二体问题

dA 1 2 d 1 r h dt 2 dt 2
由此可以理解二体运动近 日点和远日点速度的情况
2.1.2 二体运动方程及经典积分
相对运动方程两边对 r 取数量积：
r

r
3
r0
r r 3 r r r 3 r r r r
r r r r
天文观测可以测定GM 4 2 a3 T 2 , 但无法单独给出G. 1973年地面实验值G 6.672 10-11 m3kg 1s 2
由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。 G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、 长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为：
天体力学基础
第二章
二 体 问 题
2.1.1万有引力定律
Kepler三大定律的数学化：
1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为
p r 1 e cos 0
2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等
r 2 h

r
3
rr r0
r r r , r r , 0 rr



2
r 积分上式，得到：
1 1 2 r r v C 2 r 2 r
活力积分，代表能量守恒
又得到1个积分常数,但后面将看到它不是独立的积分
2.1.2 二体运动方程及经典积分
最后两个积分常数 由相对运动方程及极坐标下的加速度表示
3rd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
T 2 ka3
k对所有的行星而言是同一常数
2.1.1万有引力定律
万有引力定律的推导
极坐标中加速度可以写成径向和横向分量：
1d 2 a ar er a e , ar r r , a r r dt
2

1 u r
得到此式无需力的平方反比关系
2.1.2 二体运动方程及经典积分
h 定义了二体问题中的不变平面
rr h
h h 是轨道相对运动的角动量
2.1.2 二体运动方程及经典积分
运动发生在不变平面上，因此可以定义极坐标：
ˆ r =r r ˆ ˆ r θ r rr 1 d 2 ˆ ˆ r r r r r θ r dt
2.1.2 二体运动方程及经典积分
两式相加并积分
m1r1 m2r2 0 m1r1 m2r2 a m1r1 m2r2 at b
a,b共有6个积分常数.
质心坐标可以写出：
R
m1r1 m2r2 R m1 m2
所以由常向量a,b得到质心运动：
a R , m1 m2
由第二定律，r 2 h，可知 a 0. 从而加速度为径向,行星所受的力 为有心力，其大小为：
(Binet公式)
F mar m r r

2

2 d u 2 2 mh u 2 u d
将第一定律的数学表达式代入上式：
mh2 2 mh2 1 F u p p r2
r r+ 3 r r r+ 3 r r r r r r d dr dr r r r r 所以 r r 0, 即 r r h dt dt dt h共有3个积分常数. r r +r r r r
得到：
为了解此方程，我们作变换
方程最终变成:
2.1.2 二体运动方程及经典积分
最终的解: 更加常见的形式:
2 个积分常数 e,
半通径 偏心率 近点角距 对椭圆：
2.1.2 二体运动方程及经典积分
由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比
2.1.1万有引力定律
引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成
Mm h2 F G 2 , G r pM
面积常数h可以通过计算行星运动一周来计算：
G是对所有行星都一样的常数吗？
2 a 2 1 e2 h T
因此
4 2 a 3 G M T2
k 0.01720209895
2.1.1万有引力定律
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.1.2 二体运动方程及经典积分
牛顿引力作用下的两个质点的运动
Gm1m2 m1r1 F1 r 3 r Gm1m2 m2r2 F2 r 3 r
r = r2 - r1
惯性坐标系下
其中万有引力常数 G来自百度文库 6.67260 1011 Nm2kg-2



在极坐标系中，角动量积分表现为：
ˆ r ˆ θ r r = r 0 r r
ˆ z ˆ h 0 r 2 z 0
常数
hr
2
2.1.2 二体运动方程及经典积分
极坐标系下的Kepler第二定律：
1 1 2 A r r r sin r 2 2
at b R m1 m2
2.1.2 二体运动方程及经典积分
两式相减： Gm1m2 m1r1 r 3 r Gm1m2 m2r2 r 3 r 得到相对运动方程：
r = r2 - r1
d 2r r 3 =0 2 dt r = G m1 m2
相对运动方程两边与 r 作向量积