浅谈柯西不等式的应用和推广

浅谈柯西不等式的应用和推广
摘 要：柯西不等式是一个熟知的重要不等式，有着相当广泛的应用。

本文运用柯西不等式及推论对证明相关命题、证明不等式等问题进行探讨，并进一步地研究柯西不等式的推广和应用。

关键词：柯西不等式；应用；推广
柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式。

柯西不等式具有对称和谐的结构，在熟练掌握柯西不等式的相关内容之后，主要是应用柯西不等式解决相关问题，可以使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高解题效率。

1 柯西不等式的基本形式
定理（柯西不等式） 设有两组实数1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 和1b ，2b ，⋅⋅⋅，n b ，则
()
()()2
222
22211221212.n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
当且仅当i a 或i b 全为0，或i i b a λ=，R λ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅时取等号。

柯西不等式可以简写成： 2 柯西不等式的应用
柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，本文对柯西不等式的应用做一些粗略的归纳，关键是分析问题后抓住问题的结构特征，找准解题的方法思路，通过变形构造出符合柯西不等式的形式及条件，从而达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。

2.1 应用柯西不等式证明相关命题
例1[1] 已知()000,P x y 及直线l ：0Ax By C ++=()220A B +≠，求证点0P 到直线l 的距离为 证明 设点(),P x y 是直线l 上的任意一点，则0.Ax By C ++=
那么
的最小值就是点0P 到直线l 的距离，
由Ax By C +=-且220A B +>，构造两数组A ，B 与0x x -，0.y y - 由柯西不等式，得
2
22111.
n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑1PP =
()()()()()222
2
20000A
B x x y y A x x B y y ⎡⎤+-+-≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()222
000000.
Ax By Ax By C Ax By Ax By C =+-+=--+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦d
当且仅当 时，即满足过点0P 垂直于直线l 直线时上述不等式取等号。

故点0P 到直线l 的距离为
2.2 应用柯西不等式证明不等式
例3[4] 设实数a ，b ，c 满足 22
223a b c
++ ，求证：3
927 1.a b c
---++≥
证明 由柯西不等式，有 则233a b c ++≤，所以
233927333 1.a b c a b c --
----++=++
≥≥=故3927 1.a b c ---++≥
2.3
应用柯西不等式求参数范围问题
例10[2]
已知正数x ，y ，z 满足x
y z xyz ++=，且不等式
恒成立，求λ的取值范围。

解
,,x y z 都是正数∴利用均值不等式，得 x y +≥，
y z +≥，
z x +≥
当且仅当x y z ===时等号成立． 故λ的取值范围为 3 柯西不等式的推广及其应用
有些比较复杂的特殊的不等式按照原有的形式去解决问题会有一定的难度，所以还应该考虑到它的推广，进一步在理解推广的基础上能够灵活地应用它。

柯西不等式的推广有很多，下面只介绍两种推广形式及应用。

3.1 柯西不等式的推广
推广[3]
设0i a >，0i b >，()
01,2,,i c i n >=⋅⋅⋅，则
3.2 柯西不等式的推广的应用
例11[3] 若i a ，()1,2,,i b R i n +∈=⋅⋅⋅，且1212n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，
求证： ()222
121211221
.2
n n n n a a a a a a a b a b a b ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++++3
3331111.n n n n i i i i i i i i i i a b c a b c ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑00
x x y y A B --=d 111x y y z z x ∴++≤+++12=()
1
222211112z x y x y z x y z x y z ⎡⎤⎛⎫≤++⋅++⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦.⎫+∞⎪⎪
⎣⎭
()()))2222222
23a b c a ⎡⎤⎡⎤
++≤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()222
362369.2a b c =⋅++=⋅=32=111
,x y y z z x
λ++≤+++
解 由推广1，得
以上介绍了柯西不等式的定理应用和推广，可以看出柯西不等式的灵活性很大。

柯西不等式作为一个基本而又非常重要的不等式，想要很好的利用必须理解好柯西不等式的实质，掌握其中的解题技巧。

应用柯西不等式时要根据具体问题具体分析，在进行合适的变形和构造，同时要注意条件的限制，然后才能正确的解决问题。

但是有些问题仍然很难用柯西不等式解决，所以有关柯西不等式的应用和推广还有待于进一步的研究和探讨。

参考文献：
[1] 周秀君，周天刚．柯西不等式的应用与推广[J]．牡丹江教育学院学报．2009(03):65-66． [2] 王勇，周雪丽．柯西不等式的妙用[J]．中学数学．2011(11):44-48．
[3] 刘晓玲．柯西不等式的应用与推广[J]．河北理科教学研究．2002(03):20-24． [4] 徐胜林．柯西不等式及其应用[J]．数学通讯．2009(Z4):81-83．
()()222
12
1211221122n n n n n n a a a a a a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭()()22223
1212121122
2.
n n n n n a a a a a a a a a a b a b a b ⎛⎫⋅++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭即()222121211221.
2
n
n n n
a a a a a a a
b a b a b ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++++故()3
12.
n a a a ≥++⋅⋅⋅+。