弹塑性力学之应变状态理论
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
(完整版)弹塑性力学作业(含答案)(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy= -4 τxy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅；所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：z z z E Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=ooooV ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===oV ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
试确定外法线为n i（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v、正应力σn 及剪应力τn 。
弹塑性力学讲义应变
V0=dxdydz
V0=dxdydz
x
z
B
l
B'
l'
A
A'
y
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
y
C C'
应变张量
▪ 三个方向线元的应变决定该点的应变状态
取与坐标轴相平行的三个方向
z C'
C
x A
O' A'
B'
y
O
B
x
OA-OA OA
y
OB-OB OB
z
OC-O OC
C
xyyx 2BOA
yzz y 2COB
x y dx 0xddzy1122zyxx
12xy y 12zy
12xzdx
12yzdd
y z
z
u' u dx dx
v'vQdydy
w' w dz dz
▪ 转动矢量 ＝xex＋yey＋zez
dx
Qdy
dxx dxy
dz
dxz
刚体转动：以方向的直线为转轴，且转角为
▪ 变形分解
▪ 〔1〕随A点平动； AB A B
▪ OA和OB两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。 ▪ 设O点的位移是u(x，y)和v(x，y)， ▪ A点的位移是u(x+dx，y)、v(，x+dx，y)，
u u dx x
v v dx x
▪ B点的位移是u(x，y+dy)、v(，x，y+dy)。
u u dy y
v v dy y
弹塑性力学与有限元-应变分析
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
弹塑性力学应变分析
弹塑性力学应变分析弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，研究了材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
应变分析是弹塑性力学研究中的一个重要方法，用来描述材料的应变分布和变形机制。
本文将从简介弹塑性力学的基本概念开始，然后介绍应变分析的基本原理和方法，最后结合实例进行具体分析。
弹塑性力学是固体力学中研究物体在外力作用下产生变形和失去变形能力的行为的学科，弹塑性力学将材料的变形分为弹性和塑性两个阶段进行研究。
所谓弹性变形是指当外力作用撤除后，物体完全恢复到原来的形状和体积；而塑性变形则是在外力作用下，物体永久性的改变了形状和体积。
弹性力学研究了材料的弹性性质，主要通过描述应力-应变关系来分析材料的弹性行为；而塑性力学则以塑性应变的定义和计算为基础，研究材料的塑性行为。
应变分析是一种通过测量物体表面上的变形情况来分析物体内部应变分布和变形机制的方法。
应变分析的基本原理是根据平面几何关系，通过测量物体表面上的位移或形变情况，计算出表面上各点的法向和剪切应变分量，然后根据连续性假设推导出物体内部的应变分布。
应变分析主要通过两种方法进行，一种是光学方法，即应变光学方法；另一种是电子方法，即电子应变分析方法。
应变光学方法是应变分析中最常用的方法之一，主要利用光的干涉和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变情况。
最常用的光学方法是全场应变测量方法，主要包括光栅投影法、相位差法和光弹性法。
在这些方法中，光栅投影法是最简单和最常用的方法，它通过在物体表面上投影一组光栅，然后根据物体表面上的光强分布来计算出位移和形变信息。
相位差法和光弹性法则是基于光的相位差和光的偏振状态来计算应变信息的。
电子应变分析方法主要利用电子束的散射和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变信息。
最常用的电子应变分析方法是SEM-EBSD方法和EBSD方法。
SEM-EBSD方法是通过扫描电子显微镜和电子背散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
EBSD方法则是通过扫描电子显微镜和电子回散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
弹塑性力学-第3章 应变状态
第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。
如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。
如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。
应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。
即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。
这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。
本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。
位移与线元长度、方向的变化坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。
于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。
即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。
因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。
如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ式决定了一条曲线，曲线上各点Λ,,21**M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。
02应变分析(弹塑性力学讲义)
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
弹塑性力学2应变分析详解
zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学PPT课件精选全文
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
弹塑性力学定理和公式
弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。
常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。
A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。
B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。
弹塑性力学 第03章应变状态理论
在外力（或温度变化）作用下，物体内各部分之 间要产生相对运动。物体的这种运动状态，称为“变 形”。本章专门分析物体的变形，它的任务是 （1）分析一点的应变状态； （2）建立几何方程和应变协调方程。
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7
变形和应变的概念 应变与位移的关系—几何方程 相对位移张量 转动分量 主应变 应变张量不变量 体应变 应变协调方程 位移边界条件
可以证明，与物体内A点无限邻近的一点B的位移由三部分 组成。
B B2 B3 B1
A
A1
① 随同A点平移位移，如左图中的BB2所示 ② 绕A点刚性转动在B点所产生的位移，如左图中的B2B3所示 ③ 由A点邻近的微元体的变形在B点引起的位移，如左图中的 B3B1
§3-4 主应变 应变张量不变量
设在坐标系Oxyz下，某点（譬如M点）的6个应变分量为
1 2
1 2 1 2
γ xz ⎤ ⎥ γ yz ⎥ εz ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎢ 1 + ⎢ 2 ωz 1 ⎢ ⎣− 2 ω y
− ωz 0
1 2
ωx
ωy ⎤ ⎥ 1 − 2 ωx ⎥
1 2
0 ⎥ ⎦
u ⎡∂ ∂x ⎢ ∂v ⎢ ∂x ∂w ⎢ ⎣ ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
2 2 2
n=(l , m , n)为该微分线段的方向余弦。
ε i′j′ = ε ij ni′i n j′j
物体内某点的6个应变分量将随着坐标系的旋转而改 变。物体受力变形后，过物体内的某一确定的点能否找到这 样一个坐标系，在这个坐标下，只有正应变分量，而所有切 应变分量都为零。也就是说，过该点能否找到这样3个互相垂 直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后只是各自 地改变了长度，而其夹角仍保持为直角。 A F A F B F B F
弹塑性力学-2 应变分析
0
0
0 0 0
平均应变：
1 0 ( 1 2 3 ) 3
x 0 xy xz 应变偏量 eij y 0 yz yx zx zy z 0
1 ( 2 ) x y z xy xz 3 1 eij yx (2 y x z ) yz 3 1 ( 2 ) zx zy z x y 3 1 ( 2 ) 0 0 3 1 2 3 1 0 (2 2 1 3 ) 0 3 1 0 0 ( 2 ) 3 1 2 3
( x )dx xy dy xz dz 0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zx dx zy dy ( z )dz 0
系数行列式为零
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
第2章 应变分析
一点的应变状态，应变与位移的关系 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程
2-1 一点的应变状态,应变与位移的关系
在物体中，若任意两个点的相对位置有了变化， 则认为物体有了变形。 沿x方向的正应变
A
x
x
A’
l0
B
u
u u
u du x lim x 0 x dx
dv yx dx y dy yz dz dw zx dx zy dy z dz
o
x v
x
主应变空间中， r (1 , 2 , 3 )表示一个应变状态。如 何找到r？ 若r增加了一个增量dr， z 则r和dr在坐标轴上的投 dr 影是成比例的。
李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论
yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0
ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理 一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31
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x'
b
m m
b
a a
y'
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
2 主应变与主应变方向
应变矩阵的特征问题 ij li li
应变张量的特征方程 3 I1 ' 2 I2 ' -I3 ' 0 l12 l22 l32 1
应变张量的不变量
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I1 ' x y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
弹塑性力学
第2章 应变状态理第论二章 应变状态理论
本章学习要点：
理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念 掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变
及应变主方向的计算公式 理解Cauchy方程（几何方程）和Saint Venant方
程（变形协调方程）的物理意义，熟练掌握这两 个基本方程
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u
v
w
uC (u z dz, v z dz, w z dz)
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19
2.4 体积应变 第二章 应变状态理论
变形后
M、A 、B 、C各点的坐标
(x u, y v, z w)
(x dx u u dx, y v v dx, z w w dx)
x
x
x
(x u u dy, y dy v v dy, z w w dy)
ij eij mij eij
应变球张量：
m 0 0
0
m
0
0 0 m
m
1 3
(1
2
3 )
1 3
( x
y
z)
1 3
I1
'
平均正应变
应变偏张量：
ex
eij eyx
exy ey
exz eyz
x yx
m
xy y m
xz yz
ezx ezy ez zx
w x
xy
1 2
xy
yz
1 2
yz
zx
1 2
zx
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
位移分量 应变分量
应变分量 位移分量
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
1 坐标变换规律
z'
坐标系统发生旋转变换时， 同一点的应变张量服从：
i' j' l li'i j' j ij
y
y
y
(x u u dz, y v v dz, z dz w w dz)
z
z
z
M ' A' [(1 u )dx, v dx, w dx] x x x
M ' B ' [u dy, (1 v )dy, w dy]
y
y y
M 'C ' [u dz, v dz, (1 w)dz]
z z
z
2 几何方程（Cauchy方程）
考虑在Oxy平面上投影部分的变形
u u dy y
M点的位移矢量的x和y轴分量：
uM u(x, y, z), vM v(x, y, z)
v v dy y
xy dy
yx
y
x
dx
位移矢量在Oxy平面上的投影
A点的位移：
uA
u(x
dx,
y,
z)
u
u x
dx
vA
v(x
I2
'
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
x
y
y z
zx
)
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
x xy xz
I3 ' yx y yz
xz zy z
15
2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
2 主应变与主应变方向
主应变方向：过物体内任一点总存在3个互相垂直的方向，沿这 3个方向的微分线段在物体发生形状变化后，只是 各自改变了长度，而其相互之间的夹角始终保持 为直角 即：只有正应变分量，剪应变分量为零
表示刚体转动 反对称张量
0
v
1 ( u v ) 1 ( u w)
应 变 张 量
x
yx
zx
xy y zy
xz yz z
x 1 ( v 2 x 1 ( u 2 z
u ) y w ) x
2 y x u
y 1 ( w v ) 2 y z
2 z x
1 2
(
v z
2
2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
1 位移矢量
位移
刚体 位移
变形
物体各点发生位移后，仍保持各点间的 初始相对距离（刚体移动和转动）
物体各点发生位移后，改变了各点间的 初始相对距离（刚体位移和形状变化）
一点的位移矢量： u u(x, y, z)
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u u(x, y, z) v v(x, y, z) 位置坐标的单值连续函数 w w(x, y, z)
wB
w zxdx
zydy
zxdx
zydy
zdz
平动
转动 变形
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2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
1 应变张量的物理解释
正应变：每一条棱边的相对伸长量 或缩短量
剪应变：两条棱边之间夹角的变化
x
M
'
A ' MA
MA
,
xy
2
A' M
'B'
y
M
' B ' MB MB
体积应变：单位体积的变化
V 'V V
x
y
z
I1 '
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21
2.5 应变协调方程第二章 应变状态理论
几何方程
x
u x
，
xy
v x
u y
y
v y
，
yz
w y
v z
z
w z
，
zx
u z
w x
位移分量ui 应变分量ij
可唯一确定
应变分量ij 位移分量ui
应变协调方程
数学上：应变分量ij非互不相关， 存在一定联系
wB
w
x
dx
y
dy
z
dz
u u u
x y z
ui, j
v x
v y
v
z
w w w
x y z
因刚体转动产生的相对位移 因变形产生的相对位移
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5
2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
2 转动张量与应变张量
ui, j
1 2
(ui, j
u j,i )
,
yz
2
C ' M
' B '
微分平行六面体的变形
z
M
'C ' MC MC
, zx
2
C ' M
'
A '
（不考虑变形后的刚体转动）
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8
2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
2 几何方程（Cauchy方程）
建立正应变、剪应变与位移分量的关系，明确应变张量的物理性质 考虑小变形
物理上：相互独立的应变分量不能 保证物体的连续性
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22
2.5 应变协调方程第二章 应变状态理论
应变协调方程 —— 应变分量间的关系
思路：从几何方程中消去所有的位移分量
1 在xy平面内
x
u x
,y
v y
, xy
v x
u y
在yz平面内
y
v y
,z
w z
,
yz
w y
v z
在zx平面内
uB = (uB, vB, wB)
物体内无限邻近两点的位移
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4
2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
1 位移矢量
B点的位移矢量分量
按Tyler级数展开：
相对位移张量
uB
u
u x
dx
u y
dy
u z
dz
v v v
vB v x dx y dy z dz
w w w
zy
z m
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
3 应变张量的分解
应变偏张量的主值： e1 1 m , e2 2 m , e3 3 m
应 变 偏
J1' ex ey ez e1 e2 e3 0
J2'
1 6
[(
x
y
)2
(
y
z
)2
( z
x
)2 ]
dx,
y,
z)
v
v x
dx
B点的位移：
u uB u(x, y dy, z) u y dy
v vB v(x, y dy, z) v y dy
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2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
2 几何方程（Cauchy方程）
考虑在Oxy平面上投影部分的变形
u u dy y
m m
a a
b b