圣维南原理的概念和应用

应力集中系数： K max
与孔的形状有关，是局部现象； （圆孔为最小，其它形状较大）
与孔的大小几乎无关。
max

2. 孔边应力集中问题的求 解（1）问题：
带有圆孔的无限大板（B >>a），圆 孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。
求：孔边附近的应力。
ZS《Rock Mass Mechanics》

QS IB


P 2I

h2 4

y2

（a）
代入平衡微分方程：
y 0
式（a）满足平衡方程和相容方程？
式（a）是否满足边界条件？
x
x


P I
y,
xy
y

P I
y,
xy
x
0,
y
y

0,
x xy X 0
x y
yx
x
（2）问题的求解
问题分析 坐标系： 就外边界（直线），宜用直角坐标；
就内边界（圆孔），宜用极坐标。
取一半径为 r =b (b>>a），在其上取一 点 A 的应力：
由应力转换公式：
O
r

x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
q q cos 2
y
22
r
x
上、下侧边界：
y
y h 2
0, yx
y h 2
0
—— 满足
左侧边界：

x
x0

0
——满足
h
2 h xy
dy P ——近似满足
2
x0
右侧边界：
h
2 h xy
dy P
2
xl
ຫໍສະໝຸດ Baidu
h
2 h x
y
2
sin
2
xy
cos 2
q sin 2
2
原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。
ZS《Rock Mass Mechanics》
b
A (r, )

x
r
A x q
A

A
r r

b
r r
新问题的边界条件可表示为：
内边界 r ra 0
xy
(1) 0
s
y
(1)
s
xy
0 0
s
y s 0, xy s 0
说明：
x = 0 的边界条件，是有矛 盾的。由此只能求出结果：
y s q, xy s 0
u 0, v 0.
例3 图示水坝，试写出其边界条件。
内边界 r ra 0 外边界 r ra 0
r r
r b r b

q
cos
问题2
2
2
q sin 2
2
（c）
由边界条件（c），可假设： 为 r 的某一函数乘 r
以
cos 2；

为r
r
的某一函数乘以
sin 2。
又由极坐标下的应力分量表达式：
r

1 r

y
y
Y

0
（2-2）

P I
y

P I
y

0

0
0000
X Y 0
显然，平衡微分方程满足。
代入相容方程：

2 x2

2 y 2
( x


y)

0

2 x2

2 y 2

P I
xy 0

0
式（a）满足相容方程。
再验证，式（a）是否满足边界条件？
sin

对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y0
x
dx


P
h 2
sin

x方向力等效：
h
h
(
yx
)
dx
y0

P
cos
注意： y , xy
必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h
h
y
dx Psin
y0
0
h
(3) y h, l 0, m 1
fx 0, fy q

x
s

0

xy
(1) 0
s
y
(1)
s
xy
0 q
s
a
y
(4) y h, l 0, m 1
fx 0, f y 0
x s 0
左侧面： l cos , m sin

x y tan
fx y cos f y y sin
由应力边界条件公式，有
l( x )s m( xy )s f x m( y )s l( xy )s f y
x ( cos ) xy (sin ) y cos
b
q ZrS《Rock Mass Mechanics》
a
x

b
r r
y
r
q sin 2
2
r

q 2
cos 2
问题1的解：
内边界
r
ra
0
外边界
r ra 0
该问题为轴对称问题，其解为
r
r b

q 2
r rb 0
问题1 （b）
r

q
(1)
x 0,
uvss

0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) x a, l 1, m 0
fx 0, f y 0
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
x s 0, xy s 0

r

1 r2
2 2
可假设应力函数为：
r

r
1 r


f (r) cos 2
将其代入相容方程：

2 r 2
22
1 1 2
2
r r r ZS《Rock Mass Mechanics》
0
a
∴ A 点处无应力作用
ZS《Rock Mass Mechanics》
2019/5/27
ZS
1. 为什么要用圣维南原理？ 2. 如何应用圣维南原理？ 3. 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？ 4. 圣维南原理中主矩是对那个点取矩？ 5. 圣维南原理中边界的面力和应力的关系？ 6. 什么是主要边界？什么是次要边界？ 7. 为什么正应力对中心点取矩不为零？
R
F i
MO
mO (F i )
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。
ZS《Rock Mass Mechanics》
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、
P
P
形变分量、位移分量完全满足8个基本方程
相对容易，但要使边界条件完全满足，往往
很困难。
P
如图所示，其力的作用点处的边界条 件无法列写。
1. 、静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系
为静力等效力系。
1 1

a2
r2 a2
b2
q 2


1 1

a2
r2 a2
b2
q 2
r 0
a

b
r

q 2
当 b>>a 时，有
r
1
a2 r2

q 2

1
a2 r2

q 2
r 0
（d）
ZS《Rock Mass Mechanics》
问题2的解： （非轴对称问题）
P
P
A
次要边界
ZS《Rock Mass Mechanics》
2019/5/27
ZS
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出


y
yx
水坝的应力边界条件。
左侧面： l 1, m 0 fx f y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s fx m( y )s l( xy )s f y
y (sin ) xy ( cos ) y sin
右侧面： l cos, m sin
x y tan
cos x sin xy 0
fx fy 0
sin yx cos xy 0
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，

b
r
r
r

q 2
cos 2
r
q sin 2
2

d 4 f (r) dr 4

2 r
d 3 f (r) dr 3

9 r2
d 2 f (r) dr 2

9 r3
df (r) dr

cos
2

0
d 4 f (r) 2 d 3 f (r) 9 d 2 f (r) 9 df (r) 0 dr 4 r dr3 r 2 dr 2 r3 dr
h
y
dx P sin
y0
MO 0
h h
y
xdx
y0
P h sin 0
2
h h
(
y
)
y
0
xdx

P
h 2
sin

h
Fx 0
h yx
dx Pcos 0
y0
P

x
yx
y
h
h ( yx ) y0dx P cos
AC 边界：
l2 cos2
m2 sin 1
代入应力边界条件公式，有
cos2 x sin 2 xy 0 （2） sin 2 y cos2 xy 0
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
x y xy 0
y

1 E
(
y


x)
（2-15）
xy

2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移： 应力：
uvss

u v
（2-17）
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
（2-18）
例1 如图所示，试写出其边界条件。

x
xh

0



xy
xh
0
右侧面： l 1, m 0 fx y, f y 0
代入应力边界条件公式，有

x
xh

y


xy xh 0
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
h
y方向力等效：
h
(
y
)
dx
y0

P
P
P
P/2
P/2
P
A
P
P
A
P
A
3.、圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如：
主要边界
A
B
y
注意： y , xy
可见，与前面结果相同。
必须按正向假设！
例9
图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据
材 压料 应力 力学公式y =，0，写然出后弯说曲明应这力些表x 达和式剪是应否力代表xy正的确表解达。式，并取挤
解 材料力学解答：
x

M I
yP I
xy
xy
高等岩石力学
第二讲：特殊边界处理与网格划分问题
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
x
x

yx
y

fx

0
xy
x
y
y

fy
0
（2-2）
2. 几何方程
x

u x
y

v y

xy

v x

u y
（2-9）
3. 物理方程
x

1 E
( x


y)
外边界
r r
ra r b

0 q
2

q 2
cos 2
r
r b

q sin 2
2
（a）
将外边界条件（a）分解为两部分：
r
r b

q 2
r rb 0
（b）
r r
r b r b

q 2
cos 2
q
sin
（c）
2
2
问题1
a
问题2
a


b
证明在板中间突出部分的尖点A处无应 力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面
力作用。即
fx fy 0 AB 边界： l1 cos1, m sin 1
由应力边界条件公式，有
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y cos1 x sin 1 xy 0 （1） sin 1 y cos1 xy 0
dy 0
2
xl
h
2 h x
ydy Pl
2
xl
近似满足
结论：式（a）为正确解
ZS《Rock Mass Mechanics》
2019/5/27
ZS
1. 孔边应力集中概念

由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力， 也远大于距孔稍远处的应力。 称为孔边的应力集中。