第十章 矩阵位移法(第六讲)
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结构力学10第十章.矩阵位移法
2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2
e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1
结构力学-矩阵位移法-PPT
a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
第10章 矩阵位移法
a1 j
amj
a1 j )T
2、行列式：n阶方阵A相应的行列式D，记作
D A det A det(aij )m*n
若D＝0，A为奇异矩阵
3、矩阵运算
相等：Amn=Bmn，则aij=bij
加减：Cmn＝Amn+Bmn，则cij=aij+bij
数乘：Cmn=k*Amn，则cij=k*aij
乘法：Cmn=Aml*Bln，则
0
u2
６EI
l２
v2
２
4EI
l
刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数
列数＝杆端位移列向量分量数
记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）
12-- 6 -- 6 -- 2 （副） 4、5 行、列，除主元素外，均为负值
行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ）
l
cij aik *bkj
k 1
转秩：Bmn=ATmn，则bij=aji (A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT (AB)T=BT*AT（反序定律）
4、特殊矩阵
1 0
0
单位矩阵
I 0 1
0
0 0
1
d1 0
0
对角矩阵
D
0
d2
0
0
0
dn
对称矩阵：An*n，aij=aji
正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵
对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0
第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零
物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。因为讨论的是 自由式单元，存在任意的刚性位移。
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
10矩阵位移法
FAX FAY MAB A MBA FBX B F BY
§10-2 10例4： ：
② 1 ① ⑥ ④ 3
局部坐标下的单元刚度矩阵
2
单元定位向量： 单元定位向量：
③
⑤
1 λ= 2
①
3 λ= 1
②
后处理法： 后处理法： 局部坐标如图所示， 局部坐标如图所示， ⑤ 4 对应 “1”、“2” ①单元 、 λ= 对应 “4”、“1” 1 ⑤单元 、
《结构力学教程》（I）
第10章 矩阵位移法 10章
主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架结构的整体分析
§10-1 10M1
概述
M2 i1 i2 2 3 M3
下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。 下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
1
用位移法解该题 ： 未知量： 1、未知量： ϕ1 ϕ 2 ϕ3 2、杆端弯矩： 杆端弯矩： 弯矩
M12 = 4i1ϕ1 + 2i1ϕ 2
M 21 = 2i1ϕ1 + 4i1ϕ 2
§10-1 10-
概述
1、结构分析方法 ——前面介绍的力法 位移法、 前面介绍的力法、 1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分 配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算, 配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分 析较简单的结构。 析较简单的结构。 ——矩阵力法和矩阵位移法 矩阵力法和矩阵位移法， 2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 传统结构力学作为理论基础、 式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它 以计算机作为计算手段的电算结构分析方法， 能解决大型复杂的工程问题。 能解决大型复杂的工程问题。
§10-2 10例4： ：
② 1 ① ⑥ ④ 3
局部坐标下的单元刚度矩阵
2
单元定位向量： 单元定位向量：
③
⑤
1 λ= 2
①
3 λ= 1
②
后处理法： 后处理法： 局部坐标如图所示， 局部坐标如图所示， ⑤ 4 对应 “1”、“2” ①单元 、 λ= 对应 “4”、“1” 1 ⑤单元 、
《结构力学教程》（I）
第10章 矩阵位移法 10章
主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架结构的整体分析
§10-1 10M1
概述
M2 i1 i2 2 3 M3
下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。 下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
1
用位移法解该题 ： 未知量： 1、未知量： ϕ1 ϕ 2 ϕ3 2、杆端弯矩： 杆端弯矩： 弯矩
M12 = 4i1ϕ1 + 2i1ϕ 2
M 21 = 2i1ϕ1 + 4i1ϕ 2
§10-1 10-
概述
1、结构分析方法 ——前面介绍的力法 位移法、 前面介绍的力法、 1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分 配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算, 配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分 析较简单的结构。 析较简单的结构。 ——矩阵力法和矩阵位移法 矩阵力法和矩阵位移法， 2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 传统结构力学作为理论基础、 式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它 以计算机作为计算手段的电算结构分析方法， 能解决大型复杂的工程问题。 能解决大型复杂的工程问题。
第十章 矩阵位移法
i
e
j
x
y
µi
µj
e j
νi
Fxi
i
Mi
θi
Fyi
θj
νj
Mj
x
Fxi
Fyi
y
∆e = [ µi ν i θ i µ j ν j θ j ]eT
F e = [ Fx i Fyi M i Fx j Fy j M j ]eT
µi ν i µ j ν j
Fx i Fyi Fx j Fy j
沿 x 、y 轴正向为正 以顺时针方向为正
λ① = [0 0 0 1 2 3]T
(0,0,0)
1
(1,2,3)
0 0 0 1
1
(1,2,3)
2
2 3
1 2
2
2
λ② = [1 2 3 0 0 0]T
3 0 0 0
3
(0,0,0)
三 集成规则
e
e
e
建立各单元整体坐标系单元刚度矩阵k 单元定位向量λ 建立各单元整体坐标系单元刚度矩阵k 、单元定位向量 写在各单元刚度矩阵 各单元刚度矩阵k 1 将λ 写在各单元刚度矩阵k 右、上侧； 对号入座 2 按单元定位向量给出的行、列码(非零码)，将单元刚度 按单元定位向量给出的行、列码(非零码) 矩阵各元素放入结构刚度矩阵相应位置； 矩阵各元素放入结构刚度矩阵相应位置； 同一元素位置放入多个元素， 同号叠加” 3 同一元素位置放入多个元素，则“同号叠加”，空白元 素以0 素以0补入
F e = K e ∆e
§10-5 用先处理法建立结构刚度矩阵 10直接刚度法： 直接刚度法： 由各单元刚度矩阵直接组集形成结构刚度矩阵的方法 一 结点位移分量的统一编码
第十章矩阵位移法共85页
3、杆端力与杆端位移 FNi
“—”局部坐标标志 正负号规则
Mi FSi
e
——与坐标系对应 ui
（列向量）
φi vi
e
(10 – 3、4)
Mj FNj FSj
φj uj vj
Fe FNi
FSi
Mi
FNj
FSj
T
Mj
T
X1 Y1 M1 X2 Y2 M2
e ui vi i uj vj j T
0
12EI
l3 ６EI
l２
0
1
2 l
E
3
I
６EI
l２
0
６EI l２ 4EI l
0
６l２EI 2EI l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
６l２EI
0
12EI l3 ６EI
l２
0
６EI
u1
l２ 2EI
l
v1
.
L1
对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0
第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零
物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。因为讨论的是 自由式单元，存在任意的刚性位移。
分块性质
FF12K K1211 K K1222.12
第十章 矩阵位移法
§10－1 概述
基本方法 ——力法、位移法 ——手算 杆件有限元法——矩阵位移法 ――电算 主要内容：离散化——单元分析
刚度（物理）关系：杆端力——杆端位移 集合——整体分析－几何条件 －平衡条件
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第10章 矩阵位移法【圣才出品】
二、单元刚度矩阵（见表 10-1-2） ★★★★★ 表 10-1-2 单元刚度矩阵
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三、单元刚度矩阵的坐标转换（见表 10-1-3） ★★★★★ 表 10-1-3 单元刚度矩阵的坐标转换
6．结构的总刚度方程的物理意义是什么？总刚度矩阵的形成有何规律？其每一程的物理意义：尚未进行支承条件处理的表示所有结点外力与 结点位移之间的关系的平衡方程。
（2）总刚矩阵的形成规律：把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一
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台
4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？
答：在利用矩阵位移法分析结构的时候，要进行单元分析和整体分析，单元分析是为
了建立每个单元的单元刚度矩阵，整体分析是为了建立整体结构的刚度方程。在单元分析
的过程中，以各单元的轴线为局部坐标系的 x 轴，以垂直轴线的方向为局部坐标系的 y 轴，
台
送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，就可得到结构原始刚度矩阵，即各单
刚子块“对号入座”形成总刚。
（3）每一元素的物理意义：当其所在列对应的结点位移分量等于 1（其余各结点位移
分量均为零）时，所引起的其所在行对应的结点外力分量的数值。例如 Kij 表示第 j 号位置
3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？ 答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负 号规定同杆端力和弯矩。结点力沿整体坐标系 x、y 的正方向为正，结点力偶逆时针为正； 结点位移的正负号规定同结点力和力偶。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学课件 结构力学课件矩阵位移法nm
k 1 3 k 2 3 k 3 3 k 4 3 k 5 3 k 6 3
k 1 4 k 2 4 k 3 4 k 4 4 k 5 4 k 6 4
1 , k k 1
0 0 0 0 0 1
α=90°
k
e
T
0 1 T 0 0 0 0
T
k T
e
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
§10-4 整体分析
本节的整体分析是在单元分析的基础上，综合考虑静力、几何和物理三方面
6 EI l
2
i i
uj
12 EI l
3
vj vj
6 EI l
2
j
Mi X
6 EI l
2
4 EI l EA l
6 EI l
2
2 EI l
j
j
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3
ui
Yj M
12 EI l
2
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6 EI l
2
i
12 EI l
2 3
vj
6 EI l
2
j
6 EI l
j
vi
2 EI l
i
6 EI l
vj
4 EI l
j
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
F 1 e F 2 F 3 F 4 F 5 F 6
EA l 0 0 EA l 0 0
F
ke
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
【实用】矩阵位移法PPT文档
局部码总码
由变于形建 连筑续工，程中刚（架和1连）续梁结构较1 多，故这里将只1介绍先处理法。
（1） 0
0
（2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
2
3
0
0
4
（2） 0 （3） 0 （4） 1 （5） 2 （6） 3
0
0
1
2 3
1 2
[k] 1 = 3
在进行整体分析的时候，必须要考虑支承边界条件，而这一条 件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法 和后处理法两种矩阵位移法。
后处理法是先不考虑支承条件，将所有6×6的单元刚度方程一 并组集成整体刚度方程。由于还未考虑支承条件，故整体刚度方程 一定是一个奇异方程，整体刚度矩阵一定是一个奇异矩阵，在只有 引入支承边界条件后，才能消除这种奇异性，方程才可求解。后处 理法，整体刚度矩阵物理意义明确，易于修改边界条件，程序简单 ；但后处理法整体刚度矩阵较大，占用计算机内存较多，因此后处 理法对于结点多、支座约束少、必须考虑轴向变形的结构，得到广 泛应用。
先处理法是在进行整体分析前考虑支承边界条件，也就是说对 于单元刚度方程，不必把位移已知的行和对应的单元刚度矩阵的列 组集到总体刚度方程中去。这样做的好处是，最终形成的结构刚度 方程阶数小，不用再修正，即可直接求解。
先处理法特别适用于有铰结点的结构、支承结点较多、通常不 考虑轴向变形的刚架结构以及甚至连剪力都不考虑的连续梁结构的 求解。由于建筑工程中刚架和连续梁结构较多，故这里将只介绍先 处理法。实际上，两种方法由单刚组集总刚的原理是一样的，只是 后处理法待总刚生成后，再引入边界条件加以修正。
与连续梁相比： 到总体刚度方程中去。
三、单元集成过程
矩阵位移法
The member stiffness matrix is
EA l 0 0 EA l 0 0 3 2 3 2 12 EI l 6 EI l 0 12 EI l 6 EI l 0 2 2 0 6 EI l 4 EI l 0 6 EI l 2 EI l e k 0 0 0 EA l 0 0 EA l 0 12 EI l 3 6 EI l 2 0 12 EI l 3 6 EI l 2 2 2 0 6 EI l 2 EI l 0 6 EI l 4 EI l
0 12EI l3 6EI l 2 0 12EI l3 6EI l 2
e u 0 i 2 e 6EI l vi e 2EI l i 0 e 0 uj 2 e vj 6EI l e 4EI l j
90度变换为
k
π 2
0 c b 0 c b 0 a 0 0 a 0 c 0 d c 0 d 2 c b 0 c b 0 0 a 0 0 a 0 0 d c 0 d 2 c
Properties of siffness matrix 性质： （1）symmetry of the matrix determined by the law of reciprocal reactions 对称，由反力互等定理而来； （2） singularity of the matrix, because the determinant is equal to zero det k
The nodes should be rigid joints, joints where members are connected, sections of supports, sections where cross section changes abruptly, sections where external loads act. For external loads which do not act at nodes equivalent nodal loads may be taken. 结点应为：杆件的转折点、汇交点、支撑点、截面突变点 （构造结点）、荷载作用处（非构造结点）。荷载可以采用等效 结点荷载来处理。
结构力学：第十章 矩阵位移法
矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
第10章矩阵位移法
整体坐标系（结构坐标系）：整个结构统一的坐标系。 整体坐标系（结构坐标系）：整个结构统一的坐标系。 ）：整个结构统一的坐标系
e e e FNi = Fxi cosα + Fyi sin α e e e F i = Fxi sin α + Fyi cosα S e e e FNj = Fxj cosα + Fyj sin α e e F e = Fxj sin α + Fyi cosα Sj
e FNi =
由图a、 ， 由图 、d，根据叠加原理可写出
EA e EA e ui uj l l EA e EA e e uj FNj = ui + l l
§10-2 单元刚度矩阵
可写出
12EI e 6EI e 12EI e 6EI e 12EI 6EI 12EI 6EI vi + 2 i 3 v j + 2 j F e = 3 vie 2 ie + 3 vje 2 je Sj l3 l l l l l l l 6EI 4EI e 6EI e 2EI e 6EI 2EI e 6EI e 4EI e Mie = 2 vie + i 2 vj + j M e = 2 vie + i 2 vj + j j l l l l l l l l Fe = Si
F1 F F = 2 F3 F4
Fx1 式中 F1 = Fy1 M 1
Fx 2 F2 = Fy 2 M 2
Fx 3 F3 = Fy 3 M 3
Fx 4 F4 = Fy 4 M 4
结点2、 处 结点外力F 是给定的结点荷载； 结点 、3处：结点外力 2、F3是给定的结点荷载； 支座1、 处 结点外力F 是支座反力， 支座 、4处：结点外力 1、F4是支座反力，如支座有给定结点荷 为结点荷载与支座反力的代数和。 载，则F1、F4为结点荷载与支座反力的代数和。
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END
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单元定位向量回顾
节点从小号到大号编； 结点位移按
编 号 原 则
u v
顺序编。
先编可动结点，后编不动结点
根据位移连续条件，各单元在结构坐标系 下的杆端位移与它的始、末端所对应的结点位 移是相等的，因此当对应于所有结点的结点位 移分量的总体编号已知时，根据各单元的始、 末端的结点号，即可确定该单元6个杆端位移 分量的总体编号。
把每个单元刚度矩阵的4个子块按其下标 的号码送到结构原始刚度矩阵中相应的位置上 去（对号入座）；各单元具有相同下标的子块 被送到总刚中同一位置上叠加起来；而 k0 中 没有子块入座的子块以0子块补入。
单元的子块搬入总刚度矩阵中的位置，完全取 决于结构结点编号。对同一结构，如果改变了 结点的编号，则总刚度矩阵完全不同。
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(1,2,3) 1
3
1
(4,5,6) 2
4
5
2
(13,14,15)
(10,11,12) 4
② k C K 22 ② k 52
② ②
(7,8,9) 3
在R中 4 5 6 13 14 15
② 4 k 5 25 6 ② 13 k 14 55 15
q2(i)
任意值
① ① ② ③
1 2 4 1
L/2 0 L/2 L/2
L
任意值 任意值
-10
任意值 任意值
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单元固端力的计算PAD设计
局部变量定义
efix(i) j=1,6 ff(j)=0
1 Case 2 2 3
Case 3 Case 1
集中荷载
k mf(i),sl al(k)
中 间 变 S1B1*CX*CX+B2*CY*CY，S1(B1－B2)*CX*CY, S3B3*CY， 量
S4B1*CY*CY+B2*CX*CX, S5B3*CX, S6B4
给 上 三 角 赋 值
C(1,1)S1, C(1,2)S2, C(1,3)S3, C(1,4)-S1, C(1,5)-S2, C(1,6)S3, C(2,2)S4,C(2,3)-S5,C(2,4)-S2,C(2,5)-S4, C(2,6)-S5, C(3,3)2*S6,C(3,4)-S3,C(3,5)S5,C(3,6)S6,C(4,4)S1,C(4,5)S2, C(4,6)-S3, C(5,5)S4, C(5,6)S5, C(6,6)2*S6 I=2, 6 J=1, I－1 C(I,J) C(J,I) 给下三角赋值
综 合 结 点 荷 载
形成等效结点荷 载
坐标转换。
反号叠加成[PE]。
形成综合 结点荷载
[P]=[PD]+[PE]
涉及到4个子程序efix、trans、eload、load
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直接结点荷载向量[PD]的形成
与直接结点荷载有关的变量和数组
npj mj（npj）
具有直接结点荷载作用的结点数
具有直接结点荷载作用的结点所 对应的结点整体编号数组
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示例
10kN
20kN.m
1
2 5
25kN 15kN
3 6
注意：可动支座 7、8上结点荷载 的处理。
Y
4 9
X
30kN.m
35kN
7
8
结点荷载值 XD YD MD
有荷载作用 对应的结点总 对应的荷载分量 的结点序号 编号k=mj (i) 号3k-2,3k-1,3k
1 2 3 4
1 3 7 8
3 6 3 6
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单元定位向量理论回顾
如内部结点全部是刚结点，则节点位移编 号和相应的节点位移分量的编号有一种简 单的对应关系： 节点编号 节点位移编号
i
ui 3i 2
vi 3i 1
i 3i
对于任意单元，均可根据其始末端的结点号 确定其杆端位移分量所对应的总体编号，也即可 以确定单刚中的元素在总刚中的位置。
直接给单刚元素赋值， 形成[C]。 根据单元始末结点号 实现。
对号入座的过程
由3个子程序Stiff、Locat、Wstiff实现
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子程序Stiff——形成单 元刚度矩阵[C]
EA EA 0 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 2 0 3 2 0 3 L L L L 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 2 0 2 L L L L EA EA 0 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 0 L3 2 L L3 L2 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 2 0 0 2 L L L L
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单元定位向量的PAD设计
LOCAT (IE)
数组，变量定义
局部变量的定义
将始末端结点号赋给I、J
I JL(IE)
J JR(IE)
II(1) 3*I-2， II(2) 3*I-1 II(3) 3*I， II(4) 3*J-2
计算II(6)
II(5) 3*J-1，II(6) 3*J
单刚矩阵的元素在总刚中的位置由什么确定？
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组集总刚的程序实现
对于第IE单元（ IE 1,2,3, NE ），根据定位向 量数组 II (6) 把单刚矩阵中处于第 I 行 J 列 （ i, j 1, 2,, 6）的元素 Cij 送到总刚 [ R ] 中的 第 II (i )行II ( j )列的位置上。
qj（npj,1）
qj（npj,3） qj（npj,2）
直接结点荷载XD
直接结点荷载YD
qj（npj,3）
直接结点荷载MD
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直接结点荷载向量[PD]的形成
k=mj(i)
第i个直接 结点荷载作 用的结点
结点整 体编号
结点荷 载分量
qj(i,1)=XD qj(i,2)=YD qj(i,3)=MD
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(1,2,3) 1
3
1
(4,5,6) 2
4
5
2
(13,14,15)
4 (10,11,12) 单元
1 2 3 4
始端 末端
(7,8,9) 3Βιβλιοθήκη vi2 5 2 5
I
J
ui
1 4 1 4
i
结点位移分量编号
uj
4 13 10 7
vj
5 14 11 8
j
6 15 12 9
1 2 1 2
2 5 4 3
END
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组集总刚回顾
1.分块形式的总刚 k0 的行数和列数与结 构的节点数相等。 2.每一子块均为3X3的方阵，结构的阶 数等于3倍的节点数。 3.各单元对结构原始刚度矩阵有影响的 子块的两个下标与结构原始刚度矩阵中 同一子块的两个下标完全相同。
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对号入座组集总刚矩阵
Wstiff
局部变量的定义
i=1,n ie=1,ne
j=1,n
r(i,j) 0
call stiff(ie) call locat(ie) 前后处理结合法PAD
i=2, n
END
j=1, i－1
r(i,j) r(j,i)
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综合结点荷载向量的形成
形成直接结点 荷载
由直接结点荷载信息 形成[PD]。 计算单元固端力。
cos sin
STIFF(IE)
数组、变量定义
IJL(IE), JJR(IR) CX(X(J)－X(I))/AL(IE) CY(Y(J)－Y(I))/AL(IE)
B1EA(IE)/AL(IE), B212*EI(IE)/AL(IE)**3 B36*EI(IE)/AL(IE)**2, B42*EI(IE)/AL(IE)
1．理论回顾
平 面 刚 架 单 元 的 单 刚 矩 阵
k
e
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单刚矩阵理论回顾
K
e
T K T
T
e
结构坐标系下的单元刚度矩阵。
具体形式参见课本P9-P10 平面刚架单元的单刚矩阵的性质？
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子程序Stiff的PAD设计
局部变量定义，全局变量通过调用 相应的数组名或变量名传递。
P(3K-2)
P(3K-1)
P(3K)
荷载列阵中的总分量号
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直接结点荷载向量[PD]的PAD设计
i=1,n npj=0 P(i) 0 i=1,npj k mj(i) P(3k-2) qj(i,1) P(3k-1) qj(i,2) P(3k) qj(i,3) 直接结点荷载向 量[PD]存放在数 组P（n）中。
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前后结合法的程序实现
实质：对固定支 座先处理，对非 固定支座后处理。
ie=1,ne k1=1,6
i ii(k1) i>n
stop
k2=1,6
j ii(k2)
j>n stop r(i,j) r(i,j)+c(k1,k2)
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组集总刚自程序的PAD设计
数组，变量定义
Cij
具 体 实 现
RII (i ), II ( j )
对每一单元，取I,J从1到6循环； 对所有单元进行循环；
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前后处理结合法
前 处 理 法
对所有结点的未知位移进行统一编号，将与 支撑约束相对应的位移分量编为0号，而各单 元刚度矩阵中凡与0位移项对应的元素不参加 组集总刚。这种在建立刚度刚度矩阵过程中 便引入支撑条件的方法称为前处理法。 把全部节点位移分量（包括支座在内）都先 看作是未知量而依次编号，每一单刚的所有 元素均按照定位向量所指示的位置对号入座 形成总刚，然后再处理边界条件。这种在建 立结构刚度矩阵过程中不引入支撑条件的方 法称为后处理法。