高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷

（第二轮 考试时间60分钟，满分100分）

班级 姓名 得分

一、选择题（每题６分，36分）

1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ）

（A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910

-

---等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)107 3 ．某公司从2001年起每人的年工资

主要由三个项目组成并按下表规定实施：

若该公司某职工在2005年将得到的住房

补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，

到2005年底这位职工的工龄至少是

（ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4

年（D ）5年

4.若F(11x x

-+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x

+-（C ）F(x -1)=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ）

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件

6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ）

A ．9

B ．26

C ．34

D ．6 二、填空题（每题5分，25分）

7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________.

9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。

10.已知函数

1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R ∈时，()()_______,f g x =()()_______.

g f x = 11. 方程)1|1(|322--=-x x x 的根是__________________.

三、解答题（39分）

12. 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数的积、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.（9分）

13.已知x ，y ，z 是实数，a ≥0且满足①x+y+z=a ，②.212222a z y x =

++ 求证：0≤x ≤

,32a 0≤y ≤,32a 0≤z ≤.32a （10分）

14.已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3α,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2α，

求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.（10分）

15. 某种绘图装置可沿横、纵、斜方向以每秒1cm 的速度

移动，该装置可在纸面上描出线来，也可以离开纸面在空中运

行．现用这个装置绘制右边的图形，问至少要用几秒？图中各

角均系直角，该装置离开纸面的时间略而不计．（1995年日

本数学奥林匹克预选赛题2）（10分）

参考解答

一、选择题:ACCBAD

二、填空题

7.2或4 8. 2005.5 9. 1，5 10. [(]1f g x = [()]0g f x =

11.2或3或0或－1

三、解答题

12.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3+(-3)+4=4.

(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:

1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=－14.

(3).任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-－56.

（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：

1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3 ×（-3）+1×（-1）×3×（-3）= 49；

1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=196 1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=－36；

1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=－144. 所以，所求的和为-1.

法2 （1+a ）(1+b)(1+c)…（1+g ）＝1＋（a ＋b+c+…＋g ）＋（ab ＋bc ＋…＋fg ）＋…＋abc …g ，取a ＝－1，b ＝－2，…，g ＝4得（a ＋b+c+…＋g ）＋（ab ＋bc ＋…＋fg ）＋…＋abc …g ＝－1

13.证明 由①得z=a-x-y ，代入②整理得.0)44()(44222=+-+-+a ax x y a x y 此式可看作关于y 的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△=16（x-a ）2-16（4x 2-4ax+a 2）≥0)23(16a x x --⇔≥00⇔≤x ≤

.32a 同理可证：0≤y ≤a 32，0≤z ≤a 32 法2：（z －a ）2＝（x ＋y ）2，222212

x y a z +=-，由柯西不等式（x ＋y ）2≤2222(11)()x y ++ （z －a ）2≤2(2212a z -), ∴3z 2－2az ≤0，a ≥0 ∴0≤z ≤a 32同理0≤x ≤,32a 0≤y ≤2.3

a 14.证明 连结BD 、CE. ∵BC=CD=DE ，∠BCD=∠CDE ，∴△BCD ≌△CDE. 又∠BCD=180°-2α,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α, ∠CDE ＝180°-3α ∴∠CDE ＋∠CAE=180°-3α+3α＝180°

∴A 、C 、D 、E 四点共圆，同理A 、C 、D 、B 四点共圆.由于过A 、C 、D 有且只有一个圆，∴A 、B 、C 、D 、E 共圆. ∵BC=CD=DE ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α. 15解 当图形成一笔画时用时最少．但上图有4个奇顶点，要使

之成为一笔画，须用一条线段连接其中两个奇顶点．显然，用线段将

AB 连接，则由C 开始到D 结束构成一笔画图形，其中该装置在A

到B 部分离开纸面，这样用时最少，总共须用.