二体问题
第一章-二体问题PPT课件
rd2r dt2
=rr3
r
rdv=d(rv) 0 dt dt
hrvconst
34
34
3.2 二体问题的解析解
二体问题角动量是常数
开普勒第二定理
角动量在极坐标下的表示
vd dr trirrd d itrrirrd d tiθ
hrvr2 ddt iz
面积化率
dA 1 r2 d
dt 2 dt
35
35
3.2 二体问题的解析解
d 2rcm dt2
0
内力不改变系统的质心
19
19
2.3 二体相对运动方程
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
- G (m 1 r 2m 2)(r2rr1)d2(r d2 t2 r1)
d2r=G(m1m2)rr
dt2
r2 r r3
20
20
14
14
1.4 教程和参考书
1、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外 经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）
物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理
二体问题资料课件
03
二体问题的解析解法
微分方程的求解
建立二体问题微分方程
根据牛顿第二定律和万有引力定律，建立二体 问题的微分方程。
求解微分方程
通过解析方法或数值方法求解微分方程，得到 物体的运动轨迹和速度。
验证解的正确性
通过将解代入原微分方程进行验证，确保解的正确性。
椭圆轨道和双曲轨道
椭圆轨道
当两个物体之间的距离足 够远时，它们的运动轨迹 近似为椭圆。
二体问题资料课件
目录
• 二体问题简介 • 二体问题的数学模型 • 二体问题的解析解法 • 二体问题的近似解法 • 二体问题的实际应用 • 二体问题的发展前景
01
二体问题简介
二体问题的定义
二体问题是指两个质点在万有引力作用下的运动 01 规律问题。
它描述了两个物体在相互吸引的力（如地球和月 02 亮）作用下，如何运动的问题。
运动方程的建立
总结词
根据牛顿第二定律和万有引力定律建立的描述天体运动的方程
详细描述
在二体问题中，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可以建立描述两个天体之间相对位置和相对运动的运动方程 。这些方程通常是非线性的微分方程，用于求解天体的轨道和运动规律。通过对方程进行数值积分，可以得到天 体的精确运动轨迹。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。它揭示了力、质 量和加速度之间的联系，是描述物体运动状态变化规律的定律。在二体问题中，牛顿第二定律 用于分析两个天体之间的相互作用力和运动状态变化。
万有引力定律
总结词
描述任意两个质点之间引力作用的定律
详细描述
万有引力定律指出，任意两个质点之间都存在引力作用，其大小与两质点质量的 乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，即F=G*m1*m2/r^2。在二体问 题中，万有引力定律用于计算两个天体之间的引力，是天体运动分析的基础。
第三章 两体问题
第三章 两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。
教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。
教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。
§3.1 两体问题化为单粒子问题一：两体问题：1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。
2.分类：两体问题可分为三类。
（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。
入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。
（2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。
（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。
二：两体问题的处理方法1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。
每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。
2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：○1分解过程：首先约定用)z ,y ,x (r表示两粒子间相对位置矢量，用)z ,y ,x (r 0000 表示粒子在惯性系中位置，如图3.1所示。
r ,r ,r 0201中的位矢和相对位矢。
则有：20222011r m 21r m 21T +=（1.1），V )r (V V c 0)e ( +=（1.4），)r (V c 0)e ( 是两粒子处在外场中的势能，仅与c 0r )r (V )i (是两粒子相互作用的势能，仅与0201r r r -= （1.3）有关。
因两粒子的自由度为6，可取c 0r 、r为广义坐标，则有：r m m m r r 212c 001 ++=，r m m m r r 211c 002+-= （1.5）。
将两式代入动能T 的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V ，化简后可得：21)i (2r c 0)e (2C 021L L )r (V r m 21)r (V r )m m (21L +=-+-+= （1.6） 其中2121rm m m m m +=，称为折合质量；)()(210)(20211c e C r V r m m L -+=， （1.7） )(21)(22r V r m L i r -= （1.8）○2结论：从21L L L +=可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的)r ,r (L c0C 01 及反映两粒子间相对运动的)r ,r (L 2 两个相互独立的部分。
1二体问题和折合质量
4.ξ氢原子上节所讲的中心力，在空间中是一有一个固定的力心。
但在实际物理系统中，质心才是相对固定的，而相互作用着的一个个粒子，都处在不停的运动中，以系统中只包含两个粒子的二体问题为例，一方面，两个粒子间的相互作用依赖于它们的相对位置，另一方面，两个粒子又分处于其质心的两侧不停的运动，所以，在空间中并不存在一个真正的固定力心，但可以象理论力学中做过的一样，对二体问题分解为质心坐标和相对坐标一样来处理。
1二体问题和折合质量设在二体系统中，两个粒子的质量分别为.12μμ和，其坐标分别为12r r →→和它们间的作用，只依赖于其距离12r r r →→=-于是，系统满足的定态方程为：()222212121211,,.....22U r r r E r r ψψμμ→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫-∇-∇+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ① 引入质心坐标和相对坐标11221212,,()c r r r r r r M Mμμμμ→→→→→→+==-=+可证以下微分公式：2222111112222222222222221212,,(),2,,2,1111c c c c c c c r MMMMMMM μμμμμμμμμ∇=∇+∇∇=∇∇=∇+∇∇+∇∇=∇-∇∇=∇+∇∇+∇∇+∇=∇+∇ 结果得:、、、②式中1212μμμμμ=+为折合质量将②代回.①得： ()2222',,.....22c c c U r r r E r r ψψμμ→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫-∇-∇+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ③方程③中c r r →→和两个变量可以分离。
设总态函数为,c c r r r r ψφϕ→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到分别描述质心运动和相对运动的两个方程：22'22.....2......2c c c c r r E r U r r E r φφμϕϕμ→→→→→⎛⎫⎛⎫-∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∇+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ④⑤式中，c E 和r E 分别代表系统质心运动和相对运动的能量，两者之和等于总能量c r E E E =+方程④描述的是，在系统不受外界影响时，质心所做的自由运动。
第二章二体问题资料
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
第三章 两体问题
在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题。
此时α＝GM，质点的轨道方程可写为
r p
1 e cos
其中：
p L2 ,
m
e
1
2EL2
m 2
在库仑排斥势场中粒子的轨道方程：
r p
1 e cos
2
y
pr
2b
x
O
c
r p
1 e cos
2a
a
1
p e2
2ELeabharlann b L 2m Ec a2 b2
p L2
4
宇宙速度：
(1).第一宇宙速度v1,也称环绕速度，即环绕地球运动的最低发
射速度 v1 gR 7.9(km/ s)
(2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳
运动的最低发射速度 v2 2gR 11.2(km/ s)
(3).第三宇宙速度v3, 即飞离太阳系的最低发射速度
v3 v22 (v'v0 )2 16.5(km/ s)
u1 r
2mE
2m
L2
sh
2m
L2
1
(3) 当 2mE 0, 2m L2
L
2m L2
du
u
2
2m
2m
E
L2
L
2m
L2
arcch
2m
2m
L2 E
u
c
选适当θ，使c=0, 得
u1 r
2m
2m
E
L2
ch
2m
L2
1
lim ch() , lim sh()
9
第（2），（3）中情况会出现r＝0，即质点被力心所俘获
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
理论力学 两体问题
§3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 d 2u 2 2 比耐公式 : u ( 2 + u ) = mF(r ) / L dθ d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中:A = 3 + + 2 2 2 2 dθ u o dθ u o L du 线性增加; 若A=0,ε 随 θ ( 从而随 t ) 线性增加; , 若A<0,ε 随 t 线性增加. , 线性增加. 若A> 0,ε 作简谐振动,轨道稳定. , 作简谐振动,轨道稳定. 轨道稳定条件: 轨道稳定条件: 2 2m 3 dU m 4 d U A = 1+ 2 r + 2r >0 2 L dr L dr
2
d 2u o d 2 ε m 2 2 (u o + 2u o ε + ε ) + 2 + u o + ε = 2 F(u o + ε ) 2 dθ dθ L dF F ( u o + ε ) = F (u o ) + uo ε + du d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中: A = 3 + + 2 2 uo 2 2 dθ u o dθ u o L du
例:如质点受有心力作 用而作双纽线 r = a cos 2θ
2 2
3ma 4 h 7 的运动时, 试证明之. , 试证明之. 的运动时,则 F = 7 r 1 1 证明: 证明: u = = r a cos 2θ du 1 3/ 2 = sin 2θ(cos 2θ ) dθ a d 2u 1 = [ 2(cos 2θ ) 1 / 2 + 3 sin 2 2θ(cos 2θ ) 5 / 2 ] 2 dθ a
二体问题--高阶方程应用举例
分离变量并整理，得
d =
-C1du C2 +2 fMu -C u
2 2 1
-du = C2 2 fMu 2 + -u 2 2 C1 C1 = C2 C12 -du fM fM + 2 - u- 2 C1 C1
2 2
C2 fM 当 + 2 >0 2 C1 C1 fM = arccos u - 2 C1
d y d x x 2 =y 2 dt dt
或
2
2
d dy dx x -y =0 dt dt dt
dx dy (1) +(2) 得 dt dt 2 2 dx d x dy d y + =2 2 dt dt dt dt
（2）
fMm
x +y
2
3 2 2
dx dy x + y dt dt
(6) (8)
消去dt，得
这是一个可分离变量方程。
dr r 2 fM C = C2 + d C1 r r
2
2 1 2
（9）
1 1 dr 1 du 令 代入（9），有 =u,则r = , =- 2 r u d u d 1 du 1 2 2 - 2 = 2 C2 +2 fMu-C1 u u d u C1 即 du 1 2 2 =C2 +2 fMu-C1 u d C1
2
C2 fM 当 2 + 2 =0 时，得 C1 C1 1 fM = 2 r C1
代入方程（9），易知它也是（9）的解。
C2 fM 因此，当 2 + 2 0 时，方程（9）的 C1 C1 解是
例析二体问题的折合质量解法
规律ꎬ即是电阻的变化趋势与电压㊁电流和功率的变化趋势ꎬ满足 与变化电阻存在串联关系电路中的用电器ꎬ其电压㊁电流及功率与变化的阻值变化趋势相反 ㊁ 与变化电阻存在并联关系电路中的用电器ꎬ其电压㊁电流及功率与变化的阻值变化趋势相同 的规律ꎬ浓缩起来即是串反并同.例３已知如图３所示电路图ꎬ当滑动变阻器由方向ａ向ｂ移动时ꎬ下面说法中正确的是(㊀㊀).图３Ａ.电压表读数变大ꎬ电流表读数变小Ｂ.电压表读数变小ꎬ电流表读数变大Ｃ.两表读数均变大Ｄ.两表读数均变小解析㊀由题意可知ꎬ当滑动变阻器由方向ａ向ｂ移动时ꎬＲ３的阻值增大.根据串反并同原理ꎬ与电阻Ｒ３串联的电流表读数变小.此时ꎬ进一步将外电路等效为一个可变电阻ꎬ由于电阻Ｒ３的阻值增大ꎬ则外电阻也增大ꎬ电压表与外电阻并联ꎬ则电压表读数也变大.综上选项Ａ即是正确选项.值得注意的是ꎬ在使用串反并同法时ꎬ必须强调其适用条件ꎬ保证答案正确性.简言之ꎬ该法的适用条件分为两种:１)电源并非理想型ꎬ即存在电源内阻ꎻ２)电路中的电阻呈现单一变化规律.在实际求解过程中ꎬ紧抓串反并同的适用条件ꎬ谨记串反并同法的内核ꎬ实现高效求解.总之ꎬ动态电路问题是一类综合性问题ꎬ涉及多个电学知识及规律.本文中提出的三类动态电路求解方法必定不能有效包含全部的动态电路求解方法ꎬ还需要广大一线物理教师在实际教学过程中ꎬ继续总结ꎬ有效分类ꎬ完善此类问题的求解技巧.㊀㊀参考文献:[１]刘天赞.高中物理电路动态分析问题的应对[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１８(１):９５.[２]王丽媛.简析高中物理电路动态分析问题的策略[Ｊ].新智慧ꎬ２０１８(２６):６０.[３]王开荣.电路动态分析问题的命题变化[Ｊ].物理教师ꎬ１９９７:２１－２２.[责任编辑:李㊀璟]例析二体问题的折合质量解法谢汝成(吉林省辽源市第五中学㊀１３６２００)摘㊀要:处理孤立二体系统时引入折合质量的概念ꎬ可以有效地降低问题的思维难度ꎬ有利于学生的理解.关键词:二体问题ꎻ参考系ꎻ折合质量中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１６－００７４－０２收稿日期:２０２０－０３－０５作者简介:谢汝成(１９８６.１－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.基金项目:吉林省教育科学 十三五 规划课题«乡村振兴背景下的乡村教师专业发展研究»子课题«提高物理课堂教学效果策略的研究»ꎬ课题批准号ＧＨＫＴ－２０１９００３４.㊀㊀孤立的二体系统问题在高考试题和自主招生试题中比较常见ꎬ在解决该类问题时ꎬ通过引入折合质量的概念ꎬ可将复杂的二体问题变为单体问题.本文利用三道题目的分析求解ꎬ凸显出该种方法在解决此类问题的巧妙之处.㊀㊀一㊁折合质量推导如图１所示ꎬ宇宙中两颗相距较近的天体均为 双星 ꎬ它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动ꎬ而不至因为万有引力的作用而吸引到一起.设两者的质量分别为ｍ１和ｍ２ꎬ两者相距Ｌ.图１双星ｍ１和ｍ２ω１＝ω２＝ω①ｍ１ω２１ｒ１＝ｍ２ω２２ｒ２②ｒ１＋ｒ２＝Ｌ③由①②③可得ｒ１＝ｍ２ｍ１＋ｍ２Ｌ分析ｍ１的匀速圆周运动Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝ｍ１ω２ｒ１＝ｍ１ω２ｍ２ｍ１＋ｍ２Ｌ＝ｍ１ｍ２ｍ１＋ｍ２ω２Ｌ㊀④令μ＝ｍ１ｍ２ｍ１＋ｍ２ꎬ④式变为Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝μω２Ｌꎬ由此可以看出ꎬ在ｍ２这一非惯性系中ꎬ将ｍ１的质量换成折合质量后ꎬ４７ｍ１受到ｍ２的万有引力充当它绕ｍ２做匀速圆周运动的向心力ꎬ物体仍遵循相应的动力学方程.此时将两体问题转化为单体问题ꎬ有效的简化分析过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁应用例１㊀如图２所示ꎬ一质量为ｍＢ长方形木板Ｂ放在光滑的水平地面上ꎬ在其右端放一质量为ｍＡ的小木块Ａꎬ图２现以地面为参照系ꎬ给Ａ和Ｂ以方向相反的初速度Ｖ１和Ｖ２ꎬ使Ａ开始向左运动ꎬＢ开始向右运动ꎬ但最后Ａ刚好没有滑离Ｂ板.若已知Ａ㊁Ｂ之间的动摩擦因数为μ.求满足条件的木板至少为多长?解析㊀以Ｂ为参考系ꎬ则滑块Ａ的折合质量为μ＝ｍＡｍＢｍＡ＋ｍＢ①Ａ相对Ｂ的初速度ＶＡＢ＝Ｖ１＋Ｖ２ꎬ当Ａ相对Ｂ静止时在Ｂ上相对滑动位移最大.－μｍＡｇＬ＝０－１２μＶ２ＡＢ②由①和②可以求得:Ｌ＝ｍＢＶ１＋Ｖ２()μｍＡ＋ｍＢ()注:本题的常规解法为相对运动或等效完全非弹性碰撞模型ꎬ但计算过程较上面的解法略复杂.图３例２㊀如图３所示ꎬ一人手持质量为ｍ的小球ꎬ乘坐在热气球下的吊篮里ꎬ气球㊁吊篮和人的总质量为Ｍꎬ气球以速度ｖ０匀速上升ꎬ经过时间ｔ０后接到小球.若人手在抛接小球时相对吊篮的位置不变ꎬ求抛球过程中人做的功.解析㊀以Ｍ为参考系ｍ的折合质量为μ＝ＭｍＭ＋ｍ①ｍ相对Ｍ以速度ｖᶄ竖直上抛ｍｇ＝ＭｍＭ＋ｍａ㊀㊀②㊀㊀ｖᶄ＝１２ａｔ③由①②③可得ｖᶄ＝Ｍ＋ｍ()２Ｍｇｔ④以地面为参考系ꎬ设抛出重物后Ｍ的速度变为ｖ２ꎬｍ对地的抛出速度为(ｖᶄ＋ｖ０)浮力和重力平衡ꎬ系统动量守恒:ｍ(ｖᶄ＋ｖ０)＋Ｍｖ２＝Ｍ＋ｍ()ｖ０人做的功等于系统动能增量:Ｗ＝１２ｍ(ｖᶄ＋ｖ０)２＋１２Ｍｖ２２－１２Ｍ＋ｍ()ｖ２０＝ｍ８ＭＭ＋ｍ()ｇ２ｔ２例３㊀(２０１５中科大自主招生)两个带点小球所带电量相等ꎬ符号相反.质量分别为ｍ和２ｍꎬ初始时刻ꎬ它们间距离为ｄꎬ小球２ｍ静止.小球ｍ沿着与两者连线垂直的方向以速度ｖ运动.随后ꎬ它们多次处于相距３ｄ的位置上ꎬ求小球所带的电荷量.知识准备:取无穷远为电势能零点ꎬ则在ｑ２的电场中ꎬｑ１在距ｑ２为ｒ１位置所具有的电势能Ｅｐ１＝ｋｑ１ｑ２ｒ１ꎬｑ１在距ｑ２为ｒ２位置所具有的电势能Ｅｐ２＝ｋｑ１ｑ２ｒ２(其中ｑ１和ｑ２带有正负号).解析㊀(１)以２ｍ为参考系ꎬｍ绕２ｍ转动ꎬ轨迹为椭圆ꎬ２ｍ处于椭圆的焦点.ｍ的初始位置距离２ｍ最近为ｄꎬ距２ｍ最远点ｒ满足:ｒȡ３ｄ㊀①ｍ的折合质量为μ＝２３ｍ㊀②设ｍ运动到椭圆轨道最远点的速度为ｖᶄ由角动量守恒有:ｍｖｄ＝ｍｖᶄｒ㊀③对椭圆长轴两端点列能量守恒:１２μｖ２＋－ｋｑ２ｄæèçöø÷＝１２μｖᶄ２＋－ｋｑ２ｒæèçöø÷㊀④由①②③④可解:ｑɤ４ｍｄｖ２９ｋ(２)两球多次处于相距３ｄꎬ故ｍ不能到达无穷远.１２μν２＋－ｋｑ２ｄæèçöø÷<０㊀⑤由②和⑤可得ｑ>ｍｄｖ２３ｋ折合质量的引入ꎬ为两体碰撞㊁类碰撞ꎬ双星系统ꎬ特殊简谐运动等问题的分析求解提供了一个明显便捷的计算方法ꎬ适用范围广ꎬ但在应用的过程中应重点关注的是:折合质量的概念仅适用于孤立的两体系统ꎬ即不受外力的系统.若系统受外力ꎬ本解法将不再使用.㊀㊀参考文献:[１]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程 力学篇[Ｍ].安徽:中国科学技术大学出版社ꎬ２０１４.[２]陆天明.荣誉物理 力学篇[Ｍ].南京:东南大学出版社ꎬ２０１６.[３]郑金.折合质量的妙用[Ｊ].物理教学ꎬ２０１６ꎬ３８(０５):６６－６８＋６５.[责任编辑:李㊀璟]５７。
第2章二体问题
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。
二体问题
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
8
3/21/2013
轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
16
3/21/2013
过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2
为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r
a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
二体问题.
（3.6）
其中：
L1
1 2 V ( e ) (r (m1 m 2 )r oc oc ) 2
（3.7）
是描述质心运动状态的拉氏函数，
1 2 (i ) L2 m r r V (r ) 2
是表征两个粒子间相对运动状态的拉氏函数，而
（3.8）
m1m 2 mr m1 m 2
行星绕太阳、电子绕原子核运动轨 道为椭圆。（为什么？）
（3.27）
上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。
（4）粒子在排斥势场（V 排斥势为
a ）中的运动 r
则有效势能为
a V r
Veff
（
a0
)
（3.28）
由此可见：
a L2 r 2mr 2
（3.29）
• 用一个粒子相对于另一个粒子的运动来描述
mr 的
采用惯性坐标系（实验室坐标系）， L L(r , r , t ) ，如（3.8）式
• 用两个粒子各自相对于质心的运动来描述
采用实验室坐标系和质心坐标系两个坐标系。这种描述方法称为粒子 在质心系中运动 两种描述方法的联系： 如图3.2所示：
比较（3.10）式和（3.3）式，有
m2 r 1 m m r 1 2 m1 r r 2 m1 m 2
（3.11）
（3.12）
体系相对运动动能为
m2 m1 1 1 1 1 2 2 2 )2 T m1r1 m 2 r2 m1 ( r ) m2 ( r 2 2 2 m1 m 2 2 m1 m 2 1 m1m 2 1 2 2 r mr r 2 m1 m 2 2
“二体”平衡问题的求解技巧
“二体”平衡问题的求解技巧陈宏湖北枝江市一中文章来源：2008年下半年度《试题与研究》物体的平衡是力学中的重要内容，也是不少同学都感到困难的问题。
而“二体”平衡问题是中学物理中常见的问题，也是高考命题的热点。
下面谈谈“二体”平衡问题的求解技巧。
1.巧用整体法当系统有多个物体时，选取研究对象一般先整体考虑，若不能解答问题时，再隔离考虑。
整体法能减少和避开非待求量，简化解题过程。
整体法和隔离法是相辅相成的。
例1、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图1(甲)所示.今对小球a 持续施加一个向左偏下30°的恒力,并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力,最后达到平衡.表示平衡状态的图可能是图1（乙）中的：分析与解：本题若用隔离法分析，步骤繁杂，且易出错。
若选a 和b 两小球及连接它们的细线整体为研究对象，则此整体所受外力中，对a 球向左偏下300的恒力跟对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力的矢量和为零，那么上部细线的拉力及两小球的矢量和也应为零。
所以细线方向只能竖直，立即就可判断应选A 。
例2、如图2所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。
质量为m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？分析与解：选取A 和B 整体为研究对象，它受到重力（M+m ）g,地面支持力N ，墙壁的弹力F 和地面的摩擦力f 的作用（如图3所示）而处于平衡状态。
根据平衡条件有：N-(M+m)g=0,F=f,可得N=（M+m ）g再以B 为研究对象，它受到重力mg ，三棱柱对它的支持力N B ,墙壁对它的弹力F 的作用（如图4所示）。
而处于平衡状态，根据平衡条件有：N B .cos θ=mg, N B .sin θ=F,解得F=mgtan θ.图1（甲）ABC D图1(乙)图3图2所以f=F=mgtan θ.2.巧用极限法极限法是指在求解某些问题时，通过恰当地选取某个物理量推向极端（极大、极小），从而使各种可能情况暴露出来，便于解答。
第二章二体问题
偏心率e
这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 升交点赤经Ω:即地球赤道面上升交点与春分点之间 的地心夹角。 轨道倾角I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹 角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球 体之间的相对定向。
近地点角距ω:即在轨道平面上，升交点与近地点之间的 地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐射压力 以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些小的附 加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小也随时间而改 变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。
第七页，课件共有39页
❖ 地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心力
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开普勒（Johannes Kepler） 国籍:
德国 生卒日期:
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就:
发现了行星运动三定律
第十五页，课件共有39页
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星回收等 问题
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二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫 星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假设 地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地球
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第6讲--两体问题
一．两体问题，质量约化1．两体问题中的拉格朗日函数体系的动能：221012021122T m r m r=+质心坐标：10120212ocm r m rrm m+=+相对坐标：0102r r r=-体系的势能：()()()()e iocV V r V r =+两个粒子6个自由度，取;ocr r为广义坐标，拉格朗日函数：其中：约化质量上式中()11,oc ocL L r r=是关于质心的拉格朗日函数，()22,L L r r=是两个粒子间相对运动的拉格朗日函数。
rm为约化质量（折合质量）。
0oc r =， 拉格朗日函数：2()()21()()2e i oc mr V r V r mr U++=+2m 时，1010212;oc ocm r r rr r r m m m =≈=-≈）角动量守恒，等面积定律：在有心立场中，角动量J r P =⨯守恒，运动中，位矢r 与角动量J 始终垂直，质点始终在垂直J 德平面上运动，选取极坐标，拉格朗日函数为：()()2221r r U r θ+-为循环变量，对应的广义动量：2L mr θθ= ()r t ，经过∆()r t t +∆，该过程2P mθθ=()r t 扫过的面积为常数！即在有心力场中，位置矢经在相同时间内扫过的面等面积定律。
)222()r r V r θ++=2L mr θθ=代入上式：222222111()()222P E mr mr V r mr V r const mrθθ=++=++=r，类似于一维运动的情况，其中：：22mr2θθ转动的坐标运动的分类：等效势能()effV r随r的变化有两种，一种是单调下降的（能量0E>），另一种如图：（1）r→∞时，()0;()0effV r V r→→（2）0r→时，()V r可能趋于正无穷（相斥）也可能趋于负无穷（相吸）假定，即使两质点相吸，使得()V r趋于负无穷，但是也不能和离心势能相抵消，也就是说，假定吸引力不是太强，因而，当0r→时，()V r的绝对值仍然这一条件限制了质点的运动区域。
第四章 多体问题和近似方法
r ( x, y , z ) r r2 r1
所以分量
x x2 x1
y y2 y1
（2）
z z 2 z1
3、两粒子体系的定态薛定谔方程为
2 2 2 2 ( 1 2 ) V (r2 r1 ) E 2m1 2m2
1 N!
1 (q1 ) 2 (q1 )
1 (q 2 ) 1 (q N ) 2 (q 2 ) 2 (q N )
N (q N ) N (q 2 ) N (q N )
A (q1 , q 2 ,...q N )
1 N!
(1) p P1 (q1 )1 (q1 ) 2 (q 2 ) N (q N )
(q1 , q2 ,, qn , t )
3、| (q1 , q2 ,, qn , t ) |
2
的意义：
在时刻t，第一个粒子在q1，第一个粒子在q2，…， 第n个粒子在qn的几率。 4、多体体系的薛定谔方程
[ i2 Vij ] E 2mi i i j
5、 由于数学上无法对多体体系的薛定谔方程进行求， 必须引出用近似方法进行解决问题。（在下一节将作详细介绍）
0 | O2 | 0 12 | 12 12 | 21
E0 0 | H | 0 0 | h(1) | 0 0 | h(2) | 0 0 | O2 | 0 1 | h | 1 2 | h | 2 12 | 12 12 | 21
同理且对称。
m1 ye y y1 ye y1 y y1 m1 m2 ye y
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2.1.2 二体运动方程及经典积分
h 定义了二体问题中的不变平面
rr h
h h 是轨道相对运动的角动量
2.1.2 二体运动方程及经典积分
运动发生在不变平面上，因此可以定义极坐标：
ˆ r =r r ˆ ˆ r θ r rr 1 d 2 ˆ ˆ r r r r r θ r dt
天文观测可以测定GM 4 2 a3 T 2 , 但无法单独给出G. 1973年地面实验值G 6.672 10-11 m3kg 1s 2
由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。 G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、 长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为：
at b R m1 m2
2.1.2 二体运动方程及经典积分
两式相减： Gm1m2 m1r1 r 3 r Gm1m2 m2r2 r 3 r 得到相对运动方程：
r = r2 - r1
d 2r r 3 =0 2 dt r = G m1 m2
相对运动方程两边与 r 作向量积
得到：
为了解此方程，我们作变换
方程最终变成:
2.1.2 二体运动方程及经典积分
最终的解: 更加常见的形式:
2 个积分常数 e,
半通径 偏心率 近点角距 对椭圆：
2.1.2 二体运动方程及经典积分
r
3
rr r0
r r r , r r , 0 rr
2
r 积分上式，得到：
1 1 2 r r v C 2 r 2 r
活力积分，代表能量守恒
又得到1个积分常数,但后面将看到它不是独立的积分
2.1.2 二体运动方程及经典积分
最后两个积分常数 由相对运动方程及极坐标下的加速度表示
3rd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
T 2 ka3
k对所有的行星而言是同一常数
2.1.1万有引力定律
万有引力定律的推导
极坐标中加速度可以写成径向和横向分量：
1d 2 a ar er a e , ar r r , a r r dt
2
1 u r
由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比
2.1.1万有引力定律
引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成
Mm h2 F G 2 , G r pM
面积常数h可以通过计算行星运动一周来计算：
G是对所有行星都一样的常数吗？
2 a 2 1 e2 h T
因此
4 2 a 3 G M T2
2.1.2 二体运动方程及经典积分
两式相加并积分
m1r1 m2r2 0 m1r1 m2r2 a m1r1 m2r2 at b
a,b共有6个积分常数.
质心坐标可以写出：
R
பைடு நூலகம்
m1r1 m2r2 R m1 m2
所以由常向量a,b得到质心运动：
a R , m1 m2
由第二定律，r 2 h，可知 a 0. 从而加速度为径向,行星所受的力 为有心力，其大小为：
(Binet公式)
F mar m r r
2
2 d u 2 2 mh u 2 u d
将第一定律的数学表达式代入上式：
mh2 2 mh2 1 F u p p r2
在极坐标系中，角动量积分表现为：
ˆ r ˆ θ r r = r 0 r r
ˆ z ˆ h 0 r 2 z 0
常数
hr
2
2.1.2 二体运动方程及经典积分
极坐标系下的Kepler第二定律：
1 1 2 A r r r sin r 2 2
k 0.01720209895
2.1.1万有引力定律
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.1.2 二体运动方程及经典积分
牛顿引力作用下的两个质点的运动
Gm1m2 m1r1 F1 r 3 r Gm1m2 m2r2 F2 r 3 r
r = r2 - r1
惯性坐标系下
其中万有引力常数 G 6.67260 1011 Nm2kg-2
天体力学基础
第二章
二 体 问 题
2.1.1万有引力定律
Kepler三大定律的数学化：
1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为
p r 1 e cos 0
2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等
r 2 h
r r+ 3 r r r+ 3 r r r r r r d dr dr r r r r 所以 r r 0, 即 r r h dt dt dt h共有3个积分常数. r r +r r r r
dA 1 2 d 1 r h dt 2 dt 2
由此可以理解二体运动近 日点和远日点速度的情况
2.1.2 二体运动方程及经典积分
相对运动方程两边对 r 取数量积：
r
r
3
r0
r r 3 r r r 3 r r r r
r r r r