与垂径定理有关的计算
上海地区高中数学教学论文：关于有心圆锥曲线的“垂径定理”
上海地区教学论文：关于有心圆锥曲线的“垂径定理”；定义：.圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：定理：“已知直线l 与曲线C ：221x y m n+=交于,A B 两点，AB 的中点为M ，若直线AB 和OM (O 为坐标原点)的斜率都存在，则AB OM n k k m ⋅=-”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.例1：证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；证明 设11220012(,),(,),(,)()A x y B x y M x y x x ≠2211222211x y m n x y mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得 12121212()()()()0x x x x y y y y m n +-+-+=注意到 1201202,2x x x y y y +=+=有 00121222()0()x y y y m n x x -+=-012012y y y n x x x m -∴=--即AB OM n k k m ⋅=-例2：利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：① 过点(1,1)P 作直线l 与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求AB 的中点M 的轨迹W 的方程；② 过点P (1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1(0)C kx y k '+=≠交于E 、F 两点，是否存在这样的直线l '使点P 为线段EF 的中点？若存在，求直线l '的方程；若不存在，说明理由. 解：①设1(,),,1AB OM y y M x y k k x x -==-则 由垂径定理，12AB OM k k ⋅=-即 1112y y x x -=-- 化简得 22220x y x y +--=当AB 与x y 或轴平行时，M 的坐标也满足方程.故所求AB 的中点M 的轨迹W 的方程为22220x y x y +--=；② 假设过点P(1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1C kx y '+=交于E 、F 两点，且P为EF 的中点，则EF OP k k k⋅=- 由于1,OP k = EF k k ∴=-直线:(1)1l y k x '=--+，即1y kx k =-++，代入曲线C '的方程得22(1)1kx kx k +-++=即 2(1)2(1)(2)0k k x k k x k k +-+++=由 2224(1)4(1)(2)0k k k k k ∆=+-++> 得1k <-. 故当1k <-时，存在这样的直线，其直线方程为1y kx k =-++；当1,0k k ≥-≠且时，这样的直线不存在.上海大屯一中zhangtaishu。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
《垂径定理》人教版九年级数学(下册)
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
C
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC =BC⌒， AD⌒=BD. ⌒
⌒
A
·O
E B
D
归纳总结
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. C
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距
·O
离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心
距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. A
C
C
弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以
h
A
aD
r 2d
下关系：
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
M
C
D
A
B
.O
N
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单 的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
情境引入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
2
2
根据勾股定理，得
OC 2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
针对训练
垂径定理例题精析
例题精析武汉二中王海涛初中几何中垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（四等定理）是解决其它与圆有关问题的基础，因此对于每位同学来说这部分内容非常重要。
同学们在用以上定理及推论时首先要注意定理使用的条件，其次一些常用的手法及辅助线的添法也非常重要。
下面两道例题反映了圆中与弦有关的一些辅助线的用法。
例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，（1）求证：EC=DF。
思路分析：考虑到O为AB的中点，AE与BF平行，故可作垂线构造平行找中点证明：过O坐CD的垂线交CD于M，∴AE∥OM∥BF且CM=DM∵O为AB中点，四边形ABFE为梯形∴M为EF中点，即EM=FM∴EM-CM=FM-DF∴EC=DF（2）当C点向下移动时，若AB与CD相交，其他条件不变，那么CE与DF是否相等？试证明。
思路分析：仍可作垂线找中点。
结论成立证明：过O坐CD的垂线交CD于M，∴AE∥OM∥BF且CM=DM∵O为AB中点，∴11 BO FM AO EM==∴ EM=FM∴EM-CM=FM-DF∴EC=DF（3）如图，若过C、D作AB的垂线分别交AB于E、F点，请同学们找出图中相等的线段。
解：AE=BF例2、如图A、B、C为⊙O的三点，点P在CO的延长线上，且∠APC=∠BPC （1）当点P在⊙O上时，求证：PA=PB；（2）当点P在⊙O外时，那么PA与PB是否相等？试证明；（3）当点P在⊙O内时，你能得到一些什么结论？思路分析：要证明PA=PB，则只需证明两弦的弦心距相等。
证明：（1）过O作OM⊥PA于M，ON⊥PB于N，∵∠APC=∠BPC，∴OM=ON，∴PA=PBPA（2）PA=PB ，证明如下：过O 作OM ⊥PA 于M ，ON ⊥PB 于N ，设PA 、PB 分别交⊙O 于E 、F ， ∵∠APC=∠BPC ， ∴OM=ON ，∴AE=BF ，AM=BN∵△MPO ≌△NPO ∴MP=NP∴AM+MP=BM+NP ∴PA=PB（3）PA=PB ， ACBC 练习：1、 已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，求过点P 的最大弦长及最短弦长。
垂径定理及其应用
垂径定理解及其应用【知识整理】垂径定理的题设和结论。
题设 结论()⎧⎫⎪⇒⎬⎨⎭⎪⎩直线直径平分弦直线过圆心（直径）直线平分弦所对优弧直线垂直于弦直线平分弦所对劣弧注意：题设中的两个条件缺一不可。
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)． 推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图)(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。
则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 如图中，若AB∥CD，则AC ＝BD注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
【例题选讲】一、利用垂径垂直平分弦，证有关线段相等例1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，过A ，B 向CD 引垂线，垂足分别为E ，F ，求证：CE=DF 。
二、利用垂径平分弦所对的弧，处理角的关系例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。
分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：三、利用垂径定理，构造勾股定理例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。
3.52垂径定理—知识讲解(提高)
3.52垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON ⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图 1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm =，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且COBDACD=，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75°D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(2，那么B点的坐标为____________．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC=∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB 交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是AB、AC的中点，且MN 交AB于D，交AC于E，求证：△ADE是等腰三角形.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则()2221R R=+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，∴152AE AB==．设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴ R2＝52+(R-1)2，P∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】(2-．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B (2-. 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB = 三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴6212AE AB AE AC ========，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB.由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得a =，2AB a ==.15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F. ∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为AB 、AC 中点，∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ． ∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ， 而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ．所以△ADE 是等腰三角形.。
垂径定理与弧、弦关系
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等弧、弦、弦心距之间的关系：圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
考点分析：在上述两个定理中，都有四组量，两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距，只要其中的任一组量相等，那么其余三组量也分别相等，简记为“知一推三”。
基础练习1.⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、C D相交于，∠COD=100°，则∠COE、∠DOE的度数分别为：。
2.AB是⊙O的直径，弦C D⊥AB，BC=1cm,AD=4cm,3.则BD=cm,AC=cm，⊙O的周长为cm4.下列说法中正确的有：（）个（1）垂直平分弦的直线经过圆心；（2）平分弦的直径一定垂直与弦；（3）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；（4）垂直于弦的直径必平分弦；（5）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（6）A、1 B、2 C、3 D、45.下列命题中，正确的命题是（）6.A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦B、平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧7.C、在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD8.D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径9.⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，（1）O E=3cm,则OD=cm10.在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为（）cm（1）A、33B、27 C、123D、6311.已知AB是⊙O的弦，O C⊥A B，C为垂足，若OA=2，O C=1（1）则AB的长为（）（2）A、5B、25C、3、2312.在⊙O中，AB、A C是互相垂直的两条弦，O D⊥A B于D，O E⊥AC于E，且AB=8 cm，A C=6 cm，求⊙O的半径OA长已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
(完整版)27.3(3)垂径定理
人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
BABA BACAP27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
POBACDFOE B A C D P ONMB AC DO B CBCE DOA课堂小结四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式思想的变化与进步对我们现代世界来说是至关重要的，尤其是在数学领域。
在这个领域，有许多技术和原理组成了丰富的数学体系，并且经过不懈地努力和改进，这些体系就不断发展。
《垂径定理计算公式》是一种特殊的数学算法，它是在科学领域不断推翻重建之中产生的，它有助于我们增加计算能力以及使用它来解决复杂的数学问题。
垂径定理计算公式是在已知两点坐标和指定径度情况下，根据直线的斜率m和坐标原点的横纵坐标(X1, Y1)来计算斜率和坐标点(X2，Y2)的算法。
它是由历史上著名的物理学家阿基米德提出，他发明了很多数学定理，其中包括《垂径定理》。
在17世纪，阿基米德发明了一个算法，用于求解直线斜率和坐标。
垂径定理的计算公式为：M = ((Y2-Y1)/(X2-X1))* ( (1+X2-X1)/2)Y2 = Y1+(X2-X1)* M式子中，X1是起始点的横坐标，Y1是起始点的纵坐标，M是斜率，X2是终点的横坐标，Y2是终点的纵坐标。
垂径定理计算公式的实质是根据已知的一个点的坐标和指定的斜率，就可以求出另一点的坐标。
因此，可以用垂径定理计算公式来计算出给定斜率和坐标的直线上两点之间的距离。
垂径定理计算公式的应用非常广泛，典型的应用如下：计算空间坐标：给定某一点，可以计算任何满足垂径定理计算公式的空间坐标点；计算多边形面积：通过求取多边形的一个点和另一个点的坐标，就可以用垂径定理计算公式求出多边形的面积。
求点到直线的距离：可以用垂径定理计算公式来计算出给定直线上的两点之间的距离；可以用它来计算某个点到直线的距离；计算曲线的斜率：可以用垂径定理计算公式来求出曲线的斜率。
由于垂径定理计算公式的广泛应用，它一直受到学者们的关注。
经过多年来不断的发展，此定理已经被改进，使用更为精确的数值计算，使计算更加准确。
此外，为了更好地解决复杂的数学问题，许多数学家不断改进垂径定理计算公式，增加它的适用性，以更好地解决问题。
随着数学研究的发展，垂径定理计算公式也经历了改善，从而更易于计算。
圆锥曲线——垂径定理
有心圆锥曲线的垂径定理（秒杀技）（文末有WORD 版下载方式）定义：圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，比如垂径定理。
一、椭圆和双曲线的垂径定理（又称第三定义）1.椭圆在椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b中，A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：设11A(x ,y )，00P(x ,y )，则11B(x ,y )--，则22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b x y a b 两式作差得到010*******(x x )(x x )(y y )(y y )a b+-+-+=∴22220101220101(y y )(y y )b c a e 1(x x )(x x )a a+--=-==-+-∴201010101=1+-+⋅⋅=--PA PB y y y yk k e x x x x特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若A，B 为长轴上两顶点时，即为人教A 版数学选修1-1第36页练习题4的问题了。
③若焦点在y 轴上椭圆()2222C 10+=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e ④椭圆变为圆时，=1⋅-PA PB k k ，此时可以认为e 0=，即为圆的垂径定理。
2.双曲线在双曲线2222C 1x y a b-=：中，A、B 是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若焦点在y 轴上双曲线()2222C 10-=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e 应用一．直接秒杀离心率的问题例题1.设A 1,A 2分别为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得12PA PA 1k k 2⋅>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：122PA PA 1k k =e 12⋅->-，故e 2∈变式：过点M(1,1)且斜率为12-的直线与椭圆C:2222x y 1(a b 0)a b+=>>相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为________.解析：21==1()=12⋅-- OM AB k k e所以e 2=二．直接秒杀中点弦的问题例题2：过点M (1,1)的直线l 与椭圆22x y 143+=交于A ,B 两点,且点M 平分弦AB ,则直线l 的方程为()A .4x+3y-7=0B .3x+4y-7=0C .3x-4y+1=0D .4x-3y-1=0解析：23==1=4⋅--OM AB AB k k k e ，故选B变式：已知双曲线22y x 13-=上存在两点M ,N 关于直线y=x+m 对称,且线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=9x 上,则实数m 的值为()A .4B .-4C .0或4D .0或-4解析：设中点Q 00（x ,y ），则20000200y 9x y x m y(1)e 13x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅-=-=⎪⎩解得m=0或者-4三．与角度有关的问题例题3：已知椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b 的离心率2e =，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2βαβ+.解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4e αγ∙--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++∙=+++-∙点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。
垂径定理的结论
垂径定理的那些事儿嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学中一个特别实用、也特别有趣的定理——垂径定理。
如果你正在学习平面几何，特别是和圆有关的部分，那么这个定理肯定是你的好朋友。
它不仅能帮你解决很多头疼的问题，还能让你的解题思路更加清晰明了。
一、什么是垂径定理？首先，咱们得知道垂径定理长啥样。
简单来说，垂径定理就是：垂直于弦的直径会平分这条弦，并且还会平分这条弦所对的两条弧。
听起来有点绕，不过别急，咱们慢慢分解。
想象一下，你手里有一个圆规画出来的圆，然后你在圆上随便找一条弦（就是圆上两点之间的线段），再画一条经过圆心、并且垂直于这条弦的直径。
根据垂径定理，这条直径会把弦分成两段相等的部分，同时还会把弦所对的两条弧（不管是优弧还是劣弧）也分成相等的两部分。
数学表达就是：如果直径DC垂直于弦AB于点E，那么AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧和劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。
二、垂径定理的推论垂径定理可不是个“独行侠”，它还有几个特别实用的推论，咱们一一来看。
推论一：如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必定垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧。
这个推论就像是垂径定理的“小跟班”，它告诉我们，如果直径和弦有了“平分”的关系，那么它们之间就一定有“垂直”的关系。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论就像是弦的“守护者”，它告诉我们，弦的垂直平分线一定会经过圆心，就像守护圆心一样，同时还会平分弦所对的弧。
推论三：如果一条直径平分了一条弦所对的一条弧，那么这条直径必定垂直平分这条弦，并且也平分弦所对的另一条弧。
这个推论就像是垂径定理的“双胞胎兄弟”，它们之间有很多相似之处，只是条件和结论稍微变了个位置。
推论四：在同一个圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论就像是平行线的“好伙伴”，它告诉我们，在同一个圆或者等圆中，如果两条弦平行，那么它们所夹的弧（无论是优弧还是劣弧）都是相等的。
与垂径定理有关的计算问题
拓展思考：若CD=12， E为CD上任意一点，且 ∠ CEA=45°，（2） 题中的结果是否发生改 变？
1、如图，已知⊙O的半径长为 R=5，弦AB 与弦CD平行且在圆 心异侧，它们之间距离为7，
AB=6求：弦CD的长．
2、 是 已知:⊙O半径OA=1,弦AB,AC的长分别 2 , 3 ,求∠BAC的度数
• 2、已知⊙O的半径为13cD之间的距离为多少？
变式1：上题中，过点C的所有弦中，弦长 大于CD小于直径且长度为整数的弦有多 少条？ 变式2：一排水管截面是圆形，已知截面圆 的半径为10，水面宽为16，求水深。
3、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEA=45°， DE=8㎝，CE=4㎝， (1)求弦AB的长。 (2)计算 BE 2 AE 2
1，已知，如图，AB为⊙O直径，AB⊥弦CD 于E，连接OC,BC。根据条件完成下列各题： （1）AB=10，CD=8，求线段OE，BE,BC 的长度。 （2）AB=26，OE=5，求线段 CD,BE,BC的长度。 （3）CD=6，EB=1，求线段 求AB,BC,OE的长度 变式：从上述3小题中，垂径定理基本图形 里，猜想AB,CD,OE，EB,BC五条线段至 少知道几条可以求出剩下线段。
浙教版数学九年级上册《3.3垂径定理》说课稿2
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。
这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。
垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。
在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。
首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。
然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。
这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。
他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。
这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。
然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。
首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。
其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。
2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
第30讲 圆的有关概念及性质 -中考典例精析
第30讲 圆的有关概念及性质
考点一 垂径定理及其推论 例 1 (2013·上海)在⊙O 中，已知半径长为 3，弦 AB 长为 4，那么圆心 O 到 AB 的距离为_________．
【点拨】如图，过圆心 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 D，由垂径定理，得 AD＝12AB＝2.在 Rt△AOD 中，由 勾股定理，得 OD＝ AO2－AD2＝ 5.
【答案】 5
方法总结 由垂径定理得出，半径、弦的一半、弦心距组成直 角三角形，在这个直角三角形中，已知其中两边，利用 勾股定理就可以求出第三边.
考点二 弧、在⊙O 中， AB ＝ AC ，
∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
【点拨】∵ AB ＝ AC ，∴∠B＝∠C.∵∠A＝30°， ∴∠B＝12(180°－∠A)＝12(180°－30°)＝75°.故选 B.
【答案】 B
方法总结 在圆中要证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一 组相等时，可以考虑通过说明其他两组量中的一组相等 来证明.
考点三 圆周角定理及其推论 例 3 (2013·淮安)如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三 点，若∠OBC＝50°，则∠A 的度数是( ) A．40° B．50° C．80° D．100°
考点四 垂径定理的应用 例 4 (2013·绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距 离 CD 为 8 m，桥拱半径 OC 为 5 m，则水面宽 AB 为( )
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．8 m
【点拨】连接 OA，则 OA＝OC＝5，OD＝CD－ OC＝8－5＝3(m)．在 Rt△OAD 中，OA2－OD2＝AD2， 即 52－32＝AD2，解得 AD＝4(m)．∵OD⊥AB，由垂径 定理可得 AB＝2AD＝8(m)．
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如下图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理〞，准确地表达为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆〞这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下列图是水平放置的破裂管道有水局部的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)假设这个输水管道有水局部的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，那么AB=？例3如图，⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O 上，并且∠POM=45°，那么AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一局部，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比拟灵活，假设画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因无视图形的几种可能性而漏解．1．无视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，假设32 BC cm ，那么∠A 的度数为______．2．无视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，那么⊙0的半径是______．3．无视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，那么梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，那么⊙P 的半径是______．例9 假设⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，那么圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当直线与圆有交点时，连结交点和圆心〔即半径〕，然后证明这条半径与直线垂直即可． 例11 如图，AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)假设AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 ：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可表达为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．〞运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 假设一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，那么它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120°D ．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，假设不计接缝，不计损耗，那么她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下列图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．〔不考虑接缝等因素，计算结果用π表示〕评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，假设BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影局部面积的求值技巧求阴影局部面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规那么图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当图形为熟知的根本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算． 例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，那么图中阴影局部的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比拟复杂时，我们可以把阴影局部的面积转化为假设干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，那么阴影局部的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规那么的图形割补成规那么图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，那么图中的阴影局部的面积为______．4．等积变形法把所求阴影局部的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影局部面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影局部的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，那么阴影局部的面积是〔结果保存π〕．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，那么图中阴影局部的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，那么图中阴影局部的面积是______．8．聚零为整法例29 如下图，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，那么图中阴影局部的面积是______〔结果用π表示〕．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大局部题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，那么EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)假设PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，假设AB=6，⊙02的半径为1，那么∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原那么：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内局部的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全〞的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化到达解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，假设OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5〔2005·梅州市〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点〔P不与A、C重合〕，设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)假设AO+CD＝11，求AB的长．。
垂径定理与切线长定理
知识回顾
∵ PA、PB分别切
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
⊙O于A、B ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理为证 明线段相等，角 相等，垂直关系 等提供了理论依 据.
A E
O
B
P
小试牛刀
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别 是A、B. ① 连接AB，且∠P=50°，则∠PAB=65 度； ② 若点D为优弧ADB上的一点，且∠P=40°， 则∠ADB= 70 度； 变式 1 ：若点 D 为圆上异于 D A A、B的一点，且∠P=40° 则∠ADB=70或110 度； O
①切线长定理的应用； ②利用勾股定理列出方程进行计算.
知识链接
三角形内心与外心
内切圆
外切圆 外心
●
B
内心
B
O
三条角平分 三条垂直平 线的交点 分线的交点
●
O
A
C 内心到三边 外心到三个顶 A
的距离相等 点的距离相等
C
练一练
1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=150°， 则∠A= 75 度 .
E Q P
A O B F
∴ PE+EQ=PA=12
PF+FQ=PB=PA=12
∴ △PEF周长为24cm
如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别 在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆 心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线 段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，已知 DF=DC. （1）求证：DF是半圆P的切线； （2）求线段DF所在直线的解析式.
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与垂径有关的计算
1． 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，
点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30O
，⊙O 的半径为4， 则弦AB 的长是( ).
A ．4
B ．43
C ．2
D ．23
【解答】：B
2.如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝( ). A ．310 B ．210 C ． 10 D ．910
【解答】：A
3.如图，半径为25的⊙O 内两条互相垂直的弦AB 、CD 交于点P ，AB ＝8，CD ＝6，则OP ＝______
【解答】：15
4、如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60O
，则⊙O 的半径为( ) A ．12 B ．10 C ． 72 D ． 74
【解答】：D
D
5.如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15O
，CD ＝10，则BC 的长为(
).A ．56 B ．102 C ．52 D ．2
6
5 【解答】：A
A
B
北
提示：延长DO 交⊙O 于M ，证∠DAC ＝ 45O
＝∠M ，DM ＝2D C ．
6.如图，⊙O 的直径AB 为4，C 为弧AB 的中点，E 为OB 上一点，∠AEC ＝ 60O
，CE 的延长线交⊙O 于D ，则CD 的长为( ).
A ．23
B ．3
C ．22
D ．6 【解答】：A
7.如图，A 城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B 处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60O
的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域，若A 城受到这次台风的影响，则A 城遭受这次台风影响的时间为( ).
A ．
3
10
小时 B ．10小时 C ．5小时 D ．20小时 【解答】：B。