离散数学--代数系统
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2014-8-11 6
计算机科学学院
刘芳
3 符号代数阶段
符号代数阶段 用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的
这种符号演算形式。
代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学
公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代 数学公理系统。 代表数学家 德国数学家 M.Stiefel(1486-1567)
2014-8-11
普通加法和乘法满足消去律 矩阵加法满足消去律 矩阵乘法不满足消去律. 集合的并和交运算也不满足消去律
23
计算机科学学院
刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
1.单位元 定义9.8： 设 ∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，使得 对任意 x∈S 都有 el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位元，则 称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的单位元（幺元）.
1553《综合算术》; 用 1 0进制小数表示实数
法国数学家 F.Viete(1540-1603)
2014-8-11
是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都 作了杰出的贡献。 7
计算机科学学院
刘芳
4结构代数阶段
结构代数（抽象代数、近世代数） 代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是
古代中国: 算筹法 算筹计数
筹算开方法（九章算术 ）
2014-8-11 4
计算机科学学院
刘芳
1 文字叙述阶段
而古希腊则借助于几何图形的变换方法
最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497) 几何数论方法。
1+3+5+……+(2n-1)=n2
不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数 结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重 要的代数结论
2014-8-11
{1} {2} {1,2}
17
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刘芳
9.1.2 运算的表示方法
例2： Z5＝ { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法
与乘法的运算表。 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
2014-8-11
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1
定义9.1 (P165 )
设S是一个集合，函数f:S×S→S称为S上的一个二
元运算，简称为二元运算。
问题：
如何验证一个运算是否为S上的二元运算？
S中任意两个元素可以进行这种运算，且结果唯一。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是
封闭的 。
2014-8-11 13
计算机科学学院
抽象的运算系统(如群、环、域 等)的代数结构。 事实上 不管是连续的还是离散的数学结构，常常是对 研究对象（自然数,实数,多项式,矩阵,命题,集合,图等） 定义种种运算（加,减,乘;与,或,非；交,补等） 然后讨论这些对象及运算的有关性质。
2014-8-11 8
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刘芳
4结构代数阶段
f(x1,x2,……,xn)
2.算符
用 ○ · * 等符号表示n元运算，称为算符。 几种形式，如：
前缀形式:
○ (x1,x2,…,xn)
中缀形式: x1○x2○…○xn
2014-8-11
后缀形式: (x1,x2,…,xn) ○
15
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9.1.2 运算的表示方法
3.运算表
设 S={a1,a2,…,an}，S 上的一／二元运算可以用运
算表的形式给出：
ai
a1 a2 ……
2014-8-11
○ i
○ 1 ○ 2
a
○
a1
a2
… … … … …
an a 1○ a n a 2○ a n … a n○ a n
16
a a
a1 a2 … an
a1○a1 a1○a2 a2○a1 a2○a2 … … a n○ a 1 a n○ a 2
18
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
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刘芳
9.1.3 二元运算的性质
定义9.3~9.5
设 ∘为 S 上的二元运算,
如果对于任意的 x, yS 有x ∘ y = y ∘ x, 则称运算∘在 S 上满 足交换律. 如果对于任意的 x, y, zS 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),则称运 算∘在 S 上满足结合律. 如果对于任意的 xS 有 x ∘ x = x, 则称运算∘在 S 上满足 幂等律. (若S中某些x满足x ○ x ＝ x,则称x是运算○的幂等 元 )。
无
有 无
22
2014-8-11
对 不分配
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9.1.3 二元运算的性质
定义9.7 设 ∘为集合S上二元运算，如果对于任意元 素 x, y, zS, x θ，都有 x ∘ y = x ∘ z y = z, y∘x=z∘xy=z 成立，则称 ∘ 运算满足消去律.
例如：
1. 2. 3. 4.
算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数
代数学发展的4个阶段:
1文字叙述阶段 3符号代数阶段
2014-8-11
2简化文字阶段 4结构代数阶段
3
计算机科学学院
刘芳
1 文字叙述阶段
文字叙述阶段
尚未形成任何简化的符号表达法； 代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达； 代数推理也都采用直观的方法。
运算，简称为一元运算。
例如：
Z, Q 和 R上求相反数的运算 非零有理数集Q*，非零实数集 R*上求倒数运算
复数集合C上求共轭复数的运算
幂集P(S)上, 全集为S，求绝对补运算~
2014-8-11
在 Mn(R) (n≥2)上求转置矩阵
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刘芳
9.1.1 运算的定义
……
○ n
an
a
计算机科学学院
刘芳
9.1.2 运算的表示方法
运算表的实例
例9.4：A＝P({1,2}), , ∼分别为对称差和绝对补
运算的运算表 （注：{1,2}为全集）
{1}
{2}
{1,2}
x
∼x
{1,2} {2} {1}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
2014-8-11 5
计算机科学学院
刘芳
2 简化文字阶段
简化文字阶段 古希腊数学后期，数学家丢番图（Diophantus,公元250年）
才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代 替一些相对固定的代数表达式。
《算术》使用简化文字符号
12345678910： 平方 ： （希腊文幂”字为dumamis(△YNMIS) ） 立方 ： (立方的希腊文为kubos(KYBOS) )
代数系统 由集合和集合中的一个或多个运算所组成的系统（即数学
结构），称为代数系统，又称代数结构或抽象代数，它是 用代数的方法构造出来的数学模型。
2014-8-11
代数系统的应用 自动机理论 编码理论 形式语义学 密码学 等
9
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刘芳
第9章 代数系统
9.1 二元运算及性质 9.2 代数系统
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刘芳
第三部分 代数结构
引言 代数系统 群与环 格与布尔代数
2014-8-11 1
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刘芳
引言
数学的三大核心领域 代数学：数学中研究数的部分 几何学：数学中研究形的部分 分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分 总体来说： 数学的三大类数学构成了整个数学的本体与核心。 在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与
2014-8-11 25
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刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
3.零元
定义 9.9 设 ∘为 S 上的二元运算, 如果存在θl ( 或θr)∈S，使 得对任意 x∈S 都有 θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于 ∘ 运算既是左零元又是右零元，则称θ 为 S 上关于∘运算的零元.
2014-8-11 26
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刘芳
实例：
集合 Z, Q, R
9.1.4 二元运算的特异元素
运算 普通加法+ 普通乘法 单位元 0 零元 无 逆元 x 的逆元 x
1
0
无
x 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X 逆元X
Mn(R)
矩阵加法+
矩阵乘法
E
B
X的逆元 X1 （X是可逆矩阵）
2014-8-11 19
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刘芳
例:
集合
Z, Q, R Mn(R)
9.1.3 二元运算的性质
运算
普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 交换律 有 结合律 有 幂等律 无
有
有 无 有 有 无 有
有
有 有 有 有 无 有
无
无 无 有 有 无 无
20
P(B)
并
交 相对补 对称差
2014-8-11
10
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刘芳
9 .1 二元运算及其性质
9.1.1 运算的定义 9.1.2 运算的表示方法 9.1.3 二元运算的主要性质 9.1.4 二元运算的特殊元素 小结
2014-8-11 11
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刘芳
9.1.1 运算的定义
定义9.2 (P166 )
设S是一个集合，函数f:S→S称为S上的一个一元
2014-8-11
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刘芳
9.1.3 二元运算的性质
定义9.6~9.7
设 ∘和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算
如果对于任意的 x, y, z∈S 有
(x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. 如果 ∘ 和 ∗ 都可交换, 并且对于任意的 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘和 ∗ 运算满足吸收律.
其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
现在已经拥有100多个主要分支学科。
2014-8-11 2
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刘芳
引言
代数学
代数学是建立在集合论基础上以代数运算为研究
对象的学科。
其范畴包括：
一门科学的历史是那门科学中最宝 贵的一部分，因为科学只能给我们 知识，而历史却能给我们智慧。
刘芳
9.1.1 运算的定义
例9.1 (P165 ) N 上的＋、×
Z
R*
上的 ＋、－、×
上的×、／
Mn(R)
P(S) 一般地：
上的矩阵加法和乘法
上的∪、∩、－、
函数f:Sn→S称为S上的一个n元运算。
2014-8-11 14
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刘芳
9.1.2 运算的表示方法
1.函数解析式
2014-8-11 21
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刘芳
9.1.3 二元运算的性质
集合 运算 普通加法 + 与乘法 分配律 对 + 可分配 + 对 不分配 吸收律 无
Z,Q,R
Mn(R)
P(B)
矩阵加法 + 与乘法
并 与交 交 与对称差
对 + 可分配
+ 对 不分配 对 可分配 对 可分配 对 可分配
的逆元为
P(B)
并 交 对称差
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
无
B的逆元为B
X的逆元为X
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2014-8-11
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刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
单位元的惟一性
定理9.1：设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关
于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于∘ 运算 的惟一的单位元. 证： ∵ el = el ∘ er = er ∴el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S 中的单位元，则有 e’ = e ∘ e’ = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理5.2.
2014-8-11 24
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刘芳
10.1.4 二元运算的特异元素
2.可逆元素及其逆元 定义9.10 令 e 为 S 中关于运算 ∘ 的单位元. 对于 x∈S，如 果存在yl（或 yr）∈S 使得 yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 ∘ 运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的 右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
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刘芳
3 符号代数阶段
符号代数阶段 用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的
这种符号演算形式。
代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学
公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代 数学公理系统。 代表数学家 德国数学家 M.Stiefel(1486-1567)
2014-8-11
普通加法和乘法满足消去律 矩阵加法满足消去律 矩阵乘法不满足消去律. 集合的并和交运算也不满足消去律
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9.1.4 二元运算的特异元素
1.单位元 定义9.8： 设 ∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，使得 对任意 x∈S 都有 el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位元，则 称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的单位元（幺元）.
1553《综合算术》; 用 1 0进制小数表示实数
法国数学家 F.Viete(1540-1603)
2014-8-11
是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都 作了杰出的贡献。 7
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4结构代数阶段
结构代数（抽象代数、近世代数） 代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是
古代中国: 算筹法 算筹计数
筹算开方法（九章算术 ）
2014-8-11 4
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刘芳
1 文字叙述阶段
而古希腊则借助于几何图形的变换方法
最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497) 几何数论方法。
1+3+5+……+(2n-1)=n2
不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数 结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重 要的代数结论
2014-8-11
{1} {2} {1,2}
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9.1.2 运算的表示方法
例2： Z5＝ { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法
与乘法的运算表。 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
2014-8-11
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1
定义9.1 (P165 )
设S是一个集合，函数f:S×S→S称为S上的一个二
元运算，简称为二元运算。
问题：
如何验证一个运算是否为S上的二元运算？
S中任意两个元素可以进行这种运算，且结果唯一。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是
封闭的 。
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抽象的运算系统(如群、环、域 等)的代数结构。 事实上 不管是连续的还是离散的数学结构，常常是对 研究对象（自然数,实数,多项式,矩阵,命题,集合,图等） 定义种种运算（加,减,乘;与,或,非；交,补等） 然后讨论这些对象及运算的有关性质。
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4结构代数阶段
f(x1,x2,……,xn)
2.算符
用 ○ · * 等符号表示n元运算，称为算符。 几种形式，如：
前缀形式:
○ (x1,x2,…,xn)
中缀形式: x1○x2○…○xn
2014-8-11
后缀形式: (x1,x2,…,xn) ○
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9.1.2 运算的表示方法
3.运算表
设 S={a1,a2,…,an}，S 上的一／二元运算可以用运
算表的形式给出：
ai
a1 a2 ……
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○ i
○ 1 ○ 2
a
○
a1
a2
… … … … …
an a 1○ a n a 2○ a n … a n○ a n
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a a
a1 a2 … an
a1○a1 a1○a2 a2○a1 a2○a2 … … a n○ a 1 a n○ a 2
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0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
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9.1.3 二元运算的性质
定义9.3~9.5
设 ∘为 S 上的二元运算,
如果对于任意的 x, yS 有x ∘ y = y ∘ x, 则称运算∘在 S 上满 足交换律. 如果对于任意的 x, y, zS 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),则称运 算∘在 S 上满足结合律. 如果对于任意的 xS 有 x ∘ x = x, 则称运算∘在 S 上满足 幂等律. (若S中某些x满足x ○ x ＝ x,则称x是运算○的幂等 元 )。
无
有 无
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对 不分配
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9.1.3 二元运算的性质
定义9.7 设 ∘为集合S上二元运算，如果对于任意元 素 x, y, zS, x θ，都有 x ∘ y = x ∘ z y = z, y∘x=z∘xy=z 成立，则称 ∘ 运算满足消去律.
例如：
1. 2. 3. 4.
算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数
代数学发展的4个阶段:
1文字叙述阶段 3符号代数阶段
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2简化文字阶段 4结构代数阶段
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1 文字叙述阶段
文字叙述阶段
尚未形成任何简化的符号表达法； 代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达； 代数推理也都采用直观的方法。
运算，简称为一元运算。
例如：
Z, Q 和 R上求相反数的运算 非零有理数集Q*，非零实数集 R*上求倒数运算
复数集合C上求共轭复数的运算
幂集P(S)上, 全集为S，求绝对补运算~
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在 Mn(R) (n≥2)上求转置矩阵
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9.1.1 运算的定义
……
○ n
an
a
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9.1.2 运算的表示方法
运算表的实例
例9.4：A＝P({1,2}), , ∼分别为对称差和绝对补
运算的运算表 （注：{1,2}为全集）
{1}
{2}
{1,2}
x
∼x
{1,2} {2} {1}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
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2 简化文字阶段
简化文字阶段 古希腊数学后期，数学家丢番图（Diophantus,公元250年）
才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代 替一些相对固定的代数表达式。
《算术》使用简化文字符号
12345678910： 平方 ： （希腊文幂”字为dumamis(△YNMIS) ） 立方 ： (立方的希腊文为kubos(KYBOS) )
代数系统 由集合和集合中的一个或多个运算所组成的系统（即数学
结构），称为代数系统，又称代数结构或抽象代数，它是 用代数的方法构造出来的数学模型。
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代数系统的应用 自动机理论 编码理论 形式语义学 密码学 等
9
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第9章 代数系统
9.1 二元运算及性质 9.2 代数系统
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第三部分 代数结构
引言 代数系统 群与环 格与布尔代数
2014-8-11 1
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引言
数学的三大核心领域 代数学：数学中研究数的部分 几何学：数学中研究形的部分 分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分 总体来说： 数学的三大类数学构成了整个数学的本体与核心。 在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与
2014-8-11 25
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9.1.4 二元运算的特异元素
3.零元
定义 9.9 设 ∘为 S 上的二元运算, 如果存在θl ( 或θr)∈S，使 得对任意 x∈S 都有 θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于 ∘ 运算既是左零元又是右零元，则称θ 为 S 上关于∘运算的零元.
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实例：
集合 Z, Q, R
9.1.4 二元运算的特异元素
运算 普通加法+ 普通乘法 单位元 0 零元 无 逆元 x 的逆元 x
1
0
无
x 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X 逆元X
Mn(R)
矩阵加法+
矩阵乘法
E
B
X的逆元 X1 （X是可逆矩阵）
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例:
集合
Z, Q, R Mn(R)
9.1.3 二元运算的性质
运算
普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 交换律 有 结合律 有 幂等律 无
有
有 无 有 有 无 有
有
有 有 有 有 无 有
无
无 无 有 有 无 无
20
P(B)
并
交 相对补 对称差
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9 .1 二元运算及其性质
9.1.1 运算的定义 9.1.2 运算的表示方法 9.1.3 二元运算的主要性质 9.1.4 二元运算的特殊元素 小结
2014-8-11 11
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9.1.1 运算的定义
定义9.2 (P166 )
设S是一个集合，函数f:S→S称为S上的一个一元
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9.1.3 二元运算的性质
定义9.6~9.7
设 ∘和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算
如果对于任意的 x, y, z∈S 有
(x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. 如果 ∘ 和 ∗ 都可交换, 并且对于任意的 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘和 ∗ 运算满足吸收律.
其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
现在已经拥有100多个主要分支学科。
2014-8-11 2
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刘芳
引言
代数学
代数学是建立在集合论基础上以代数运算为研究
对象的学科。
其范畴包括：
一门科学的历史是那门科学中最宝 贵的一部分，因为科学只能给我们 知识，而历史却能给我们智慧。
刘芳
9.1.1 运算的定义
例9.1 (P165 ) N 上的＋、×
Z
R*
上的 ＋、－、×
上的×、／
Mn(R)
P(S) 一般地：
上的矩阵加法和乘法
上的∪、∩、－、
函数f:Sn→S称为S上的一个n元运算。
2014-8-11 14
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9.1.2 运算的表示方法
1.函数解析式
2014-8-11 21
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9.1.3 二元运算的性质
集合 运算 普通加法 + 与乘法 分配律 对 + 可分配 + 对 不分配 吸收律 无
Z,Q,R
Mn(R)
P(B)
矩阵加法 + 与乘法
并 与交 交 与对称差
对 + 可分配
+ 对 不分配 对 可分配 对 可分配 对 可分配
的逆元为
P(B)
并 交 对称差
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
无
B的逆元为B
X的逆元为X
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2014-8-11
计算机科学学院
刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
单位元的惟一性
定理9.1：设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关
于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于∘ 运算 的惟一的单位元. 证： ∵ el = el ∘ er = er ∴el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S 中的单位元，则有 e’ = e ∘ e’ = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理5.2.
2014-8-11 24
计算机科学学院
刘芳
10.1.4 二元运算的特异元素
2.可逆元素及其逆元 定义9.10 令 e 为 S 中关于运算 ∘ 的单位元. 对于 x∈S，如 果存在yl（或 yr）∈S 使得 yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 ∘ 运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的 右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.