中线、中位线专题

中线、中位线专题

例题1．（ 04南通）已知：△ABC 中，AB=10．

（1）如图①，若点D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，求DE 的长；

（2）如图②，若点A 1，A 2把AC 边三等分，过A 1，A 2作AB 边的平行线，分别交BC•边于点B 1，B 2，求A 1B 1+A 2B 2的值；

（3）如图③，若点A 1，A 2，…，A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，•分别交BC 边于点B 1，B 2，…，B 10．根据你所发现的规律，直接写出A 1B 1+A 2B 2+…+A 10B 10的结果．

B A

①

E

D C

变式．(2009年温州)如上图，一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张

例题2、已知：如图：四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线交FE 延长线于H 、G 。求证：∠BHF=∠CGF

变式：已知如图，四边形ABCD 中，E 、F 为AD 、BC 中点，AB 与CD 不平行.

B 2

B 1A 1A 2

B A

②

C B 10

B 3

A 3

A 10

B 2B 1

A 1

A 2B

A

③

C

求证：)(2

1

EF CD AB +<

例题3. 已知如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，BE 平分∠dbc 交AC 于F 交DC

于E ，求证：OF=

12

QE

例题4.已知：如图27-3-45①所示，BD 、CE 分别是△ABC•的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，

AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ．连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，•易证FG=12

（AB+BC+AC ）．若（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）•BD•为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，•线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，•并对其中的一种情况给予证明．

练习

1．梯形上底长为L ，中位线长为m ，则连结两条对角线中点的线段长为（ ）

A ．m-2L

B ．

2

m

-L C ．2m-L D ．m-L 2.（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角

形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°

3． 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，•垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于_________．

4. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．

5. （2008桂林市）如图，矩形A 1B 1C 1D 1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形A 2B 2C 2D 2，再顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2四边中点得到四边形A 3B 3C 3D 3，依此类推，求四边形A n B n C n D n 的面积是 。

6． 若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm 和9cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

7．如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD

的中点，求证：

（1）MN ∥BC ；（2）MN=

1

2

（BC-AD ）．

8．（2009年黄石市）如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ． （1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；

（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

A

F N

D C B M E

O