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特
征函数为
(t) (t1,t2,
, tn ) EeitX
E
exp
i
的数学期望 X (t) E[eitX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t) X (it)
欧拉公式：
ei cos i sin
还可写成
X (t) E[costX ] iE[sintX ]
ppt课件
13
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
ppt课件
1
3．和的矩母函数
定理1
设相互独立的随机变量 X1，X 2，，X r 的
矩母函数分别为 1 (t) ， 2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 Y X1 X 2 X r 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
ppt课件
2
4. 母函数
P Y
k,
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
ppt课件
10
ppt课件
15
(4) (t)是非负定函数。
特征函数与矩函数的关系-写的非常不错。省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
n个互相独立的高斯变量X1, X 2 ,, X n , 方差均为 2 ,
n
则其平方和 :Y
X
2 i
服从n个自由度的
2分布.
i 1
若n个高斯变量的数学期望均为零, 称Y为中心 2分布.
Y旳概率密度为:
fY ( y)
1
(2 2 )n 2 (n
2)
y e n 1 2
y 2 2
y0
18
fY ( y)
[
nk XY (1, 1n2k
2
)
]1 0
2 0
E[ X nY k ]
第二联合特征函数定义为：XY (1,2 ) ln XY (1,2 )
cnk
(
j)nk
[
nk XY (1,2 1n2k
)
]1 0 2 0
N维联合特征函数旳一种主要性质是：当N个随机变量
相互独立时，它们旳联合特征函数是N个随机变量旳
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
1 2
f
''(x0 )(x x0 )2
x0
0
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
泰勒级数 麦克劳林级数
f (x) f (0) f '(0)x 1 f ''(0)x2 1 f (n) (0)xn
2
n!
X
()
X
(0)
' X
(0)
1 2
1
(2 2 )n 2 (n
2)
y e n 1 2
y 2 2
y0
(x) t x e 1 t dt 0
Y旳数学期望和方差为:
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(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整
数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非
负整数值随机变量，则
Y
N
Xk
k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
5
证明：(1)
n
P(s) pk sk pk sk pk sk , n 0,1,
P ( s ) k ( k 1 ) p k s k 1 k2
P (1 ) k ( k 1 ) p k k ( k 1 ) p k
k2
k 1
k 2 p k kp k EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 ( EX ) 2 P (1 ) EX ( EX ) 2
9
(4) H ( s ) P { Y k } s k k0
P
Y
k, {N
l
}
s
k
k0
l0
P {Y k , N l}s k k 0 l0
P {Y k } P { N l}s k k 0 l0
P { N l} P {Y k }s k
l0
k0
10
P{N
k！
麦克劳林公式
e eeit e(eit1)
18
例2 设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的 特征函数。
解
X的概率密度为
1 f (x) ba
a x b
0 其它
所以
X(t)
e b itx 1 d a ba
x
e itb e ita it(b a)
13
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(t) e itxf(x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
(t)(t1,t2,L,tn)E eitX E ex p intkX k
k 1 14
性质：
(1) (0)1 ,(t)1 ,( t)(t)。
(2) ( t ) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则
(k)(0)ikEXk, k n
当k=1时，EX = (1) (0) / i ；
当k=2时，DX = (2)(0)((1)(0)/i)2。
则称
P(s)E(sX) pksk
k0
为X的母函数。
3
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 P(k)(0) pk k! ,k0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
4
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。
15
(4) ( t )是非负定函数。 (5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，
则X=X1+X2++Xn的特征函数为 (t)1 (t)2 (t)Ln (t)
(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。
16
如果随机变量X为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有反演公式：
P (1 ) P (1 ) [ P (1 )] 2
7
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ，
则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中
ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0
设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s),
PZ(s)，即有
PX(s) pksk, PY (s) qksk
k0
k0
PZ(s) cksk
k0
8
PX ( s) PY (s) pk s k ql s l
k 0
l0
pk ql s k l r pk qr k s r
k ,l0
r 0 k 0
cr s r PZ (s) r0
f(x) 1 e itx (t)dt （相差一个负号的傅立叶逆变换） 2
(t) e itxf(x)dx
（相差一个负号的傅立叶变换）
17
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于 P（Xk）k！ k e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k0
(eit)k
k 0
k 0
k n1
P(n) (s) n! pn k(k 1) (k n 1) pk skn k n1
令s 0,则P(n) (0) n! pn
故pn
P(n) (0)，n n!
0,1，
6
(2)
P (s)
p k s k , P ( s )
kp
s k 1
k
k0
k 1
E ( X ) kp k P (1 ) k 1
设相互独立的随机变量 X1， X2， ， Xr的
矩母函数分别为 1 (t) ，2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 YX 1 X 2 X r的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
2
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1,
l}
P
l
X
j
k
sk
l0
k 0
j1
P{N
l0
l}
l j1
k 0
P{X
j
k
}
s
k
l
P{N l} P (s)
l0
j1
P{ N l}[P (s)]l G (P (s)) l0
11
EY H (1) dG ( P ( s ))
ds
s 1
dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s1
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
1．定义
2．原点 矩的求法
称 e tX 的数学期望 (t)E[etX]
为随机变量X的矩母函数。
利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t )逐次求导，并计算在 t 0 点的
值：
(t)E[XteX]
（ n)(t)E[XnetX]
（n)(0)E[Xn]
1
3．和的矩母函数
定理1
G (1) P (1) EN EX 1
(注 P (1) 1)
12
二、特征函数
1 .特征函数
设X为随机变量，称复随机变量e itX
的数学期望 X (t) E[eitX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
X(t)X(it)
欧拉公式：
eicosisin
还可写成
X (t) E [cto X ] siE [stiX ]n