初三几何证明经典大题

（如图2）

C （如图3）

C

（如图1)

B

（如图3

）

C

B

初三几何证明经典大题

1.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

(1)若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则M B N ∆是

三角形．

(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则M B N

∆是 三角形，且=∠MBN .

(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

解：（1）等腰直角

（2）等腰 α （3）结论仍然成立 证明： 在ABF EBC ∆∆和中，

BA BE

ABF EBC BF BC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.

∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC

∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=

2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x . (1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x

Q P

D

C

B

A

之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；

(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.

（1） PQ =PB

过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900

∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ∴∠MBP = ∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ

（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP =x ∴ AM =

2

2

x ∴CQ=C D －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =

21BC ·BM =21·1·(1－22x )= 21

-42x

S △PCQ =

21CQ ·PN =2

1

(1－2x )·(1－22x )

=221x －x 423＋2

1

∴S 四边形PBCQ =22

1

x －2x ＋1 . (0≤x ≤22)

(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.

① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.

② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ 时，

N M Q P

D

C B A

有：QN=AM=PM =

x 2

2

，CP =2－x , CN =

CP 22=1－x 2

2 CQ=Q N －CN =x 22－（1－x 2

2

） =2x －1 ∴ 当

2－x =x 2－1时 ，x =1

3.(1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你猜想线

段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．

解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．

可证明EAD ∆是等边三角形． 联结AC ，可证明BAD ∆≌CAE ∆． 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．

（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，

图 2

图１

图 1

图2

N M Q

P

D

C

B

A

可证明C B A '∆≌ADB ∆，得DB C B ='． ∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件， ∴ PD AP P B +='． 联结C B '，

ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上， 则PC B P C B +'='． ∴ PC PD AP C B ++='．

∴ PC PD PA BD ++= ． ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵ PC B P C B +'<'， ∴ PC PD AP C B ++<'．

∴ PC PD PA BD ++<．综上，PC PD PA BD ++≤． 4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD

; F

E

D

C

B

A

(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

（1）证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG .

∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB ＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .

∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=1

2

∠BAD ．

∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，

∴△AEG ≌△AEF .