时域抽样定理
4_17 连续时间信号时域抽样定理
ws 2
ws
wm
w s wm 当w s 2w m时
C
wm
ws
w
X ( jw )
1
wm
A
wm
w
信号的重建(由抽样信号xsam(t)恢复连续信号x (t))
xsam(t)
hr(t)
t
t
x(t)
hr (t ) F 1[ H r ( jw)] Sa (
4. 信号时域抽样理论分析
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz,带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号 fsam=8kHz 抽样后的频谱。 抽样后的语音信号(不解调)
4. 信号时域抽样理论分析
X(jw)
1 6 -28 -24 -20 8 0 8 6 20 24 28
f
fm=28 kHz
X(ejW)
1/T
-32
-28
-24 -20 -6 -2 -8 -4
0
4
8
2 6 20
24 28
36
f
fsam=8 kHz
5. 信号的重建
X s ( jw )
H r ( jw )
X ( jw )
H r ( jw )
X s ( jw)
T
1 T
X ( jw ) X s ( jw ) H r ( jw )
T
抽样定理证明模型
X sam ( jw )
k
x ( kT )e -jkwT
k
x[ k ]e -jkΩ X (e jW )
连续时间信号的时域抽样
x[k ] x(t ) t kT
2. 为什么进行信号抽样
输入
x(t)
A/ D
x[k]
离散 系统
y[k]
D/ A
用数字方式处理模拟信号
输出
y(t)
离散信号与系统的主要优点:
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示,受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗,传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩,信号编码,信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
X sam(
j)
1 2π
X
( j) *sam
n
(
nsam )
1 T
n
X[ j(
nsam)]
X sam ( j) x(k T)e jkT x(k T)e jkΩ X (e j )
k
k
4. 信号抽样的理论推导
号最高频率的2倍,这就是著名的
6. 信号抽样的物理实现
x(t)
A/D
x[k]=x(kT)
T
x[k] x(t) t kT
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
T
(s)
wsam=2p/T (rad/s) fsam=1/T (Hz)
例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz), 试计算对各信号x(2t), x(t)*x(2t), x(t) x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
国 典
物理学 。 1976
家 年
, 在
Texas逝世。他对信息论做出了重
信号验证时域抽样定理
clear all%1. Ts<Tn时Ts=0.02wm=40*pi; %Tn=0.025wc=1.2*wm;%理想低通截止频率Ts=[0.02]; % 1 Ts<TnN=length(Ts);for k=1:N;n=-200:200;nTs=n*Ts(k);fs=(cos(8*pi*nTs)+2*sin(40*pi*nTs)+cos(24*pi*nTs))t=-0.25:0.001:0.25;ft=fs*Ts(k)*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-0.25:0.001:0.25;f1=(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));%在一副图中画原连续信号f(t)和样信号f_s(t)。
%figure(3*k-2)subplot(3,1,1),plot(t1,f1,'r:','linewidth',2),hold onstem(nTs,fs),grid onaxis([-0.25 0.25 -4 4])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('nTs'),ylabel('f(nTs)');title(['抽样信号Ts=',num2str(Ts(k)),'时的抽样信号f(nTs)'])legend('包络线','抽样信号',0)%重构y(t)t2=-0.25:0.001:0.25;yt=wc*Ts/pi.*(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));er=abs(f1-yt);subplot(3,1,2),plot(t1,yt);axis([-0.25 0.25 -4 4])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('t'),ylabel('y(t)');title(['重构信号y(t)'])subplot(3,1,3),plot(t1,er);axis([-0.25 0.25 0 0.3])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('t'),ylabel('error');title(['误差图error'])end-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25-4-2024nTsf (n T s )抽样信号T s=0.02时的抽样信号f(nT s)包络线抽样信号-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25-4-2024ty (t )重构信号y(t)-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.2500.10.2te r r o r误差图error%2. Ts>Tn 时 Ts=0.04wm=40*pi; %Tn=0.025wc=1.2*wm; %理想低通截止频率Ts=[0.03]; % 1 Ts<Tn N=length(Ts); for k=1:N;n=-200:200; nTs=n*Ts(k); fs=(cos(8*pi*nTs)+2*sin(40*pi*nTs)+cos(24*pi*nTs)) t=-0.25:0.001:0.25;ft=fs*Ts(k)*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-0.25:0.001:0.25; f1=(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));%在一副图中画原连续信号f(t)和样信号f_s(t)。
3.11 抽样定理
f s (t )
1
s
n
f (t nTs )
说明:信号在频率域抽样(离散化)等效于在时间域周期化。 频域抽样定理:频域抽样定理表明,一个时间受限的信号 f (t) ,如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围,则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) ( 唯一地表示,抽样间隔为 s ,它必须满足条件 T
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s
C C
s m c m ,则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ,则 Ts s c 2
f s t
第
5 页
Fs
0
Ts
t
s
m
0
m
s
C h (t ) Ts C Sa (C t ) Ts
c
H
Ts
0
t
0
F
f t
c
0
t
0
m
X
二、连续时间信号的重建
因为
第
6 页
Ts 所以,选理想低通滤波器的频率特性为 H ( ) 0
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nTs ) (t nTs )
X
第
二、连续时间信号的重建
则连续低通滤波器的输出信号为
时域抽样定理
时域抽样定理时域抽样定理是数字信号处理中的基本理论之一,它对于理解信号采样和重构有着重要的意义。
本文将详细介绍时域抽样定理的原理、条件和应用。
1. 定理原理时域抽样定理,又称为奈奎斯特采样定理(Nyquist Sampling Theorem),是由哈里·奈奎斯特(Harry Nyquist)于20世纪20年代提出的。
该定理指出:在连续时间信号中,如果信号的最高频率为fs,则采样频率必须大于2fs才能保证采样后的离散信号能完美地重构出原始信号。
2. 定理条件奈奎斯特采样定理的成立需要满足以下两个条件:2.1 带宽限制条件信号的带宽必须是有限的。
即信号的频谱必须在一定范围内有限制,不允许有无限大的频率成分存在。
如果信号的带宽无限大,那么无论采样频率多高,也无法在离散信号中准确地表示原始信号。
2.2 采样频率条件采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
只有在这种条件下,才能够完美地重构出原始信号。
如果采样频率低于信号最高频率的两倍,将会出现混叠效应,导致重构的信号与原始信号存在偏差。
3. 定理应用奈奎斯特采样定理在实际应用中有着广泛的应用,尤其是在信号处理和通信领域。
3.1 数字音频和视频在数字音频和视频领域,奈奎斯特采样定理的应用非常重要。
通过在一定的采样频率下对模拟音频或视频信号进行抽样,可以得到离散的数字信号。
这些离散的信号可以通过数学算法来进行处理和压缩,从而实现高保真度的音频和视频传输。
3.2 通信系统在通信系统中,奈奎斯特采样定理被广泛应用于调制和解调过程中。
发送端将模拟信号进行抽样和量化,将其转换为数字信号后进行传输。
接收端通过接收到的数字信号进行解调和重构,实现原始模拟信号的恢复。
3.3 图像处理在图像处理领域,奈奎斯特采样定理可以用于图像的采集和重构。
通过在一定的采样频率下对图像进行抽样,可以得到离散的像素值。
这些像素值可以用于图像的处理、压缩和重构,从而实现高质量的图像处理效果。
时域采样定理频带为F的连续信号 f
时域取样定理简述
时域取样定理简述一、什么是时域取样定理时域取样定理(Nyquist-Shannon采样定理)是指在信号的离散化表示中,为了能够完美地重构出原始信号,取样频率必须大于信号频谱中最高频率的二倍。
也就是说,采样频率必须足够高,才能确保取样后的离散信号不损失原始信号的信息。
二、为什么要进行时域取样在信号处理与通信领域,我们常常需要对连续信号进行离散化处理。
离散化后的信号更易于存储、处理和传输。
而时域取样是指根据一定的规则,在时间轴上等间隔采集连续信号的采样值。
通过对连续信号进行时域取样,我们可以将连续信号转化为一组离散采样值,从而方便后续的数字信号处理。
三、取样频率的选择根据时域取样定理,取样频率必须大于信号频谱中最高频率的二倍。
这是为了避免混叠现象的发生,即采样频率不足以恢复原始信号。
在实际应用中,我们通常会选择取样频率略高于最高频率的二倍,以确保完整采样信号的重构。
这样,就能够对原始信号进行逆取样,从离散信号中恢复出原始连续信号。
四、时域取样的数学表示对于原始信号x(t)和采样频率为f_s的离散化信号x_s(n),二者之间的关系可以通过数学公式表示:x_s(n) = x(t) * s(n) = x(nT_s)其中,x(t)表示原始信号,s(t)为采样脉冲(如理想脉冲),x_s(n)为离散化信号,n为采样点的索引,T_s为采样周期。
当我们得到离散化信号x_s(n)后,可以通过插值或滤波等方法进行信号重构,从而恢复出原始信号x(t)。
1. 插值法插值法是一种简单有效的信号重构方法。
常用的插值法有线性插值、最近邻插值和三次样条插值等。
其中,三次样条插值在重构低频信号时效果更好,但计算复杂度较高。
2. 滤波法滤波法是另一种常用的信号重构方法。
通过设计合适的滤波器,可以滤除离散化信号中的混叠分量,从而恢复出原始信号。
在滤波法中,常用的滤波器有低通滤波器和带通滤波器。
低通滤波器用于滤除混叠频率,带通滤波器用于滤除采样频率之外的频率分量。
《数字信号处理教学课件》3.10 抽样定理
c2
1
1
2 1
1
0
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15
0.25
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
2 1 1
0
1
1
1
0
0.15
2 1
0.25
例3-10-1
BACK 例如音频信号:0~3.4KHz,
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱 连续信号:
恢复
在满足时域抽样定理条件下使 T s s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2 矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。 即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H ,
可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F , 再由滤波器输出端恢复f(t)。
二、频域抽样定理
根据时域和频域对称性,可推出频域抽样定理
c f (t ) f (nTs ) Sa[ c (t nTs )] n
偶函数
变 量 置 换
时分复用
n n F ( ) F Sa t ( ) m t tm n m
若信号 f (t ) 为时限信号,它集中在 tm tm 的时间范围内,若在频域中, 以不大于 1 2tm 的频率间隔对 f (t ) 的频谱 F ( ) 进行抽样,则抽样后的频谱 F1 ( )可以唯一 地表示原信号。
f (t ) d t
与平方可积条件相同,这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值,因为
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样,就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值(样值),抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在(0,f h)内的时间连续信号f(t),如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样,那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说,如果一个连续信号f(t)的频谱中最高频率不超过f h,这种信号必定是个周期性的信号,当抽样频率f S≥2 f h时,抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息,而不会有信息丢失,当需要时,可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性,可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出,由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ,为了满足抽样定理,要求模拟信号的频谱限制在0~f h之内(fh为模拟信号的最高频率)。
为此,在抽样之前,先设置一个前置低通滤波器,将模拟信号的带宽限制在fh以下,如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如,话音信号的最高频率限制在3400HZ,这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ,为了留有一定的防卫带,CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ,这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出,抽样频率fS不是越高越好,太高时,将会降低信道的利用率(因为随着fS升高,数据传输速率也增大,则数字信号的带宽变宽,导致信道利用率降低。
)所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的,设模拟信号的频率范围为f0~fh,带宽B=fh - f0.如果f0<B,称之为低通型信号,例如,话音信号就是低通型信号的,弱f0>B,则称之为带通信号,载波12路群信号(频率范围为60~108KHZ)就属于带通型信号。
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
采样定理是美国电信工程师h.奈奎斯特在年提出的,在数字信号处理领域中,采样定理是连续时间信号(通常称为“模拟信号”)和离散时间信号(通常称为“数字信号”)之间的基本桥梁。
该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。
1、采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。
2、在展开演示/数字信号的切换过程中,当取样频率fs.max大于信号中最低频率fmax的2倍时(fs.max\ue2fmax),取样之后的数字信号完备地留存了完整信号中的信息,通常实际应用领域中确保取样频率为信号最低频率的2.56~4倍。
取样定理又称奈奎斯特定理。
3、如果对信号的其它约束是已知的,则当不满足采样率标准时,完美重建仍然是可能的。
在某些情况下(当不满足采样率标准时),利用附加的约束允许近似重建。
这些重建的保真度可以使用bochner定理来验证和量化。
连续时间信号时域抽样定理
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz,带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号
fsam=8kHz 抽样后的频谱。 抽样后的语音信号(不解调)
4. 信号时域抽样理论分析
X(j)
1
-28 -24 -
0
24 28
f
fm=28 kHz
XXX((eeej))
111/TTT
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
T
X [ j( sam )]
...
sam /2
...
sam
m 0 m
sam
4. 信号时域抽样理论分析
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
X (j)
sam 2m
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
信号的抽样间隔T? (4) 若抽样速率过高,如何降低已抽样信号的抽样速率?
4. 信号时域抽样理论分析
单边带信号与窄带高频信号的抽样问题
X (j
m
•••
sam
X(ej
1 T
sam m
•••
m sam
X (j
1
sam 2B
m m+B
0
m-B m
m 1000krad/s, B 8k rad/s
4. 信号时域抽样理论分析
下,信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。 抽样间隔T需满足:
T π m 1 (2 fm )
fsam 2fm (或ωsam 2ωm)
fsam= 2fm 为最小抽样频率,称为Nyquist Rate。
时域采样定理
时域采样定理时域采样定理又称为定时采样定理,是数字信号处理领域中最重要的定理之一,指出了在采样过程中,如果信号频率低于采样频率的一半时才能得到准确的采样信号。
它拓展了萨莫尔定理,指出采样信号的采样频率必须大于信号的最高频率的两倍才能恢复原始信号而不会损失信息,这也被称为萨莫尔-普斯曼定理。
时域采样定理的出现使得数字信号处理成为现实,使无线电广播、电视传输及数字计算机获得发展。
时域采样定理是在1920年由美国科学家奥利弗·萨莫尔发现的。
它将信号采样与信号处理联系起来,这标志着数字信号处理的开始,允许研究者进行数字信号处理,并以较小的介质储存和传输数字信号。
萨莫尔定理的发现的重要性不言而喻,但也有一些缺陷,正是因为这些缺陷在1950年,美国科学家尼尔斯·普斯曼发现了时域采样定理,这就是时域采样定理。
时域采样定理对于理解数字采样是必不可少的。
它指出在采样过程中,如果信号频率低于采样频率的一半时才能得到准确的采样信号,如果信号频率大于采样频率一半则有可能造成失真,即信号被采样之后不能被恢复到原始信号。
根据此定理,在数字信号处理中,时间的步长是采样的基础,也是对信号的采样间隔的重要定义参数。
在采样前,要确定信号频率是否低于采样频率的一半,只有做出这一步才能保证数字信号的准确性,如果信号的频率高于采样频率的一半,则必须采取反采样技术以降低采样频率。
因此,在数字信号处理中,时域采样定理对信号采样是不可或缺的。
时域采样定理有助于理解及处理信号采样相关问题,它使数字信号处理成为可能,并使无线电广播、电视传输及数字计算机成为可能。
现在,它已经发展成为一种重要的技术,在无线传输、数据传输、信号检测和声音录制、处理等方面都有重要的应用。
§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样,是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值,通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号,用 fs (t) 表示。
f (t)
o
t
p(t)
o TS
t
fs (t)
o TS
t
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
则抽样信号的频谱为
Fs ()
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
在矩形脉冲抽样情况下,抽样信号频谱也是周期重复,但在重复过
程中,幅度不再是等幅的,而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系
数 的加权。
一、信号抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
o Ts
t
fs (t)
相
乘
o Ts
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω),即 f (t) F ()
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号,它的频谱为
p(t) Pne jns t P() 2 Pn ( ns )
n
n
其中,s
2
Ts
为抽样角频率,Ts
为抽样间隔 ,
f频 谱s 谱以T是抽1s 原样为连角抽续频样信率频为号率的间,频隔
会相互重叠。这样,抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息, 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ,或者说, f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。 如果 s 2m ,那么原连续信号频谱在周期重复过程中,各频移的频
时域采样定理的内容
时域采样定理的内容时域采样定理是指将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
在数字信号处理中,时域采样定理是非常重要的基础知识,因为它涉及到信号的采样频率和采样周期的选择,对于数字信号的重构和处理有着至关重要的作用。
时域采样定理的基本原理是:一个连续时间信号可以通过对其进行一定的采样,将其转换为一个离散时间信号。
采样频率是指每秒钟采样的次数,采样周期是指两次采样之间的时间间隔。
根据时域采样定理的要求,如果采样频率大于信号最高频率的两倍,那么就可以完全恢复原来的连续时间信号,否则就会出现采样失真的情况。
时域采样定理是数字信号处理中的重要概念,它为我们提供了一种将连续时间信号转换为离散时间信号的方法,从而使得信号可以在计算机等数字设备中进行处理。
在数字信号处理过程中,时域采样定理的应用非常广泛,包括音频处理、图像处理、视频处理等领域。
在音频处理中,时域采样定理被广泛应用于音频编码和解码过程中。
通常情况下,采样频率要高于音频信号的最高频率,以确保信号在采样过程中不会失真。
在音频编码和解码的过程中,我们需要对音频信号进行采样,并将其转换为数字信号,然后对数字信号进行压缩和解压缩,最终得到高质量的音频信号。
在图像处理中,时域采样定理被应用于数字图像的采样和重构过程中。
通过将连续时间图像转换为离散时间图像,我们可以在计算机上对图像进行处理和编辑,从而实现图像的增强和修复等功能。
在数字图像采样和重构的过程中,采样频率和采样周期的选择非常重要,它们直接影响图像的质量和精度。
在视频处理中,时域采样定理被广泛应用于数字视频的采样和重构过程中。
与图像处理类似,数字视频的采样和重构也需要考虑采样频率和采样周期的选择,以确保视频信号在处理过程中不会失真。
通过数字视频的采样和重构,我们可以实现视频的编辑、剪辑、压缩和解压缩等功能。
时域采样定理在数字信号处理中扮演着非常重要的角色,它为我们提供了一种将连续时间信号转换为离散时间信号的方法。
请说明时域采样定理的内容
请说明时域采样定理的内容时域采样定理是一个重要的数字信号处理原理,它允许一个数字信号以较低的采样速率,能够捕捉其在时域上的特征。
简要地说,这个定理指出,可以通过采样一个信号的有限子集,来恢复其原始的信号。
通常,这个定理对于许多数字信号处理技术被广泛应用。
时域采样定理的最早提出者是埃米尔格罗斯曼,1948年在他的文章中提出了这个定理。
他认为,该定理可以用来描述在信号处理领域通常发现的现象。
他的论文被广泛的用于数字信号处理任务,当时的技术已经发展得足够先进,可以让他对数字信号处理原理的理解变得更加深刻。
时域采样定理指出,任何在某种时间帧内进行采样的二进制信号,它的频率必须低于采样速率的一半,才能够被准确地采样和复原。
这条定理通常被称为“半量规则”,也被称为“贝尔定律”,它被广泛应用在数字信号处理领域中。
时域采样定理的另一个重要特性是,在采样过程中,会产生一些信号失真,是以采样频率的增加而增加的。
这就意味着,如果要采样一个更高频率的信号,就必须增加采样频率,来保证信号处理的质量和准确性。
引入的失真可能会影响信号的准确性,尤其是在信号处理过程中。
时域采样定理在数字信号处理技术中发挥着重要作用。
它可以用来采样和处理多种信号,包括声音、视频、图像和电信信号等。
它可以用来采样测试采样精度,以及用于信号处理系统中的过程控制。
在电子系统中,采样和处理信号可以提供一个可靠、有效的信号处理方法,而且它可以节省大量的时间和资源。
时域采样定理的重要性在于,它可以帮助我们了解和控制信号的特性,进而有助于更好地实现相应的信号处理任务。
它还可以作为一种技术平台,来实现多种信号处理任务,其中包括图像处理、低功耗处理、音频处理、模糊控制、机器学习等。
它同样可以用来处理和优化硬件系统,以最小的功耗实现最高的效率。
时域采样定理是一个重要的数字信号处理原理,可以用于处理各种不同类型的信号,并有助于提高信号处理任务的效率。
它的采样可以用来测试采样的精度,并可以用于分析和优化信号性能,以达到最佳的效果。
时域采样定理
时域采样定理简介时域采样定理是一种重要的信号处理理论,它指出:对于一个连续时间的信号,如果以足够高的频率对其进行采样,那么原始信号可以完全通过采样信号进行恢复。
时域采样定理为我们提供了对连续时间信号进行数字化处理的基础。
定理表述时域采样定理最常见的表述是由Shannon在1949年提出的。
它可以表述为:对于一个带宽受限的连续时间信号x(t),如果其最高频率为B,那么我们至少需要以2B的频率对其进行采样,才能够完全还原原始信号。
数学上可以用以下公式表示时域采样定理:$$ x(t) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x(nT_s) \\cdot\\text{sinc}\\left(\\frac{t-nT_s}{T_s}\\right) $$在这个公式中,T s是采样周期,x(nT s)是采样信号,$\\text{sinc}(x)$是sinc函数,其定义为$\\text{sinc}(x) = \\frac{\\sin(\\pi x)}{\\pi x}$。
采样频率根据时域采样定理,我们需要以足够高的频率来对信号进行采样。
采样频率的选择由信号的带宽决定。
带宽是信号中存在的最高频率分量。
为了满足时域采样定理,我们需要采用Nyquist采样频率,即至少为信号带宽的两倍。
这样可以确保采样频率足够高,能够捕捉到信号中所有的频率分量。
采样误差在实际应用中,由于多种因素的影响,我们很难达到理想的采样条件。
采样误差是指由于采样频率不足或其他因素引起的信号失真。
当采样频率在Nyquist采样频率的一定范围内时,信号的恢复误差是可以接受的。
但是一旦采样频率低于Nyquist采样频率的两倍,就会出现采样失真,这将导致信号无法完全还原。
为了减小采样误差,我们可以采用过采样的方式。
过采样即采样频率大于Nyquist采样频率的两倍。
这样可以增加采样点的数量,提高还原信号的精度。
应用领域时域采样定理在许多领域有着广泛的应用。
§3.11 抽样定理
形式 三角形式: 三角形式:单边频谱 指数形式: 指数形式:双边频谱
频谱:离散性,谐波性, 频谱:离散性,谐波性,收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点
二.傅里叶变换
定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱 冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质 周期信号的傅里叶变换: 周期信号的傅里叶变换:由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理 抽样信号的傅里叶变换 抽样定理
�
若信号f(t)是时间受限信号,它集中在 若信号 是时间受限信号,它集中在- tm~ tm的时 是时间受限信号 1 间范围内, 间范围内,若在频域中以不大于 的频率间隔 2tm 的频谱F(ω)进行抽样,则抽样后的频谱 进行抽样, 对f(t)的频谱 的频谱 进行抽样 F1(ω)可以唯一地表示原信号. 可以唯一地表示原信号 说明: 说明:频域抽样间隔 fs ≤
一个频带受限的信号f (t ),若频谱只占据 ωm ~ +ωm
F(ω)
o fS(t)
t
o ωm ωm
1 Fs (ω) Ts
ω
o T S
t
ωs
o ωm ωs
ωs ωm
ω
奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔
重建原信号的必要条件: 重建原信号的必要条件:
ωs ≥ 2ωm 或 fs ≥ 2 fm 2π 2π ωm = 2πfm = ωs = 2πf s =
1 2tm
等间隔抽样,等效于在时域f 在频域F(ω)等间隔抽样,等效于在时域 (t)波形 的周期重复.重复的周期T 的周期重复.重复的周期 s≥2 tm
F(0)
F(ω)
1
(t)
0
F(0)
F (ω) 1
时域抽样定理(final)
双音多频(dual-tone multifrequency, DTMF)信号的产生
852 Hz
941 Hz
7
*
8
0
9
#
0
t
m0 m
3.抽样定理的证明
f (t )
FT
1
F ( j )
相 乘
0
t
(1) Ts (t )
0
m0 m
卷 积
s
FT
( s )
s ( )
s
t
Ts
s
0
f s (t )
FT
0
1 Ts
Fs ( )
t
s m
0
m s
f s (t ) f (t ) Ts (t ) f (t ) (t nTs )
-T
0
T
t
fs(t)
f(t)
t
-T
0
T
2T
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz), 试计算对各信号f(2t), f(t)*f(2t), f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。 解: 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得: 对信号f(2t)抽样时,最小抽样频率为 4fm(Hz); 对f(t)*f(2t)抽样时,最小抽样频率为 2fm(Hz); 对f(t)f(2t)抽样时,最小抽样频率为 6fm(Hz)。
1 , 2 f m m
当抽样间隔 Ts
c m
,时,上式可写为
f (t )
n
f (nTs ) Sa(m (t nTs ))
内插公式
由抽样信号fs(t)恢复连续信号f (t)
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x[k] sin(H n) sin(Ln)
H 2 fH / fs ,L 2 fL / fs
5. 周期脉冲抽样
冲激函数序列在实际中无法取得,实际中,采用周期 脉冲抽样,其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t)* F PTs
(t)
F[
只要其抽样时间间隔Ts
1
2 fm
(s) 。
带限信号即频带有限的信号,其最高频率为fm, 最高角频率ωm=2πfm,即当|ω|>ωm时,F(jω)=0。
f (t)
F( j)
1
0
t
m0 m
3.抽样定理的证明
f (t)
FT
相0
乘 (1) Ts (t)
t
FT
0
fs (t)
Ts
0
t
FT
t
F( j)
1
m0 m
fs (t) f (nTs ) (t nTs )
n
h(t) F 1[H ( j)]
H ( j) Ts p2c ()
应用傅里叶变换的对称性,得到
h(t)
Tsc
Sa(ct)
f (t) fs (t) * h(t)
n
f
(nTs ) (t
nTs
)
*
Tsc
Sa(ct)
Tsc
n
f (nTs ) (t nTs ) * Sa(ct)
1. 带限于m ;
2. s 2m ;
3. m c s m 可取c= s /2
6、抽样定理的实际应用举例
利用离散系统处理连续时间信号
f(t)
f[k]
y[k]
y(t)
A/D
H(z)
D/A
➢电话拨号音合成与识别
6、抽样定理的实际应用举例
电话拨号音的合成与识别
双音多频(dual-tone multifrequency, DTMF)信号的产生
卷
ss ()
积
( s )
s 0
s
1 Fs ( ) Ts
s m 0 m s
fs (t) f (t) Ts (t) f (t) (t nTs ) f (nTs ) (t nTs )
n
n
F
fs (t)
1
2
F
(
j) *s (
n
ns
)
1
Ts
n
F(
j(
ns
))
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
0
t
0
t
1 Fs ( ) Ts
s m
Байду номын сангаас
m
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
F( j)
1
m0 m
m c s m
时域f(t)恢复的讨论
F ( j) Fs ( j) H ( j)
f (t) fs(t) * h(t)
式中,fs(t)为Fs(jω)的傅里叶反变换。
f (t) Tsc
n
f (nTs )Sa(c (t nTs ))
当抽样间隔
Ts
1 2 fm
m
,
c m
f (t) f (nTs )Sa(m (t nTs ))
n
,时,上式可写为
内插公式
由抽样信号fs(t)恢复连续信号f (t)
f (t) f (nTs )Sa(m (t nTs ))
✓ 混叠误差与截断误差比较
Fs ( j)
...
1 T
s
m
0 m
s
Fs ( j)
F ( j)
1
... 0
F1( j)
1
...
1 T
s m
0 m s
m... 0 m
不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fs=44,100 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
抽样脉冲序列为周期冲激序列Ts (t)时,
f (t)
T (t)
fs (t)
(1)
0
t
0
t0
t
Ts
理想抽样
Ts (t) (t nTs ) n
fs (t) f (t) T s (t)
2 . 时域抽样定理
在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限
信号f(t) ,由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定,
对f(t)*f(2t)抽样时,最小抽样频率为 2fm(Hz);
对f(t)f(2t)抽样时,最小抽样频率为 6fm(Hz)。
抽样定理的工程应用
许多实际工程信号不满足带限条件
h(t)
f (t)
抗混
f1(t)
低通滤波器
F ( j)
1
H ( j)
1
F1( j)
1
0
m 0 m m 0 m
抽样定理的工程应用
1927 年 , Nyquist 确 定 了 对 某 一 带 宽 的有限时间连续信号进行抽样,且在抽 样率达到一定数值时,根据这些抽样值 可以在接收端准确地恢复原信号。为不 使原波形产生“半波损失”,采样率至 少应为信号最高频率的2倍,这就是著 名的Nyquist采样定理。
4. f (t) 的恢复
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题
连续信号被取样后,是否保留了原信号的所有 信息?即在什么条件下,可以从取样的信号还原出 原始信号?
1.抽样过程
f (t)
f (t)
fs (t)
fs (t)
t
0
t
抽样器
0
PTs (t )
0
Ts
t
PT s (t) p( t nTs) n
fs (t) f (t) PT s (t)
s 2m
2
Ts
4
fm
1 Ts 2 fm
Ts
1 2 fm
称为奈奎斯特间隔。
1 fs Ts 2 fm 称为奈奎斯特抽样频率。
Nyquist,美国物理学家,1889年出 生在瑞典。1976年在Texas逝世。他对 信息论做出了重大贡献。1907年移民到 美国并于1912年进入北达克塔大学学习。 1917年在耶鲁大学获得物理学博士学位。 1917~1934年在AT&T公司工作,后转 入Bell电话实验室工作。
1
Sa(mt)
n
-T 0 T
t
f(t)
fs(t)
t
-T 0 T 2T
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz), 试计算对各信号f(2t), f(t)*f(2t), f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解: 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得:
对信号f(2t)抽样时,最小抽样频率为 4fm(Hz);
fs (t)]
1
2
F (
j)
*
2
TS
n
Sa
ns
2
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F (
j) *
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F[
j(
ns )]
总结:
抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵 循抽样定理,一个连续时间信号就可以由其样本值来 表征。
将抽样定理进一步分解,则要将连续时间信号离 散化必须满足三个条件: