复数集内一元二次方程的解法
复数的运算说课稿
复数的运算说课稿林萍萍2012-10—21一、说教材(一)教材的地位与作用:1、依据新大纲及教材分析,复数四则运算是本章知识的重点。
2、新教材降低了对复数的要求,只要求学习复数的概念,复数的代数形式及几何意义,加减乘除运算及加减的几何意义.因此,复数的概念,复数的代数运算是重点,在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较,多采用类比的学习方法,在复数的概念和复数的代数运算的教学中,应避免烦琐的计算,多利用复数的概念解决问题.。
3、将实数的运算通性、通法扩充到复数,是对数学知识的一种创新,有利培养学生的学习兴趣和创新精神.(二)学情分析:1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位.2、学生知识经验与学习经验较为丰富,以具有类比知识点的学习方法。
3、学生思维活泼,积极性高,已初步形成对数学问题的合作探究能力。
4、学生层次参差不齐,个体差异比较明显。
(三)教学目标:1、知识目标:掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则.2、能力目标:培养学生运算的能力.3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神。
(四)教学重点:复数的概念,复数的代数运算是重点(五)教学难点:复数代数形式的乘、除法法则。
教学方法:(六)启发式教学法关键:掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。
二、说教法:1、本节课通过复习整式的运算,复数的运算,通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性,使学生体会其中的思想方法,培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。
2、例题的学习,使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法,提高运算能力,归纳、概括能力。
三、说学法: 1、复习已学知识,为本节课学习作铺垫.通过对数系学习的回忆,引出课题,激发学生学习动机。
2、让学生板演运算法则,有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。
3、通过例题学会复数的运算,归纳运算简便方法。
培养学生归纳问题、转化问题的努力.四、说课过程:(一)、复习提问:1、1.虚数单位i :(1)它的平方等于—1,即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立2、i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i 3、复数的概念:形如a+bi (a,b ∈R)叫做复数,a ,b 分别叫做它的实部和虚部。
复数与方程
复数与方程重点难点:一元二次方程一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程基本解法:化为的形成,利用复数开方求出它的根。
例1.在复数集中解下列方程解1)法1、求方程的解,即求复数的4次方根,∵∴其4次方根为(k=0,1,2,3)∴原方程的解为下面4个复数:法2、求方程的解,即求复数的4次方根。
∵由知1-i为的一个4次方根,∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。
解2) 令,∴,∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。
注:解二项方程实质就是求一复数的次方根,所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>,则可用公式(k=0,1,2,……,n-1)求其n个n次方根。
如例(1)解法1,此n个复数的几何意义是复平面上n个点,这n个点均匀分布在以原点为圆心,以为半径的圆上,组成一个正n边形。
<二> 若能由已知中找出个Z的n次方根Z0,则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下:, 。
如例(1)解法2。
<三>若Z的辐角非特殊值,不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时,则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。
如例(2)。
二、一元二次方程1. a,b,c∈R时基本解法时,两不等实根可由求根公式求出,时,两相等实根。
可由上面公式求出,时,两互为其轭虚根,可由求根公式求出。
另:韦达定理仍成立。
2. a,b,c∈C时基本解法判别式定理不成立,所以不能由此判别根的情况。
但可由求根公式, δ是b2-4ac的一个平方根另:韦达定理仍成立。
例2.在复数集中解方程。
解:∵,∴=,∴原方程的根为。
注:∵(x-1)(x2+x+1)=x3-1∴x2+x+1=0的根也是x3=1的根,即1的两个立方虚根。
记,则,其有如下特征:①;②;③;④;⑤要注意此特征,并能灵活运用其解决有关问题。
一元二次方程在复数集上的根
复数导学案课题:实系数一元二次方程在复数集上的根课型:新授执笔:审核: 使用时间:一、学习目标1、实系数一元二次方程在复数集上的根二、重点难点1、实系数一元二次方程在复数集上的根2、实系数一元二次方程在复数集中的解法三、学习内容1、实系数一元二次方程在复数集C上的根设a是正实数,由可知,.因此,2、一元二次方程ax2+bx+c=0,( a, b, c∈R,a≠0) (16-1-4) 的求根公式为,记判别式∆=b2-4ac.由复数集上负数开方的意义,可以得到如下结论:①②③总之,.四、探究分析1、在复数集内求下列方程的根.(1)x2+16=0;(3)x2+27=0.方法总结:2、判定下列方程根的类型,并求出方程的根.(1)2x2-5x+8=0;(2) x2-7x+4=0;(3)x2-8x+16=0;(4)2(x+1)2=-(x-3)2.方法总结:课堂训练1.把下列各数用虚单位和实数乘积表示.(1)-3的平方根;(2)-14的平方根;(3)-0.5的平方根;(4)-4π的平方根2. 在复数集中讨论下列方程的根.(1) x2-2x+3=0;(2) x2-x+6=0;(3) 2x2+2x+3=0;(4) x2-3x+6=0..课后作业1. 在复数集内,求下列方程的根.(1)x2+9=0;(2) x2+π=0;(3) x2+49=02. 确定下述方程根的类型:(1)x2+2x+6=0;(2)x2-5x+4=0.3. 在复数集中解下列方程:(1)x2+2x+7=0;(2)2x2-3x+5=0.教学后记。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案)1、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C )(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由;(1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总有两个根.( √ )(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另一个根是12i -.( ⨯ )(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √)5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -⋅=+.解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+.由复数相等,有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩,,解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ;若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠,则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
一元二次方程
一元二次方程1、该部分的知识为初等数学知识,一般在初三就有学习。
(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系: X1+X2= -b/a ,X1·X2=c/a (也称韦达定理)4、方程两根为x1,x2时,方程为:x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下,b2-4ac>0时有2个不相等的实数根,b2-4ac=0时有两个相等的实数根,b2-4ac<0时无实数根。
(在复数范围内有两个复数根)一般式a2+bx+c=0(a 、b 、c 是实数,a≠0) 例如:x2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a两根式(交点式)a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法1.分解因式法(可解部分一元二次方程) 因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。
如 1.解方程:x2+2x+1=0 解:利用完全平方公式因式解得:(x+1)2=0 解得:x1= x2=-1 2.解方程x (x+1)-3(x+1)=0 解:利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0 即 x-3=0 或 x+1=0 ∴ x1=3,x2=-1 3.解方程x2-4=0 解:(x+2)(x-2)=0 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2,x2= 2 十字相乘法公式: x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例: 1. ab+b2+a-b- 2 =ab+a+b2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2)2.公式法(可解全部一元二次方程)求根公式首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b2-4ac<0时x无实数根(初中) 2.当Δ=b2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b2-4ac)}/2a 来求得方程的根3.配方法(可解全部一元二次方程)如:解方程:x2+2x-3=0 解:把常数项移项得:x2+2x=3 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x2+2x+1=4 因式分解得:(x+1)2=4 解得:x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法(可解部分一元二次方程)如:x2-24=1 解:x2=25 x=±5 ∴x1=5 x2=-55.均值代换法(可解部分一元二次方程)ax2+bx+c=0 同时除以a,得到x2+bx/a+c/a=0 设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m (m≥0) 根据x1·x2=c/a 求得m。
高考数学复数典型例题附答案
1, 已知复数求k的值。
的值。
解:解:,∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评:点评:(i) 对于两个复数、,只要它们不全是实数,就不能比较大小,因此,、能够比较大小,均为实数。
均为实数。
比较大小,更无正负之分,因此,(ii)虚数不能与0比较大小,更无正负之分,因此,对于任意复数z,且R;且R。
2, 若方程有实根,求实数m的值,并求出此实根。
的值,并求出此实根。
解:设为该方程的实根,将其代入方程得由两复数相等的定义得,消去m得,故得当时得,原方程的实根为;当时得,原方程的实根为。
点评:对于虚系数一元方程的实根问题,一般解题思路为:设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。
充要条件求解。
3, 已知复数z满足,且z的对应点在第二象限,求a的取值范围。
的取值范围。
解:设,。
由得①对应点在第二象限,故有对应点在第二象限,故有②又由①得③由③得,即,∴,∴④于是由②,④得 ,即于是由②,④得再注意到a<0,故得即所求a的取值范围为点评:为利用导出关于a的不等式,再次利用①式:由①式中两复数相等切入,导出关于与a的关系式:此为解决这一问题的关键。
此外,这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化,都展示了解题的灵活与技巧,请同学们注意领悟,借鉴。
4, 求同时满足下列两个条件的所有复数:(1);的实部与虚部都是整数。
(2)z的实部与虚部都是整数。
,则解:设,则由题意,∴∴y=0或(Ⅰ)当y=0时,,,∴由 得①∴由注意到当x<0时,;当x>0时,,此时①式无解。
此时①式无解。
(Ⅱ)当时,由得∴又这里x,y均为整数均为整数∴x=1,或x=3,,∴或于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求复数z=1+3i,1-3i,3+i,3-i. 5, (1)关于x的方程在复数集中的一个根为-2i,求a+b的值。
的值。
(2)若一元二次方程有虚根,且,试判断a,b,c所成数列的特征。
特征。
解:解:(1)解法一:解法一:由于∴由解:由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z,下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时,上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时,方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解 当0b =时,()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线,其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z,则21z z > (3) (3)若若b a >,则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是(的点的轨迹是( ))A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数,且是虚数,设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数,且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况;以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况.数学思想的掌握情况.例1.从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ,则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是(内的椭圆的个数是( )A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解:解:根据题意,根据题意,m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数.的正整数.但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆.先确定n ,n 有8种可能,对每一个确定的n ,m 有1019-=种可能.故满足条件的椭圆有8972´=个.本题答案选B .例2.如图,把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________.. 解:如图,根据椭圆的对称性知,117111122PF P F PF PF a +=+=, 同理其余两对的和也是2a ,又41P F a =,∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3.如图,直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S .(Ⅰ)求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值;的最大值;(Ⅱ)当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.的方程. 解:(Ⅰ)设A 1()x b ,,B 2()x b ,,由2214x b +=,解得21221xb =±-,,所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= .当且仅当22b =时,S 取到最大值1. (Ⅱ)由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî,得2221()2104k x kbx b +++-=,2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+.②.②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ,则21Sd AB ==,又因为21b d k=+, 所以221b k =+,代入②式并整理,得42104k k -+=, 解得212k =,232b =,代入①式检验,0D >,故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+,或2622y x =--.点评:本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.方法和综合解题能力.二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识;解答题中往往综合性较强,在知识的交汇点出题,对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查.的基本技能和基本方法进行考查.例4.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,OAFD 的面积为22a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为(,则两条渐近线的夹角为( )A .30º.30ºB .45º.45ºC .60º.60ºD .90º.90º解:解:D D .双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程,x ab y =渐近线,则),(2c ab c a A ,所以2212a c ab c S OAF =´´=D ,求得a b =,所以双曲线为等轴双曲线,则两条渐进线夹角为90°,故选D .点评:本题考查双曲线中焦距,本题考查双曲线中焦距,准线方程,准线方程,准线方程,渐近线方程,渐近线方程,渐近线方程,三角形面积,三角形面积,三角形面积,渐近线夹角等知识的综合运用.渐近线夹角等知识的综合运用.例5. P 是双曲线221916x y -=的右支上一点,M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为(的最大值为( ))A. 6B.7C.8D.9解:设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ,则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大,此时三点共线时所求的值最大,此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=,故选B .例例6.已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点.点.(Ⅰ)若动点M 满足1111F M F A F B FO=++(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程;的轨迹方程;(Ⅱ)在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.明理由.解:由条件知1(20)F -,,2(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,.(Ⅰ)设()M x y ,,则则1(2)F M x y =+ ,,111(2)F A x y =+,, 1221(2)(20)F B x y FO =+= ,,,,由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î,即12124x x x y y y +=-ìí+=î,,于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø,. 当AB 不与x 轴垂直时,121224822yy y yxx x x-==----,即1212()8y y y x x x -=--.又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=.当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程.,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=.(Ⅱ)假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA CB为常数.为常数.当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±. 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--.因为CA CB是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-. 当AB 与x 轴垂直时,点A B ,的坐标可分别设为(22),,(22)-,,此时(12)(12)1CA CB =-=-,,.故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA CB 为常数.为常数.三、抛物线是历年高考的重点,在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外,还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查,难度往往是中等.函数问题、应用问题结合起来进行考查,难度往往是中等.例例7.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是(的纵坐标是( )A .1716 B .1516 C .78D .0 解:由题意抛物线为:y x 412=,则焦点为1(0,)16F ,准线为:116y =-;由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等,推得:16150=y,即M 点的纵坐标为1516,故选B .例8.已知抛物线24x y =的焦点为F ,A 、B 是抛物线上的两动点,且AF →=λFB →(0)l >.过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明FM AB为定值;为定值;(Ⅱ)设△ABM 的面积为S ,写出()S f l =的表达式,并求S 的最小值.的最小值.解:(Ⅰ)由已知条件,得(0,1)F ,0l >.设11(,)A x y ,22(,)B x y .由AF →=λFB →, 即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-,îïíïì-x 1=λx 2 ①①1-y 1=λ(y 2-1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1=14x 12,y 2=14x 22代入得y 1=λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1=λ,y 2=1λ,且有x 1x 2=-λx 22=-=-44λy 2=-=-44,抛物线方程为y =14x 2,求导得y ′=12x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y =12x 1(x (x--x 1)+y 1,y =12x 2(x (x--x 2)+y 2,即y =12x 1x -14x 12,y =12x 2x -14x 22. 解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1+x 22,x 1x 24)=(x 1+x 22,-,-1)1)1)..所以FM →·AB →=(x 1+x 22,-,-2)2)2)··(x 2-x 1,y 2-y 1)=12(x 22-x 12)-2(14x 22-14x 12)=0所以FM →·AB →为定值,其值为0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM ABM 中,中,FM FM FM⊥⊥AB AB,因而,因而S =12|AB||FM||AB||FM|..|FM||FM|==(x 1+x 22)2+(-2)2=14x 12+14x 22+12x 1x 2+4=y 1+y 2+12×(-4)4)++4=λ+1λ+2=λ+1λ.++λ+λ)=|AB||FM||AB||FM|=(λ+λ)λ+1λ≥2m ÷ø,m+=m +=2my -,2my -,211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解:(Ⅰ)在P AB △中,2AB =,即222121222cos2d d d d q =+-,2212124()4sin d d d d q =-+,即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<(常数), 点P 的轨迹C 是以A B ,为焦点,实轴长221a l =-的双曲线.方程为:2211x y l l -=-.(Ⅱ)设11()M x y ,,22()N x y ,①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上.即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-,因为01l <<,所以512l -=.②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得:2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû,由题意知:2(1)0k l l éù--¹ëû,所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--,2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--.于是:22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--. 因为0OM ON = ,且M N ,在双曲线右支上,所以在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î. 由①②知,51223l -£<.。
48、复数中的方程问题
三、复数中的方程问题【教学目标】1.掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法.2.掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题. 3.在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用.【教学重点】一元二次方程的根的讨论.【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论,13=x 的根的应用.【教学过程】一.知识整理1.实系数一元二次方程的根的情况设方程02=++c bx ax (a ,b ,R c ∈且0≠a ),判别式△ac b 42-=. (1)当△0>时,方程有两个不相等的实数根:aac b b x 2421-+-=,aac b b x 2422---=.(2)当△0=时,方程有两个相等的实数根: ab x x 221-==.(3)当△0<时,方程有两个共轭虚根: ai b ac b x 2421-+-=,ai b ac b x 2422---=.2.代数式22b a +(a ,R b ∈)的因式分解利用z z z ⋅=2||,有))((22bi a bi a b a -+++3.复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02=++c bx ax (a ,b ,C c ∈且0≠a )的两个根为1x ,2x ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c x x ab x x 2121.4.方程13=x 的根方程13=x 有三个根,11=x ,i x 23212+-=,i x 23213--=.若记i 2321+-=ω,则ω有性质:13=ω(13=n ω,Z n ∈),2ωω=,012=++ωω.二.例题解析【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,解答题,易,运算【题目】在复数范围内分解因式. (1)44b a -; (2)3212-+-x x .【解答】解:(1)))()()(())((222244bi a bi a b a b a b a b a b a -+-+=+-=-. (2)3212-+-x x ])5()1[(21)62(21222+--=+--=x x x)51)(51(21i x i x --+--=.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,易,运算【题目】(1)若i 23+是实系数方程022=++c bx x 的根,求实数b 与c ;(2)若i 23+是方程0422=-++i c bx x 的根,求实数b 与c .【解答】解;(1)由题意,i 23-是方程的另一根,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++2)23)(23(2)23()23(c i i b i i ,所以12-=b ,26=c .(2)将i 23+代入方程得04)23()23(22=-++++i c i b i ,整理得,0)220()310(=++++i b c b ,所以⎩⎨⎧=+=++02200310b c b ,解得⎩⎨⎧=-=2010c b .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,运算【题目】(1)已知012=++x x ,求504030x x x ++的值. (2)若012=+-a a ,求17171aa +的值.【解答】解:(1)由012=++x x ,得i x 2321±-=,所以13=x ,所以504030x x x ++012=++=x x .(2)由012=+-a a ,得i a 2321±=,当i a 2321-=时,则ω-=a (i 2321+-=ω),13=a ,2171717)(ωωω-=-=-=a ,ωω-=-=21711a,所以1)(121717=+-=+ωωaa .同理可得,当i a 2321+=时,也有111717=+aa.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,证明题,中,逻辑思维【题目】证明:在复数范围内,方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2(i 为虚数单位)无解.【解答】证明:原方程化简为i z i z i z 31)1()1(||2-=+--+,设yi x z +=(x ,R y ∈),代入上述方程,得i yi xi y x 312222-=--+,所以⎩⎨⎧=+=+322122y x y x ,消去y ,整理得051282=+-x x ,此方程的判断式△016584)12(2<-=⨯⨯--=,故x 无实数解.所以,原方程在复数范围内无解.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,分析问题解决问题【题目】已知关于x 的二次方程02)12(2=+++-a x a x 有虚根,且此根的三次方是实数,求实数a 的值.【解答】解法一:设方程的虚根为ni m +(m ,R n ∈且0≠n ),由3)(ni m +为实数,得m n 3±=,所以方程的虚根为)31(i m ±,由根与系数的关系,得⎩⎨⎧+=+-=24)12(22a m a m ,消去m ,得 21442+=++a a a ,01342=-+a a ,解得1-=a 或41=a .解法二:设方程的虚根为1z ,则另一虚根为12z z =, 因为R z ∈31,所以()32313131z z z z ===,03231=-z z ,0))((22212121=++-z z z z z z ,因为21z z ≠,所以0222121=++z z z z ,即21221)(z z z z =+,由根与系数的关系,2)12(2+=+a a ,01342=-+a a ,解得1-=a 或41=a .三.课堂反馈【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】若i 23+是方程022=++c bx x (b ,R c ∈)的一个根,则=c _________.【解答】答案:26【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】已知ai +2,i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根,则=p _________,=q ____________.【解答】答案:4-,5【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】若ω是方程13=x 的一个虚根,则=-++-)1)(1(22ωωωω___________.【解答】答案:4【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,中,运算【题目】在复数范围内解方程:ii i z z z +-=++23)(||2(i 为虚数单位).【解答】解:原方程化简为i i z z z -=++1)(||2,设yi x z +=(x ,R y ∈),代入上述方程,得 i xi y x -=++1222,所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=iy x 2321, 所以,原方程的解为i z 2321+-=或i z 2321--=.四.课堂小结1.实系数一元二次方程,在判别式小于零时,有一对共轭虚根(虚根成对).利用这一点,在已知一根的情况下,就可以知道另一根,再结合根与系数的关系,就使问题得到简化.2.由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根,因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积.3.如果方程的系数含有虚数,则不能用△来判断方程有无实根,共轭虚根定理也不成立,但根与虚数的关系仍成立.这类题如果给出方程有实根的条件,可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解.所以说,复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略.五.课后作业【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,填空题,易,运算【题目】在复数范围内分解因式:(1)=++1622x x ____________________.(2)=+-1cos 22θx x _________________________.【解答】答案:(1))151)(151(i x i x -+++(2))sin cos )(sin cos (θθθθi x i x +---【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】设一元二次方程0122=++-b ax x (a ,R b ∈)的一个虚根是i -1,则实数=a __________,=b _________.【解答】答案:4,3【属性】高三,复数,复数开平方问题,填空题,易,运算【题目】复数i 43-的平方根为______________.【解答】答案:i -2,i +-2【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,易,运算【题目】已知方程04)4(2=-+++ai x i x (R a ∈)有实根b ,且bi a z +=,求z .【解答】解:i z 22--=.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,选择题,中,运算【题目】方程i z z 31||+=+中z 的解是( )A .i 2321+B .i 2321+C .i 34+-D .i 34-【解答】答案:C【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,逻辑思维【题目】已知实数p 满足不等式0212<++x x ,试判断方程05222=-+-pz z 有无实数根,并给出证明.【解答】解;由已知212-<<-p ,所以4412<<p,所以方程05222=-+-pz z 的判别式△0)4(4)5(4422<-=--=p p ,所以原方程无褛根.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,运算【题目】在复数范围内解方程x x x 23623-=+.【解答】解:把原方程化为523123--=+x x x ⇒)53)(1()1)(1(2-+=+-+x x x x x ,⇒0)64)(1(2=+-+x x x ,解得11-=x ,i x 222+=,i x 223-=.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,分析问题解决问题【题目】已知关于x 的方程02=++m x x (R m ∈)的两根为α、β.(1)若3||=-βα,求m 的值; (2)若3||||=+βα,求m 的值.【解答】解:(1)因为3||=-βα,所以9||2=-βα,所以9|4)(|2=-+αββα,9|41|=-m ,解得25=m 或2-=m .(2)①当α、β为实数,即041≥-m ,41≤m 时,9|)||(|2=+βα⇒9||222=++αββα⇒9||22)(2=+-+αβαββα⇒9||221=+-m m ,当410≤≤m 时无解;当0<m 时,2-=m .②当α、β为一对共轭虚数时,即41>m 时,αβ=,由3||||=+βα,可知23||=α,则49||2==⋅=αααm .综上,2-=m 或49=m .【题目资源】【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,解答题,易,运算【题目】1.在复数范围内分解因式 (1)164-x ; (2)522+-x x ; (3)83+x .【解答】解:(1))2)(2)(2)(2()4)(4(16224i x i x x x x x x -+-+=+-=-. (2))21)(21(2)1(52222i x i x x x x -+++=++=+-.(3))31)(31)(2()42)(2(282333i x i x x x x x x x --+-+=+-+=+=+.2.若实系数一元二次方程02=++b ax x 有一个虚根为i 2,则=a _______,=b ______.【解答】答案:0,4【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】关于复数z 的方程i zi z 212||2+=-的解集是________________.【解答】答案:}21,1{i ---【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】方程022=-+kx x 有一个根是i +1,则它的另一个根是_________.【解答】答案:i +-1【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】a 为实数,方程01822=++-a x x 的一个虚根的模是5,则=a __________.【解答】答案:9【属性】高三,复数,复数中的方程问题,选择题,易,运算【题目】方程0||2=+z z 的复数解有( )A .1个B .2个C .3个D .无数个【解答】答案:C【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,易,运算【题目】已知方程03=++b ax x (a ,R b ∈)有一个根为1.(1)求a ,b 满足的关系式;(2)若此方程的另两个根为虚数,求实数a 的取值范围.【解答】解:(1)由题意,01=++b a ,即1-=+b a .(2)由(1),1--=a b ,故方程变为013=--+a ax x ,即0)1()1(3=-+-x a x ,0)1()1)(1(2=-+++-x a x x x ,0)1)(1(2=+++-a x x x ,所以方程的另两根就是方程012=+++a x x 的两根,故△0<, 即0)1(41<+-a ,43->a .所以,实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,43.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,易,运算【题目】已知方程042=+-k x x 有一个虚数根为i 21-,求k 的值.【解答】解:由042=+-k x x ,得x x k 42+-=,将i x 21-=代入,得i k 47-=.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,中,运算【题目】设α、β是方程072=+-m x x 的两个虚根,且8||||=+βα,则实数=m ________.【解答】答案:16由题意,α、β是共轭虚数,所以8||2=α,4||=α,于是16||2==αβα,即16=m .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,运算【题目】已知关于x 的方程0)1(2)21(2=--++i a x i ax 有实根,求实数a 的值.【解答】解:设方程实根为0x ,则0)1(2)21(020=--++i a x i ax ,即0)22()2(0020=++-+i a x a x ax,所以⎩⎨⎧=+=-+020020a x a x ax ,所以a x -=0,所以 033=-a a ,解得0=a 或3=a 或3-=a .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,逻辑思维【题目】若虚数z 满足83=z ,求322++z z 的值.【解答】解:由已知,0)42)(2(282333=++-=-=-z z z z z ,因z 为虚数,故0422=++z z ,所以1322-=++z z .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,逻辑思维【题目】在复数范围内解关于x 的方程06||52=+-x x .【解答】解:若x 为实数,则原方程可化为0)3|)(|2|(|=--x x ,解得2±=x ,3±=x . 若x 为虚数,设bi a x +=(a ,R b ∈且0≠b ),原方程化为065)(222=++-+b a bi a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧==++--020652222ab b a b a ,因为0≠b .故0=a ,06||52=-+b b ,0)1|)(|6|(|=-+b b ,1±=b .所以,原方程的解为2,2-,3,3-,i ,i -.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,运算【题目】解关于z 的方程iz z 2110||-=-.【解答】解:原方程可化为i z z 42||+=-,设bi a z +=(a ,R b ∈),则原方程可化为i bi a ba 42)(22+=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ,解得3=a ,4=b . 所以,原方程的解i z 43+=.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,运算【题目】方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ中,θ为锐角,若实数a 是方程的一个解,求θ与a 的值.【解答】解:由题意,0)2()(tan 2=+-+-i a i a θ,0)1(2tan 2=+--⋅-i a a a θ, 所以⎩⎨⎧=+=-⋅-0102tan 2a a a θ,解得1-=a ,1tan =θ.所以,4πθ=,1-=a .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,中,逻辑思维【题目】已知复数w 满足i w w )23(4-=-,|2|5-+=w wz ,求一个以z 为根的实系数一元二次方程.【解答】解:由i w w )23(4-=-,所以i i w 34)21(+=+,i w -=2,所以i i iz +=-+-=3||25,故另一根为i -3,设所作方程为02=+-q px x ,则6)3()3(=-++=i i p ,10)3)(3(=-+=i i q ,所以所求方程为01062=+-x x .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,逻辑思维【题目】关于x 的实系数方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根,求实数a 的值.【解答】解:①当根x 为实数时,0)(8922≥--a a a ,082≥+a a ,8-≤a 或0≥a .由1||=x ⇒1±=x .当1=x 时,0222=++a a ,a 无实数解;当1-=x 时,0242=+-a a ,解得22±=a .②当根x 为虚数时,08<<-a ,1||=x ⇒1=⋅x x ,即122=-a a ,022=--a a ,解得1-=a 或2=a (舍去). 综上,1-=a ,或22-=a 或22+=a .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,逻辑思维【题目】若C z ∈,关于x 的一元二次方程0342=++-i zx x 有实根,求复数z 的模的最小值.【解答】解:i x zx 342++=,当0=x 时,此等式不成立,故0≠x .所以,i xxx z 34++=,23825282534||222222=+⋅≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx xx x x x z所以,当2225xx =,5±=x 时,||z 取最小值23.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为)4,(a A ,),0(b B ,)0,(c C .若虚数aix +=2(0>a )是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根,且A ∠是钝角,求b 的取值范围.【解答】解:由已知,虚数ai x -=2也是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根,所以⎩⎨⎧=-+=-++5)2)(2()2()2(ai ai cai ai ,解得1=a ,4=c ,则A 、C 的坐标为)4,1(A ,())0,4C , 所以)4,1(--=b AB ,)4,3(-=AC ,因A ∠是钝角,故0413<-=⋅b AC AB ,又当AB ,AC 共线时,316=b .所以b 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫⎝⎛,316316,413 .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,逻辑思维【题目】已知关于x 的方程022=++a x x (R a ∈)有两个根α、β,求||||βα+的最小值.【解答】解:① 当△044≥-=a 即1≤a 时,α、β是实数,=+2|)||(|βα||222αββα++)|(|24||22)(2a a -+=+-+=αβαββα.当10≤≤a 时,2|)||(|βα+恒为4;当0<a 时,4|)||(|2>+βα. 即1≤a 时,||||βα+的最小值为2.② 当△044<-=a ,即1>a 时,α、β是一对共轭虚数,故αβαβα2||2||||==+22>=a .综上,||||βα+的最小值为2,取得最小值时a 的取值范围是]1,0[.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解答题,难,数学探究【题目】已知复数1z ,2z 满足条件2||1<z ,2||2<z ,是否存在非零实数m ,使得mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.【解答】解:据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121,故1z ,2z 是方程0112=+-m x m x 的两个根.(1)当△0≥即41≤m 且0≠m 时,1z ,R z ∈2,记mx mx x f 11)(2+-=,则2||1<z ,2||2<z ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≤<<->>-04122120)2(0)2(m m m f f 且,解得43-<m .(2)当△0<,即41>m 时,1z 、2z 为一对共轭虚数,则mz z z 1||2121==,由2||1<z ,得41<m,所以41>m .综上,当43-<m 或41>m 时,mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立.。
二次方程的求解
二次方程的求解一、二次方程的定义二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程,其中 a、b、c 是常数,且a ≠ 0。
二、求解方法1.因式分解法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0,可以通过因式分解将其转化为 (x + m)(x + n) = 0 的形式,其中 m 和 n 是满足 m + n = -b/a 和 mn = c/a 的两个数。
解得x1 = -m,x2 = -n。
2.公式法(韦达定理)二次方程的解可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 来求得。
其中,x1 和x2 分别为方程的两个解,且满足 x1 + x2 = -b/a,x1 * x2 = c/a。
配方法是将二次方程 ax^2 + bx + c = 0 转化为 (x + p)^2 = q 的形式,其中 p 和 q 是满足 q = b^2 - 4ac/4a 的两个数。
解得 x1 = -p + √q,x2 = -p - √q。
三、特殊类型1.完全平方公式当二次方程的系数 a = 1,且 b^2 - 4ac = 0 时,方程有一个重根,即 x1 = x2 = -b/2a。
二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac,根据判别式的值可以判断方程的根的性质:(1)Δ > 0:方程有两个不相等的实数根;(2)Δ = 0:方程有一个重根,即两个相等的实数根;(3)Δ < 0:方程没有实数根,而是有两个共轭的复数根。
1.几何应用二次方程在几何中广泛应用于求解抛物线、椭圆、双曲线等曲线的交点问题。
2.物理应用在物理学中,二次方程常用于描述抛体运动、振动等现象。
3.实际问题二次方程在实际生活中有广泛的应用,如计算利润、面积、体积等。
五、注意事项1.在求解二次方程时,要注意判断判别式的正负,以确定方程的根的性质。
2.在应用公式法求解时,要确保分母不为零。
3.在因式分解法中,要尽量将方程分解为一次因式的乘积形式。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班(教师版)一、复数的平方根与立方根 1.复数的平方根的定义若复数1z ,2z 满足212z z =,则称1z 是2z 的平方根.2.复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等,把复数平方根问题转化为实数方程组来求. 3.复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ,2z ,且120z z +=(见图1). 4.复数的立方根的定义类似的,若复数1z ,2z 满足312z z =,则称1z 是2z 的立方根.5.1的立方根设复数12ω=-+,则21,,ωω都是1的立方根. 6.ω的性质 ①210ωω++=, ②31ω=,③212ωω==-. 可运用这些性质化简相关问题(见图2). 7.其他有用结论2(1)2i i -=-,2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式,那么(1)0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±;复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理(2)0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-; (3)0∆<⇔,在(3)的情况下,方程的根与系数关系(韦达定理)仍然成立. 求解复数集上的方程的方法:(1)设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决(化归思想).(2)把z 看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数),用复数的性质来变形(整体思想). (3)对二次方程,直接用一元二次方程的求根公式(公式法).三、常见几何图形的复数表达式复数1z ,2z 为定值,且12z z ≠.(1)线段12Z Z 的中垂线方程:12||||z z z z -=-; (2)以1Z 为圆心,半径为r 的圆方程:1||z z r -=; (3)以1Z 、2Z 为焦点,长轴长为2(0)a a >的椭圆方程:12||||2z z z z a -+-=(其中12||2z z a -<); (4)以1Z 、2Z 为焦点,实轴长为2(0)a a >的双曲线方程:12||||||2z z z z a ---=(其中12||2z z a ->).1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根.【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -;86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算:(112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;(2)50820028)i +-++⎝⎭. 【难度】★★【答案】(1)513;(2)247+【例3】记12ω=-,求1ωω+,221ωω+. 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-,2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ,其中11z =,2z x yi =+,3z y xi =+(,,0x y x ∈>R ).(1)求,x y 的值; (2)试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ;(3)对(2)中的正整数n ,求123n z z z z 的值.【难度】★★【答案】(1)12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(2)12n =;(3)1-.【巩固训练】1.复数34i +的平方根是 .例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2.计算:(11996= . (2)151512(1)(1)(1)i -+=-+ .【难度】★ 【答案】(1)12-;(2)03.已知ω满足等式210ωω++=.(1)计算4(1)ωω++;304050ωωω++;224(1)(1)ωωωω-+-+;(2)求证:对任意复数u ,有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+; (3)计算:21n n ωω++,*n ∈N . 【难度】★★【答案】(1)1-;0;4;(2)略;(3)*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式:2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=,求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得,21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1.若虚数z 满足327z =,则32315z z z +++的值为 . 【难度】★★ 【答案】332.,,求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时,原式=15-;12ω=-时,原式;3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ,求方程的解. 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时,即920m <时,32x ±=;当0∆=时,即920m =时,32x =; 当0∆<时,即920m >时,32i x =.【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根,且2αβ∈R ,求βα的值.【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ,∴2222ααβαββαβ=⇒=,即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根,且满足12||3x x -=,求实数p 的值. 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-, (1)当0∆≥时,即14p ≤时,12,x x 是实根,∴12||3x x -==,即32p =⇒=-; (2)当0∆<时,即14p >时,12,x x 是共轭虚根,设1(,)x a bi a b =+∈R ,则2x a bi =-, ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±,由1221x x a +==-,得12a =-.从而21215||2p x x x ===.综上,2p =-或52.【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根,求||||αβ+的值. 【难度】★★【答案】212m ∆=-,(1)当0∆≥时,即m ≥m ≤-30αβ=>,∴||||||||m αβαβ+=+=; (2)当0∆<时,即m -<<||||2||αβα+===.【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =,2||1z =,12||2z z -=,求12z z . 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=, ∴12121z z z z ⋅+⋅=, ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=, ∴122141z zz z +=. 令12z t z =,则141t t+=,∴240t t -+=,∴122t =±,即12122z i z =±.【例12】(1)方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +,求实数k 的值; (2)方程240x x k -+=有一个根为12i +,求k 的值. 【难度】★【答案】(1)由题意:另一个根为12i -,∴(12)(12)5k i i =+-=; (2)由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+.【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根,且一个根的模是2,求实数a 、b 的值. 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根,则2(2)()i 0t at a bt b -++-=.则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩.(1)当0b =时,此方程为220x ax a -+=. ①有实根,0∆≥即1a ≥或0a ≤.当根为2时,440a a -+=.得43a =. 当根为2-时,440a a ++=.得45a =-.②有一对共轭虚根即01a <<.模为2,即有4a =(舍).(2)当0b ≠时,则1t =,此时1a =.又因为模为2,所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1.下列命题在复数集中是否正确?为什么?(1)若,,a b c ∈R ,0a ≠,且240b ac -≥,则方程20ax bx c ++=有两个实数根;(2)若,,a b c ∈R ,0a ≠,且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根,则12b x x a +=-,12cx x a=; (3)若,,a b c ∈R ,0a ≠,且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根,则221212||()x x x x -=-;(4)若,,a b c ∈R ,0a ≠,且α是方程20ax bx c ++=的根,则α也是方程的根. 【难度】★★ 【答案】(1)、(2)、(4)正确,(3)不正确2.若12,x x 为方程270x x -+=的两个根,则212||x x -= .【难度】★★ 【答案】273.已知,0x y ≠且,求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14.关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、,且||||3αβ+=,求实数m 的值. 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5.设αβ、为方程220x x t ++=,(t ∈R )的两个根,()||||f t αβ=+, (1)求()f t 的解析式;(2)证明关于t 的方程()f t m =,当2m >时恰有两个不等的根,且两根之和为定值. 【难度】★★【答案】(1)0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩...(2)证明:函数()y f t =的图像关于直线12t =对称(证略) 当(1,)t ∈+∞时,()f t 为增函数,且()(2,)f t ∈+∞;022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时,()f t 为减函数,且()(2,)f t ∈+∞.所以当2m >,方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ,在区间(,0)-∞上也有唯一解2t , 则121212t t +=⨯=.4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中,1z ,2z ,m 都是复数,且21241620z z i -=+,设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值. 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=.∴2121|(4)|74m z z --=,即|(45)|7m i -+=, 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心,7为半径的圆周上,∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<.【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++,试求0362016a a a a ++++的值。
高中复数的知识点(优秀5篇)
高中复数的知识点(优秀5篇)复数在高二数学教学中是一个难点,需要学生重点学习。
这次帅气的我为您整理了5篇《高中复数的知识点》,希望能为您的思路提供一些参考。
关于复数的知识点总结篇一1、知识网络图英语复数形式篇二第一部分:规则变化一般情况(包括以e结尾的名词)加-s-s在清辅音[p][t][k] [f]后读[s]在浊辅音和元音后读[z]在辅音[s][z][d ]后读[iz]口诀:清清浊浊元浊e.g. Cups, cats, cakes, roofs, flags, keys, faces以s,x,ch,sh结尾加-es在[s][z]后读[iz]Classes, boxes, watches, brushes以辅音+y结尾变y为i,加es读[z]Cities, countries, studies以元音+y结尾加-s读[z]Boys,rays,days有人还把以下两个加入了名词有规则变复数的行列。
以o 结尾加-es读[z]e.g. Heroes,tomatoes,potatoes,Negroes加-s读[z]Bamboos,radios,zoos,photos,pianos以f,fe结尾变f,fe为v,再加-es读[vz]Leaf-leaves Life-lives加-s读[s]Roofs, proofs, chiefs第二部分:不规则变化我们经常会看到有些名词变复数时并没有遵循上述规则。
这就是名词的不规则变化。
我们经常看见的有man-men,woman-women,child-children等等。
还有一些名词,单复数是同一个形式的。
不过,我们还是可以通过一些比较,发现其中的一些奥妙。
1以-us结尾的名词通常将-us改为-i读音变化:尾音[Es]改读[ai],其中[kEs]要改读为[sai],[gEs]要改读为[dVai]。
例:fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti 2以-is结尾的名词,通常将-is变为-es读音变化:尾音[is]改读[i:z]。
小学方程知识点的总结
小学方程知识点的总结一、方程的概念及相应的解集1. 方程的概念方程是由字母及数字等符号组成的等式或不等式,其中至少有一个字母表示一类数。
方程中含有未知数,将其称为方程的未知数。
2. 根的概念方程中的解称为方程的根。
对于一元一次方程,其根对应了直角坐标系中的一条直线;对于一元二次方程,其根对应了直角坐标系中的一条曲线。
3. 方程的解集方程的解集是指使方程成立的全部实数或复数的集合。
二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指一个未知数的一次方程,其中未知数的最高指数为1。
2. 一元一次方程的解法解一元一次方程的基本思路是通过逆运算将未知数的系数移到等式的一侧,最终得到未知数的值。
3. 一元一次方程的应用在现实生活中,一元一次方程的应用非常广泛,如计算购买商品的折扣、计算两地之间的距离等。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指一个未知数的二次方程,其中未知数的最高指数为2。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有因式分解、配方法、求根公式等,根据具体情况选择合适的方法来解方程。
3. 一元二次方程的图像一元二次方程的图像通常是一个抛物线,其开口方向取决于二次项系数的符号。
4. 一元二次方程的应用在物理、工程、经济等领域,一元二次方程也有着广泛的应用,如抛物线的运动轨迹、炮弹的飞行轨迹等。
四、方程的应用1. 掌握方程的基本概念和解法是为了能够解决实际问题,如对于一元一次方程,可以应用代数的方法求解;对于一元二次方程,可以应用图像法求解。
2. 通过学习方程的应用,可以帮助学生提高问题解决的能力,培养解决实际问题的数学思维。
五、方程的运算法则1. 对于方程的运算法则,包括加减消去、乘法消去、除法消去等,是解决方程的基本方法,通过这些运算法则可以简化方程的形式,帮助我们更轻松地解决方程问题。
六、小学方程的应用1. 在小学阶段,方程的应用主要集中在一元一次方程的解法和问题求解上,如购物问题、搬砖问题等,通过这些实际问题,可以帮助学生理解方程的意义和解题方法。
高中数学的复数运算的公式分析
高中数学的复数运算的公式分析数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的,下面是店铺给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍,希望能够帮助到大家。
高中数学的复数运算的公式1.知识网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.⑵复数及其相关概念:①复数—形如a + bi的数(其中);②实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;③虚数—当时的复数a + bi; ④纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi,即bi.⑤复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义:.⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.注:①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]若,则.(√) ②若,则是的必要不充分条件.(当,时,上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式:. 其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离. 由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.⑵曲线方程的复数形式:①为圆心,r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段). ④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式:设是不等于零的复数,则①. 左边取等号的条件是,右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是,右边取等号的条件是. 注:.6. 共轭复数的性质:,(a + bi)()注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]7⑴①复数的乘方:②对任何,及有③注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论:若是1的立方虚数根,即,则 . 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:①. ②若,是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.注:. 9. ⑴复数的三角形式:. 辐角主值:适合于0≤<的值,记作. 注:①为零时,可取内任意值. ②辐角是多值的,都相差2 的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化:,,.⑶几类三角式的标准形式:10. 复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数). ②当不全为实数时,不能用方程根的情况. ③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算:棣莫弗定理:高中数学的知识点的口诀高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。
第三章数系的扩充和复数的引入
第三章数系的扩充和复数的引入[课标研读][课标要求]1.复数的概念①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.2.复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.[命题展望]本章内容在高考中,以选择题和解答题为主.选择题主要考查:(1)复数的概念,包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念.(2)复数代数形式的基本运算,包括复数的四则运算,乘方、开方运算,代数形式基本运算的技能与技巧等.(3)复数的几何意义,特别是复数乘法的几何意义——向量旋转,复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有:(1)与基本计算有关的问题;(2)与复数模的最值有关的问题;(3)与复数几何意义有关的问题.解答题主要考查:(1)在复数集中解一元二次方程和二项方程.(2)复数的运算.(3)复数与代数、几何、三角的综合性知识运用.在高考中常见的类型有:(1)解复数方程的问题;(2)求复数的模和的问题;(3)复数与代数几何、三角相关联的综合性问题.从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主,估计这一命题趋势还将继续下去.在复习过程中,要重视复数与相关知识的联系.①复数问题可以转化成三角问题,②复数问题转化为实数范围内的代数问题,③复数问题转化成平面几何问题.在复习过程中,就充分利用相关知识,实现问题的转化.如求模的最值问题可采用以下思考方法:①转化为求三角函数式的最值问题,②转化为实数范围内的最值,③利用模为实数这一性质,||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,④转化为平面几何问题.随着观察分析角度的不同,产生不同的解题思路和方法,提高学生对算理算法的合理运用的水平.虽然复数试题的难度较低,但非常灵活,具有活而不难的特点,且常考常新,要求具有灵活处理问题的能力,因此在复习时应狠抓基础,对复数的概念,复数运算等要熟练掌握,对于一些常见的虚数,i 等的运算性质等要熟练掌握,现时还要注意数形结合思想,复数问题实数化方法等。
复数基础知识导引
【基础知识导引】1.掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算法则,熟练地进行复数的三角形式的运算。
2.理解复数乘法、除法的几何意义。
3.掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。
4.了解二项方程的概念,掌握二项方程的解法以及根的几何分布。
【教材内容全解】1.两个复数)sin (cos 1111θθi r z +=与)sin (cos 2222θθi r z +=相乘,有)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r .即两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于这两个复数的辐角的和. 2.根据三角形式的乘法法则,结合向量知识,可以对复数乘法的几何意义解释如下(图5-11):在复平面内作出1z 、2z 对应的向量,将向量按逆时针方向旋转一个角2θ(若02<θ,则按顺时针方向旋转一个角||2θ),再把它的模变为原来的2r 倍,所得的向量就表示积21z z ,也就是说,复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩.旋转方向与角度取决于另一复数的辐角,伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小.3.两个复数)s i n (c os 1111θθi r z +=与)sin (cos 2222θθi r z +=相除,有)0)](sin()[cos()sin (cos )sin (cos 2212121221111≠-+-=++z i r r i r i r θθθθθθθθ.即两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.4.根据三角形式的除法法则,结合向量知识,可以对复数除法的几何意义解释如下(图5-12):在复平面内作出1z 、2z 所对应的向量,将向量按顺时针方向旋转一个角2θ (若02<θ,则按逆时针方向旋转一个角||2θ),再把它的模变为原来的21r 倍,所得的向量就表示商21z z 。
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法一、实系数一元二次方程只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭,1.判定下列方程根的情况,并解方程1022=++x x ,0722=++x x ,0452=+-x x20122=+-x x 答:471i x ±=,05322=+-x x ,09222=+-x x 2.若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=3,求实数m 的值.|x 1-x 2|=3,|x 1-x 22|=9;则|x 1+x 22-4x 1x 2|=9,即|25-4m|=9.3.已知实系数一元二次方程2x 2+rx +s=0的一个根为2i-3,求r,s 的值.二、复系数一元二次方程虚根不一定成对,成对也不一定共轭;1.求方程x 2-2ix-5=0的解.当b 2-4ac ≥0时,方程的解都是实数吗 求方程x 2-2ix-7=0的解解方程:x 2-4ix+5=0;解方程:0)2(25222=--++-i x x x x 答:i x x 5351,221-==应用求根公式,不能用复数相等06)32(2=+++i x i x 答:i x x 3,221-=-=b 2-4ac 为虚数,2.解方程:x 2+1+ix +5i=0.251122=+++x x x x 答:4151,13,21i x x ±== 231122=+-+x x x x 答:4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1.方程x 2+m+2ix+2+mi=0至少有一实根,求实数m 的值和这方程的解.2.已知方程x 2+mx+1+2i=0m ∈C 有实根,求|m|的最小值.解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解,则实数m 满足的条件是 CA .41-≥mB .41-≤mC .121=mD .121-=m R k ∈,方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是 DA .4≥kB . 522-≤k 或522+≥kC .23±=kD .4-=k 一元二次方程缺少常数项,必有零根一个特殊的实根设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根,且3=-βα,求m;答:25=m 利用∆-=∆-=-i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x C k ∈的一个根,求k 的值;答:i 2323+不能用求根公式、虚根成对定理求解,可利用根适合方程解答关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根,而且2=-βα,则实数a 的值是 AA .45B .21C .52 D .2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i R a ∈有实根,求合适的a;答:37=a 或-3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根,求实数x 的值;答:571-=a 或11; 7.设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根,求实数t 的值;答:3-=a 8.。
5.3实系数一元二次方程的解法
5.3 实系数一元二次方程的解法
方程 + = 在实数集内无解.
在复数集中,
∵ = −
∴
= ±
一般地,对于实系数一元二次方程 + + =
当∆= − ≥ 时,方程有实数解;
当∆= − < 时,方程有虚数解.
如何表示 ∆< 的解呢?
=±
当∆= − < 时,实系数一元二次方程 + + =
在复数集中的两个根可表示为:
,
−
−
=
±
显然, 、 都是虚根,并且它们是一对共轭复数.
容易验证 、 还满足
+ = − ; =
也就是说,韦达定理在复数集中仍然成立.
例1 在复数集中,求解方程 − + = .
解:∆= − = (−) − × × = − <
−
−
∴ , =
±
=
±
× ×
∴ = +
; = −
−
±
−
1. 在复数集中解方程 = −.
2. 在复数集中解方程 + + = .
3. 已知实系数一元二次方程 + + = 的一个根是 − ,
求另一个根和, 的值.
A知识巩固
1. 在复数集中解方程
(1) + = () − + = .
= ( + )(−) =
高中数学复数运算公式
高中数学复数运算公式
复数
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考试内容:复数的概念;复数的加法和减法;复数的乘法和除法;数系的
扩充。
复数知识要点:复数是高中代数的重要内容,在高考试题中约占8%-
10%,一般的出一道基础题和一道中档题,经常与三角、解析几何、方程、
不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念,复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组,数形结合,分域讨论,等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数,三角,解析几何知识,相互转化的枢纽,这对拓宽学生思路,提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程,方程组,不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.
1.知识网络图
2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生
掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方
和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数
的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.3.复数中的。
一元二次方程的概念及其解法
⼀元⼆次⽅程的概念及其解法⼀元⼆次⽅程的概念及解法和讲义知识点⼀:⼀元⼆次⽅程的概念 (1)定义:只含有⼀个未知数........,并且未知数的最⾼次数是.........2.,这样的整式⽅程....就是⼀元⼆次⽅程。
(2)⼀般表达式:)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点:(1)只含有⼀个未知数;(2)且未知数次数最⾼次数是2;(3)是整式⽅程.要判断⼀个⽅程是否为⼀元⼆次⽅程,先看它是否为整式⽅程,若是,再对它进⾏整理.如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式,则这个⽅程就为⼀元⼆次⽅程.(4)将⽅程化为⼀般形式:02=++c bx ax 时,应满⾜(a ≠0)例1:下列⽅程①x 2+1=0;②2y(3y-5)=6y 2+4;③ax 2+bx+c=0 ;④0351=--x x,其中是⼀元⼆次⽅程的有。
变式:⽅程:①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中⼀元⼆次程的是。
例2:⼀元⼆次⽅程12)3)(31(2+=-+x x x 化为⼀般形式为:,⼆次项系数为:,⼀次项系数为:,常数项为:。
变式1:⼀元⼆次⽅程3(x —2)2=5x -1的⼀般形式是,⼆次项系数是,⼀次项系数是,常数项是。
变式2:有⼀个⼀元⼆次⽅程,未知数为y ,⼆次项的系数为-1,⼀次项的系数为3,常数项为-6,请你写出它的⼀般形式______________。
例3:在关于x 的⽅程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时,它是⼀元⼆次⽅程;当m=_____时,它是⼀元⼀次⽅程。
变式1:已知关于x 的⽅程(m+1)x 2-mx+1=0,它是() A .⼀元⼆次⽅程 B .⼀元⼀次⽅程 C .⼀元⼀次⽅程或⼀元⼆次⽅程 D .以上答案都不对变式2:当m 时,关于x 的⽅程5)3(72=---x x m m是⼀元⼆次⽅程知识点⼆:⼀元⼆次⽅程的解(1)概念:使⽅程两边相等的未知数的值,就是⽅程的解。
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复数集内一元二次方程
的解法
Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
复数集内一元二次方程的解法
一、实系数一元二次方程
只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭,
1.判定下列方程根的情况,并解方程
(1)022=++x x ,0722=++x x ,0452=+-x x
(2)0122=+-x x 答:471i x ±=,05322=+-x x ,09222=+-x x 2.若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=3,求实数m 的值.
|x 1-x 2|=3,|(x 1-x 2)2|=9;则|(x 1+x 2)2-4x 1x 2|=9,即|25-4m|=9.
3.已知实系数一元二次方程2x 2+rx +s=0的一个根为2i-3,求r ,s 的值.
二、复系数一元二次方程
虚根不一定成对,成对也不一定共轭。
1.求方程x 2-2ix-5=0的解.(当b 2-4ac ≥0时,方程的解都是实数吗) 求方程x 2-2ix-7=0的解
解方程:x 2-4ix+5=0;
解方程:0)2(25222=--++-i x x x x 答:i x x 5351,221-=
=(应用求根公式,不能用复数相等)
06)32(2=+++i x i x 答:i x x 3,221-=-=(b 2-4ac 为虚数,)
2.解方程:x 2+(1+i )x +5i=0.
2511
22=+++x x x x 答:4151,13,21i x x ±== 2311
22=+-+x x x x 答:4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题
1.方程x 2+(m+2i )x+2+mi=0至少有一实根,求实数m 的值和这方程的解.
2.已知方程x 2+mx+1+2i=0(m ∈C )有实根,求|m|的最小值.
解方程
关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解,则实数m 满足的条件是( C )
A .41-≥m
B .41-≤m
C .121=m
D .12
1-=m R k ∈,方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是( D )
A .4≥k
B . 522-≤k 或522+≥k
C .23±=k
D .4-=k 一元二次方程缺少常数项,必有零根(一个特殊的实根)
设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根,且3=-βα,求m 。
答:2
5=m 利用∆-=∆-=
-i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x (C k ∈)的一个根,求k 的值。
答:i 2323+(不能用求根公式、虚根成对定理求解,可利用根适合方程解答)
关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根,而且2=-βα,则实数a 的值是( A )
A .45
B .21
C .5
2 D .2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i (R a ∈)有实根,求合适的a 。
答:37=a 或-3
关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根,求实数x 的值。
答:5
71-=a 或11。
7.设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根,求实数t 的值。
答:3-=a 8.。