微分方程的幂级数解法

微分方程的幂级数解法

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法

微分方程的幂级数解法

当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。

求一阶微分方程（1）满

足初始条件的特解，其中函数 f

(x , y)是、的多项式：

.

这时我们可以设所特解可展开为

的幂级数

(2）

其中是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式

两端的同次幂的系数，就可定出常数

, 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件

的特解。

例1求方程满足的特

解。

解这时，故设

，

把及的幂级数展开式代入原方程，得

由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得

于是所求解的幂级数展开式的开始几项为

。

关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理：

定理如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在－R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么

在－R＜x＜R内方程（3）必有形如

的解。

例 2 求微分方程的满足初始条件

, 的特解。

解这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级

数（4）

由条件得。对级数（4）逐项求导，有

,

由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为

（5）

（6）

对级数（6）逐项求导，得

（7）

把（5）和（7）代入所给方程，并按x的升幂集项，得

因为幂级数（4）是方程的解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，于是有

一般地（n=3 , 4 ,…）. 从这递推公式可以推得

一般地

(m=1,2,…)，

于是所求的特解为

。