浅谈柯西不等式的应用和推广

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浅谈柯西不等式及其应用

＝
［ｃ２【ｃ：Ｌ）Ｌ］ｉ］ｎ毫Ｊ；Ｊ＝．１ｌｉ
・／Ｉｘ￣２－，
、０／１
≥Ｉ ∑
当仅当且
时取等号．
＝警
＝… ＝
０
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Ｖ啦
＝ …＝
Ｖａｎ
，ｌ即Ｘ： …：：
（）５构造二次函数法
１．引言
２２证明柯西不等式．（）１用矩阵乘积的行列式
与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式则是刻画不等现象的数学模型，通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了构建不等式的模型思想．
，
（卢，卢）＝ｂ＋ｂ＋… ＋ｂ，；：
当且仅当＋０（＝１２ｂ＝ｉ，，…，ｎ，即孚＝＝）Ｌ＝ …
Ｏ１Ｄ’
、：ｌｉ
于有 ∑ ２ ∑ ）｛是（ ≤（儡・∑６．）ｚ
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２３推论．２３１推论１．．
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已知ａ１，… ，ｎｌ（，２）是正数，缸∈Ｒ（＝１，… ，ｎｉ，２）
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且∑啦１则∑ ≥（１＝， ∑ ｚ．
（ｌａ＋啦＋… ＋），
所鲁＋＋寺以普鲁≥ 若
２３４推论４．． ∑啦＝，则

浅谈柯西不等式的应用及推广

浅谈柯西不等式的应用及推广于是n=k+1时不等式成立。

由i ) ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。

1.4 利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数n n b b b a a a ,,,;,,,2121 有柯西—拉格朗日恒等式()()()()()()()()()211222223322112133121221222112222122221---++-++-+-++-+-=+++-++++++n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a由实数性质()R ∈≥αα02可得柯西不等式成立。

以上给出了柯西不等式的几种证法。

不难看出柯西不等式的重要性。

它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。

所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。

2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。

柯西不等式的应用及推广

3.1 配方法
。
由此证明了且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当或时，不等式显然成立
令，当中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数，展开得：故的判别式
移项得，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有，不等式成立。
当n=2时，
因为，故有
当且仅当，即时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于，也等价于。
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
……
，当且仅当，即时等号成立。
把以上个式子相加得
。
当且仅当时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若为正数，为非负数，，实数，则
（当且仅当时等号成立）。
在以上推广不等式中取。
有。
化简得，。
当为零或几个为零（处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。

柯西不等式的证明、推广和应用

●
专题研究
・
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பைடு நூலகம்
辔雾
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柯西不等式的证明、推广和应用
●
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一 ●一２２
∑㈦ ∑
◎张可贤（浙江省杭州财税会计学校３００１００）
∑ ∑ 川
：
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【摘要】文详细讨论了柯西不等式的多种不同的证明本
方法，柯西不等式进行了深入理解，进一步地去研究了对并柯西不等式的几种特殊的推广形式，且通过列举一系列而范例揭示柯西不等式在代数、何、最值、导公式、际几求推国数学竞赛等各方面的广泛应用．
Ｑ（。ｉ一 ∑ ）ｂ。
ｋ
＝
就是我们所说的Ｌｇａｇ等式．此Ｃｕｈ不等式ａｒｎｅ恒因ａｃｙ可由Ｌｇａｇａｒｎｅ恒等式推导得到，以有时也称它为Ｌｇａｇ所ａｒｎｅ
不等式．证明２ △判别法．
右边．
（。（６一 ∑ 。ｉ ∑ ： ∑ （）））ｂ‘
∑ 。 ∑ ｂ一∑ ｎ。２２ ∑ ｂｂ ∑ ∑ 。一∑ ∑ 。￣ａｂｉｂ
当ｎ＝２时，边＝（＋ａｂ）右边＝（＋ｎ左ａｂ：，ａ）‘
：
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∑ ∑ （一ａｊ。ｂ￣）ｉｂ
即ｎ）（。（（。； ≤ ）
）－
，

柯西不等式的证明、推广及应用

柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。

柯西不等式的证明推广及应用

・＝
当且仪当＿ａ２Ｌ：一一时等号成立．
２．３利用欧氏空间中内积性质证明柯两不等式命题线性空问Ｒ “ 中，对于向量口＝（ｑ，ｎ： …ａ），卢：（６－，６： …６）‘ 并定义内积如下：ａ卢
定理２在一般欧氏空间中，对任意的向罐
，．
有
Ｉ（ａ，卢）ＩｐＩ．当且仅当ａ，卢线性相关时取等号．
在一般欧氏空间中，由向量，口生成的ｎ维欧氏空间与线性
则柯西不等式等价于ｓ
≥（主，＿）。，也等价于ｌ墨！：！玑 ’
当且仅当
ａ２
：～．一：
，ｂ＝ √
ｙ
ｉ＝１，２， … ，ｎ，即
时等号成立，即等价命题成立
Ｓ２
ｂｌ
ｂ２
ｂ
依柯两不等式有喜喜 ≥ （） ’ 即
ｎ
１ｉ喜，＝Ｉ（，ｎ＝ｌａ／。 ‘ √ 喜 ’
证明方法及其推广，并举例说明柯西不等式在不等式证明中的广
泛性和灵活性．
定理１设矩阵Ａ＝． … １，Ｂ＝Ｆｂ． … ｂｌ１』，Ｃ－Ｃ．
ＡＢ（，Ｊ， … ｓ），则等于Ａ中所要的Ｓ阶予式与Ｂ中对应的Ｓ阶子式的乘积之和．下ＮＮＪｆｌ￣定理１给出柯西不等式的行列式证明方法．

柯西—施瓦茨不等式的推广与应用

柯西—施瓦茨不等式的推广与应用柯西—施瓦茨不等式是一个重要的几何不等式。

它表示一个轨迹在某个方向上的最大距离只能多于给定的固定距离。

这一不等式在许多不同的领域都有着广泛的应用，例如信息论、机器学习、几何优化等。

在信息论领域内，柯西—施瓦茨不等式提供了一种快速估计有效容量的方法，也就是可以根据柯西—施瓦茨不等式快速计算出通信信道的容量。

在机器学习领域，柯西—施瓦茨不等式用来计算给定数据集的最佳分类面，以此实现分类任务。

同时，柯西—施瓦茨不等式还可以用来求解很多优化问题，例如局部最小值搜索，梯度下降法等，它们都可以通过求解柯西—施瓦茨不等式来解决。

总之，柯西—施瓦茨不等式在不同领域都有着重要而深远的影响，它是几何不等式中的一颗明珠，在许多重要的计算机科学领域里都可以找到它的直接应用。

柯西—施瓦茨不等式（Kleene-Schwartz Inequality）是一个重要的数学不等式，它通过有限个变量的总和来比较他们的积和平方和的大小。

这个不等式最初是由美国数学家斯坦尼斯·柯西（Stephen Kleene）和俄国数学家谢尔盖·施瓦茨（Sergei Schwartz）在1934年提出的。

它最初是用来比较单变量的总和和它们的积和平方和的大小，但是它也可以推广到有限个变量的情况。

柯西—施瓦茨不等式的推广形式如下：∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-y_i)〗^2≤2∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-μ_i)〗^2+2∑_(i=1)^n▒〖a_i(μ_i-y_i)〗^2其中，a_i 是正常量，x_i 和 y_i 是两个变量，μ_i 表示变量 x_i 和 y_i 的中值。

该不等式有广泛的应用，其中最重要的是它可以用来分析不同变量之间的关系。

它可以用来分析两个变量之间的相关性，即检测它们之间是线性相关还是非线性相关。

此外，它还可以用来检验观测数据的正确性，以及分析观测数据中存在的潜在模式。

柯西重要不等式在实际问题应用

柯西重要不等式在实际问题应用柯西重要不等式是数学分析中的一个基本定理，它广泛应用于各个领域的实际问题中。

本文将详细探讨柯西重要不等式在实际问题中的应用，并通过具体案例进行说明。

一、简介柯西重要不等式是由法国数学家柯西在19世纪提出的，它是数学分析领域中的一项重要定理。

该不等式描述了两个函数的平方积与它们各自平方积之和的关系。

具体表述如下：对于任意实数a1, a2, …, an 和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2二、应用领域柯西重要不等式广泛应用于实际问题中的各个领域，如信号处理、金融数学、物理学等。

下面将具体介绍其中的几个应用案例。

1. 信号处理在信号处理领域，柯西重要不等式可用于评估信号的相关性。

通过对信号的样本进行求平方积和求积的操作，可以得到信号之间的相关系数。

这对于信号处理算法的设计和优化非常重要。

2. 金融数学在金融数学中，柯西重要不等式可用于衡量不同投资组合的风险。

通过计算投资组合中各项资产的相关关系，可以评估整体组合的波动性和风险水平。

这对于投资者的决策和风险管理至关重要。

3. 物理学在物理学领域，柯西重要不等式可用于分析力学问题。

例如，通过运用柯西不等式，可以证明质点在受力作用下的动能与势能之间满足能量守恒定律。

这对于解决物理学中的问题具有重要意义。

三、具体案例为了更好地理解柯西重要不等式的应用，下面将介绍一个具体案例。

在某家庭聚会上，有一桌上放着各种美味的食物，其中包括苹果、橙子和葡萄。

现在我们想知道不同食物之间的相关性如何。

假设有两个人分别吃苹果和橙子，并记录下每天吃的数量。

其中一个人吃了3个苹果和2个橙子，另一个人吃了4个苹果和5个橙子。

现在我们想通过柯西重要不等式来评估苹果和橙子的相关性。

根据柯西重要不等式，我们可以计算出苹果和橙子的平方积和它们各自平方积之和如下：(3^2 + 4^2)(2^2 + 5^2) ≥ (3×2 + 4×5)^2简化计算得：(9 + 16)(4 + 25) ≥ (6 + 20)^225 × 29 ≥ 26^2725 ≥ 676由此可见，苹果和橙子的相关性是较强的。

柯西—许瓦兹矩不等式的推广

柯西—许瓦兹矩不等式的推广
柯西—许瓦兹矩不等式的推广
柯西—许瓦兹矩不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是一个非常重要的数学定理，它最初是由法国数学家柯西在1821年提出的，后来被德国数学家许瓦兹矩在1859年进行了扩展。

柯西—许瓦兹矩不等式给出了一种判断多个数字或多个向量之间的关系的方法。

基本定理是：对于任意两个实向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||·||y||，其中|x·y|表示x和y的内积，而||x||和||y||分别表示x和y的范数。

柯西—许瓦兹矩不等式具有很强的普遍性和适用性，它在很多数学领域都有广泛的应用，如空间几何、凸优化等。

同时，它也可以推广到高维空间，这一推广可以用于更多的问题，如多维度空间中的凸优化等。

柯西—许瓦兹矩不等式的推广可以给出更复杂的不等式，这些不等式可以用于多维空间中的问题，比如凸优化的求解，有时也可以用于统计分析和机器学习等领域。

总之，柯西—许瓦兹矩不等式是一个非常重要的定理，它的推广可以用于解决多维空间中的复杂问题，因此在数学领域有着广泛的应用。

(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

三角形的柯西不等式及其应用

三角形的柯西不等式及其应用柯西不等式是数学中常用的一种不等式，它有助于我们理解和解决各种问题。

在本文中，我们将研究三角形的柯西不等式及其应用。

无论是求解三角形的边长、角度还是面积等问题，都可以通过柯西不等式来简化计算和推导过程。

柯西不等式是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。

它的数学表达式为：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2该不等式既适用于实数，也适用于复数。

首先，让我们来看看三角形的柯西不等式如何应用于求解边长问题。

假设我们有一个三角形ABC，已知边长分别为a, b, c，我们可以应用柯西不等式来推导出一些关系式。

首先，我们取向量AB和向量AC，分别表示为向量a和向量b。

根据柯西不等式，我们可以得到：|a·b| ≤ |a|·|b|其中，|a·b|表示向量a和向量b的内积。

由于两向量的模值等于边长，我们可以将不等式改写为：ab·cos(C) ≤ ab这意味着cos(C) ≤ 1，从而得出结论，对于任意三角形ABC，cos(C) ≤ 1。

这是显然成立的，因为cos(C)表示角C的余弦值，其取值范围为[-1, 1]。

接下来，我们可以利用柯西不等式来推导三角形的角度之间的关系。

假设我们已知三角形的边长为a, b, c，角A, B, C对应的边长分别为a, b, c，则根据余弦定理，我们可以得到以下等式：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)将这三个等式代入柯西不等式的左边，我们可以得到：[(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)] / [(2bc)(2ca)(2ab)] ≤ (cos(A))^2 + (cos(B))^2 + (cos(C))^2化简上述不等式，我们可以得到：[(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)] ≤[(2bc)(2ca)(2ab)][(cos(A))^2 + (cos(B))^2 + (cos(C))^2]通过柯西不等式，我们可以简化三角形角度之间的关系，并进行更方便的运算和推导。

浅谈柯西不等式及其应用

， ) 所求c的范围为
-
2 3
，1
.
注意：有些同学在解题过程中，可能出现类似于以
下的解法.
由（a2+b2+c2）（12+22+22）≥（a+2b+2c）2，得（1+c）2≤9，
则-4≤c≤2.
上述解法中忽视了柯西不等式等号成立的条件，所
求结果两边取不到等号，从而将范围扩大了.
四、充分利用柯西不等式等号成立的条件解题
法，配凑出定值（ . 1）中要配出关于定值x+y+z的表达式，
（2）中要通过配凑将变量x消掉.
+ # 解：（1）由（2x2 +3y2 +z2） 1 + 1 +1 ≥ 23
· & 摇
姨
2
x·
1
摇
姨
2
+
摇
姨
3
y·
1
摇
姨
3
+z·1
2
（x+y+z）2=1，
得u≥
6 ，等号成立的条件是：2x=3y=z.又x+y+z=1，则当x= 3 、
例4 设x、y、z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=姨摇 14 ，求x+y+z的值.
分析：通过柯西不等式建立两个已知量之间的关
解法探究
教学参谋
系，发现等号刚好成立，再运用柯西不等式等号成立的
条件，求解出x、y、z的值.
解：（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2 （1）.

柯西不等式的推广及其应用

柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二（比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑．将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式．当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立．当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑．证明对m 用数学归纳法 1）当2m =时，命题成立． 2）假设当m k =时，命题成立．则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1）由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2）由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+．例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个（21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤．证明因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3）由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立，即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值，即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。

柯西不等式的应用与推广

柯西不等式的应用与推广
柯西(Cauchy)不等式是指一个二元阶多项式满足所有的实根的和的绝对值的平方不能大于多项式的系数积的和。

柯西不等式的应用为：
1.当多项式的系数都是正数时，可用来证明多项式的全部正实根的和的平方大于等于多项式系数积的和；
2.可用来计算多项式全部实根的和；
3.应用于立方体定理时，可把多项式拆分为相互独立的二次多项式；
4.可用来证明实方程的实根的和的平方大于等于该实方程的常数系数的平方；
5.可用来构造椭圆和非凸椭圆。

因此，柯西不等式不仅应用于定理证明，还可以用于图形构造，数学模型分析和数学编程等多种领域。

柯西均值不等式的证明推广及其应用

柯西均值不等式的证明推广及其应用【摘要】本文介绍了用反数学归纳法证明柯西均值不等式，并将该证明方法推广到证明乘幂平均数不等式，最后在柯西均值不等式的应用方面给出几个例子。

【关键词】柯西均值不等式反数学归纳法乘幂平均数不等式应用高等数学里面一个最重要的主线就是极限，而极限的概念是用不等式刻划的，这就决定了不等式在高等数学中的重要性。

柯西均值不等式就是高等数学中一类重要的不等式, 其证明方法也多种多样，历史上数学家柯西本人首次使用反数学归纳法来证明。

反数学归纳法又称倒推归纳法，其基本思想如下：若一个与自然数有关的命题ｔ，如果(1)命题ｔ对无穷多个自然数成立；(2)假设命题ｔ对n=k正确，就能推出命题ｔ对n=k-1正确。

则命题ｔ对一切自然数都成立；这种方法具有重要的借鉴意义。

1.柯西均值不等式定理及其证明定理 1 求证：n个正实数的算术平均值大于或等于这n个数的几何平均值，即因此命题对n=4正确。

同理可推出命题对n=23=8，n=24,…，n=2s…都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。

设命题对n＝k正确，令则s k-1=a1+a2+…a kk，=a1+a2+…+a k-1（容易证明上述是一个恒等式。

）由归纳假设命题对n＝k正确，所以命题对n =k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。

2.用倒推归纳法证明乘幂平均数不等式证明由于若假设则对故对一切自然数k，有如法用数学归纳法易证n=2m时成立。

（从证明的过程不难看出等号当且仅当诸αi相等时成立，这一条在下面的证明中不再重复）现假设定理对n+1个正数时成立，即取 a n+1=a1+a2+…a n，则由归纳假设有即从而即。

故命题对一切自然数结论为真。

3.柯西均值不等式在求极限中的应用例1解：αa+1是αn，αn的算术平均值，b n+1是αn、b n的调和平均值，故有αn+1≥b n+1（n=1,2,3…），又由αn+1-a n=12(b n-αn)≤0，可见数列αn至少从第二项开始是单调减少的，该数列有下界0，故见数列b n至少从第二项开始是单调增加的，该数列有上界α2，故可设b n=b 。

浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧

浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧摘要：柯西不等式是高中数学新课程中的新增内容，其在解决数学问题中是非常重要并且高效的解题方法。

在解决证明命题问题或者最值等问题时，柯西不等式是较优的选择，同时，在培养学生的综合运用能力、分析能力以及转换能力方面都具有一定辅助作用，并且有利于帮助学生形成多方面思考的解题习惯，有利于创新思想的形成。

关键词：柯西不等式；高中数学；高考应用柯西不等式在其构造形式以及表现形式上，具有非常高的灵活性，学生可以运用数学归纳法、构造函数法、线性相关法、配方法、比较法、参数法或者均值不等式或向量内积等方法来证明柯西不等式。

同样的，柯西不等式也可以在多中不同的情况下，灵活巧妙的应用。

例如：解决数学中的不等式证明问题、最值求解问题、推到空间点导致先的距离公式等问题上都可以借助柯西不等式进行求解。

在高中阶段，较为常用的是利用柯西不等式解决最值问题、不等式的证明问题以及利用其变形公式进行求解的问题。

在本文中，将针对上述三种问题，具体论述柯西不等式在高考数学中的应用。

1.利用柯西不等式解决最值问题在利用柯西不等式解决最值问题时，有些可直接套用，有些可能需要对题目中所给的式子进行适当的配凑，再进行公式的套用。

在解决不等式问题时，可以应用到的方法很多，但是利用柯西不等式解决此类问题最大的特点便是效率，过程不再有那么繁琐，简单精简，显得干净利落。

并且，最值问题这类题目的难度系数不高，出现在高考中的可能性较大，如果能够掌握好柯西不等式的应用，对于解决此类问题十分重要。

下面以两个例子，具体阐述柯西不等式的应用：例1：已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值：解：通过柯西不等式可知：（2b2+3c2+6d2）（1/2+1/3+1/6）≥（b+c）2a由条件可以得出：5—a2≥（3—a）解得：1≤a≤2 当且仅当时等等号成立代入：b=1,c=1/3,d=1/6时，可得a最大值为2b=1,c=2/3,d=1/3时，可得a最小值为1例2：求解函数的最大值解：根据题意可知：y>0，并且x的范围为1到5闭区间所以由柯西不等式可知：当且仅当：即当x=61/25时取等号所以函数的最大值为101.利用柯西不等式解决不等式证明问题柯西不等式是在证明一些不等式问题时的经常会使用的理论根据，通过利用柯西不等式以及对给出证明式的拆分变形，可以减少在证明不等式过程中会遇到的许多问题，有利于题目的求解。

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浅谈柯西不等式的应用和推广
摘要：柯西不等式是一个熟知的重要不等式，有着相当广泛的应用。

本文运用柯西不等式及推论对证明相关命题、证明不等式等问题进行探讨，并进一步地研究柯西不等式的推广和应用。

关键词：柯西不等式；应用；推广
柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式。

柯西不等式具有对称和谐的结构，在熟练掌握柯西不等式的相关内容之后，主要是应用柯西不等式解决相关问题，可以使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高解题效率。

1 柯西不等式的基本形式
定理（柯西不等式）设有两组实数1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 和1b ，2b ，⋅⋅⋅，n b ，则
()
()()2
222
22211221212.n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
当且仅当i a 或i b 全为0，或i i b a λ=，R λ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅时取等号。

柯西不等式可以简写成： 2 柯西不等式的应用
柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，本文对柯西不等式的应用做一些粗略的归纳，关键是分析问题后抓住问题的结构特征，找准解题的方法思路，通过变形构造出符合柯西不等式的形式及条件，从而达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。

2.1 应用柯西不等式证明相关命题
例1[1] 已知()000,P x y 及直线l ：0Ax By C ++=()220A B +≠，求证点0P 到直线l 的距离为证明设点(),P x y 是直线l 上的任意一点，则0.Ax By C ++=
那么
的最小值就是点0P 到直线l 的距离，
由Ax By C +=-且220A B +>，构造两数组A ，B 与0x x -，0.y y - 由柯西不等式，得
2
22111.
n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑1PP =
()()()()()222
2
20000A
B x x y y A x x B y y ⎡⎤+-+-≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()222
000000.
Ax By Ax By C Ax By Ax By C =+-+=--+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦d
当且仅当时，即满足过点0P 垂直于直线l 直线时上述不等式取等号。

故点0P 到直线l 的距离为
2.2 应用柯西不等式证明不等式
例3[4] 设实数a ，b ，c 满足 22
223a b c
++ ，求证：3
927 1.a b c
---++≥
证明由柯西不等式，有则233a b c ++≤，所以
233927333 1.a b c a b c --
----++=++
≥≥=故3927 1.a b c ---++≥
2.3
应用柯西不等式求参数范围问题
例10[2]
已知正数x ，y ，z 满足x
y z xyz ++=，且不等式
恒成立，求λ的取值范围。

解
,,x y z 都是正数∴利用均值不等式，得 x y +≥，
y z +≥，
z x +≥
当且仅当x y z ===时等号成立．故λ的取值范围为 3 柯西不等式的推广及其应用
有些比较复杂的特殊的不等式按照原有的形式去解决问题会有一定的难度，所以还应该考虑到它的推广，进一步在理解推广的基础上能够灵活地应用它。

柯西不等式的推广有很多，下面只介绍两种推广形式及应用。

3.1 柯西不等式的推广
推广[3]
设0i a >，0i b >，()
01,2,,i c i n >=⋅⋅⋅，则
3.2 柯西不等式的推广的应用
例11[3] 若i a ，()1,2,,i b R i n +∈=⋅⋅⋅，且1212n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，
求证： ()222
121211221
.2
n n n n a a a a a a a b a b a b ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++++3
3331111.n n n n i i i i i i i i i i a b c a b c ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑00
x x y y A B --=d 111x y y z z x ∴++≤+++12=()
1
222211112z x y x y z x y z x y z ⎡⎤⎛⎫≤++⋅++⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦.⎫+∞⎪⎪
⎣⎭
()()))2222222
23a b c a ⎡⎤⎡⎤
++≤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()222
362369.2a b c =⋅++=⋅=32=111
,x y y z z x
λ++≤+++
解由推广1，得
以上介绍了柯西不等式的定理应用和推广，可以看出柯西不等式的灵活性很大。

柯西不等式作为一个基本而又非常重要的不等式，想要很好的利用必须理解好柯西不等式的实质，掌握其中的解题技巧。

应用柯西不等式时要根据具体问题具体分析，在进行合适的变形和构造，同时要注意条件的限制，然后才能正确的解决问题。

但是有些问题仍然很难用柯西不等式解决，所以有关柯西不等式的应用和推广还有待于进一步的研究和探讨。

参考文献：
[1] 周秀君，周天刚．柯西不等式的应用与推广[J]．牡丹江教育学院学报．2009(03):65-66． [2] 王勇，周雪丽．柯西不等式的妙用[J]．中学数学．2011(11):44-48．
[3] 刘晓玲．柯西不等式的应用与推广[J]．河北理科教学研究．2002(03):20-24． [4] 徐胜林．柯西不等式及其应用[J]．数学通讯．2009(Z4):81-83．
()()222
12
1211221122n n n n n n a a a a a a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭()()22223
1212121122
2.
n n n n n a a a a a a a a a a b a b a b ⎛⎫⋅++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭即()222121211221.
2
n
n n n
a a a a a a a
b a b a b ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++++故()3
12.
n a a a ≥++⋅⋅⋅+。