关于球的组合体问题(课堂PPT)

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5. 1
R x
5x
R
5
O1O x
R 2 x 2 1 2
2
2
5x 5
x 9 25
R2 x2 1 101 20
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5.
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6.
Q x2 y2 36 x2 z2 25 y2 z2 25 x2 y2 z2 43 Q x2 y2 z2 2R R 43
关于球的组合体问题
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高考命题趋势
有关球的组合体问题，是立体几何的一 个重点和难点，也是高考考查的一个热点.
2
常见几何体的内切球
1.正方体：2r a
2.直棱柱：上下面的内切圆直径=高=内切球的直径
3.圆柱： 底面圆直径=高=内切球的直径
4.正四面体：内切球半径是高的 高的
，外接球半径是
5.正棱锥（或圆锥）：内切球和外接球球心都在高线 上，但不 一定重合 基本方法： 构造三角形利用相似比和勾股定理
5．（2013 福建）已知某一多面体内接于一个简单组 合体,如果该组合体的正视图、侧试图、俯视图均如 图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该 球的表面积是_______________
4 .R 5 2
5 .1 2
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（二）常见锥体的外接球
1.正四面体 2.正棱锥（或圆锥） 若PH>AH,则OA=OP=R
求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．
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求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
V1 3S底面h积 1 3S全面r积
S底 面 积hS全 面 积r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
r 1h 4
h 6a 3
r 6a 12
或用 RtPKO∽ RtPHD
4
常见几何体的外接球
(一)柱体的外接球 1.正方体 2.长方体 3.直棱柱（或圆柱）
球 面 上 ， 且 AB=6 ， BC= 2 3 ， 则 棱 锥 O-ABCD 的 体 积 为
_____________．
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4.(2013·山东潍坊一中月考)四棱锥P－ABCD的三视图 如图所示，四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面 上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所 截得的线段长为2，则该球的表面积为__________ 。
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD的外接球体积______. 2.（2013 豫南九校一联）已知三棱锥的三
视图如右图所示，则它的外接球表面积为
A.16 B.4
C .8
D.2
3.（2013 洛阳一模）已知三棱锥 S ABC 的所
有顶点都在球O的球面上， SA 平面 ABC ，
SA 2 3 ， AB 1, AC 2,BAC 60, 则球O表面积为_________.
AB AC AA1 2,BAC 120 ，则球的表面积为_______.
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2．(2010 新课标)设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该 球的表面积为( )
O1B＝23× 23a＝ 33a， R2＝(a2)2＋( 33a)2＝71a22， S＝4πR2＝7π3a2
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1、正方体的内切球、外接球
2r a
2R 3 a
6
2、长方体（或正四、六棱柱） 的外接球
体对角线=球直径
长方体中， a2b2c2 2R
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3.直棱柱（或圆柱）的外接球
上下底面外接圆圆心连线的中点，即为球心
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题组一：常见柱体的外接球
1.（2013 辽宁）已知三棱柱 A B C A1 B1C 1 的 6 个顶点都在球 O
2
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反思总结：
1.解决球的组合体问题的基本思路：找球心，求半径 2.锥体的外接球问题，可把锥体补成：正方体、长方体、直棱柱 3.关于球的组合体的常见规律和结论，你能总结几个？
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巩固强化：
1．【2012 新课标 11】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O的求面上， ABห้องสมุดไป่ตู้是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且 SC 2 ；则此棱锥的 体积为（ ）
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S
4 . 正四棱锥 S ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2 ，点 S、A、B、C、D都在同一球面上，
则此球的体积为
.
D
C
O1 A 图3 B
5．(2013·广州调研)已知四棱锥 P－ABCD 的三视图如图所示, 则四棱锥 P－ABCD 的外接球 表面积为__________. 6．在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6 ， AC BD AD BC 5 ， 则该三棱锥的外接球的表面积为__________。
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3.直三棱柱 ABC A1B1C1 的各个顶点在同一球面 上，若 AB AC AA1 2, BAC 120 ，则球的表面 积为______
O1 A1 O1B1 O1C 1
1
B1C 1
2
2 sin B1 A1C 1
R O1B12 12 5
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4. 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 ， PA=1 ， PBPC 2 ，已知空间中有一个 点到这四个点距离相等，求这个距离；
的球面上,若 AB3，AC4, AB AC , AA1 12,则球 O 的半径 为________.
2. (2010 宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶
点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) a2
(B)
7 a2 3
(C)
11 a2 3
(D) 5a2
3. 直 三 棱 柱 A B C A1 B1C 1 的 各 个 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 若
R2(PHR)2AH2
3.其他特殊棱锥（常置于正方体、长方体、直棱柱等 中）
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求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
将正四面体放到正方体中， 得 正 方 体 的 棱 长 为 2 a,
2 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 所 以 R＝ 6 a.
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题组二：常见锥体的外接球
1.在矩形 ABCD中， AB 4, BC 3 ，沿 AC 将矩形 ABCD折成一
( A) 2 6
(B)
3
6
(C) 2 3
(D) 2 2
2．【2012 辽宁理 16】已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半
径为 3 的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截
面 ABC 的距离为________。
3.（11 新课标理 15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的