概率论 第三版 龙永红第二章习题及答案

第二章 练习题（解答）
一、填空题：
1．设随机变量X 的密度函数为：f(x)=⎩
⎨⎧02x 其它1
〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立
重复的观察中事件(X≤
2
1
)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。

解：⎰==≤41
20
21)21(xdx X p
64
9)43()41()2(1223===C Y p
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：f (x) =
且EX ＝3
1
，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

1
()1011()0
3ax b dx x ax b dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⎰⎰解：解之
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ，
DX= 12 4.设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξ
ξE E E 22104=+ξE
=+)104(ξD []3216162
2=-=）
（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ
b ax +
,
10其他<<x 且P （1X 3<
）=P(1
X>3
) ， 则
a = ,
b =
13
1
3101
1133
x dx P X P X ax b dx ax b dx ϕ+∞
-∞
==⇒+=+⎰
⎰⎰（）（<）（>）（）（） 联立解得：
4
723=-
=b a ， ax+b 0<x<1 0 其他
6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则
⎰
+∞
∞
-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=2
,110,4/0,0)(2
x x x x x F ，则
P （ξ=0.8）= 0 ；
)62.0(<<ξP = 0.99 。

8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度
)(x ϕ＝()⎪⎩⎪
⎨⎧≥)
(0100100
2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150
小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。

∴ ϕ(x)=
2
100
x x≥100 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－
⎰⎰=-+=+=150
10015010023
2
132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(
3
2)3=278
9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数
n ＝___________，P ＝_________________。

EX = np = 1.6
DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2
10. 设随机变量ξ服从参数为（2，P ）的二项分布，η服从参数为（4，P ）的二项分
布，若P （ξ≥1）9
5
，则P （η≥1）＝＝
＿65/81＿＿。

解：
%
2.8081
65811614014==-=-=q p C o )
(1)1(o p p =-=≤ηη3
1,3294)
0(94
)1(95)1(2
=
=⇒=∴===〈⇒=≥p q q p p p ξξξ
11. 随机变量X ～N （2，
σ2）
，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿
），查表可得（）〈（再代入，
由此解出）（）（）〈（）〈（）〈〈（σ
σσ
σ2
003.02
22424420
00
-Φ==-Φ--Φ=-=X P X P X P X P
12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望E （x ＋e －2x
）= ___4/3________
3
4
31110222=+=⋅+=+=+⎰+∞
----dx e e Ee
EX e X E x x X
X ）（
13. 已知离散型随机变量x 服从参数为2的泊松分布，则随机变量z = 3x －2的期望E (z)
＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量x 服从参数为λ的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 则E (x) = __2__. D (x) = __2__
2
2201!
2!
e
e λ
λλ
λλλ--=
⇒-=
∴
)0(2
舍==λλ
15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：
=)(x φ⎩
⎨
⎧≤>-0
,00
,05.005.0x x e x
；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄
为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为
286.07
2
7.02.0)10()15()10/15(===>>=
>>ξξξξP P P
17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=0.168031 解:一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ
的泊松分布
18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为
np =λ ，方差为 np =λ
19．x ～N （
μ
，2
σ），P(x ＜－5) ＝0.045，p(x ≤3) ＝0.618，则μ＝＿1.8＿＿＿＿，σ
＝＿＿4＿＿＿＿。

二、单项选择：
1、设随机变量X 的密度函数为：
34x ,0<x<1
0,(){
f x =其他
则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) A ．
42
1
B ．42
C ．
2
1 D ．1－
42
1 ⎰⎰=
∞
+=〉dx x a dx x f a a x p 3
41)()(
⎰
⎰⎰⎰=⨯=⨯⨯=∞-=〈43
1332
1:4,4,,4)()(a dx dx o a d x o a dx x f a a x p a 解之得联立
2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=
53, b =－52
B ．a=
32, b=32
C ．a=－21, b=2
3
D ．a=21, b=－2
3
F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a
适合5
2
,53-==
∴b a
3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ）
A 、A=
2
1
B=
π
B 、A=2
1
B=π1
C 、 A=
π
B=
2
1
D 、A=
π
1
B=
2
1 本题为课堂例题
4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为0.6，又已知E （X ）＝1.4，D （X ）＝0.24，则X 的分布律为 （ ）
A.
B.
C.
D.
① 1.4=EX=0.6X 1+0.4X 2
② DX=EX 2-(EX)2
0.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42 联系①、②解得X 1=1，X 2=2
5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为 （ ） A ．6元 B ．12元 C ．7.8元 D ．9元 设ξ表示得奖金额，则其分布律为：
ξ 6 9 12
P
310
38c c
310
12
28c
c c 310
2218c c c
故期望值为： 7.8
6. 随机变量X 的概率分布是：
X 1 2 3 4
P
61 a 4
1
b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122
C 、a=121, b=125
D 、a=41, b=3
1
D b a 故选）（⇒=+-=+12
741611
7. 下列可作为密度函数的是：（ B ） A 、=)
(x ϕ 0
11
2x +
0≤>x x
B 、=)(x ϕ
)
(a x e -- 其它a x >
C 、=)
(x ϕ
s i n x
其它
],0[π∈x
D 、=)
(x ϕ
3
x 其它11<<-x
依据密度函数的性质：⎪⎩⎪
⎨⎧=≥⎰∞+∞
-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案
8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。

A 、P （
)()x F X =∞= B 、1)(0≤≤x ϕ
C 、P )()(x X ϕ=∞=
D 、P )()(x F x =≤ξ
9. 如果
)(~x x ϕ，而=)
(x ϕ 02x x - 其它
211
0≤<≤≤x x ，则P （X 5.1≤）=
（ C ） A 、
⎰
-5
.10
)2(dx x B 、⎰-5
.10
)2(dx x x
C 、0.875
D 、
⎰
∞
--5
.1)2(dx x
解:
875.08
7
25
.11
1
==
-+⎰⎰
dx x xdx ）（
10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。

（ B ） A ．[0，π] B ．[0.5π, π] C ．[0, 1.5π] D ．[π, 1.5π]
解: 依据密度函数的性质：⎪⎩⎪
⎨⎧=≥⎰∞+∞
-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案
11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个
数，则EX （ D ） A ．0.75 B ．0.2375 C ．0.487 D ．0.25 此题X 服从二项分布
12. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？ （ D ）
A ．K ＝（n ＋1）P
B ．K ＝（n ＋1）P －i
C ．K ＝nP
D ．K ＝[（n ＋1）P ]
13．设X 服从泊松分布，若λ不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（B ）
A ．λ
B ．[λ]
C ．λ－1
D ．λ＋1 14. )1,0(~N X ，Y=2X －1，则Y~（ C ）
A 、N （0，1）
B 、N （1，4）
C 、N （-1，4）
D 、N （-1，3）
11212441
2-=-=-===-=EX X E EY DX X D DY ）（，）（
15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A ．2
B ．1/4
C ．1/2
D ．
2
2
随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/2
16．当满足下列（ D ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。

A ．n λ→∞→np , B ．0,→∞→p n
C ．λ→→np p ,0
D ．∞→n
17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ，97725.0)2(0≈Φ，则}{5p X <和}{20p X >的概率分别为 [ C ]
A. 0.0228 , 0.1587
B. 0.3413 , 0.4772
C. 0.1587 , 0.0228
D. 0.8413 , 0.97725
0228.02
1510
201201201587.08413.011115
10
5500000
=Φ-=-Φ-=≤-==-=Φ-=-Φ=-Φ=）（）（）（）〉（）（）（）（）〈（X P X P X P
三、计算题：
1. 设随机变量X 的密度函数为：A+B=3 AX 0＜X ≤1 B －X 1＜X ≤2
0 其它
试求：（1）常数A 、B 。

（2）分布函数F （X ）
（3）P （
2
1
＜2
3≤
X ） 解：（1）由f(x)为连续的
同时：
⎰=∞-∞
+1)(dx x f 25A B ⇒+= ，又A+B=3
f(x)
=
解得：A=1，B=2 （2）⎰
∞
-=,)()(dx x f x x F
当⎰==〈〈2
2
10)(,1x xdx x x F x o ⎰⎰--=-+=-+=
〈≤12
121)212(21)2(101)(,212
2x x x x x dx x x xdx x F x ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧--=∴11
212210
)(2
2
x x x x F 221100≥〈≤〈〈≤x x x x （3）221331313113(<X )()()2()1()2222222224
p F F ≤
=-=⨯-⨯--⨯= 2. 设已知X~)(x ϕ=
2x
其它
10<<x ，求：
① P （
5.0≤X ）
② ()F x 解：① 4
1
255
.00
==≤⎰
xdx X P ）（
②
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∴===
⎰⎰
∞
-111
00
0222
〉，〈〈，〈，）（）（）（x x x x x F x xdx dx x x F x
x
ϕ
③
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=∴⋅
-='=-=-≤=≤+=≤=⎩⎨
⎧≤≤=其他）
（其他）
(0)
419
1
92)(3
1
)31()()()
3
1
()31()13()()(~(0)
10(1)(~y y y y y F y y F y X p y X p y Y p y F Y x x X Y X Y Y X Y X φφφφ
3. 设随机变量X 的密度函数为：
ax 0<x<2
f(x)= cx + b 2≤x≤4
0 其他
已知 EX ＝2， P （1<X<3）＝4
3
， 求a 、b 、c 的值 解：（1）①
⎰⎰=++=++1262)(2402b c a dx b cx axdx
②2663
56
38)(240222=++=++=⎰⎰
c a dx bx cx dx ax EX
③⎰⎰=++=++=〈〈4
3
2523)(2312)31(b c a dx b cx axdx x p
4
1
,1,41-===
=c b a 联系解得 （2）⎰
⎰⎰+-+=∝∞-∞+==dx e x dx xe dx x f e e E EY x x x
)14
1
(244102)()( 22
)1(4
1-=
e
22
22
2
)1(4
1)(-=-=e e Ey Ey Dy
4．假定在国际市场上每年对我国出口商品的需求量是随机变量X （单位：t ），已知X 服从
[2000,4000]上的均匀分布，设每出售这种商品1t ，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的平均收益最大？
解：Y ：每年该商品的出口量，R ：收益， X ：需求量
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=-其他
4000
200002000
1)(x x f
⎩⎨
⎧
∈≤≥--=]4000,2000[,)
(33)(y x y
x y x x y x y x R
⎰∞
-∞
+=dx x f x R ER )()(
⎰⎰+-=
dx y y dx y x y 2000
134********)4(2000 )1047000(10001
62⋅-+-=
y y ])3500(825000[1000
12--=y ∴y=3500时，利益最大
5． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 [10，30]上均匀分布，而经销商店进货量为 [10，30] 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a, 则利润为： ⎩⎨
⎧≤≤≤≤----=a
x x a x a x a x a Ma 1030
100
)(500300)(500
⎰⎰++-=dx a x a dx x a EMa )200300(20
1
30)100600(20110α
52503505.72++-=a a
9280≥E M a 若 即：-7.5α2+350α+5250≥9280
解得：20
3
2
≤α≤26 ∴取得小α=21
上式：其他
30
100
20
1)(≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧=-x x f x
6. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：① 直接进口，② 租用设备，③ 与
外商合资。

不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：
自制 进口 租赁 合资 固定成本（万元） 120 40 64 200 每件可变成本（元） 60 100 80 40
已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为0.7，滞销的为0.1，请为该厂作出最优决策。

解：设 =B 销量 ，自制=1A ，进口=2A ，租赁=3A ，合资=4A 万件53.2)(=B E
8
.204)4053.2200(20053.2)(6.239)8053.264(20053.2)(213)10053.240(20053.2)(2
.234)6053.2120(20053.2)(4321=⨯+-⨯==⨯+-⨯==⨯+-⨯==⨯+-⨯=A E A E A E A E
∴ 3A 为最优方案，即租用设备。

7. 某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下：
假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订
购新书的数量。

解：列收益表：
60
1.04003.02004.00
2.020041401.0300
3.0300
4.01002.01003160
1.02003.02004.0200
2.0021001.0100
3.0100
4.01002.01001=⨯+⨯+⨯+⨯-==⨯+⨯+⨯+⨯-==⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=Ey Ey Ey Ey
故订100本较合理。

8. 若连续型随机变量X 的概率是
⎩⎨⎧<<++=)
(010)(2其他）
（x c bx ax x ϕ
已知EX ＝0.5，DX ＝0.15，求系数a, b, c 。

解： ⎰+∞
∞-=1)(dx x φ
⎰
+∞
∞-=5.0)(dx x x φ
⎰
+∞
∞
-=+=4.0)(2
2）（ξξφE D dx x x
解方程组得：12=a 12-=b 3=c
9. 五件商品中有两件次品，从中任取三件。

设ξ为取到的次品数，求ξ的分布律、数学期望和方差。

解：ξ的分布律为
E ξ= 1.2 ；D ξ= 0.36
10. 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。

解： X —N （72,σ 2） 009672
24
(96)1()1(
)0.023p X σ
σ
-≤=-Φ=-Φ=s
即：12224
,977.0)24
(
=⇒=⇒
=Φσσ
σ
o
)12,72(2
N X -∴
84726072
(6084)(
)()0.6821212
o o P X --≤≤=Φ-Φ=
11. 假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ> 0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。

解：设Xi 表示第i 个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X 1X 2X 3独立且同分布，
分布函数为：⎩⎨
⎧≤〉-=-0
1)(x x e x F x
λ 设G （t ）是T 的分布函数。

当t ≤0时，G （t ）=0
t >0时，G （t ）=P(T ≤t)=1-P(T >t) =1-P(X 1>t,X 2>tX 3>t) =1-P(X 1>t)P(X 2>t)p(X 3>t) =1-[P(X >t)]3=1-[1-F(t)]3
=1-e -λ
00
1)(3≤〉⎩⎨
⎧-=∴-
λe t G
的指数分布服从参数为λ3T ∴
12. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度X~N （200，182
），求：① 取出的该材料的强度不低于180的概率；② 若某项工程要求所用的材料强度要以99%的概率保证不低于150，问这批材料是否合乎要求？
解： ① (180)0.8665P X ≥=
② (150)0.9973P X ≥= 大于0.99，故这批材料合要求。

13. 生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，则这20件产品中，废品不少于3件的概率为多大？ 解： =“20件产品中废品数目”
“初步检查已发现有2件废品”=“ ≥2” “废品数不少于3件”=“ ≥3” p=0.1 q=0.9 n=20.
14. 某公司作信件广告，依以
往经验每送出100封可收到一家定货。

兹就80个城市中的每一城市发出200封信。

求（1）无一家定货的城市数；（2）有三家定货的城市数。

%
1.531
.09.020
1
9.01.020019.01.020
2119200182=---=C C C k
k k
k k
C
k k C
k p p p --=
==
≥≥=≥≥∑
∑
20209.01.020209.01.0203
20
2
(3()23(
解：设发出200封信后有ξ家定货，则ξ∽B （200，0.01） ξ近似服从参数为np =λ=2的泊松分布 P （ξ=0）≈0.1353 ，P （ξ=3）≈0.1804 （1） 无一家定货的城市数为80⨯0.1353=10.82 （2） 有三家定货的城市数为80⨯0.1804=14.43
15. 某企业准备通过考试招收300名职工，其中招正式工280人、临时工20人，报考人数为1657人，考试满分是400分。

考后得知，考试平均成绩为166分，在360分以上的高分考生有31人。

求：
（1）为录取到300人，录取分数线应设定到多少？
（2）某考生的分数为256分，他能否被录取为正式工？
（设成绩服从正态分布，835.0)97.0(0≈Φ，819.0)91.0(0≈Φ， 981.0)08.2(0≈Φ） 解：（1）
20
2
00
~166360166
31
30136011657
1941940.981 2.0893.3~16693.3300166166
10.1810.819165793.393.3
166
0.91250.993.3
X N P X P X X N a a P X a a a σσ
σσσ
->=-≤=-Φ=
⇒Φ=⇒=⇒=-->=⇒-Φ=⇒Φ=-⇒
=⇒=（，）
（）（）（）（）（，）（）（）（）
因此，分数线应定在250.9分。

（2）
256166280
2561256110.8350.16593.31657P X P X ->=-≤=-Φ=-=<（）（）（）
故该考生能被录为正式工。