流体力学第6章(7-11节)

K 1 K 2 2 n dA
A
例
试证明均匀流的速度环量等于零。
证明： 流体以等速度v∞水平方向流动，首先求沿 矩形封闭曲线的速度环量
12341 12 23 34 41 bv 0 bv 0 0
其次求圆周线的速度环量
K
2 0
v ABx v 1 ( v x v x x dx) 2 x
v BCy
v y v y v y 1 (vy dy v y dx dy ) 2 y x y
1 v v v ( v x x dx x dy v x x dy ) 2 x y y
stokes
1、汤姆逊（Thomson）定理
正压的理想流体在有势质量力的作用下沿任
何封闭流体线的速度环量不随时间变化，
即 d 0 。
dt
证明：
v d s ( v x dx v y dy v z dz )
d d ( v x dx v y dy v z dz ) dt dt
d ( x' )dx'
微段dx’上的涡通量dΓ 对P点的诱导速度为：
sind ( x' )dx' sin dv x 2r0 2r0 ( x' ) ydx' 2 ( x x' ) 2 y 2
在整个涡层AB上积分可得点P的诱导速度为：
1 vx 2


B
( x' )ydx'
( x x' ) y
2
B A
A
2
1 vy 2

( x' )(x x' )dx'
( x x' )2 y 2
若γ(x’)为定值，且涡层沿x轴伸展到±∞，则P的诱导 速度为：
vx 2
ydx' (x x' ) 2 y 2 2
永远保持为由相同流体质点所组成）。
证明：
在图中的涡管表面取一闭曲线K， 沿曲线K的速度环量为0。 由汤姆逊定理，相同流体质点 构成的封闭曲线的环量不变化， 仍然是0。 沿这一闭曲线为边界的曲面的涡通量也将为 0，表明这一曲面仍然是涡管表面的一部分， 即构成涡管表面的流体质点始终构成涡管表 面。
k
3）亥姆霍兹第三定理： 正压的理想流体在有势质量力作用下，涡管 强度不随时间而变化。
2 n dA C
A
亥姆霍兹第一定理说明涡管在流体中既不能 开始，也不能终止。
涡管在流体中存在的 形式： a. 首尾相连，形成封 闭的涡环或涡圈； b. 两端可以终止于边 壁上（固体壁面或自 由面）
2）亥姆霍兹第二定理
正压的理想流体在有势质量力作用下，组
成涡管的流体质点将始终组成涡管（涡管
[vx
理想流体的运动微分方程为：
1 dv x f x dt dv y 1 fy dt dv z 1 fz dt
p x p y p z
Ⅱ式积分：
dv y dv x dv z ( dt dx dt dy dt dz)
[vx d d d (dx) v y (dy ) v z (dz )] dt dt dt
Ⅰ
流线体
dv y dv x dv z ( dx dy dz ) dt dt dt
Ⅱ
d d d (dx) v y (dy ) v z (dz )] ( v xdv x v y dv y v z dv z ) dt dt dt Ⅰ式积分为： 1 v2 2 2 2 d( v x v y v z ) d( ) 2 2
第八节 理想流体旋涡运动 的基本定理
一、斯托克斯定理 该定理将速度场和旋涡场之间联系起来。 斯托克斯（Stokes）定理: 沿封闭曲线的速度环量 等于该封闭曲线内所有涡通量的和。
证明： 先证明微元封闭曲线的斯托克斯定理。
d v ABx dx v BCy dy v CDx dx v DAy dy
因为
AB B'A'
B'K 2B K 2
A'K1A K1
得到 ABK 2B'A'K1A K1 K2 由斯托克斯定理，有 K1 K 2 2A n dA 复连通区域的斯托克斯定理可以描述为：通过复 连通域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度 环量与所有内周线的速度环量总和之差。
一、涡线、涡管和涡束
1. 涡 线
定义：涡线是旋涡场中一条曲线，曲线上各点处
的旋转角速度矢量都与这一曲线相切。
涡线的微分方程：
dx
x

dy
y

dz
z
2. 涡 管
定义：在旋涡场中取一非涡线的闭曲线，通过这
一闭曲线上每点作涡线，这些涡线形成了一封闭
管状曲面，称为涡管。
与涡管垂直的断面
称为涡管断面。
汤姆逊定理得出结论：对于理想的正压流 体，在有势质量力作用下，旋涡不生不灭。 汤姆逊定理的应用——平面翼型起动涡的 问题。
2、亥姆霍兹（Helmholtz）定理
包括了三个基本定理，说明了旋涡的基本性质。 1） 亥姆霍兹第一定理 在同一时刻，通过涡管任意断面的涡通量 相同。
证明：
B B′
A A′
直线涡束AB在P点产生的诱导速度为：
v 4r0

2
1
sind (cos 2 cos 1 ) 4r0
半无限长涡束：
1

2
2 0
v 4r 0
无限长涡束：
1
2 0
v 2r 0
二、平面涡层的诱导速度
在无限流场中布置一涡列，这一涡列由多个无限长 涡束无间隔地直线排列而成，称为涡层。 设单位长度的旋涡密度为γ(x’)， 则dx’上的涡通量为：
第七节 理想流体的旋涡运动
如流体微团的旋转角速度ω≠0，则是有旋运动，
也称为旋涡运动。 理想流体的流动可以是有势的，也可以是有旋的。 但粘性流体的流动一般是有旋的。 第七-十节讲述理想不可压缩流体的旋涡运动，涉
及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡
通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理；
亥姆霍兹定理；毕奥-沙伐尔公式；卡门涡街。
应注意：上述运动规律的适应性以及实际流体的 运动情况。
第九节 旋涡的诱导速度
背景：旋涡集中于一条曲线附近的区域，
该区域以外流场是无旋的，可认为旋涡 集中分布在断面积为A的涡管内，涡管外 形成诱导速度场。 计算诱导速度借用电磁场的比奥-沙伐尔 公式： 电流强度 I dB sindl 2 4r
得到势函数的拉普拉斯方程： 边界条件：
2 2 2 2 0 2 2 x y z
物面上 v n n 0 无穷远处 v v
1、空间均匀流
建立直角坐标系(x, y, z)，设无穷远来流速度v∞ 与z轴平行，则速度分量为：
vz v
vx vy 0
v CDx
v DAy
v y 1 (vy dy v y ) 2 y
v y v x dxdy d x y
d 2 z dA
d dJ
证明了微元封闭曲线的斯托克斯定理，即沿微元 封闭曲线的速度环量等于通过该曲线所包围的面 积的涡通量。
2. 速度环量Γ 定义：某一瞬时在流场中取任意封闭曲线，在曲
线上取一微元线段 d l ，速度
速度环量。
v在
d l 的切线
上的分量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭曲线的
v dl
l
v d l v cos dl v xdx v y dy v z dz
微小断面的涡管称为
微元涡管。
3. 涡 束
涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管 里的涡束称为微元涡束。
表征速度场和旋涡场的常用概念 速 度 场 旋 涡 场 速度
v
流 线
流线的微分方程 dx dy dz vx vy vz 涡线的微分方程 dx dy dz x y z
一、空间势流的势函数 二、轴对称流动的流函数 三、几个基本轴对称流动的流函数 四、圆球绕流 五、轴对称体绕流
一、空间势流的势函数 势函数Φ与速度之间的关系式为：
vx x
vy y
vz z
将上述等式代入不可压缩流体的连续性方程：
v x v y v z 0 x y z
在涡管表面形成一空间封闭曲线ABB’A’A ABB 'A'A AB BB' B'A' A'A 0 因为 AB B'A' 所以 A'A BB' B'B
说明沿包围涡管任一断面封闭曲线的速度环量 等于零。再由斯托克斯定理，这些速度环量都 等于穿过这些封闭曲线所包围的断面的涡通量， 因此，涡管各断面上的涡通量都相同，即
( dW
1

dp)
因此
v2 d 1 [d dW dp] dt 2
正压流体，定义压力函数 dP 有
v2 d d W P 0 dt 2
1

dp
因为v、W、P均是时间 空间坐标的单值连续函 数 速度环量是常数，就证明了汤姆逊定理。
证明： 作任意封闭曲线L包围涡管， 根据斯托克斯定理，沿曲线L 的速度环量等于通过该曲线 所围面积的涡通量。 根据汤姆逊定理，速度环量 不随时间变化，因此，涡管 的旋涡强度不随时间变化。
L
结论： 汤姆逊定理和亥姆霍兹三个定理完整地描述 了旋涡运动规律：正压理想流体在有势质量 力作用下，组成涡线和涡管的流体始终组成 涡线和涡管，在运动过程中，涡管强度保持 不变。

vy 2
( x x' )dx' (x x' )2 y 2 0
第十节 卡门涡街
实际流体绕流一静止圆柱时，流体在圆柱体表
面分离后，将形成旋转方向相反的排列规则的
两列旋涡流向下游，形成卡门涡街。
驻点
A B S S
a)
分离点
b)
S
S
S
S
c)
d)
第十一节 空间势流
再证明此定理适用于有限大封闭曲线所包围的单 连通域。
di dJ
K J
K
可将斯托克斯定理推广至空间单连通区域。
对于复连通区域，需要做一些变换。
ABK 2B'A'K1A AB BK 2B' B'A' A'K1A
ABK 2B'A'K1A AB BK 2B' B'A' A'K1A
流管
流束
过流 断面
旋转角 速度

涡 线
涡管
涡束
涡管 断面
二、涡通量和速度环量
1.涡通量J (旋涡强度) 微元涡管内的涡通量:
dJ 2ndA
通过任一有限曲面的涡 通量为：
n
ωn ω
J 2 n dA
A
A
dA
非涡管断面
如果把旋转角速度比拟成速度，通过曲面的涡通量与 通过一曲面的流量相类似。
磁场强度
强度为Γ的任意形状涡束对于任意点P的 诱导速度为：
dv sindl 2 4r
速度方向由右手法则确定。 点P到dl的距离
长度为l的任意形状涡束对于任意点P的 诱导速度为：
v 4 sin l r 2 dl
一、直线涡束的诱导速度 r r0
sin
sin dl rd
1 p 1 p 1 p [(f x )dx (f y )dy (f z )dz ) x y z 1 p p p 质量力有势 [(f xdx f y dy f z dz ) ( x dx y dy z dz )]

K
v rd
v cosrd
v r cosd
0
2
0
同样可以证明均匀流沿任何其它形状的封闭 曲线的速度环量等于零。
二、汤姆逊定理和亥姆霍兹定理
流体线： 在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程 中始终是由同样的流体质点所组成。 直接研究涡通量 dJ 的随体变化规律 dt 研究旋涡的随体 变化规律的途径 先直接研究速度环 d 量的随体变化规律， dt 然后由斯托克斯定 dJ 理求出涡通量的随 √ dt 体变化规律