第十章 矩阵位移法(第六讲)

相应于结点编号的顺序，对所用结点位移分量进行 统一编号；
设结构的总结点数为nn，固定支座数为nf，则取 N=3X（nn-nf）作为总刚的阶数； 在组集总刚时，若某结点的位移分量编号大于n，则 与其相应的单刚元素不参加组集总刚； 对非固定支座中的约束条件进行“后处理”。
优点：既不破坏结点与结点位移分量之间的简 单对应关系，又能降低总刚的阶数。
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(1,2,3) 1
3
1
(4,5,6) 2
4
5
2
(13,14,15)
4 (10,11,12) 单元
1 2 3 4
始端 末端
(7,8,9) 3
vi
2 5 2 5
I
J
ui
1 4 1 4
i
结点位移分量编号
uj
4 13 10 7
vj
5 14 11 8
j
6 15 12 9
1 2 1 2
2 5 4 3
综 合 结 点 荷 载
形成等效结点荷 载
坐标转换。
反号叠加成[PE]。
形成综合 结点荷载
[P]=[PD]+[PE]
涉及到4个子程序efix、trans、eload、load
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直接结点荷载向量[PD]的形成
与直接结点荷载有关的变量和数组
npj mj（npj）
具有直接结点荷载作用的结点数
具有直接结点荷载作用的结点所 对应的结点整体编号数组
中 间 变 S1B1*CX*CX+B2*CY*CY，S1(B1－B2)*CX*CY, S3B3*CY， 量
S4B1*CY*CY+B2*CX*CX, S5B3*CX, S6B4
给 上 三 角 赋 值
C(1,1)S1, C(1,2)S2, C(1,3)S3, C(1,4)-S1, C(1,5)-S2, C(1,6)S3, C(2,2)S4,C(2,3)-S5,C(2,4)-S2,C(2,5)-S4, C(2,6)-S5, C(3,3)2*S6,C(3,4)-S3,C(3,5)S5,C(3,6)S6,C(4,4)S1,C(4,5)S2, C(4,6)-S3, C(5,5)S4, C(5,6)S5, C(6,6)2*S6 I=2, 6 J=1, I－1 C(I,J) C(J,I) 给下三角赋值
cos sin
STIFF(IE)
数组、变量定义
IJL(IE), JJR(IR) CX(X(J)－X(I))/AL(IE) CY(Y(J)－Y(I))/AL(IE)
B1EA(IE)/AL(IE), B212*EI(IE)/AL(IE)**3 B36*EI(IE)/AL(IE)**2, B42*EI(IE)/AL(IE)
石家庄铁道学院工程力学系
主讲教师： 李延强
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第五讲 平面刚架程序设计的方法
本讲主要内容 子程序Wstiff的PAD设计
子程序Stiff的PAD设计
子程序Locat的PAD设计 本讲重点与难点 单元定位向量子程序及对号入座组集 总刚。
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形成结构总刚的步骤
形成单刚 组 集 总 刚 形成定位向量 组集总刚
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(1,2,3) 1
3
1
(4,5,6) 2
4
5
2
(13,14,15)
(10,11,12) 4
② k C K 22 ② k 52
② ②
(7,8,9) 3
在R中 4 5 6 13 14 15
② 4 k 5 25 6 ② 13 k 14 55 15
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单元定位向量的PAD设计
LOCAT (IE)
数组，变量定义
局部变量的定义
将始末端结点号赋给I、J
I JL(IE)
J JR(IE)
II(1) 3*I-2， II(2) 3*I-1 II(3) 3*I， II(4) 3*J-2
计算II(6)
II(5) 3*J-1，II(6) 3*J
q2(i)
任意值
① ① ② ③
1 2 4 1
L/2 0 L/2 L/2
L
任意值 任意值
-10
任意值 任意值
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单元固端力的计算PAD设计
局部变量定义
efix(i) j=1,6 ff(j)=0
1 Case 2 2 3
Case 3 Case 1
集中荷载
k mf(i),sl al(k)
子程序locat pe(i)pe(i)-f(k1)
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等效结点荷载向量[PE]的形成
与等效结点荷载有关的变量和数组 具有单元荷载作用的单元数 npe Mf(npe)
具有单元荷载作用的单元所对应的 单元整体编号数组 非结点荷载类型数
bq(npe)
存放b值
Ind(npe)
aq(npe)
存放a值
1 2 7 8 19 20 22 23
3 10 0 20 9 15 -25 0 21 0 0 30 24 -35 0 0
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等效结点荷载向量[PE]的形成
子程序eload
第二步
第一步
第三步
局部坐标系下 固端力的计算
整体坐标系下 固端力的计算
等效结点荷 载的计算
子程序efix
子程序trans
END
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组集总刚回顾
1.分块形式的总刚 k0 的行数和列数与结 构的节点数相等。 2.每一子块均为3X3的方阵，结构的阶 数等于3倍的节点数。 3.各单元对结构原始刚度矩阵有影响的 子块的两个下标与结构原始刚度矩阵中 同一子块的两个下标完全相同。
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对号入座组集总刚矩阵
直接给单刚元素赋值， 形成[C]。 根据单元始末结点号 实现。
对号入座的过程
由3个子程序Stiff、Locat、Wstiff实现
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子程序Stiff——形成单 元刚度矩阵[C]
EA EA 0 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 2 0 3 2 0 3 L L L L 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 2 0 2 L L L L EA EA 0 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 0 L3 2 L L3 L2 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 2 0 0 2 L L L L
3 6 3 6
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单元定位向量理论回顾
如内部结点全部是刚结点，则节点位移编 号和相应的节点位移分量的编号有一种简 单的对应关系： 节点编号 节点位移编号
i
ui 3i 2
vi 3i 1
i 3i
对于任意单元，均可根据其始末端的结点号 确定其杆端位移分量所对应的总体编号，也即可 以确定单刚中的元素在总刚中的位置。
把每个单元刚度矩阵的4个子块按其下标 的号码送到结构原始刚度矩阵中相应的位置上 去（对号入座）；各单元具有相同下标的子块 被送到总刚中同一位置上叠加起来；而 k0 中 没有子块入座的子块以0子块补入。
单元的子块搬入总刚度矩阵中的位置，完全取 决于结构结点编号。对同一结构，如果改变了 结点的编号，则总刚度矩阵完全不同。
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示例
10kN
20kN.m
1
2 5
25kN 15kN
3 6
注意：可动支座 7、8上结点荷载 的处理。
Y
4 9
X
30kN.m
35kN
7
8
结点荷载值 XD YD MD
有荷载作用 对应的结点总 对应的荷载分量 的结点序号 编号k=mj (i) 号3k-2,3k-1,3k
1 2 3 4
1 3 7 8
q1(npe)
存放q1值
q2(npe)
存放q2值
ff(6) f(6)
存放单元局部坐标系下的6个固端力分量
存放单元结构坐标系下的6个固端力分量
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单元固端力的计算——efix
程序可以处理的非结点荷载类型共8种； 支座位移的影响，采用“后处理法”引入支 撑条件时予以考虑；
每类非结点荷载的a、b、q1、q2值根据P57表 2.3确定； 当某单元上作用的荷载类型不止一类时，可 以采用叠加的方法求固端力； 同一单元受几种类型的荷载作用，就要对该 单元进行几次荷载编号。
P(3K-2)
P(3K-1)
P(3K)
荷载列阵中的总分量号
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直接结点荷载向量[PD]的PAD设计
i=1,n npj=0 P(i) 0 i=1,npj k mj(i) P(3k-2) qj(i,1) P(3k-1) qj(i,2) P(3k) qj(i,3) 直接结点荷载向 量[PD]存放在数 组P（n）中。
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20kN
L/2
10kN/m
示例
注意：荷载 30kN 的正负号与 局部坐标系 一致。
1 2 3 4
L/2
15kN.m
1
①
2
② ⑤
L/2
3
③
L/2 L/2
④
L/2
单元总编号 荷载类 荷载编号i k=mf (i) 型ind(i)
aq(i)
bq(i)
任意值
q1(i) -20 -10
15 30
Wstiff
局部变量的定义
i=1,n ie=1,ne
j=1,n
r(i,j) 0
call stiff(ie) call locat(ie) 前后处理结合法PAD
i=2, n
END
j=1, i－1
r(i,j) r(j,i)
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综合结点荷载向量的形成
形成直接结点 荷载
由直接结点荷载信息 形成[PD]。 计算单元固端力。
单刚矩阵的元素在总刚中的位置由什么确定？
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组集总刚的程序实现
对于第IE单元（ IE 1,2,3, NE ），根据定位向 量数组 II (6) 把单刚矩阵中处于第 I 行 J 列 （ i, j 1, 2,, 6）的元素 Cij 送到总刚 [ R ] 中的 第 II (i )行II ( j )列的位置上。
1．理论回顾
平 面 刚 架 单 元 的 单 刚 矩 阵
k
e

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单刚矩阵理论回顾
K
e
T K T
T
e
结构坐标系下的单元刚度矩阵。
具体形式参见课本P9-P10 平面刚架单元的单刚矩阵的性质？
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子程序Stiff的PAD设计
局部变量定义，全局变量通过调用 相应的数组名或变量名传递。
END
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单元定位向量回顾
节点从小号到大号编； 结点位移按
编 号 原 则
u v
顺序编。
先编可动结点，后编不动结点
根据位移连续条件，各单元在结构坐标系 下的杆端位移与它的始、末端所对应的结点位 移是相等的，因此当对应于所有结点的结点位 移分量的总体编号已知时，根据各单元的始、 末端的结点号，即可确定该单元6个杆端位移 分量的总体编号。
qj（npj,1）
qj（npj,3） qj（Fra Baidu bibliotekpj,2）
直接结点荷载XD
直接结点荷载YD
qj（npj,3）
直接结点荷载MD
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直接结点荷载向量[PD]的形成
k=mj(i)
第i个直接 结点荷载作 用的结点
结点整 体编号
结点荷 载分量
qj(i,1)=XD qj(i,2)=YD qj(i,3)=MD
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前后结合法的程序实现
实质：对固定支 座先处理，对非 固定支座后处理。
ie=1,ne k1=1,6
i ii(k1) i>n
stop
k2=1,6
j ii(k2)
j>n stop r(i,j) r(i,j)+c(k1,k2)
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组集总刚自程序的PAD设计
数组，变量定义
后 处 理 法
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前后处理结合法
前后处理法的主要区别是什么？
前处理法虽然大大降低了总刚阶数，节约了计 算机内存，提高了计算速度，但由于结点编号 和结点位移编号之间的关系较复杂，不存在简 单的对应关系，因此编写程序较为复杂。
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前后处理结合法
对结点编号时，先编可动结点（包括非固定支座）， 后编固定支座结点；
Cij
具 体 实 现
RII (i ), II ( j )
对每一单元，取I,J从1到6循环； 对所有单元进行循环；
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前后处理结合法
前 处 理 法
对所有结点的未知位移进行统一编号，将与 支撑约束相对应的位移分量编为0号，而各单 元刚度矩阵中凡与0位移项对应的元素不参加 组集总刚。这种在建立刚度刚度矩阵过程中 便引入支撑条件的方法称为前处理法。 把全部节点位移分量（包括支座在内）都先 看作是未知量而依次编号，每一单刚的所有 元素均按照定位向量所指示的位置对号入座 形成总刚，然后再处理边界条件。这种在建 立结构刚度矩阵过程中不引入支撑条件的方 法称为后处理法。