3.1.3空间向量的数量积运算分析

AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
P
分析：用向量来证明两直线
垂直，只需证明两直线的方
向向量的数量积为 0 即可！
O A a l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
证明：取直线l的方向向量 a ,只要证 a PA 0
a PO 0 , a OA 0,
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA 0.
a PA,即l PA.
O A a l
同样的方法可以证明逆命题也成立。
例3：(用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l⊥n,求证: l ⊥ . l
求两点间的距离或线段长度的方法如下：
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所
成角的余弦值．
【解】设O→A＝ a，O→B＝ b，O→C＝ c，且 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，
易知∠ AOB＝∠ BOC＝∠ AOC＝π3， 则 a·b＝b·c＝c·a＝12. 因为O→E＝12(O→A＋O→B)＝12(a＋ b)， B→F ＝O→F－O→B＝12O→C－O→B＝12c－ b，
解：因为B→C＝O→C－O→B，
所以O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)
＝O→A·O→C－O→A·O→B
＝
|A→O||O→C|cosπ3－
→→ π |OA||OB|cos 3
＝1×1×12－1×1×12＝0，
所以O→A⊥B→C，即 OA 与 BC 所成的角为直角．
题型三：利用数量积解决距离问题
例 3：如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆
王新敞 奎屯
解：∵ CD BD BC ， ∴ ABCD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB与 CD的夹角的余弦值为 1 ． 2
练习： 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，
性质②：求向量的模或线段长或两点之 间距离.
4.空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b) ⑵ a b b a (交换律) ⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注意： 数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
题型一：利用数量积解决垂直问题
|O→E|＝ |B→F |＝
3， 2
所以O→E·B→F ＝1(a＋ b)·1c－ b
＝1a·c+1b·c-1a2·b－1b2＝2 －1，
4 42 2
2
→→ 所以 cos〈O→E，B→F〉＝|OO→EE|·|BB→FF|＝－23， 所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为2.
3
变式：求OA与BC所成的角．
2．向量夹角与异面直线所成的角的关系 若两个向量 a，b 所在直线为异面直线， 两异面直线所成的角为 θ.
(1)不同 之处：向量夹角的范围是： 0≤〈 a， b〉 ≤π， 异面直线所成角 θ 的范围是 0＜θ≤π2.
(2)联系： 当两向量的夹角为 锐角时， θ＝〈 a， b〉； 当两向量的夹角为钝角时，则 θ＝π－〈a，b〉．
证明两直线的垂直可以转化为证明这两 直线的方向向量垂直，将两个方向向量 表示为几个已知向量a，b，c的线性形式， 然后利用数量积为0说明两直线的方向向 量垂直，进而转化为直线垂直．
例2: 在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直.
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
gl
m
m n ng
分析：要证明一条直线与一个平面垂直,
由直线与平面垂直的定义可知,
就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
证明:在 内作与m ,n不重合的任一直线g,在 l, m, n, g
上取方向向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y) ,使
3.1.3 空间向量的数量积运算
1.空间向量夹角的定义:（起点相同）
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取 一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向 量 a 与 b 的夹角,
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ . a a, b =0 时, a 与 b 同向; a, b =π 时, a 与 b 反向. b
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
a b 的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3.空间向量数量积的性质
对于非零向量 a 、b , ①a b ab 0;
2
② a aa 即 a
2
a
.
性质①：证明向量或直线垂直；
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2.空间向量的数量积
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则 a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b . 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;
g xm yn ,
l
l g xl m yl n , l m 0，l m 0(为什么？) l g 0,即l g.
gl
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m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
题型二：利用数量积解决夹角问题
1． 由数量积公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|.所以求两个向量的夹角可以先求 数量积及向量的模，再代入公式求解．