3.2 3.2.2 第二课时 对数函数的图象及其性质的应用

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题点二：含参的对数型复合函数的单调性 2．求函数 f(x)＝loga(x2＋1)(a＞0 且 a≠1)的单调减区间．
解：∵x2＋1＞0， ∴设 g(x)＝x2＋1，则 g(x)在(－∞，0)上是减函数， 在(0，＋∞)上是增函数． 又当 a＞1 时，y＝logag(x)在定义域上是增函数，故此时 f(x)＝loga(x2＋1)的减区间为(－∞，0)． 当 0＜a＜1 时，y＝logag(x)在定义域上是减函数， 故此时 f(x)＝loga(x2＋1)的减区间为(0，＋∞)． 综上，当 a＞1 时，f(x)的减区间为(－∞，0)；当 0＜a＜ 1 时，f(x)的减区间为(0，＋∞)．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十六)” (单击进入电子文档)
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(1)对数复合函数单调性要从三个方面着手：①外函 数单调性；②内函数单调性；③真数大于 0 恒成立．
(2)求复合函数的单调区间时，要特别注意定义域．
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题点三：已知对数型函数的单调性，求参数值(或范围)
3．已知函数 y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，求实数 a 的取值
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(2)y＝log3x―将―保 x―轴留―下―x方轴―图上―象方―翻的――折图―上象―去→y＝|log3x|.
由图象知，y＝|log3x|的单调增区间为(1，＋∞)，单 调减区间为(0,1)．
(3)y＝log3x―关―于―y―轴―对―称→y＝log3(－x)．
由图象知，y＝log3(－x)的单调减区间为(－∞，0)．
(4)y＝f(x)关――于―x轴―对―→称 y＝－f(x)．
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[活学活用] 1．为了得到函数 y＝lgx＋ 103的图象，只需把函数 y＝lg x 的图象
上所有点________． 解析：由 y＝lgx＋ 103得 y＝lg(x＋3)－1， 因此，只要把 y＝lg x 图象向左平移 3 个单位，再向下平 移 1 个单位即可． 答案：向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位
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3．函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 答案：－12，＋∞
4．函数 y＝ln(x2＋1)的值域是________． 答案：[0，＋∞)
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对数函数的图象变换
[典例] 说明下列函数的图象与对数函数 y＝log3x 的图象的关系，并画出它们的示意图，由图象写出它们 的单调区间．
∴a＝2 或12. 答案：2 或12
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对数型函数性质的综合应用 题点一：对数型函数的奇偶性与单调性 1．已知 f(x)＝log211＋－xx.
(1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)判断 f(x)的单调性，并证明． 解：(1)由11＋－xx＞0，得11－＋xx＞＞00.， 或11－＋xx＜＜00.， 解得－1＜x＜1，∴f(x)定义域为(－1,1)．
(1)y＝log3|x|；(2)y＝|log3x|；(3)y＝log3(－x)； (4)y＝－log3x.
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[解] (1)y＝log3x并―保作―留关―y轴―于―右y轴―边的―的对―图―称象―图，→象y＝log3|x|.
由图象知，y＝log3|x|的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区 间为(－∞，0)．
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(2)∵f(－x)＝log211－＋xx＝log211＋ －xx－1 ＝－log211＋－xx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (3)设 x1，x2∈(－1,1)，且 x1＜x2， 则11＋ －xx11－11＋ －xx22＝1－2xx11－1x－2x2， ∵－1＜x1＜x2＜1，∴(1－x1)(1－x2)＞0， 而 x1－x2＜0，∴0＜11＋ －xx11＜11－＋xx22， ∴log211＋ －xx11＜log211－＋xx22，即 f(x1)＜f(x2)． 故 f(x)在(－1,1)上单调递增．
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[小试身手]
1．函数 y＝loga(x－2)＋1 的图象是由 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图 象 向 ________ 平 移 ________ 个 单 位 ， 再 向 ________ 平 移 ________个单位得到． 答案：右 2 上 1
2．函数 f(x)＝lg|x－1|＋lg|x＋1|的奇偶性是________． 答案：偶函数
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2．作出函数 y＝|log2(x－1)|的图象，并求出函数的单调区间及 最值． 解：把函数 y＝log2x 的图象向右平移 1 个单位，再把所得图象在 x 轴下方的部 分翻折到 x 轴上方，得到 y＝|log2(x－ 1)|的图象如图所示． 当 x∈[2，＋∞)时，为增函数； 当 x∈(1,2]时，为减函数； 当 x＝2 时，y 有最小值 0.
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对数型函数的值域与最值 [典例] 设 x∈[2 2，8]，求函数 f(x)＝log2x2log2x8的最 大、最小值． [解] ∵f(x)＝(log2x－1)(log2x－3) ＝(log2x)2－4log2x＋3＝(log2x－2)2－1. ∵2 2≤x≤8，∴32≤log2x≤3. ∴当 log2x＝2，即 x＝4 时，ymin＝－1； 当 log2x＝3，即 x＝8 时，ymax＝0.
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3．2.2 对数函数
第二课时 对数函数的图象及其性质的应用
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预习课本 P84～85，思考并完成以下问题 (1)函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图象和 y＝loga(x＋b)及 y＝loga(x－b)(b＞0)的图象有何位置关系？ (2)函数 y＝loga|x|图象有什么性质？
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解决对数型函数的最值或值域，关键是根据对数函 数的单调性求解．解决此类问题通常会通过换元转化成 复合函数的单调性或转化为一次函数、二次函数来处理．
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[活学活用]
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1．函数 y＝log 1 (－x2＋8)的值域为________． 2 解析：设 u＝－x2＋8，则 0＜u≤8，
范围． 解：∵由对数函数 y＝logax，得底数 a＞0 且 a≠1.
∴u＝3－ax 在[0,1]上是减函数．
又∵f(x)在[0,1]上是减函数，
∴y＝logau 是增函数，从而有 a＞1.
①
又∵u＝3－ax＞0 在[0,1]上恒成立，
∴umin＝u(1)＝3－a＞0，解得 a＜3.
②
综合①②可得 1＜a＜3.故实数 a 的取值范围为(1,3)．
∴y＝log 1 u≥－3. 2
答案：[－3，＋∞)
2．函数 y＝logax，x∈[2,4]，a>0 且 a≠1，若此函数的最大
值比最小值大 1，则 a＝________.
解析：当 a>1 时，loga4－loga2＝1，解得 a＝2， 当 0<a<1 时，loga2－loga4＝1，解得 a＝12.
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(4)y＝log3x―关―于―x―轴―对―称→y＝－log3x.
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由图象知，y＝－log3x 的单调减区间为(0，＋∞)．
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按函数图象的平移、翻折变换作图，作出基本函数 y＝f(x)图象．一般地：
(1)y＝f(x)并―保作―留关―y轴―于―右y轴―边的―的对―图―称象―图，→象y＝f(|x|)； (2)y＝f(x)将―保x―留 轴―下x―轴方―上图―方象―的翻―图―折象―上，→去y＝|f(x)|； (3)y＝f(x)关――于―y轴―对―→称 y＝f(－x)；