《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第十一章答案

( A − λi I )( A − λi −1 I ) L ( A − λ1 I ) x ≠ 0 ，
而 ( A − λi +1 I )( A − λi I ) L ( A − λ1 I ) x = 0 ，
则 λi +1 是 A 的特征值。证毕。 6． 设 A 为 Banach 空间 X 上的有界线性算子， λ0 ∈ ρ ( A) ，又设 { An } 为 X 上一列有界线 性算子，且 lim An − A = 0 ，证明当 n 充分大后， An 也以 λ0 为正则点。
其中与 Rλ , Rµ 的意义同第 7 题。 证明 在等式 Rµ
−1
− Rλ −1 = ( µ I − A) − (λ I − A) 两边左乘 Rλ 右乘 Rµ 得
Rλ ( µ − λ ) Rµ = Rλ (( µ I − A) − (λ I − A)) Rµ = Rλ − Rµ 。
因此 Rλ − Rµ = ( µ − λ ) Rλ Rµ ，证毕。
n λ 的 n 次根为 λ1 , λ2 ,L , λn 。 存在 x ≠ 0 ， 使 ( An − λ I ) x = 0 ， 证明 设 λ 是 A 的特征值，
2
则 (A
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n
− λ I ) x = ( A − λ1 I )( A − λ2 I ) L ( A − λn I ) x = 0 。
若 ( A − λ1 I ) x = 0 ，则 λ1 就是 A 的特征值，否则必有某 i，
1 1 (0, x1 , x2 ,L , xn ,L ) = λ ( x1 , x2 ,L xn ,L ) 。 2 n
则 λ x1 = 0, λ xi +1 = xi , i = 1, 2,L ， 由此可得 xi = 0, i = 1, 2,L 。 因此 λ 不是 U 的特征值。 证毕。
1 i
13．设
则 A − λ I 可逆， 因此 ( A − λ I )* = A * −λ I 也可逆， 从而 λ ∈ σ ( A*) 。 现在设 λ ∈ σ ( A) ， 同理若 λ ∈ σ ( A*) ，则 λ ∈ σ ( A) ，这就证明了 σ ( A*) = {λ λ ∈ σ ( A)} 。证毕。 10． 设 T1 是 X 1 到 X 2 的全连续算子， T2 是 X 2 到 X 3 的有界线性算子， 则 T2T1 是 X 1 到 X 3 的全连续算子。 证明 设 {xn } 是 X 1 中有界点列。因为 T1 全连续，所以 {T1 xn } 中必有收敛子列。我们 记之为 {T1 xnk } 。又因为 T2 有界，所以 {T2T1 xnk } 也收敛，因此 {T2T1 xn } 有收敛子列。这 就证明了 T2T1 是全连续算子。证毕。 11． 设 A 是 l 上线性算子，记 en = (0, 0,L , 0,1, 0,L ) ，
n →∞
证明
λ0 I − An = λ0 I − A − ( An − A)
= (λ0 I − A)[ I − (λ0 I − A) −1 ( An − A)] 。
当 n 充分大时， (λ0 I − A) −1 ( An − A) < 1 ，这样 I − (λ0 I − A) ( An − A) 是可逆的。 此可逆性由本章§2 定理 1 可证，又 λ0 I − A 也是可逆的。因此当 n 充分大后， λ0 I − An 也 可逆。证毕。 7． 设 A 是为 Banach 空间 X 上的有界线性算子，则当 λ > A 时，
σ ( A) = {λ λ = 1} 。
证明 对任意 e
it
it0
it , (eit0 I − A) x(t ) = (eit0 − eit ) x(t ) 。 因为常值函数 1 不在 e I − A 的值
0
域中，因此 e 0 ∈ σ ( A) 。这样 {λ λ = 1} ⊂ σ ( A) 。 反之，若 λ ≠ 1 ，定义 Rλ : ( Rλ x )(t ) =
是 A 的点谱，由于 σ ( A) 是闭集，则 {λ λ = 1} ⊂ σ ( A) 。 对任意 x ∈ A ， 显然 Ax ≤ x ， 因此 A ≤ 1 ， 所以 σ ( A) ⊂ {λ λ ≤ A } ⊂ {λ λ = 1} 。 这样我们就证明了 σ ( A) = {λ λ = 1} 。 4． 设 F 是平面上无限有界闭集， {α n } 是 F 的一稠密子集，在 l 中定义算子 T：
(λ I − A)∑
An 这就证明了 ( A − λ I ) = ∑ n +1 ， n=0 λ
−1 ∞
∞ A An 1 Rλ = ∑ n +1 ≤ ∑ n +1 = 。 λ− A n=0 λ n =0 λ ∞ n
证毕。
8． 设 A 为 X 上的有界线性算子， λ , µ ∈ ρ ( A) ，则
Rλ − Rµ = ( µ − λ ) Rλ Rµ 。
k =1
2
→ 0 (n → ∞) 。
由本章§3 定理 2，A 是全连续算子。证毕。 12． en 的符号同第 11 题。作 l 上算子 U。
Uek =
2
1 ek +1 , k = 1, 2,L . k
证明 U 是 l 上全连续算子且 σ (U ) = {0} 。 证明 若 x =
∑ x e ∈l
i i i =1
∞
x
2
所以 U n − U ≤
i = n +1
∑i
∞
1
2
→0
( n → ∞) 。
这样 U 是有限秩算子 U n 的极限，U 必是全连续算子。 由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证 σ (U ) = {0} ，只要证 U 无非零特征值。 倘若 λ ≠ 0 ， x =
∞ ∞ 1 2 ∈ , = λ , = λ x e l Ux x x e xi ei 。即 ∑ ∑ ∑ i i i i +1 i =1 i =1 i i =1 ∞
−1
Rλ = ( A − λ I ) −1 = ∑
1 An 。 ， Rλ ≤ n +1 λ− A n =0 λ
∞
n
∞ An 1 ∞ A 收敛，因此级数 必按算子范数收敛。 证明 当 λ > A 时幂级数 ∑ ∑ n +1 λ n =0 λ n n =0 λ ∞ ∞ An An An ∞ An +1 = ( λ I − A ) = − ∑ n +1 = 1 ∑ ∑ n +1 n +1 n n=0 λ n =0 λ n =0 λ n =0 λ ∞
第十一章 线性算子的谱
1． 设 X = C[0,1], ( Ax)(t ) = tx (t ), x ∈ X 。证明 σ ( A) = [0,1] ，且其中没有特征值。 证明 当 λ ∈ [0,1] 时，常值函数 1 不在 λ I − A 的值域中，因此 λ I − A 不是满射，这样
λ ∈ σ ( A) 。
x = ( x1 , x2 ,L xn ,L ) ∈ l 2 ，
Rλ x = (
1 1 1 x1 , x2 ,L , xn , L ) λ − α1 λ − α 2 λ −αn
易验证 Rλ x ≤
1 x ，且 Rλ (λ I − T ) = (λ I − T ) Rλ = I 。 d (λ , F )
jk
)e j ：
( A − An ) x =
∞ ∞
2
∑ ∑x a
k j = n +1 k =1
2 ∞ 2
∞
∞
2 jk
≤
∑ (∑ x
j = n +1 k =1
k
)(∑ a jk )
k =1
=
∞ ∞ 2
∑
j = n +1
∞
∑ a jk
k =1
∞
2
x
2
所以 A − An ≤
∑
j = n +1
∑ a jk
反之若 λ ∈ [0,1] ，定义算子 Rλ : Rλ =
1 x (t ) 。则由于 λ ∈ [0,1] ，且 λ −t
Rλ x = max
a ≤t ≤b
1 1 x (t ) ≤ x λ −t d (λ ,[0,1])
因此 Rλ 是 C[0，1]中有界线性算子。 易验证 Rλ (λ I − A) = (λ I − A) Rλ = I ，所以 λ ∈ σ ( A) 。 总之 σ ( A) = [0,1] ， 若 Af = λ f ，则对任意 t ≠ λ ， tf (t ) = λ f (t ) ，可推得 f (t ) = 0 。由于 f (t ) ∈ C[0,1] ， 必有 f (t ) ≡ 0 ，所以 A 无特征值。证毕。 2． 设 X = C[0, 2π ], ( Ax )(t ) = eit x (t ), x ∈ X . ，证明
1 x (t ) 。类似第 1 题可证 Rλ 是有界线性算 λ − eit
子，且 Rλ (λ I − A) = (λ I − A) Rλ = I 。即 λ ∈ σ ( A) 。 因此 σ ( A) = {λ λ = 1} 。证毕。 3． 设 X = l ,
2
Ax = A( x1 , x2 ,L xn ,L ) = ( x2 , x3 ,L xn ,L ) ，
( Aϕ )( s ) = ∫ e s +tϕ (t )dt ，
0
1
求 A 的特征值和特征函数。
（提示：记 c = 解 记c =
1 t
∫ e ϕ (t )dt
t 0
1
）
s
∫ e ϕ (t )dt 。设 ϕ 为对应特征值 λ 的特征函数，则 Aϕ = λϕ ，即 ce
因此 σ (T ) ⊂ F 。 且 x = ( x1 , x2 ,L xn ,L ) ∈ l ，使 Tx = λ x 。则对任意 n，λ xn = α n xn 。 若 λ ∈ F − {α n } ， 由于 λ ≠ α n ，则 xn = 0 ， n = 1, 2,L 。这样 x=0，因此 λ 不是特征值，而是连续谱。证 毕。 5． 设 λ 为线性算子 An 的特征值，则 λ 的 n 次根中至少有一个是算子 A 的特征值。
事 实 上 ， 对 任 意 x, y ∈ H ， < x, y >=< TT x, y >=< x, (T ) * T * y > 。 这 样
−1 −1
< x, y − (T −1 )* T * y >= 0 对 任 意 x ∈ H 成 立 ， 因 此 y = (T −1 ) * T * y 恒 成 立 ， 进 而 T *(T −1 )* = I 。同理 T *(T −1 )* = I 。这一证明了 T*也可逆，且 (T −1 )* = (T *) −1 。
∞
2
，则 Ux =
∑i xe
i i =1
∞
1
i +1 。令 U n x =
∑i xe
i =1
∞
1
i i +1
，则 U n 是有限秩算
子，且
∞ 1 1 ∞ (U − U n ) x = ∑ xi ≤ ∑ ( )2 ∑ xi i =1 i i = n +1 i i = n +1 2 ∞ 2
2
2
1 ≤∑ i =1 i
2
Tx = ( x1 , x2 ,L xn ,L ) = (α1 x1 ,L α n xn ,L )
则 α n 都是特征值， σ (T ) = F , F \ {α n } 中每个点是 T 的连续谱。 证明 对任意 n， en = (0, 0,L ,1, 0,L ) ，其中 1 在第 n 个坐标上。由题设， Ten = α n en ， 因此 α n 是 T 的特征值。又由于 σ (T ) 是闭集，所以 {α n } = F ⊂ σ (T ) 。 若 λ ∉ F ，则 d (λ , F ) > 0 。定义算子 Rλ ，若
2
14 2 43
n −1个
Aek = ∑ a jk e j
j =1 ∞ 2
∞
其中 Aek =
∑a
i , j =1
ij
< ∞ ，证明 A 是全连续的。
n ∞
证明 若 x = ( x1 , x2 ,L xn ,L ) ，定义 An : An x = 则 An 是有界秩算子，且
∑ (∑ x a
k j =1 k =1
试求 σ ( A) 。 解 对 任 意 λ ， 若
λ < 1 ， 定 义 xλ = (1, λ ,L , λ n ,L ) ， 显 然
xλ ∈ l 2 , Axλ = (λ , λ 2 ,L , λ n ,L ) = λ (1, λ ,L , λ n ,L ) = λ xλ ，因此 {λ λ = 1} 的内点都
9． 设 A 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子，A*为 A 的共轭算子，证明
σ ( A*) = {λ λ ∈ σ ( A)} = σ ( A)
证明 先证若 T 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子，若 T 可逆，则 T*也可逆，且
(T *) −1 = (T −1 ) * 。