【高考】数学大一轮复习第九章平面解析几何9-8曲线与方程试题理北师大版

【高考】数学大一轮复习第九章平面解析几何

9-8曲线与方程试题理北师大版

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤 【知识拓展】

1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2

＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2

＝y 2

.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2

表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1

k

y 表示同一直线．( × )

1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－1

4，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴

的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线

答案 D

解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．

2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )

A ．两条直线

B ．两条射线

C ．两条线段

D ．一条直线和一条射线

答案 D

解析 原方程可化为⎩⎪⎨

⎪

⎧

2x ＋3y －1＝0，x －3≥0

或x －3－1＝0，

即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2

＋y 2

＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2

＋y 2

＝1(y ≠0) C ．(x －2)2

＋y 2

＝4(y ≠0) D ．(x －1)2

＋y 2

＝1(y ≠0) 答案 C

解析 由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则

x ＋2

2

＋y 2

＝2

x －1

2

＋y 2

，

整理得(x －2)2

＋y 2

＝4(y ≠0)，故选C.

4．过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方

程是________．

答案 x 2a 2＋4y 2

b

2＝1

解析 设MN 的中点为P (x ，y )，

则点M (x,2y )在椭圆上，所以x 2a 2＋

2y

2

b 2＝1，

即x 2a 2＋4y 2

b

2＝1(a >b >0)． 5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2

＋(y

－4)2

＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值范围

是________． 答案 [25

5

，4]

解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)

2

＋(y －4)2

＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个

集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是[25

5，4]．

题型一 定义法求轨迹方程

例1 如图，动圆C 1：x 2

＋y 2

＝t 2,

1

9

＋y 2

＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点

A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2

B 的交点M 的轨迹方程．

解 由椭圆C 2：x 2

9＋y 2

＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．

设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝

y 0

x 0＋3

(x ＋3)．①

直线A 2B 的方程为y ＝

－y 0

x 0－3

(x －3)．② 由①②得y 2

＝－y 2

0x 20－9(x 2

－9)．③

又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故y 20

＝1－x 20

9

.④

将④代入③得x 2

9－y 2

＝1(x <－3，y <0)．

因此点M 的轨迹方程为x 2

9

－y 2

＝1(x <－3，y <0)．

思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1

内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；