弹塑性力学之本构关系

zx
u z
w x
运动学参数之间的联系
本构关系反映可变形体材料的固有特性
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3.1 线弹性体的本构方程
1 各向异性弹性体
单向应力状态下的理想弹性体：
x E x —— Hooke定律
三维应力状态下， 应力张量与应变张量之间存在线性关系的 理想弹性体
—— 线弹性体
满足最一般的广义Hooke定律的线弹性体 —— 各向异性弹性体
0
0
y
1
zy
0
0
Ey
Ez
弹塑性力学
第3章 本构关系
本章学习要点：
掌握各向同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服、加卸载的概念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的基本概念
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第3章 本构关系
x x
xy y
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xz z
X
z xy
C33 C34 0
对
C44 0
0 0
z xy
yz
zx
称
C55
C56 C66
yz zx
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3.1 线弹性体的本构方程
z
3 正交各向异性弹性体
P (x, y, z)
O
y
线弹性体内的每一点都存在3个相互垂直的弹性对称面
x
坐标轴方向为弹性主方向
0(
2u t 2
)
yx x
y y
yz z
Y
0(
2v ) t 2
zx x
zy y
z z
Z
0(
2w
t 2
)
力学参数之间的联系
体力Xi 面力Xi
平 衡 方 程
应力 ij
本构关系
位移 ui
几 何 方 程
应变 ij
x
u x
，
xy
v x
u y
y
v y
，
yz
w y
v z
z
w z
，
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
C56 C66
yz zx
新坐标系下的应力、应变张量
x' x , y' y , z' z
x'y' - xy ,
y'z' yz ,
z'x'
zx
x' x,
y' y , z' z
x'y' - xy ,
2 具有一个弹性对称面的线弹性体
比较
坐标变换后的应力-应变关系保持不变
ij Cijkl kl
C15 C16 C25 C26 C35 C36 C45 C46 0
独立的弹性常数有13个
本构方程
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
0 0
0 x
0
y
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
木材、增强纤维复合材料、双向配筋不同的钢筋混凝土、 带纵横向加劲肋的钢桥面板等可简化为正交各向异性弹性体
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3.1 线弹性体的本构方程
3 正交各向异性弹性体
工程上常用的矩阵表达式：
x
1
E
x
yx Ey
zx Ez
y'z' yz ,
z'x'
zx
C14 C24 C34 C56 0
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3.1 线弹性体的本构方程
3 正交各向异性弹性体
独立的弹性常数只有9个
本构方程
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
0 0
0 0
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
y
弹性
y z
对称面
弹性主方向 O x z
O
x
z轴旋转180
坐标 x y z
x l11=1 l21=0 l31=0
y l12=0 l22=1 l32=0
z l13=0 l23=0 l33=-1
坐标变换后，应力-应变关系保持不变
i' j ' l li'i j ' j ij
新坐标系下的应力、应变张量
x' x , y' y , z' z
x'y' xy ,
y'z' yz ,
z'x'
zx
i' j' li'il j' j ij
x' x,
y' y,
z' z
x'y' xy ,
y'z' yz ,
z'x'
zx
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3.1 线弹性体的本构方程
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3.1 线弹性体的本构方程
2 具有一个弹性对称面的线弹性体
弹性对称：线弹性体中每一点均存在一个对称平面， 与该平面对称的两个方向上具有相同的 力学性质，即应力-应变关系不变
弹性对称面 弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向
弹性主方向
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弹性主方向
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3.1 线弹性体的本构方程
2 具有一个弹性对称面的线弹性体
Cijkl —— 弹性张量（81个分量）
ij和ij的对称性： Cijkl Cijlk Cijkl C jikl
36个独立的分量
（可证明实际上只有21个）
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Cmn和Cijkl 的下标对应关系
m, n 1
2
3
4
5
6
ij, kl 11 22 33 12 23 31
如：
C22 C2222 C56 C2331
C43 z
C44 xy
C45 yz
C46
zx
yz
C51 x
C52 y
C53 z
C54 xy
C55 yz
C56 zx
zx C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 zx
Cmn (m, n = 1,2,…,6) —— 弹性常数
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3.1 线弹性体的本构方程
广义Hooke定律 矩阵形式表示：
{} [D]{} {} { x , y , z , xy , yz , zx}T {} { x , y , z , xy , yz , zx}T
[D] [Cmn ] —— 弹性矩阵（36个元素）
张量形式表示：
ij Cijkl kl
坐标变换后，应力-应变关系保持不变
y O
z
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y
x
x
O
z
x轴旋转180
i' j ' l li'i j ' j ij i' j' li'il j' j ij
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
0 0
0 x
0
y
z xy
C33 C34 0
广义Hooke定律：
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 zx
y
C21 x
C22 y
C23 z
C24 xy
C25 yz
C26
zx
z
C31 x
C32 y
C33 z
C34 xy
C35 yz
C36 zx
xy
C41 x
C42 y