天津市静海县2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析

天津市静海县2019-2020学年中考数学一模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）
A．43B．42C．6 D．4
2．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）
A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm
3．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A．3
2
B．3 C．1 D．
4
3
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）
A．63B．123C．183D．243
5．一、单选题
在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列各数中比﹣1小的数是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．1
8．研究表明某流感病毒细胞的直径约为0.00000156m ，用科学记数法表示这个数是（ ）
A ．0.156×10－5
B ．0.156×105
C ．1.56×10－6
D ．1.56×106
9．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ）
A ．（2，-3）
B ．（-3,3）
C ．（2,3）
D ．（-4,6）
10．4的平方根是（ ）
A ．2
B ．±2
C ．8
D ．±8
11．某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（ ）
A ．50.5～60.5 分
B ．60.5～70.5 分
C ．70.5～80.5 分
D ．80.5～90.5 分
12．如图，两个反比例函数y 1＝
1k x
（其中k 1＞0）和y 2＝3x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）
A 3：1
B ．23
C ．2：1
D ．29：14
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：4a 3b ﹣ab ＝_____．
14．计算（2a ）3的结果等于__．
15．若关于x 的方程2x m 2x 22x
++=--有增根，则m 的值是 ▲ 16．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则
1211+x x 的值等于______．
17．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
18．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知一次函数y=3
2
x﹣3与反比例函数
k
y
x
=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交
于点B．
填空：n的值为，k的值为；以AB为边作菱形ABCD，使点C
在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；考察反比函数
k
y
x
=的图象，当2
y≥-时，请直接
写出自变量x的取值范围．
20．（6分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 35 22 15 18 18 31 31 19 22
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量平均数众数中位数
数值23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：上表中众数m的值为；为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
21．（6分）先化简代数式
2
2
321
(1)
24
a a
a a
-+
-÷
+-
，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值
代入求值．
22．（8分）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
23．（8分）计算：3tan30°+|23﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.
24．（10分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a 元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10），请你结合表格和图象，回答问题：
购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3
付款金额y（元） a 7.5 10 12 b
（1）由表格得：a= ；b= ；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？
25．（10分）如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D
的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．
26．（12分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP＝AD．求证：PD＝AB．如图（2），若在“完
美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E，当BE
CE
的值是多少时，△PDE 的周长最小？如图（3），点Q 是
边AB 上的定点，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F，连接CF，G 为CF 的中点，M、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM＝CN，MN 与DF 相交于点H，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．
27．（12分）如图①，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，点M为¼
ACB上一动点（不包括
A ，
B 两点），射线AM 与射线E
C 交于点F ．
（1）如图②，当F 在EC 的延长线上时，求证：∠AMD ＝∠FMC ．
（2）已知，BE ＝2，CD ＝1．
①求⊙O 的半径；
②若△CMF 为等腰三角形，求AM 的长（结果保留根号）．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
由已知条件可得ABC DAC ~V V ,可得出
AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】
解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~V V ，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC
=，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=2, 故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．
2．D
【解析】
【分析】先求AC,再根据点D 是线段AC 的中点，求出CD ，再求BD.
【详解】因为，AB=10cm ，BC=4cm ，
所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm ）
因为，点D 是线段AC 的中点，
所以，CD=3cm,
所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm ）
故选D
【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.
3．A
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D′EC ，设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4﹣x ）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC ≌△D′EC ，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，
在Rt △AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE 2，即22+x 2=（4﹣x ）2，
解得：x=32
故选A.
4．C
【解析】 连接CD ，交MN 于E ，
∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，
∴MN ⊥CD ，且CE=DE ．∴CD=2CE ．
∵MN ∥AB ，∴CD ⊥AB ．∴△CMN ∽△CAB ．
∴2CMN CAB S CE 1S CD 4
∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． ∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=3CMN 11S ?CM CN 62?3?6?322∆=
⋅=⨯⨯=∴CAB CMN S 4S 46?3?24?3∆∆==⨯=． ∴CAB CMN MABN S S S 24?36?
318?3∆∆=-==四边形C ． 5．C
【分析】
由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】
由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．
故选C．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6．B
【解析】
【分析】
根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形．
【详解】
从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：
故选B．
【点睛】
考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
7．A
【解析】
【分析】
根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【详解】
解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；
B、﹣1＝﹣1，故B错误；
C、0＞﹣1，故C错误；
D、1＞﹣1，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数
8．C
【解析】
解：，故选C. 9．A
【解析】
【分析】
设反比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比
例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．【详解】
设反比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6，
而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，
∴点（2，-3）在反比例函数y=-6
x
的图象上．
故选A．【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象
上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10．B
【解析】
【分析】
依据平方根的定义求解即可．
【详解】
∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
11．C
【解析】
分析：由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21
个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，据此可得．
详解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6=40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5～80.5分．故选C ．
点睛：本题主要考查了频数（率）分布直方图和中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．A
【解析】
试题分析：首先根据反比例函数y 2=3x 的解析式可得到ODB OAC S S V V =12×3=32
，再由阴影部分面积为6可得到PDOC S 矩形=9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=6x ，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕AC=3． 故选A ．
考点：反比例函数系数k 的几何意义
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．ab(2a+1)(2a-1)
【解析】
【分析】
先提取公因式再用公式法进行因式分解即可.
【详解】
4a 3b- ab= ab(4a 2-1)=ab(2a+1)(2a-1)
【点睛】
此题主要考查因式分解单项式，解题的关键是熟知因式分解的方法.
14．8
【解析】
试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可
考点：(1)、幂的乘方；(2)、积的乘方
15．1．
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x －2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使 最简公分母等于1的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值：
方程两边都乘以（x －2）得，2－x －m=2（x －2）．
∵分式方程有增根，∴x －2=1，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．
16．1．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】 解：根据题意得1232x x +=-，1212
x x =-， 所以1211+x x =1212x x x x +=3212-
-=1． 故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若1x 、2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a
+=-，12c x x a
=
． 17．0<m ＜132 【解析】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx 得，
﹣5=12k ，
∴k=﹣
512
； 由y=﹣512x 平移m （m ＞0）个单位后得到的直线l 所对应的函数关系式为y=﹣512x+m （m ＞0）， 设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如图所示）
当x=0时，y=m ；当y=0时，x=125
m ， ∴A （
125
m ，0），B （0，m ）， 即OA=125m ，OB=m ， 在Rt △OAB 中，
135m ==， 过点O 作OD ⊥AB 于D ，
∵S △ABO =12OD•AB=12OA•OB ， ∴12OD•135m =12×125
m×m ， ∵m ＞0，解得OD=1213
m ， 由直线与圆的位置关系可知1213m ＜6，解得m ＜132
， 故答案为0<m ＜132.
【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了. 18．1．
【解析】
【分析】
由CD ⊥AB ，根据垂径定理得到AD ＝DB ＝8，再在Rt △OAD 中，利用勾股定理计算出OD ，则通过CD ＝O C−OD 求出CD ．
【详解】
解：∵CD ⊥AB ，AB ＝16，
∴AD ＝DB ＝8，
在Rt △OAD 中，AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，
∴OD 2222OA AD 108-=-＝6，
∴CD ＝OC ﹣OD ＝10﹣6＝1（m ）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19． (1)3，1；133)；(3) x 6≤-或x 0>
【解析】
【分析】
（1）把点A（4，n）代入一次函数y=3
2
x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数
k
y
x
=，
得到k的值为1；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，3），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=13，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x的取值范围．
【详解】
解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=3
2
x-3，可得n=
3
2
×4-3=3；
把点A（4，3）代入反比例函数
k
y
x
=，可得3=
4
k
，
解得k=1．
（2）∵一次函数y=3
2
x-3与x轴相交于点B，
∴3
2
x-3=3，
解得x=2，
∴点B的坐标为（2，3），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，3），
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE-OB=4-2=2，
在Rt△ABE中，
2222
31
23
AE BE
++
==
∵四边形ABCD是菱形，
∴13AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=93°，
在△ABE 与△DCF 中，
AEB DFC ABE DCF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCF （ASA ），
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴
∴点D 的坐标为（
3）．
（3）当y=-2时，-2=12x
，解得x=-2． 故当y≥-2时，自变量x 的取值范围是x≤-2或x ＞3．
20． (1)18；（2）中位数；（3）100名.
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m 的值；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
【详解】（1）由图可得，
众数m 的值为18，
故答案为：18；
（2）由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
（3）300×11231230
+++++=100（名）， 答：该部门生产能手有100名工人．
【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．21
a a --，2 【解析】
试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a 的值时，不能使原分式没有意义，即a 不能取2和－2.
试题解析：原式=232a a +-+·2(2)(2)(1)a a a +--=21
a a --
当a=0时，原式=
2
1
a
a
-
-
=2.
考点：分式的化简求值.
22．10
【解析】
试题分析：根据相似的性质可得：1:1.2=x：9.6，则x=8，则旗杆的高度为8+2=10米.
考点：相似的应用
23．1.
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
3tan31°+|2|﹣（3﹣π）1﹣（﹣1）2118
1﹣1
=1﹣1
=1．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握绝对值的性质以及特殊角的三角函数值.
24．（1）5,1 （2）当0＜x≤2时，y=5x，当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2 （3）1.6元.
【解析】
【分析】
（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出b值；
（2）分段函数，当0≤x≤2时，设线段OA的解析式为y＝kx；当x＞2时，设关系式为y＝k1x＋b，然后将（2，10），且x＝3时，y＝1，代入关系式即可求出k，b的值，从而确定关系式；
（3）代入（2）的解析式即可解答．
【详解】
解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，
∵10÷2＝5，
∴a＝5，b＝2×5＋5×0.8＝1．
故答案为a ＝5，b ＝1．
（2）当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ，
∵y ＝kx 的图象经过（2，10），
∴2k ＝10，解得k ＝5，
∴y ＝5x ；
当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝1k x ＋b
∵y ＝kx+b 的图象经过点（2，10），且x ＝3时，y ＝1，
11
210314k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，解得142k b =⎧⎨=⎩， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y ＝4x ＋2．
∴y 关于x 的函数解析式为：()
50242(2)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩ ；
（3）甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x ＝8，解得x ＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；
如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子（1.6＋4）＝5.6千克，这时总费用为：y ＝4×
5.6＋2＝24.4元． （8＋4×4＋2）−24.4＝1.6（元）．
答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键．注意：求正比例函数，只要一对x ，y 的值就可以；而求一次函数y ＝kx ＋b ，则需要两组x ，y 的值．
25．39米
【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ， 在Rt △ADE 中，利用三角函数求出 DE 的长，在Rt △ACE 中，求出 C E 的长即可得.
【详解】
解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，
由题意得，AE= BC=28，∠EAD ＝25°，∠EAC ＝43°，
在Rt △ADE 中，∵tan DE EAD AE
∠=
，∴tan25280.472813.2DE =︒⨯=⨯≈， 在Rt △ACE 中，∵tan CE EAC AE ∠=，∴tan43280.932826CE =︒⨯=⨯≈， ∴13.22639DC DE CE =+=+≈（米），
答：建筑物CD 的高度约为39米．
26．（1）证明见解析（2）22
2
-
（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；
（3）GH=2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到
△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．
【详解】
（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=2a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵PA=AD=BC=a，
∴PD=22
AD PA
+=2a，
∵AB=2a，
∴PD=AB；
（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，
连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，
设AD=PA=BC=a，则有2a，
∵BP=AB-PA，
∴2a-a，
∵BP′∥CD，
∴
2
2
BE BP
CE CD
===；
（3）
由（2）可知BF=BP=AB-AP，
∵AP=AD，
∴BF=AB-AD，
∵BQ=BC，
∴AQ=AB-BQ=AB-BC，
∵BC=AD，
∴AQ=AB-AD，
∴BF=AQ，
∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB，
∵AB=CD，
∴QF=CD，
∵QM=CN，
∴QF-QM=CD-CN，即MF=DN，
∵MF∥DN，
∴∠NFH=∠NDH，
在△MFH和△NDH中，
{
MFH NDH
MHF NHD
MF DN
∠∠
∠∠
＝
＝
＝
，
∴△MFH≌△NDH（AAS），
∴FH=DH，
∵G为CF的中点，
∴GH是△CFD的中位线，
∴GH=
1
2
CD=
1
2
×
【点睛】
此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
27．（1）详见解析；（2）2；②1
【解析】
【分析】
（1）想办法证明∠AMD＝∠ADC，∠FMC＝∠ADC即可解决问题；（2）①在Rt△OCE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
②分两种情形讨论求解即可.
【详解】
解：（1）证明：如图②中，连接AC、AD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠AMD＝∠ACD，
∴∠AMD＝∠ADC，
∵∠FMC+∠AMC＝110°，∠AMC+∠ADC＝110°，
∴∠FMC＝∠ADC，
∴∠FMC＝∠ADC，
∴∠FMC＝∠AMD．
（2）解：①如图②﹣1中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝2．
②∵∠FMC＝∠ACD＞∠F，
∴只有两种情形：MF＝FC，FM＝MC．
如图③中，当FM＝FC时，易证明CM∥AD，
∴·¶
AM CD
=，
∴AM＝CD＝1．
如图④中，当MC＝MF时，连接MO，延长MO交AD于H．
∵∠MFC＝∠MCF＝∠MAD，∠FMC＝∠AMD，
∴∠ADM＝∠MAD，
∴MA＝MD，
∴··
AM MD
=，
∴MH⊥AD，AH＝DH，
在Rt△AED中，AD22
4845
+=
∴AH＝25
∵tan∠DAE＝OH DE1 AH AE2
==，
∴OH5
∴MH＝5
在Rt△AMH中，AM22
(25)(55)50105
++=+
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握与圆有关的性质、圆的内接正方形的性质和旋转的性质；灵活利用全等三角形的性质；会利用面积的和差计算不规则几何图形的面积．。