斯托克斯公式最新版本

x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交 于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克 斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相 反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.
解(方法1) 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
的正向边界曲线
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy .
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cos γ dS
z
y
z
y
cos β
fy
, cos γ
1
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
故有cos β f y cos γ
左边
P z
fy
注 1º斯托克斯公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边
界曲线上的曲线积分之间的关系.
2º斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysdz
或
P d x Qd y Rd z
x
P
dczodsx
y Q
dcxodsy
dS z
R
其中
n
{cos α,cos
β,cos γ}为指定侧的单位法向量.
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d xd y 3 .
Dxy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
3º斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
O y
x = L
在yOz面, zOx面上的投影为零
一阶连续偏导数, 则
斯托克
Pdx Qdy Rdz
斯公式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q dydz z
Q( x,
y,
z)dy
Γ
(3)
R dydz y
R dzdx x
R( x,
y,
z)dz
Γ
证明思路: 第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P( x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线 只交于一点,
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(Q x
P y
)d
x
d
y
(Q(x, y,0) P(x, y,0))d xd y
x
y
D
z
n
O Dy
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数
的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被Γ所围的部分， 2
的单位法向量 n
1 1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
1 11
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
来自百度文库
(
x
y
z)dS
P cos γdS y
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
f
y
左边
P z
f
y
P y
cos
γdS
P z
fy
P dxdy y
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
取4为 3平面dxS 32
y2
z3
D
3
2
xy
的3(d上在xd侧y上被 ,Γx6所x围yy 的 z部分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xyd y xzd z .
通常，取为平面或球面等法向量的方向 余弦易求的曲面.
例1 利用斯托克斯公式计算 z d x x d y yd z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形 的整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向 量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d ydz
x
z
d yd z d z d x d x d y
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法
计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.
5º如何选取 ？ 在斯托克斯公式中，是以为边界的任意
分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空 间区域内具有一阶连续的偏导数即可).