牛吃草问题介绍
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解题关键:
牛顿问题俗称“牛吃草问题”,牛每天吃草,草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步:
1、求出每天长草量;
2、求出牧场原有草量;
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量);
4、最后求出牛可吃的天数。
5、每头牛一天吃多少草
规律总结
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长,草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量,我们可以把总草量看成两部分的和,即原有的草量加新长的草量。显而易见,原有的草量是一定的,新长的草量虽然在变,但如果是匀速生长,我们也能找到另一个不变量——每天(每周)新长出的草的数量。
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
牛吃草问题常用到四个基本公式:
牛吃草问题又称为消长问题,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰(1)草的生长速度= (对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上有一片牧草,供24头牛6周吃完,供18头牛10周吃完.假定草的生长速度不变,那么供19头牛需要几周吃完?
解:设1头牛吃一周的草量的为一份.
(1)24头牛吃6周的草量
24×6=144(份)
(2)18头牛吃10周的草量
18×10=180(份)
(3)(10-6)周新长的草量
180-144=36(份)
(4)每周新长的草量
36÷(10-6)=9(份)
(5)原有草量
24×6-9×6=90(份)
(6)全部牧草吃完所用时间
不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量,剩下的10头牛吃原有草量,有
90÷(19-9)=9(周)
答:供19头牛吃9周.
例2、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以
1×10×20=原有草量+20天内生长量
同理1×15×10=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50
因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5 天内草总量
5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)
答:需要5头牛5天可以把草吃完。
例3、画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间?
解答:设每一个入场口每分钟通过"1"份人,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析3个入场口 9分钟3×9=27 :原有人+9分钟来的人
5个入场口 5分钟5×5=25 :原有人+5分钟来的人
从上易发现:4分钟来的人=27-25=2,即1分钟来的人=0.5;那么原有的人:27-9×0.5=22.5;
这些人来到画展用时间22.5÷0.5=45(分)。第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分。
例4、一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14
因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是
30÷(17-2)=2(小时)
答:17人2小时可以淘完水。
例5、一片牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?
解答:设1头牛1天的吃草量为"1",摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
18头牛 16天18×16=288 :原有草量+16天自然减少的草量
27头牛 8天27× 8=216 :原有草量+ 8天自然减少的草量
从上易发现:2000平方米的牧场上16-8=8天生长草量=288-216=72,
即1天生长草量=72÷8=9;
那么2000平方米的牧场上原有草量:288-16×9=144或216-8×9=144。
则6000平方米的牧场1天生长草量=9×(6000÷2000)=27
原有草量:144×(6000÷2000)=432.
6天里,共草场共提供草432+27×6=594,可以让594÷6=99(头)牛吃6天
练习
1、牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛吃几天?
2、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果同时打开2个出水管,那么8分钟后水池空;如果同时打开3个出水管,那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟?
3、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?