整式恒等变形一览(1)
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些整式乘法中的恒等变形技巧，那可是数学学习中的一把神奇钥匙！咱们一起来瞧瞧都有哪些好用的技巧。
先来说说“提取公因式法”。
这就好比从一堆水果中挑出大家都有的那个共同特点，比如式子“3x ＋6”，这里 3 就是公因式，咱们一提出来，就变成 3(x ＋ 2)啦。
我记得有一次给学生们讲这个，有个小调皮一直搞不明白，我就拿他们爱吃的糖果举例，说假如有 3 颗红色糖果和 6 颗蓝色糖果，咱们可以先把 3 颗这个共同的数量提出来，就相当于把这些糖果分成了 3 份，一份是 1 颗红色和 2 颗蓝色。
这么一说，那小调皮恍然大悟，眼睛都亮了起来。
再讲讲“公式法”，这里面最常用的就是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式(a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，就像两个人比赛跑步，速度快的和速度慢的一比较，差距就出来了。
完全平方公式(a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋b²呢，就像是给一个小房子搭建框架，长、宽和面积的关系一目了然。
还有“分组分解法”，这招有点像整理书包，把不同类的东西先分分组，再分别处理。
比如说对于式子“ax ＋ ay ＋ bx ＋by”，咱们可以把含 x 的放一组，含 y 的放一组，即 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y)，然后再提取公因式(x ＋ y)，就变成了（a ＋ b)（x ＋ y)。
“十字相乘法”也是个厉害的角色。
这就像是拼图游戏，要找到合适的数字组合。
比如对于式子“x² ＋ 5x ＋6”，咱们要找到两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6，那就是 2 和 3，所以就可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3)。
在实际解题中，这些技巧往往不是单独使用的，而是要灵活组合，就像炒菜要放各种调料一样，搭配好了才能做出美味的“数学大餐”。
我曾经碰到过一道题，式子长得那叫一个复杂“4x² 12xy ＋9y² 25”，一开始好多同学都被吓住了。
整式恒等变形
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第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0,求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法 强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋（x ＋y －2z )2－3（y －z )2－3（x －y ）2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ,z 为有理数（y －z )2＋（z －x ）2＋(x －y )2＝（y ＋z －2x ）2＋（x ＋z －2y )2＋（x ＋y －2z ）2，求的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实【例4】（1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】（1）若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边,且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0,求证：2b ＝a ＋c ．【练5】（1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ,c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ,满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．()()()()()()222111111y z z x x y x y z ++++++xy题型二 不定方程【例6】（1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．（2）已知a ＞b ＞c ≥0,求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ,c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数,且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0,求它的面积．(2）矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4x ＋8＝0，求x ,y ．【练9】已知x 2－6xy ＋10y 2＋2x －8y ＋2＝0，求x ，y ．【例10】已知实数a 、b 、c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0．则的值等于____．22365112x x x x ++++ba【练10】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝________．模块四 恒等变形→乘法公式 知识点睛【常见乘法公式】 1、二元二次：(1）(a ＋b )(a －b ）＝__________．(2)(a －b )2＝__________． 2、三元二次：(3)(a ＋b ＋c ）2＝_________．（4)a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝_______． 3、二元三次：(5）(a ＋b ）3＝______________．（6）a 3＋b 3＝______________． 4、三元三次：（7）(a ＋1)(b ＋1)（c ＋1)＝abc ＋ab ＋bc ＋ca ＋a ＋b ＋c ＋1(8)（a ＋b )(b ＋c )（c ＋a )＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋ab 2＋bc 2＋ca 2＋2abc(9)(a ＋b ＋c ）(ab ＋bc ＋ca ）＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋ab 2＋bc 2＋ca 2＋3abc(10)a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c ）(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ） 5、三元四次：(11）(a ＋b ＋c )（a ＋b －c )(b ＋c －a ）（c ＋a －b )＝－a 4－b 4－c 4＋2a 2b 2＋2b 2c 2＋2c 2a 26、二元n 次：(12）a n －b n ＝（a －b )（a n －1＋a n －2b ＋a n －3b 2＋…＋ab n －2＋b n －1）（13）a n ＋b n ＝（a ＋b ）（a n －1－a n －2b ＋a n －3b 2＋…－ab n －2＋b n －1）（n 为奇数） 7、n 元二次:（14）（a 1＋a 2＋…＋a n ）2＝a 12＋a 22＋…＋a n 2＋2a 1a 2＋2a 1a 3＋…＋2a 1a n ＋2a 2a 3＋2a 2a 4＋…＋2a n －1a n ．(15)a 12＋…＋a n 2＋a 1a 2＋…＋a 1a n ＋a 2a 3＋…＋a 2a n ＋…＋a n －1a n ＝［(a 1＋a 2)2＋…＋（a n －1＋a n )2] 强化挑战【例11】已知实数a 、b 、x 、y 满足a ＋b ＝x ＋y ＝3，ax ＋by ＝4,求(a 2＋b 2）xy ＋ab （x 2＋y 2）的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax ＋by ＝7，ax 2＋by 2＝49，ax 3＋by 3＝133，ax 4＋by 4＝406，试求1995（x ＋y ）＋6xy －(a ＋b )的值．【例12】若a ＋b ＋c ＝0，a 3＋b 3＋c 3＝0,求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．12172【练12】若a ＋b －c ＝3，a 2＋b 2＋c 2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛）设a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1． (1)求ab ＋bc ＋ca 的值；（2)求a 4＋b 4＋c 4的值．【练13】若a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝2，a 3＋b 3＋c 3＝，(1)求abc 的值;(2)求a 4＋b 4＋c 4的值．巅峰突破【例14】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014．【练14】已知a ＋b ＝c ＋d ,a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 5＋b 5＝c 5＋d 5,求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲 课后作业【习l 】已知x 2＋x －1＝0，求x 8－7x 4＋11的值．【习2】已知a ＋b ＋c ＝1，b 2＋c 2－4ac ＋6c ＋1＝0,求abc 的值．【习3】若m ＝20062＋20062×20072＋20072，则m ( )A ．是完全平方数,还是奇数B ．是完全平方数，还是偶数C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数83【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（ ) A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca,求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab（x2＋y2）的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1,求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．【习10】（第18届希望杯初一)有理数a，b,c满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】(十八届希望杯初二二试）已知a1，a2,a3，…,a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a＋a2＋…＋a2006）（a2＋a3＋…＋a2007）,N＝(a1＋a2＋…＋a2007）（a2＋a3＋…＋a2006),试1比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛）已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0,3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为____________．【习14】（2001年联赛）求实数x,y的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3)2＋（2x＋y－6)2达到最小值．。
创新人才选拔系列—代数恒等变形
创新人才选拔系列—代数恒等变形代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．例1已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．例2已知1989x2=1991y2=1993z2，x>0，y>0，z>0，且1x+1y+1z=1,求证：1989x+1991y+1993z=1989+1991+1993 例3求证：a2-bc(a+b)(a+c)+b2-ca(b+c)(b+a)=ab-c2(c+a)(c+b)例4已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．例5证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．例6设x，y，z为互不相等的非零实数，且x+1y=y+1z=z+1x 求证：x2y2z2=1．例7已知1x+1y+z=12,1y+1z+x=13,1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值。
例8已知实数abc=-1,a+b+c=4,aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=49,求a2+b2+c2的值。
巩固练习1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)． 3．求证：b-c(a-b)(a-c)+c-a(b-c)(b-a)+a-b(c-a)(c-b)=2a-b+2b-c+2c-a4.已知a=11-b,b=11-c,c=11-d,求证：a=d5．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．6．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证： (cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式作为数学中的基本工具之一，恒等变形在各种数学问题中都扮演着关键的角色。
本文将介绍14个常用的恒等变形公式，这些公式的掌握对于提高数学学习成绩和应对高考、数学竞赛等考试都有着重要的作用。
一、基本恒等变形1.加减同项式的恒等变形∵a+b+c+d+e+f=0∴a+b+c=-(d+e+f)2.去分母的恒等变形∵a/c=b/d∴ad=bc3.两边平方式的恒等变形∵a=c·d·e·f∴e·f=a/(c·d)4.拆分因式的恒等变形∵a²-b²=(a+b)(a-b)∴(a+b)(a-b)=a²-b²二、平方恒等变形5.一次二次(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²6.和差二次cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb7.平方差a²-b²=(a+b)(a-b)8.完全平方a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²三、三角函数恒等变形9.正弦cos²(a)+sin²(a)=1sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb10.余弦sin²(a)+cos²(a)=1cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb11.正切tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 12.双角sin2a=2sina·cosacos2a=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)13.半角sin(a/2)=√[(1-cos(a))/2]cos(a/2)=√[(1+cos(a))/2]tan(a/2)=sin(a)/(1+cos(a))14.万能公式sin(a±b)=(sinacosb±cosasinb)cos(a±b)=(cosacosb∓sinasinb)可以通过这些公式的使用，将复杂的数学运算转换成简单而直观的形式，使数学问题的解决变得更加容易和高效。
整式的恒等变形精品讲义
整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。
整式运算公式的变形
整式运算公式的变形1.合并同类项与提取公因式：在一个多项式中，如果两个或多个项的字母部分相同，则称它们为同类项。
同类项的系数可以进行加减运算。
例如，将2x+3x进行合并变形可以得到5x。
此外，还可以通过提取公因式的方法进行变形，例如将2x+4进行提取公因式变形为2(x+2)。
2.分配律：对于两个整式的乘积，可以通过分配律将其转化为两个整式的乘积之和。
例如，(3x+2)(4x+1)可以通过分配律变形为3x(4x+1)+2(4x+1)，然后再进行进一步的合并同类项变形。
3.乘法公式与平方差公式：针对特定的乘法运算，可以通过乘法公式或平方差公式进行变形。
例如，(x+2)(x-3)可以变形为x^2-3x+2x-6，然后再进行进一步的合并同类项变形。
4.除法公式与分式运算：在整式的除法运算中，可以利用除法公式将除法转化为乘法。
例如，将(x^2-1)/(x+1)进行除法公式变形可以得到(x+1)(x-1)/(x+1)，然后再进行约分或合并同类项变形。
5.幂运算与指数化简：在整式的幂运算中，可以利用指数法则对指数进行化简。
例如，(x^2)^3可以通过幂运算的性质变形为x^(2*3)，再进行进一步的乘法运算。
6.代数恒等式：在代数运算中，可以利用一些代数恒等式对整式运算公式进行变形。
例如，利用二次恒等式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，可以将x^2-4进行变形为(x+2)(x-2)，然后再进行进一步的合并同类项变形。
总结起来，整式运算公式的变形是在运用整式的基本运算法则的基础上，根据具体的运算需求选择合适的变形方法，将给定的整式运算公式进行简化、合并同类项、提取公因式、利用分配律、乘法公式与平方差公式、除法公式与分式运算、幂运算与指数化简、代数恒等式等变形，从而得到更简洁明了或更实用的结果。
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些整式加减法中的恒等变形技巧那可真是不少，掌握了这些技巧，能让咱们在数学的海洋里畅游得更轻松愉快！先来说说合并同类项吧。
这就好比把一堆水果分类，苹果跟苹果放一起，香蕉跟香蕉放一起。
比如 3x ＋ 5x，它们都含有 x 这个“同类”，那咱们就可以把它们合并成 8x。
我记得有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：2a ＋ 3a 4a，有个小同学刚开始有点懵，后来我就引导他想想家里的玩具车，红色的玩具车和蓝色的玩具车是不是都是玩具车呀，那 2 辆红色的玩具车加上 3 辆蓝色的玩具车再减去 4 辆红色的玩具车，是不是能算出来一共有多少辆玩具车啦？他一下子就明白了，很快算出结果是 a 。
所以呀，合并同类项就是把含有相同字母和相同字母指数的项合并在一起。
再说说去括号。
这就像是给整式脱掉一层“外套”。
如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；要是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
我给大家举个例子，比如 5 （3 x)，去括号就变成 5 3 ＋ x ＝ 2 ＋ x 。
有一回，我邻居家的孩子做作业的时候遇到了去括号的问题，怎么都搞不明白。
我就跟他说，你就把括号想象成一扇门，“＋”号的门打开后，里面的东西都原封不动；“”号的门打开后，里面的东西都得换个样子。
他听了之后，恍然大悟，作业很快就完成了。
还有添括号。
这就像是给整式穿上一件“新衣服”。
添括号时，如果括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，括到括号里的各项都要变号。
比如说，a ＋ b c ＝ a ＋（b c) ，a b ＋c ＝ a （b c) 。
记得有一次在课堂上做练习，有个同学总是在添括号的时候出错，我就给他打了个比方，说这添括号就像是给小动物找家，“＋”号的家很友好，小动物进去不用换样子；“”号的家有点特别，小动物进去得打扮打扮。
这之后，他就很少出错了。
整式加减法中的恒等变形技巧还包括整体代入。
七年级数学上册2.1整式恒等变形素材新人教版
恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．如：a+b＝b+a；2x+5x＝7x都是恒等式．而t2+6＝5t，x+7＝4都不是恒等式．以前学过的运算律都是恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法．1．如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的．如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个．反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项)．2．通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的．如：如果ax2+bx+c＝px2+qx+r是恒等式，那么必有：a＝p，b＝q，c＝r.例：求b、c的值，使下面的恒等成立．x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x＝1，代入①，得12+3.再设x＝2，代×1+2＝(1-1)2+b(1-1)+c,c＝6入①，由于已得c＝6，故有22+3×2+2＝(2-1)2+b(2-1)+6,b＝5.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.解二：将右边展开x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c,＝x2-2x+1+bx-b+c,＝x2+(b-2)x+(1-b+c).比较两边同次项的系数，得由②得b＝5,将b＝5代入③得,1-5+c＝2,c＝6.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值．。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
最新整式运算公式大全
（26）.(-a)³=-a³
（27）.(a-b)³=-(b-a)³
（28）.(-a-b)³=-(a+b)³
整式乘法公式导出公式：
（29）.a²+b²=（a+b）²-2ab
ab
（31）.（a+b）²=（a-b）²+4ab
（32）.（a-b）²=（a+b）²-4ab
二〇一五年九月
（33）.ab= （a+b）²-（a²+b²）
（34）.ab= （a²+b²）-（a-b）²
（35）.ab+ac+bc= （a+b+c）²-(a²+b²+c²)
（36）.a²+b²+c²-ab-ac-bc= （a-b）²+（a-c）²+（b-c）²
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单项式乘多项式：
（7）.a（b+c）= ab+ac
多项式乘多项式：
（8）.(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
（9）.(x+a)(x+b)= x²+（a+b）x+ab
平方差公式：
（10）.（a+b）(a-b)= a²-b²
完全平方公式：
（11）.（a+b）²= a²+2ab+b²
（12）.(a-b)²= a²-2ab+b²
（13）. （a+b+c）²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
整式恒等变形一览
整式恒等变形一览 The following text is amended on 12 November 2020.初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】 在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类.【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式()()22a b a b a b +-=-()()22a b a b b a ---=-（2）完全平方和、差公式222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+（3）平方和与完全平方和差的关系()2222a b a b ab +=+-()2222a b a b ab +=-+（4）完全平方和差的关系()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+（5）三项和完全平方公式()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++（6）两项轮换差的完全平方和()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦ （7）十字相乘法()()()2x p x q x p q x pq ++=+++（8）分组分解法()()ax by ay bx a b x y +++=++【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-（2）完全立方和、差公式33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-（3）立方和差与完全立方和差的关系()()3333a b a b ab a b +=+-+()()3333a b a b ab a b -=-+-（4）杨辉三角()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ()554322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-（5）四项和完全平方公式()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++【几个比较有名的配方公式】（1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++ 这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()2444222a b a b a ab b +++=++（3）()()()222222111n n n n n n +⋅+++=++（4）()()()2224444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数.（6）()()()()()22222223122a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式.（7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】.当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。
整式恒等变形
第8 讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝____________ 【例1】（第14 届“希望杯”邀请赛试题练1】（1990 年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7 的值．题型二整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1 试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1 时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简（y＋z－2x）2＋（z＋x－2y）2＋（ x＋y－2z）2－3（y－z）2－3（x－y）2－3（x－z）2．【练3】已知x，y，z 为有理数（y－z）2＋（z－x）2＋（x－y）2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y）2＋（x＋y－2z）2，求yz 1 zx 1 xy 1 的值．x2 1 y2 1 z2 1模块二题型一恒等变形→因式分解与不定方程因式分解基础夯实【例4】（1）已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于（2）若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝______________ ．【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋⋯＋x2012＝______________ ．（2）已知15x2－47xy＋28y2＝0，求x的值．y强化挑战【例5】已知：a、b、c 为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．练5】（1）在三角形ABC 中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c 是三角形的三边，求证：a＋c ＝2b．(2)已知△ ABC 三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0 的整数解(x≤y)为_____________ ．(2)已知a> b> c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011 的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y 均为整数，且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．例7】(2000 年联赛)实数x，y 满足x≥y≥1 和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_________2练7】当x 变化时，分式3x 6 x 5的最小值是 ___________________1 x2 x 12模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．例10】已知实数a、b、c 满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b的值等于a练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝__________模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：（1）（a＋b）（a－b）＝．2 ____________________ （2）（a－b）2＝．2、三元二次：（3）（a＋b＋c）2＝_____ ．222（4）a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ __ ．3、二元三次：3（5）（a＋b）3＝___________ ．（6） ___________________a3＋b3＝．4、三元三次：（7）（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1（8）（a＋b）（b＋c）（c＋a）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc2 2 2 2 2 2（9）（a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）＝a b＋b c＋c a＋ab ＋bc ＋ca ＋3abc（10）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）5、三元四次：3 4 4 2 2 2 2 2 2（11）（a＋b＋c）（a＋b－c）（b＋c－a）（ c＋a－b）＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2 6、二元n 次：（12）a n－b n＝（a－b）（a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋⋯＋ab n－2＋b n－1）（13）a n＋b n＝（a＋b）（a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋⋯－ab n－2＋b n－1）（n 为奇数）7、n 元二次：（14）（ a1＋a2＋⋯＋a n）2＝a12＋a22＋⋯＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋⋯＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋⋯＋2a n－1a n．2 2 1 2 2（15）a1 ＋⋯＋a n ＋a1a2＋⋯＋a1a n＋a2a3＋⋯＋a2a n＋⋯＋a n－1a n＝[（a1＋a2）＋⋯＋（a n－1＋a n） ]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．2【练11】（第6 届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995（ x 17 ＋y）＋6xy－（ a＋b）的值．2例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝__________________【例13】（2009 年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．（1）求ab＋bc＋ca 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8，3 （1）求abc 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x 2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013第8 讲课后作业习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11 的值．习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc 的值．习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）A ．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数习4】正整数a、b、c 是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有（） A．1 个B．2个C．3 个D．4 个习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（）A ．恒正B ．恒负C．可正可负 D ．非负习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．2 2 2 2习7】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．习9】（1999 年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010 的值．习10】（第18 届希望杯初一）有理数a，b，c 满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（十八届希望杯初二二试）已知a1，a2，a3，⋯，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋⋯＋a2006）（a2＋a3＋⋯＋a2007），N＝（ a1＋a2＋⋯＋a2007）（a2＋a3＋⋯＋a2006），试比较M、N 的大小．习12】（2013 年联赛）已知实数x，y，z 满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝____________ 习13 】（2013 年竞赛）已知正整数a、b、c 满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为习14】（2001年联赛）求实数x，y 的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋（2x＋y－6）2达到最小值．。
沪教版(五四制)七年级数学上册 第九章整式： 整式的恒等变形讲义(无答案)
第2讲 等式的恒等变形一、代数式的恒等变形：把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用.整式的恒等变形是是代数式恒等变形的基础，涉及的主要内容有：整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解的有关知识等.分式的恒等变形以整式的恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，涉及的主要内容有：分式的性质与概念的灵活应用、四则运算、化简求值及恒等证明.二、等式的分类：（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.如：123+=，23x x x +=，()()22a b a b a b +-=-（2）条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立.如：23x +=只有在1x =时才成立.（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立.如：125+=，23x x +=+三、等式的证明：等式的证明分为恒等式的证明和条件等式的证明.恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边 证到另一边，或者证两边等于同一结果.；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系.（1）等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”.（2）等式证明的常用方法有：①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）;②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）;③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为1）.【例题1】 （1）若335,50a b a b +=+=，求22a b +的值。
（2）已知()()2216,9a b a b +=-=，求33a b ab +的值。
（3）已知()()2216,9a b a b +=-=，求44a b ab +的值。
【例题2】（1）已知210,a a +-=求32243a a ++的值。
第1讲：整式的恒等变形
第一讲 整式的恒等变形【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。
其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）3223333)(b ab b a a b a ±+±=±（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++（3）))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：一、运用运算性质和法则➢ 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。
➢ 例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。
➢ 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。
二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
➢ 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++➢ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。
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初中数学中的整式恒等式一览表
草根雾岩
@初中理科班数学
学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们
进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！
【1】
在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同
难度要求对恒等式进行分类.
【课内涉及的恒等式】
（1）平方差公式
()()22a b a b a b +-=-
()()22a b a b b a ---=-
（2）完全平方和、差公式
222()2a b a ab b +=++
222()2a b a ab b -=-+
（3）平方和与完全平方和差的关系
()2
222a b a b ab +=+-
()2
222a b a b ab +=-+
（4）完全平方和差的关系
()
()2
2
4a b a b ab +--=
()()
()22
222a b a b a b ++-=+
（5）三项和完全平方公式
()
2
222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++
（6）两项轮换差的完全平方和
()()()222
22212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=
-+-+-⎣
⎦ （7）十字相乘法
()()()2x p x q x p q x pq ++=+++
（8）分组分解法
()()ax by ay bx a b x y +++=++
【自招中涉及的公式】
（1）立方和、差公式
2233()()a b a ab b a b +-+=+
2233()()a b a ab b a b -++=-
（2）完全立方和、差公式
33223()33a b a a b ab b +=+++
33223()33a b a a b ab b -=-+-
（3）立方和差与完全立方和差的关系
()()3
333a b a b ab a b +=+-+
()()3
333a b a b ab a b -=-+-
（4）杨辉三角
()
5
54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ()
5
54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-
（5）四项和完全平方公式
()
2
2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++
【几个比较有名的配方公式】
（1）()()()()()()2
2
2
2
2222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++
这是著名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二
元柯西不等式. （2）()()2
4
44222a b a b a ab b +++=++
（3）()()()2
2
2
222111n n n n n n +⋅+++=++
（4）()()()2
2
2
4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-
该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()2
2123131x x x x x x ++++=++
该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()2
2
2
2
2223122
a b b c c a a b c a b c -+-+-=
++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+
双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一
切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】
.
当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。
【竞赛中常见的恒等式】 （1）()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---
()()()()222
12
a b c a b b c c a ⎡⎤=
++-+-+-⎣⎦
一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关. 这个恒等式有很多称号，
小编还查不到不知道哪个是真的. 从它可以得到下面的恒等式：
()()()()
333
2
2
2
2
2
2
3
a b b c c a ab bc ca a b b c c a -+-+--++---=
从它还可以推出三项的均值不等式. （2）两项n 次方差公式 （Ⅰ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（n 为正整数） （Ⅱ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=+-++-（n 为正偶整数）
（Ⅲ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇整数）
后两个公式都源于公式（Ⅰ），都是b 取b -后，公式（Ⅰ）分别在奇数次幂和偶
数次幂条件下展现的结果. 所以只要记住第一个公式就可以啦！ （3）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++
这个公式的多元推广形式可用于求正整数n 的所有正因数的和. 展开后的结果非
常好记忆. 它的姊妹就稍微难一点： （4）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c ---=---+++-
（5）()()2222223a b c ab bc ca a b ab b c b a a a c c c b c ++++=++++++ （6）()()()2222222a b b c c a a b ab b c bc c a ca abc +++=++++++
上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个abc ，常被用于证明一些有关分
式的条件恒等式. （7）()()()222222a b b c c a ab bc ca a b b c c a ---=++---
式子左边再乘以一些对称式（例如a b c ++、222a b c ab bc ca ++---）可以得到
一些很漂亮的结果. （8）()()()()444222222222a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a -++-++-++-=++--- 等式左边将来会出现在著名的“海伦公式”中.
（9）()()()1111n n n n n n αβαβαβαβαβ++--+=+⋅+-⋅+
这个公式主要用于求递推数列n n n T αβ=+的值，对给定,k l αβαβ+== ，上式
可改写为：11n n n T k T l T +-=⋅-⋅. 这样可逐步递推求得n T 的值. 可解决例如这样的问
题：求2016
的末位数. 其推广形式为牛顿公式.
（10）()()3
3
33611x x x x x =++---
由这个恒等式可以证明任何整数都能表示成五个整数的立方和的形式.
【学生小课题级别】
（1）多项和完全平方公式
2
2
112n n
i i i j i i i j a a a a ==≠⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭
∑∑∑
（2）三项和的完全立方展开式：()3
a b c ++ （3）牛顿公式法
即用基本对称式()1i i n σ≤≤表达1n
k k i i S x ==∑. 例如：考虑3n =时，记
123,,x y z xy yz zx xyz σσσ=++=++=
则有：
11
2212
33112341322315142332
233S S S S S S S S S S S σσσσσσσσσσσσσ==-=-+=-+=-+ 78年的上海数学竞赛中出现过这样一个条件恒等式的证明【2】
.
若,,a b c 是实数，且满足0a b c ++=，试证明： （Ⅰ）555222333
523a b c a b c a b c ++++++=⋅
.
（Ⅱ）777222555
725
a b c a b c a b c ++++++=⋅
以及求下面这个恰定方程的实根问题，都可以用牛顿公式顺利解决.
确定方程组 222555
333
x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 的所有实数根.
附注：
【1】 听到 @ Xu 老师调侃时的妙句，改编收录于此！ 【2】 来自王志雄老师的一本书.
【3】 题引自《数学奥林匹克试题背景研究》刘培杰著.。