高中数学 圆的标准方程教案

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高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三

高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三

高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标:1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。

通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。

2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。

4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。

5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求:在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。

在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。

2.能力培养:能运用数学概念、思想方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据,并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题,并进行交流,形成数学的意思;从而通过独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,进行探索和研究。

3.思想教育:培养高一学生,学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度,勇于探索创新的精神,及欣赏数学的美学价值,并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。

高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作,两班学生共有120人,初中的基础参差不齐,但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好,很多学生不能正确评价自己,这给教学工作带来了一定的难度,为把本学期教学工作做好,制定如下教学工作计划。

高三数学《圆的标准方程》教学设计-精品教案

高三数学《圆的标准方程》教学设计-精品教案
基本信息
省市区
学校
姓名
联系电话
学科
数学
电子邮箱
年级
高三
教科书版本及章节
苏教版
单元(或主题)教学设计
单元(或主题)名称
圆的标准方程
1.单元(或主题)教学设计说明
教学活动活动1【导入】(一)创设情境(启迪思维)
情境1 让学生举出生活中圆形物体的实例(多媒体展示生活中圆形物体的图片)
情境2 屏山中学校园内一些圆形设施(展示自拍图)
[学生活动] 学生自己列出M点满足集合P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件
2.单元(或主题)学习目标与重点难点
本着高一新课程标准,在吃透教材基础上,我确定了以下的教学重点和难点
教学重点:
重点的依据:只有掌握了圆的标准方程及其应用,才能理解和掌握求圆的标准方程
教学难点:
问题1 “ 圆在我们的生活中无处不在,日出东方,车行天下,这些都是圆的具体表现形式。我问同学们一个问题:车轮为何设计为圆形,而不是其他的形状?”
[学生活动] 学生回答问题(若是方形,走起来颠簸,不舒服;不是圆形,转不起来)
[教师活动] 老师回答:正是圆,可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等,才保证了轮子转起来而不颠簸。
学生活动1
在讲授新课的过程中,我突出教材的重点,明了地分析教材的难点。
还根据教材的特点,学生的实际、教师的特长,以及教学设备的情况,我选择了多媒体的教学手段。这些教学手段的运用可以使抽象的知识具体化,枯燥的知识生动化,乏味的知识兴趣化。
还重视教材中的疑问,适当对题目进行引申,使它的作用更加突出,有利于学生对知识的串联、积累、加工,从而达到举一反三的效果。
[学生活动] 学生回答问题(若是方形,走起来颠簸,不舒服;不是圆形,转不起来)

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标:1. 理解圆的标准方程的概念和意义。

2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。

3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。

教学内容:1. 圆的标准方程的定义和意义。

2. 圆的标准方程的推导过程。

3. 圆的标准方程的应用实例。

教学步骤:第一章:圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念:引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念,复习圆的性质和特点。

1.2 圆的标准方程的定义:介绍圆的标准方程的定义,解释圆的标准方程的意义。

1.3 圆的标准方程的意义:引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用,以及它在实际问题中的应用。

第二章:圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程:介绍圆的参数方程的概念,引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。

2.2 圆的标准方程的推导:引导学生通过转化思想,将圆的参数方程转化为标准方程。

2.3 圆的标准方程的简化:引导学生学会简化圆的标准方程,理解圆的标准方程的不同形式。

第三章:圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质:引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质,如半径、直径等。

3.2 圆的方程与圆的位置关系:引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系,如相离、相切等。

3.3 圆的方程与圆的面积:引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积,理解圆的面积与半径的关系。

教学评价:1. 通过课堂讲解和练习,评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。

2. 通过课后作业和练习题,评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。

3. 通过小组讨论和问题解答,评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。

教学资源:1. 教学PPT:制作精美的教学PPT,展示圆的标准方程的概念和意义,以及推导和应用过程。

2. 练习题库:准备丰富的练习题库,包括不同难度和类型的题目,以供学生课后练习和巩固知识。

3. 教学案例:提供一些与圆的标准方程相关的实际案例,引导学生将理论知识应用于实际问题中。

高二数学教案 圆的方程9篇

高二数学教案 圆的方程9篇

高二数学教案圆的方程9篇圆的方程 1§7.6 圆的方程(第二课时)㈠课时目标1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2.待定系数法之应用。

㈡问题导学问题1:写出圆心为(a,b),半径为r的圆的方程,并把圆方程改写成二元二次方程的形式。

-2ax-2by+ =0问题2:下列方程是否表示圆的方程,判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么?①;② 1③ 0;④ -2x+4y+4=0⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得 -2ax-2by+ =0可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:+Dx+Ey+F=0 ①提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?[探索研究]将①配方得 : ( ) ②将方程②与圆的标准方程对照.⑴当>0时, 方程②表示圆心在 (- ),半径为的圆.⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).⑶当<0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.结论: 当>0时, 方程①表示一个圆, 方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:⑴和的系数相同,不等于0;⑵没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)[例2]求经过O(0,0),A(1,1),B(2,4)三点的圆的方程,并指出圆心和半径。

分析:用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ,求出D,E,F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。

分析:本题直接给出点,满足条件,可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究:到O(0,0),A(1,1)的距离之比为定植k(k>0)的点的轨迹又如何?当k=1时为直线,k>0时且k≠1时为圆。

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案一、教学目标1、理解圆的标准方程的推导过程。

2、掌握圆的标准方程的形式和特点。

3、能够根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径。

4、会用待定系数法求圆的标准方程。

二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程的推导。

圆的标准方程的应用。

2、教学难点圆的标准方程的推导过程中坐标变换的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示生活中常见的圆形物体,如车轮、圆盘等,引导学生思考圆的特征。

提问学生如何描述一个圆,从而引出本节课的主题——圆的标准方程。

2、知识讲解(1)圆的定义在平面直角坐标系中,以点\((a,b)\)为圆心,以\(r\)为半径的圆的定义是:平面内到定点\((a,b)\)的距离等于定长\(r\)的点的集合。

(2)圆的标准方程的推导设点\(M(x,y)\)是圆上任意一点,根据圆的定义,点\(M\)到圆心\((a,b)\)的距离等于半径\(r\)。

根据两点间的距离公式可得:\(\sqrt{(x a)^2 +(y b)^2} = r\)两边平方可得:\((x a)^2 +(y b)^2 = r^2\)这就是圆的标准方程。

(3)圆的标准方程的特点方程\((x a)^2 +(y b)^2 = r^2\)中,有三个参数\(a\)、\(b\)、\(r\),即圆心坐标\((a,b)\)和半径\(r\)。

当圆心在原点\((0,0)\)时,圆的标准方程为\(x^2 + y^2 =r^2\)。

3、例题讲解例 1:已知圆的圆心为\((2,-3)\),半径为\(4\),求圆的标准方程。

解:因为圆心为\((2,-3)\),半径为\(4\),所以圆的标准方程为\((x 2)^2 +(y + 3)^2 = 16\)例 2:求以点\((-1,2)\)为圆心,且过点\((3,4)\)的圆的标准方程。

首先计算半径\(r\):\(r =\sqrt{(3 + 1)^2 +(4 2)^2} =\sqrt{16 + 4} =2\sqrt{5}\)所以圆的标准方程为\((x + 1)^2 +(y 2)^2 = 20\)4、课堂练习(1)已知圆的圆心为\((-3,4)\),半径为\(\sqrt{5}\),写出圆的标准方程。

高二数学圆的标准方程教案 人教版 教案

高二数学圆的标准方程教案 人教版 教案

高二数学圆的标准方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程.(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导,培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力.(三)学科渗透点圆基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性;通过圆的标准方程,可解决一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育.二、教材分析1.重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程.(解决办法:(1)通过设问,消除难点,并详细讲解;(2)多多练习、讲解.)2.难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.(解决办法:使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意,再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,最后解决实际问题.)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读.四、教学过程(一)复习提问前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆).问题2:图2-9中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?求曲线方程的一般步骤为:(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.其中步骤(1)(3)(4)必不可少.下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(二)建立圆的标准方程1.建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).2.写点集根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.3.列方程由两点间的距离公式得:4.化简方程将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2. (1)方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.这时,请大家思考下面一个问题.问题5:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r 三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程:(请四位同学演板)(1)圆心在原点,半径是3;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.教师纠错,分别给出正确答案:(1)x2+y2=9;(2)(x-3)2+(y-4)2=5;指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5;(2)(x+4)2+(y+3)2=7;(3)(x+2)2+ y2=4教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.例3 (1)已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程;(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?解(1):分析一:从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数解决.解法一:(学生口答)设圆心C(a,b)、半径r,则由C为P1P2的中点得:又由两点间的距离公式得:∴所求圆的方程为:(x-5)2+(y-6)2=10分析二:从图形上动点P性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决.解法二:(给出板书)∵直径上的四周角是直角,∴对于圆上任一点P(x,y),有PP1⊥PP2.化简得:x2+y2-10x-12y+51=0.即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程.解(2):(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离:因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.这时,教师小结本题:1.求圆的方程的方法(1)待定系数法,确定a,b,r;(2)轨迹法,求曲线方程的一般方法.2.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d,圆半径为r:(1)点在圆上d=r;(2)点在圆外d>r;(3)点在圆内d<r.3.以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到).此例由学生阅读课本,教师巡视并做如下提示:(1)先要建立适当直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,便于计算;(2)用待定系数法求圆的标准方程;(3)要注意P2的横坐标x=-2<0,纵坐标y>0,所以A2P2的长度只有一解.(四)本课小结1.圆的方程的推导步骤;2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)轨迹法.五、布置作业1.求下列条件所决定的圆的方程:(1)圆心为 C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切;(2)过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切.2.已知:一个圆的直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).证明:圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.3.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.4.赵州桥的跨度是,圆拱高约为,求这座圆拱桥的拱圆的方程.作业答案:1.(1)(x-3)2+(y+5)2= 322.因为直径的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得:x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04.如图2-11建立坐标系,得拱圆的方程:≤y≤0)六、板书设计。

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高中圆的标准方程教案文档一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解圆的定义及相关概念;(2)掌握圆的标准方程及其推导过程;(3)能够运用圆的标准方程解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察、分析、推理等方法,探究圆的标准方程的形成;(2)运用数学符号、图形等工具,表示圆的位置和大小;(3)培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3. 情感态度与价值观:(1)培养学生对数学的兴趣和好奇心;(2)培养学生勇于探索、积极思考的精神;(3)培养学生合作交流的能力。

二、教学内容1. 圆的定义及相关概念:(1)圆的定义;(2)圆心、半径、直径等概念;(3)圆的性质。

2. 圆的标准方程:(1)圆的标准方程的推导;(2)圆的标准方程的形式;(3)圆的标准方程的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点:(1)圆的定义及相关概念的理解;(2)圆的标准方程的推导和应用。

2. 教学难点:(1)圆的标准方程的推导过程;(2)圆的标准方程在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 教学方法:(1)采用问题驱动法,引导学生主动探究;(2)运用分组讨论法,培养学生的合作能力;(3)采用案例分析法,让学生感受数学与生活的联系。

2. 教学手段:(1)利用多媒体课件,直观展示圆的定义和性质;(2)运用几何画板,动态演示圆的标准方程的形成;(3)提供实际问题,引导学生运用圆的标准方程解决。

五、教学过程1. 导入新课:(1)复习相关概念:点、线、角等;(2)引入圆的定义,引导学生观察生活中的圆;(3)提出问题:如何用数学语言表示圆的位置和大小?2. 探究圆的标准方程:(1)引导学生通过观察、分析、推理等方法,探究圆的标准方程的形成;(2)讲解圆的标准方程的推导过程,引导学生理解并掌握;(3)让学生运用圆的标准方程,解决实际问题。

3. 巩固练习:(1)提供一些有关圆的标准方程的练习题,让学生独立完成;(2)组织学生进行小组讨论,共同解答练习题;(3)教师对学生的解答进行点评和指导。

人教A版高中数学必修2《圆的标准方程》教案

人教A版高中数学必修2《圆的标准方程》教案

【教案设计】课题:《圆的标准方程》教材:普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2 §4.1.1一、教学目标:(1) 知识目标:①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据不同条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点:①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.三、教学方法与手段1.教学方法采用“启发式”问题教学法,用环环相扣的问题将探究活动层层深入.2.教学手段多媒体课件进行辅助教学.四、教学过程整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的,共分为五个环节:创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申(一)创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?通过对这个实际问题的探究,根据半圆的对称性建立平面直角坐标系,构建数学模型.把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程求D点的纵坐标来解决.同时学生自己推导出了圆心在原点,半径为4的圆的标准方程,从而很自然的进入了本课的主题.【设计意图】用实际问题创设问题情境,让学生感受到问题来源于实际,应用于实际,激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移.通过对问题一的探究,抓住了学生的注意力,把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来,此时再把问题深入,进入第二环节.(二)深入探究——获得新知问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?2.如果圆心为(,)a b ,半径为时圆的方程又如何呢?这一环节我首先让学生对问题一进行归纳,由勾股定理得到圆心在原点、半径为4的圆的标准方程2224x y +=后,引导学生归纳出圆心在原点、半径为r 的圆的标准方程222x y r +=.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种种方法等待着学生的探究结果,分别是:坐标法、勾股定理法、图形变换法.坐标法:引导学生根据圆的定义,圆上的点到圆心的距离等于常数,即两点距离公式推导圆心不在原点的标准方程.推导过程: 圆是这样一些点的集合P={M|︱MC ︱=r }已知圆心C(,)a b 半径r根据两点间的距离公式,圆上任意一点M 的坐标(x, y )r =化简,得到圆的标准方程 ()()222x a y b r -+-=图形变换法:借助多媒体的演示,让学生体会平移的过程,让学生了解利用图像平移的知识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程.得出圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台,进入第三环节..(三)应用举例——巩固提高I .直接应用 内化新知问题三 1.写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为3;(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,3).2.写出圆22(2)36x y ++=的圆心坐标和半径.我设计了两个比较简单的小问题,可以安排学生口答完成.【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系,为形成待定系数法求圆的标准方程打下基础,并为后续探究圆的切线问题作准备.II .灵活应用 提升能力问题四 求过原点O 和点P(1,1),且圆心在直线l:2310x y ++=上的圆的标准方程.设计这一题难度明显增大,需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解,从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学中应该突出对问题的分析过程,在分析过程中,要强调图形在分析问题中的辅助作用,引导学生根据题意画出图形.根据确定圆的要素-----圆心位置和半径长,借助图形,结合题设条件可以发现关键是找出圆心位置.圆心位置一旦确定,就可以利用距离公式确定半径大小,从而求出圆的标准方程.让学生自主探究出圆心位置,最后可得出:直线l 与线段OP 垂直平分线l '的交点即为圆心位置.解题过程:∵O (0,0),P (1,1)∴线段OP 的中点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭直线OP 的斜率10110op k -==- 因此线段OP 的垂直平分线 l ′的方程是111022y x x y ⎛⎫-=--+-= ⎪⎝⎭即 102310x y x y +-=++= 的解 圆心C 的坐标是方程组43x y ==- 所以圆心C 的坐标是(4,3)-解此方程组,得圆C的半径 5r OC === 所求圆的标准方程是()()224325x y -++=【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解,提高分析问题、解决问题的能力,养成良好的解题习惯,并且对数学思维的严谨性具有良好的效果.再一次为学生的发散思维创设了空间,又一次模拟了真理发现的过程,使探究气氛达到高潮. III .实际应用 回归自然问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m ,拱高OP=4m ,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱22A P 的长度(精确到0.01m ).由于圆拱是圆的一段弧,引导学生根据对称性建立直角坐标系,构建数学模型,再应用待定系数法求出圆的三个参数a 、b 、r ,继而确定圆的方程,从而求出点2P 的纵坐标.要想求出22A P 的长度,还要求出O 点的纵坐标.这样问题就会迎刃而解.但为使求解过程简单,圆心最好设在坐标原点.解题过程: 由题意建立直角坐标系,设圆心C 在坐标原点,如图所示设圆的半径为r 即CA=r 由已知得AO=10,CO=r-OP=r-4222Rt CA =CO +AO CAO ∆在中,()2222941014.52r r r =-+==即 解得222C 14.5y +=圆的方程x2P 点的横坐标为-2,代入圆C 方程可得2P 点纵坐标为14.36∵CO=14.5-4=10.5 即2A 点的纵坐标为10.5∴ 22A P =14.36-10.5=3.86 所以,支柱22A P 的长度大约为3.86米.【设计意图】问题五同时与引例相呼应,使学生形成解决实际问题的一般方法,培养了学生数学建模的习惯和用数学的意识.在教学中,我力求从生活走进数学,使数学回归生活.(四)反馈训练——形成方法问题六 求以点C(1 ,3)为圆心,并且和直线3470x y --=相切的圆的标准方程.【设计意图】接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中,我设计一个小题作为巩固性训练,给学生一块“用武”之地,一个展示自己的舞台.让每一位同学体验学习数学的乐趣,成功的喜悦,找到自信,增强学习数学的愿望与信心.(五)小结反思——拓展引申1.课堂小结问题七 通过本节的学习,你学到了哪些内容?最大的体验是什么?掌握了哪些学习数学的方法?【设计意图】为了发挥学生的主体作用,通过三个小问题让学生从知识、方法、体验三方面,自己对圆的标准方程的形式加以小结,提炼数形结合的思想和待定系数的方法.2.分层作业(A )巩固型作业:教材P120:练习1.(B )思维拓展型作业:已知圆的方程为2225x y +=,求过圆上一点A(4,-3)的切线方程.3.激发新疑问题八 1.把圆的标准方程展开后是什么形式?2.方程2268200x y x y +-++=表示什么图形?【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题,作为对这节课内容的巩固与延伸,让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题,旧的问题解决了,新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.(六)板书设计【设计意图】 遵循简洁、明显,突出重点的设计意图,板书演示如下:五、教学反思在教学中尝试采用创设问题情景,以问题驱动、层层铺垫,帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识;同时也试图改进学生的学习方式,以小组合作的方式展开,在合作中相互配合.灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式,更好地实现教学目标.这堂课展示了一个完整的数学探究过程,提出问题、自主探究,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习.在教学过程中,不失时机的进行数学文化渗透,除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外,更是体现出了数学探索原貌,让学生看到数学探索的艰难和有趣,更客观的认识圆及现实意义,这对接受和理解圆的方程大有裨益!【教案说明】(一)突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题,这是学生固有的难题,为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入,同时我借助多媒体课件的演示,引导学生真正走入问题的情境之中,并从中抽象出数学模型,从而消除畏难情绪,增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式,并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计,使学生在解决问题的同时,形成了方法,难点自然突破.(二)学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链,环环相扣,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下,由学生探究完成的.另外,我重点设计了两次思维发散点,分别是问题二和问题四,要求学生分组讨论,合作交流,为学生设立充分的探究空间,学生在交流成果的过程中,既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛,又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动,高效的完成本节的学习任务.(三)培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维,我在问题一中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,分层次探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神.本节是一个“动眼观察,动脑思考,动手做题,共同提高”的动态生成过程.对生成性课堂的突出事件,因势利导,随机应变,适当调整教学环节;同时,教学反应性评价与反馈性评价相结合,促进学生的自我评价,勇于贯彻“成功教育,一贯教育”的理念,把握评价时机、评价主体和形式的多样化,从而结合课堂气氛,使课堂教学达到最佳状态.。

高中数学 2.2.1《圆的标准方程》教案 北师大版必修2

高中数学 2.2.1《圆的标准方程》教案 北师大版必修2

总 课 题 圆与方程 总课时 第33课时 分 课 题圆的标准方程 分课时 第 1 课时 教学目标 掌握圆的标准方程,并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r .重点难点 根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r .引入新课问题1.在前面我们学习了直线的方程,只要给出适当的条件就可以写出直线的方程.那么,一个圆能不能用方程表示出来呢?问题2.要求一个圆的方程需要哪些条件?如何求得呢?1.圆的标准方程的推导过程:2. 圆的标准方程:_________________________________________________________. 例题剖析例1 求圆心是)32(- ,C ,且经过原点的圆的标准方程.例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为m 7.2,高为m 3的货车能不能驶入这个隧道?思考:假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道,限高为多少?例3 (1)已知圆的直径的两个端点是)21( -,A ,)87( ,B .求该圆的标准方程.(2)已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ,,)(22y x B ,.求该圆的标准方程. 例4 求过点)11(- ,A ,)11( -,B ,且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程. 巩固练习1.圆C :9)2()3(22=++-y x 的圆心坐标和半径分别为__________;__________.2.圆心为)43(- ,且与直线0543=--y x 相切的圆的标准方程为 .3.以)24(- ,为圆心且过点)21( ,的圆的标准方程为 . 4.若点)11( -,在圆25)2()(22=++-y a x 外,则实数a 的取值范围是 . 5.求过点)012( ,P 且与y 轴切于原点的圆的标准方程.课堂小结圆的标准方程推导;根据圆的方程写出圆心坐标和半径;用代定系数法求圆的标准方程.课后训练一 基础题1.写出满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为6: ;(2)经过点)36( ,P ,圆心为)22(- ,C : ;(3)经过点)22(- ,P ,圆心为)03( ,C : ;(4)与两坐标轴都相切,且圆心在直线0532=+-y x 上: ;(5)经过点)53( ,A 和)73( -,B ,且圆心在x 轴上: .2.求以点)51( -,C 为圆心,并与y 轴相切的圆的标准方程.3.已知点)54( -,A 和)16(- ,B ,求以线段AB 为直径的圆的标准方程.4.已知半径为5的圆过点)34( -,P ,且圆心在直线012=+-y x 上,求圆的标准方程.5.求过两点)40( ,A 和)64( ,B ,且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程.二 提高题6.已知点)11( ,P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部,求实数a 的取值范围.7.若圆C 经过点)12(- ,且和直线01=--y x 相切,并且圆心在直线x y 2-=上, 求圆C 的标准方程.。

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案圆的标准方程教案教学目标•了解圆的基本定义和性质•掌握圆的标准方程的推导过程•理解并能够应用圆的标准方程解决相关问题具体内容1.圆的定义–圆是由平面上到一个定点的距离恒为定值的点的集合。

–圆心:到圆上任意一点的距离相等的那个点称为圆心。

–半径:圆心到圆上任意一点的距离称为半径。

2.圆的性质–圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。

–圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。

–圆的直径是两个任意点之间的最大距离,等于半径的两倍。

3.圆的标准方程的推导–圆心为原点(O, 0)的标准方程:x2+y2=r2•推导过程:–假设圆上一点的坐标为(x, y)–利用圆的性质,得到点(x, y)到原点(0, 0)的距离表达式为√x2+y2–根据圆的定义,该距离应等于半径r,即√x2+y2=r–两边平方可得x2+y2=r24.应用示例–示例1:已知圆心为O(2, 3),半径为5,求圆的标准方程。

–示例2:已知圆的标准方程为x2+y2=16,求圆心和半径。

教学步骤1.引入圆的基本定义和性质,让学生了解圆的特点和基本概念。

2.介绍圆的标准方程的推导过程,引导学生理解推导思路。

3.提供示例,让学生通过实例练习应用圆的标准方程。

4.鼓励学生以小组或个人形式进行讨论,解决更复杂的问题。

5.结合生活和实际问题,让学生应用所学的圆的标准方程解决实际情况。

6.给学生一些拓展题,鼓励他们提出更多的问题和思考。

7.总结课程内容,强调圆的标准方程在解决几何问题中的重要性。

教学资源•教科书或教材相关章节•板书或投影仪,展示圆的标准方程的推导过程•实例问题和解答•拓展题目评估与反馈•在课堂上进行学生的练习和回答问题。

•布置课后作业,检查学生对圆的标准方程的理解和应用能力。

•检查学生解决实际问题的能力,如通过实例或情境题进行评估。

•综合评价学生在课堂讨论、练习和作业中的表现,提供反馈和指导。

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案教案标题:探索圆的标准方程教学目标:1. 理解圆的定义和特征。

2. 掌握圆的标准方程的推导和应用。

3. 能够在平面直角坐标系中画出给定标准方程所表示的圆。

4. 运用圆的标准方程解决实际问题。

教学准备:1. 平面直角坐标系的展示材料。

2. 活动所需的圆规、直尺和铅笔等绘图工具。

3. 已准备好的教学笔记,包括圆的定义和标准方程的推导过程。

4. 多个练习题和实际应用问题。

教学步骤:引入:1. 引起学生对圆形的兴趣,讨论生活中常见的圆形物体,并询问学生对圆的定义和特征的了解。

2. 通过展示图片或物体来强调圆形具有的共同特征,例如所有点到圆心的距离相等,没有边界等。

探索圆的标准方程:3. 提供圆的定义和标准方程的笔记,并指导学生理解标准方程的意义。

4. 解释标准方程中各部分的含义,包括圆心坐标和半径长度,并与平面直角坐标系的概念相联系。

5. 引导学生通过推导过程理解标准方程的来源,例如使用距离公式或平方根等数学工具。

6. 给予学生几个简单的示例,帮助他们应用标准方程,以画出给定圆的图形。

练习和应用:7. 分发练习题,让学生在纸上练习解决更多的圆方程问题,包括确定圆心和半径、根据标准方程画出圆、计算两圆的位置关系等。

8. 提供一些实际应用问题,例如计算圆形花坛的面积、判断人行道半径是否适合行人行走等,让学生将所学的圆标准方程应用到解决实际问题中。

9. 鼓励学生在解决问题时运用创造性思维,尝试推广标准方程的应用范围。

总结:10. 回顾圆的定义和标准方程的重要概念,并与学生一起总结所学内容。

11. 强调标准方程的应用价值和重要性,并与学生讨论圆的标准方程与其他几何图形方程的比较。

拓展活动:12. 鼓励有能力和兴趣的学生研究和探讨其他类型的圆方程(例如一般方程),并向全班展示他们的发现和应用。

评估方法:1. 教师观察学生在课堂练习和应用中的表现,包括解决问题的方法和正确性。

2. 整理并回答教师提供的问题。

圆的标准方程教案高中数学

圆的标准方程教案高中数学

圆的标准方程教案高中数学
一、教学目标:
1. 熟练掌握圆的标准方程的概念和计算方法;
2. 能够根据给定的信息,求解圆的标准方程;
3. 进一步理解圆的性质和应用。

二、教学内容:
1. 圆的标准方程的定义和示例;
2. 求解圆的标准方程的步骤;
3. 圆的相关性质和应用。

三、教学步骤:
1. 引入:通过举例说明圆的标准方程的重要性和应用场景;
2. 讲解:介绍圆的标准方程的定义和推导过程;
3. 演示:通过实例演示如何求解圆的标准方程;
4. 练习:让学生进行练习,巩固所学知识;
5. 总结:总结圆的标准方程的相关性质和应用。

四、教学材料:
1. 教科书《高中数学》;
2. 白板和彩色粉笔;
3. 课件PPT。

五、教学评估:
1. 学生通过练习题的答题情况;
2. 学生对于圆的标准方程的理解和应用程度。

六、拓展延伸:
1. 让学生自主探究圆的标准方程的推导过程;
2. 引导学生应用圆的标准方程解决实际问题。

通过以上教学方案,相信学生能够更好地掌握圆的标准方程的相关知识和技巧,为今后学习和工作打下坚实的基础。

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

教学案例1.4.圆的标准方程一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题,引导学生理解归纳本节的主要内容,培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示,引导学生探究、分析图形的几何特征,再用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何的问题转化为代数问题,体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景,使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力,掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法,提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点:圆的标准方程的推导。

难点:圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质,这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此,教师可在课堂上通过各种教学方法,帮助学生经历如下过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点,和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆,确定a、b、r,可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径,从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下,由学生自己比较、归纳得到。

本节知识结构如图所示五、课前准备教师:制作电脑课件学生:课前预习,搜集资料六、教学策略1 这是一节介绍新知识的课,而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程,所以本节力求“过程、结论并重;知识、能力、思想方法并重”。

圆的标准方程教案(一)

圆的标准方程教案(一)

圆的标准方程教案(一)圆的标准方程教案一、教学目标1.理解什么是圆的标准方程。

2.学会根据圆的特性写出圆的标准方程。

3.掌握使用标准方程解决与圆有关的问题。

二、教学内容1.圆的定义及特性。

2.圆的标准方程的推导过程。

3.根据圆的特性写出标准方程的方法。

4.解决与圆有关的问题。

三、教学步骤1.引入:通过举例子引入圆的定义及特性,让学生了解什么是圆。

•圆:由平面上距离一个固定点(圆心)的距离相等的所有点组成的集合。

•圆的特性:半径、直径、弧、圆心角等。

2.讲解圆的标准方程的推导过程。

•圆的标准方程:(x−a)2+(y−b)2=r2,其中(a,b)为圆心,r 为半径。

•讲解推导过程,并进行示范。

3.指导学生如何根据圆的特性写出标准方程。

•已知圆心和半径:直接代入公式。

•已知圆上一点和半径:利用点到圆心的距离公式求解。

4.练习解决与圆有关的问题。

•给出一些实际问题,要求学生根据题目分析并列出方程,然后解答问题。

5.总结与拓展。

•总结圆的标准方程的写法和应用。

•拓展圆的其他方程形式(如一般方程)。

四、教学资源1.教材:教科书相关章节。

2.板书:绘制圆的定义、特性、标准方程及推导过程。

3.实例题:多个与圆相关的问题实例。

五、教学评估1.课堂练习:分发练习题,要求学生计算圆的标准方程或解决与圆有关的问题。

2.课堂讨论:对学生解答的问题进行讨论,指出正确的解题方法和思路。

3.提问:针对圆的标准方程的推导过程和应用进行提问,检查学生的掌握情况。

六、扩展延伸1.提供更多与圆相关的应用问题,让学生综合运用标准方程解决问题。

2.引导学生进一步探究一般方程和其他形式的圆方程。

3.拓展至三维空间中的圆方程,引导学生思考与圆相关的几何问题。

高中数学圆的方程教案

高中数学圆的方程教案

高中数学圆的方程教案教学目标:1. 理解圆的定义及其性质。

2. 掌握圆的标准方程及一般方程的推导方法。

3. 能够利用圆的方程解决实际问题。

教学重点:1. 圆的方程的推导方法。

2. 圆的标准方程和一般方程的使用。

教学难点:1. 圆的方程的建立。

2. 圆的方程在解决问题中的应用。

教学过程:一、引入:教师出示一个圆形物体,引导学生讨论圆的定义及性质,引出圆的方程这一概念。

二、讲解:1. 圆的方程:a. 圆的标准方程:$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$,其中$(a,b)$为圆心坐标,$r$为半径。

b. 圆的一般方程:$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。

2. 推导:教师引导学生通过几何解题和代数推导,探讨圆的标准方程和一般方程的建立过程。

三、练习:1. 让学生练习根据已知条件写出圆的方程。

2. 给学生几道实际问题,让他们利用圆的方程解题。

四、总结:1. 通过讲解和练习,总结圆的方程的建立方法和应用。

2. 强调圆的方程在解决几何问题中的重要性。

五、拓展:教师可以引导学生研究其他类型的圆的方程,如与坐标轴平行、与坐标轴不平行的圆等。

六、作业:1. 完成练习题目。

2. 思考如何利用圆的方程解决更复杂的几何问题。

教学反思:本节课注重培养学生对圆的方程的理解和应用能力,通过引导学生探讨和推导,使他们更加深入地理解圆的性质和方程的推导方法。

同时,通过实际问题的应用,帮助学生将理论知识与实际问题相结合,提高他们的综合解决问题的能力。

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标:1. 理解圆的标准方程的概念及其意义。

2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点:圆的标准方程的概念及其运用。

教学难点:理解圆的标准方程的推导过程。

教学准备:圆的模型、黑板、粉笔、PPT。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用圆的模型,引导学生回顾圆的定义。

2. 提问:我们已经学过圆的哪些性质和公式?3. 引导学生思考:如何用数学公式来表示圆的性质?二、新课讲解(15分钟)1. 引入圆的标准方程的概念,给出圆的标准方程的定义。

2. 通过PPT展示圆的标准方程的推导过程。

3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。

4. 举例说明如何运用圆的标准方程解决实际问题。

三、课堂练习(10分钟)1. 让学生独立完成教材上的练习题。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。

四、巩固提高(10分钟)1. 让学生分组讨论,思考圆的标准方程在实际应用中的拓展。

2. 邀请学生分享他们的思考成果。

五、总结(5分钟)1. 回顾本节课所学的内容,让学生总结圆的标准方程的概念和运用。

2. 强调圆的标准方程在数学和实际生活中的重要性。

教学反思:本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、巩固提高和总结等环节,让学生掌握了圆的标准方程的概念和运用。

在教学过程中,注意引导学生思考,激发学生的学习兴趣,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过课堂练习和巩固提高环节,让学生将所学知识运用到实际问题中,提高了学生的应用能力。

总体来说,本节课达到了预期的教学目标。

六、实例分析(10分钟)1. 展示几个实际问题,让学生运用圆的标准方程解决。

2. 引导学生分析问题,列出方程,并求解。

3. 让学生分享解题过程和答案,讨论解题方法。

七、练习与拓展(15分钟)1. 让学生独立完成教材上的练习题。

2. 鼓励学生尝试解决更复杂的相关问题,进行拓展训练。

八、课堂小结(5分钟)1. 回顾本节课所学内容,让学生总结圆的标准方程的应用。

高中数学圆的方程教案

高中数学圆的方程教案

高中数学圆的方程教案我们需要明确教学目标。

本节课的目标是让学生能够:1. 理解并掌握圆的标准方程及其推导过程。

2. 学会如何根据不同的条件写出圆的一般方程。

3. 能够解决与圆的方程相关的实际问题。

我们将进入教学内容的详细部分。

一、圆的标准方程我们先从圆的定义开始。

圆是平面上所有与定点(圆心)距离等于定长(半径)的点的集合。

设圆心为\( O(h, k) \),半径为\( r \),任意一点\( (x, y) \)在圆上,根据定义,我们有:\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]这个方程就是圆的标准方程。

在这个环节,教师应该引导学生通过实际作图和计算来验证这个方程。

二、圆的一般方程在实际问题中,我们经常会遇到非标准位置的圆,这时就需要用到圆的一般方程。

一般方程的形式为:\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]其中,( D, E, F \)是与圆心和半径有关的常数。

通过配方,我们可以将一般方程转化为标准方程,从而确定圆心和半径。

这一部分,教师应该设计几个典型例题,让学生练习如何从一般方程转换到标准方程。

三、应用问题掌握了圆的方程之后,我们就可以解决一些与之相关的实际问题了。

例如,判断点与圆的位置关系、求解圆与直线的交点等。

这些问题不仅能够检验学生对知识的掌握程度,还能培养他们解决问题的能力。

四、课堂小结在本节课的教师应该对圆的方程进行总结,强调以下几点:- 圆的标准方程的由来和意义。

- 如何从一般方程推导出标准方程。

- 圆的方程在实际问题中的应用。

教师还应该布置适量的课后习题,以便学生巩固所学知识。

五、作业布置1. 写出下列各圆圆的方程:- 以原点为圆心,半径为5的圆。

- 圆心在点(3, -4),半径为2的圆。

- 已知一般方程\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0 \],求对应的标准方程。

2. 判断点(1, 2)是否在圆\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \]上,如果在,请说明是圆上还是圆内或圆外。

高中数学圆的方程教案模板

高中数学圆的方程教案模板

教学目标:1. 知识与技能:理解圆的标准方程及其推导过程,掌握圆的一般方程,能够根据圆的条件写出圆的方程。

2. 过程与方法:通过观察、实验、分析等活动,培养学生的几何直观能力和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生严谨求实的科学态度。

教学重点:1. 圆的标准方程及其推导。

2. 圆的一般方程。

教学难点:1. 圆的一般方程的应用。

2. 根据条件写出圆的方程。

教学准备:1. 多媒体课件。

2. 圆的几何图形。

3. 练习题。

教学过程:一、导入1. 回顾平面直角坐标系的相关知识。

2. 引入课题:圆的方程。

二、新课讲授1. 圆的标准方程(1)介绍圆的定义和性质。

(2)推导圆的标准方程:以圆心为原点,半径为r的圆的方程为x²+y²=r²。

(3)举例说明圆的标准方程的书写方法。

2. 圆的一般方程(1)介绍圆的一般方程的定义。

(2)推导圆的一般方程:以圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。

(3)举例说明圆的一般方程的书写方法。

三、巩固练习1. 给出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程和一般方程。

2. 给出圆的一般方程,求出圆心坐标和半径。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学的圆的方程知识。

2. 强调圆的标准方程和一般方程的应用。

五、作业布置1. 完成课后练习题。

2. 预习下一节课的内容。

教学反思:1. 在讲解圆的标准方程和一般方程时,要注意引导学生理解其推导过程,培养学生的逻辑思维能力。

2. 在巩固练习环节,要注重学生的实际操作能力,让学生在练习中巩固所学知识。

3. 在教学过程中,要关注学生的个体差异,针对不同学生的学习情况,给予适当的指导和帮助。

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第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程三维目标:知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点:圆的标准方程教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程:1、情境设置:在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。

(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得:222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程,得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例(1):写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程,并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。

探究:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外 (2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 (3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内例(2): ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析:从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.(学生自己运算解决)例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长等于CA 或CB 。

(教师板书解题过程。

)总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法:①、根据题设条件,列出关于a b r 、、的方程组,解方程组得到a b r 、、得值,写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.提炼小结:1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业:课本130p 习题4.1第2、3、4题 教学反思:4.1.2圆的一般方程三维目标:知识与技能 : (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x 2+y 2+Dx +Ey +F=0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法:通过对方程x 2+y 2+Dx +Ey +F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D 、E 、F .教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:课题引入:问题:求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究:请同学们写出圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r 2,圆心(a ,b),半径r .把圆的标准方程展开,并整理:x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-r 2=0.取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?把x 2+y 2+Dx +Ey +F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?(1)当D 2+E 2-4F >0时,方程②表示(1)当0422>-+F E D 时,表示以(-2D ,-2E)为圆心,F E D 42122-+为半径的圆; (2)当0422=-+F E D 时,方程只有实数解2D x -=,2E y -=,即只表示一个点(-2D ,-2E); (3)当0422<-+F E D 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形综上所述,方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同,不等于0. ②没有xy 这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

知识应用与解题研究:例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

()()222214441290244412110x y x y x y x y +-++=+-++= 学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。

②、运用圆的一般方程的判断方法求解。

但是,要注意对于()2214441290x y x y +-++=来说,这里的91,3,4D E F =-==而不是D=-4,E=12,F=9.例2:求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程解:设所求的圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x∵(0,0),(11A B ,),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组,可得:0,6,8==-=F E D∴所求圆的方程为:06822=+-+y x y x542122=-+=F E D r ;32,42-=-=-FD得圆心坐标为(4,-3).或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程,25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ,圆心坐标为(4,-3)学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、根据提议,选择标准方程或一般方程;②、根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组; ③、解出a 、b 、r 或D 、E 、F ,代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆上()2214x y ++=运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程。

分析:如图点A 运动引起点M 运动,而点A 在已知圆上运动,点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。

建立点M 与点A 坐标之间的关系,就可以建立点M 的坐标满足的条件,求出点M 的轨迹方程。

解:设点M 的坐标是(x,y ),点A 的坐标是()()00,.B 43M AB x y 由于点的坐标是,且是线段的重点,所以000043,,2224,23x y x y x x y y ++===-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动,所以点A 的坐标满足方程()2214x y ++=,即()220014x y ++= ()220014x y ++= ②把①代入②,得130p()()22241234,x y -++-=22312y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3整理,得x-2M ⎛⎫⎪⎝⎭33所以,点的轨迹是以,为圆心,半径长为1的圆22课堂练习:课堂练习130p 第1、2、3题 小结 :1.对方程022=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆)2.与标准方程的互化3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。

课后作业:130p 习题4.1第2、3、6题教学反思:4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标 1、知识与技能(1)理解直线与圆的位置的种类;(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当r d >时,直线l 与圆C 相离; (2)当r d =时,直线l 与圆C 相切; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交; 3、情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点:重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点:用坐标法判直线与圆的位置关系.三、教学设想教学反思:4.2.2 圆与圆的位置关系一、教学目标 1、知识与技能(1)理解圆与圆的位置的种类;(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 2、过程与方法设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离; (2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切;(3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交; (4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切; (5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含; 3、情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点:重点与难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系.三、教学设想教学反思:4.2.3 直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质;(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.3、情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.二、教学重点、难点:重点与难点:直线与圆的方程的应用.三、教学设想教学反思:。

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