高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

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第 讲 导数中的恒成立问题

时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

§1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ，相应的切线

方程是 .

§2.几种常见函数的导数

①'C = ；②'()n x = ； ③'(sin )x = ； ④'

(cos )x = ； ⑤'()x a = ； ⑥'()x e = ； ⑦'(log )a x = ；⑧'(ln )x =

§3.导数的运算法则

（1）'()u v ±= . （2）'()uv = . （3）'()u

v

= .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则

复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的

导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原.

§5.函数的极值

(1)极值定义：

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值；

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值.

(2)判别方法：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极 值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极 值.

三、 方法培养

2 一、单参数放在不等式上型：

【例题1】设函数()x x f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．

解：令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e

a -''=-=+-， （1）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，故()g x 在(0,)+∞上为增函数，

∴0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．

（2）若2a >，方程()0g x '=

的正根为1x = 此时，若1(0,)x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．

∴1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．

综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞．

说明：上述方法是不等式放缩法．

【针对练习1】设函数2

()1x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．

解：

【例题2】设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．

解：（1）2()663f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=⎧⎨

++=⎩

，解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,3)x ∈时，()0f x '>．

∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．

则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．

∵对于任意的[0,3]x ∈，有2()f x c <恒成立，∴298c c +<，解得1c <-或9c >，

因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．

【针对练习2】已知函数44

()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中 a 、b 、c 为常数．

（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；

（3）若对任意0x >，不等式2

()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围．

3

解：

【针对练习3】已知函数323()12f x ax x =-+()x R ∈，其中0a >．若在区间11[,]22

-上， ()0f x >恒成立，求a 的取值范围．

解：

4 【例题3】已知函数2

2

()ln (1)1x f x x x

=+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若不等式1(1)n a e n

++≤对任意的n N *∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值． 解：（1）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 2222

2ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++． 设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--．

则()2ln(1)2g x x x '=+-，令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=

-=++． 当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数，

当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数．∴()h x 在0x =处取得极大值，

而(0)0h =，∴()0 (0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．

于是当10x -<<时，()(0)0g x g >=，当0x >时，()(0)0g x g <=．

∴当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．

当0x >时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上为减函数．

故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．

（2）不等式1(1)n a

e n ++≤等价于不等式1()ln(1)1n a n ++≤，由111n

+>知， 11ln(1)a n n

≤-+．设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则 22

222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++． 由（1）知，2

2ln (1)01x x x

+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤． ∴()0G x '<，(0,1]x ∈，于是()G x 在(0,1]上为减函数．

故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-．∴a 的最大值为11ln 2

-． 小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造

函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变 量的取值范围．

【针对练习4】已知()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2

()1xf x x ax '≤++，求a 的取值范围．

解：