万有引力场中高斯定理应用举例

侧面
ds = −g ∙ 2πrl
(20)
高斯面内包围的质量 mi = ρl,由引力场的高斯定理得到：
图2
−g ∙ 2πrl = −4πGρl g=
2G ρ l
(21)
方向垂直于细竿沿着径向指向细杆。于是高斯面上质量为m0 的质点受到的引力大小为： Fx =
2Gm 0 ρ a
(22)
方向垂直细杆沿着径向指向细杆。 这和方法(1)得到的结果相同。比较两种方法可知:应用引力场中的高斯定理大大简化了 繁琐的运算。
2
cos θ dy r2 sin θ dy r2
=
Gm 0 ρ a
(cos θ1 − cos θ2 )
(16)
=
Gm 0 ρ a
(sin θ2 − sin θ1 )
(17)
方向沿 y 轴负向;当a ≪ L L 为细杆的长度 时,细杆可视为无限长,这时有θ1 = 0，θ2 = π。于 是有： Fy = 0，Fx =
s
g ∙ ds =
上底
g ∙ ds +
下底
g ∙ ds +
侧面
g ∙ ds（19）
圆柱面的上下底面由于 g 的方向与 dS 方向处处垂直,故通量为 0。在圆柱的侧面,g 的 方向与 dS 方向处处夹 180 度角,且侧面上各点的 g 大小相等。因此 Φg =
s百度文库
g ∙ ds =
侧面
g ∙ ds = −g ∙
m 0 dm r2
= Gm0 ρ r 2
dy
(13)
dF 的 x,y 分量分别为： dFx = dF sin θ = Gm0 ρ
sin θ dy r2 cos θ dy r2
(14) (15)
dFy = dF cos θ = Gm0 ρ
图1
结合图中几何关系,对以上两式积分可得: Fx = Gm0 ρ 方向沿 x 轴负向; Fy = Gm0 ρ
2Gm 0 ρ a
(18)
1
`赤峰学院本科学年论文
2Gm 0 ρ a
因此无限长质量分布均匀的细杆对它附近的质点的引力大小 F= 径向指向细杆。
方向垂直于细杆沿着
用万有引力场中的高斯定理求解上述问题
由于空间的各向同性以及细杆质量分布的轴对称性可知:细杆周围的引力场强的分布也具有 轴对称性,它表现在:离开细杆距离相等的点 g 大小相等,这些点 g 方向垂直于细杆沿着径向指 向细杆。作如图 2 所示圆柱形高斯面并计算其引力场强通量 Φg =
`赤峰学院本科学年论文
利用牛顿万有引力定律和微积分求解问题
1.如图 1,有一质量分布均匀的无限长细杆,其单位长度上的质量为ρ,细杆外距离细杆 为 a 处有一质量为m0 的质点。求质点受到的细杆的万有引力。 解： 建立如图所示的坐标系,在 y 轴上选取长度为 dy 的质量微元 dm,则 dm=ρdy,质点m0 受到该质量微元 dm 的引力大小为 dF = G