作业答案-第5章-2010数逻

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数电第五章习题答案精编版

5.4 对于图P5.4电路，试导出其特征方程并说明对A、B的取值有无约束条件。

Q图P5.11P5.125.12 画出图P5.12电路中Q 1、Q 2 的波形。

解：特征方程为：，Q 端波形如图P5.12所示。

=[D]·CP 1,Q 1n+1Q 2n+1= Q 1n[]·CP 2图P5.14 图P5.155.15 画出图P5.15电路中Q 端的波形。

解：Q 端波形如图P5.15所示。

5.16 试作出图P5.16电路中Q A 、Q B 的波形。

解：特征方程为：，，Q 端波形如图P5.16所示。

图P5.16 图P5.17Q A n+1= Q B n[]·A Q B n+1= Q A n []·BA R DB Q A Q BR D CP CP ⊕Q 2Q 1Q 25.17 试作出图P5.17电路中Q 1、Q 2 的波形。

解：特征方程为：，，Q 端波形如图P5.17所示。

5.18 试作出图P5.18电路中Q 1和Q 2的波形（设Q 1和Q 2的初态均为“0”），并说明Q 1和 Q 2对于CP 2各为多少分频。

解：特征方程为：，，Q 端波形如图P5.18所示。

Q 1和Q 2对于CP 2都是4分频，即图P5.18 图P5.195.19 已知电路如图P5.19，试作出Q 端的波形。

设Q 的初态为“0”。

解：特征方程为：，Q 端波形如图P5.19所示。

5.20 已知输入u I 、输出u O 波形分别如图P5.20所示，试用两个D 触发器将该输入波形u I 转换成输出波形u O 。

解：输出u O 是对输入u I 的4分频，而采用1个DFF 可实现2分频，故实现电路如图P5.20所示。

图P5.205.21 试分别用公式法和列表图解法将主从SR 触发器转换成JK 触发器。

解1：Q 1n+1= Q 1n []·(CP ⊕Q 2)Q 2n+1= Q 2n []·Q 1?)?,(2221==CP Q CP Q f f f f Q 1n+1= Q 1n []·CP 1Q 2n+1= ·Q 2n []·CP 2Q 1n CP 2CP 1Q 1Q 241,412221==CP Q CP Q f f f f Q n+1= [ A ]·CP CP A Qu Iu OQ n+1=S+RQ n SR =0Q n+1=JQ n +KQn令新老触发器的次态方程相等，则有S=JQ n ，R=K但不满足约束条件SR =0。

第五章习题答案_

5.2.证性质5.1(2)：对于有向图，每条边有两个端，它们和边的关系不同。

()v Vd v +∈∑是按端来计数，恰好将每条边计数一次。

()v Vd v -∈∑类似。

所以有()()v Vv Vd v dv m +-∈∈==∑∑。

证性质5.6：首先()2v Vd v m n δ∈=≥∑ ，所以2m nδ≤。

一定存在某个端，它的度为δ，则与该端关联的边构成一个大小为δ的割边集，所以βδ≤。

考虑一个大小为β的割边集，将每条边换成它的邻端，这是一个大小最多为β的割端集，所以αβ≤。

综上，2m nαβδ≤≤≤。

5.4.证明：考虑树(,),||,||1T V E V n E n ===-。

某个端不妨设为n v ，()()n d v T =∆。

考虑其余1n -个端121,,,n v v v - ，如果悬挂点最多只有()1T ∆-个，则：1()()(()1)12[(1)(()1)]()()122()21nii d v T T n T T T n T n =≥∆+∆-⨯+⨯--∆-=∆+∆-+-∆=-∑但等式左边22n =-，矛盾。

所以T 中至少有()T ∆个悬挂点。

5.6.2(1)(1)(1)(1)11110011110()detdet1111n n n n n n n n n t K n n n --⨯--⨯----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦3()(2)n n t K e n n--=-5.7 (),(1)(1)(1)(1)01()det 010n n n m m m n m n m m m t K nn ⨯-⨯-+-⨯+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦将第1,2,,1n n n m +++- 列加到第1列，再将第1列加回，得：(),(1)(1)(1)(1)(1)()1(1)(1)(1)(1)(1)1011()det 010010101det 010010n n n m m n m m n m n m n n m n m nm m n m n m m t K n n m nmn n ⨯-⨯-⨯-+-⨯+-⨯--⨯-⨯-+-⨯+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1-5.8.用Kruskal 算法：依次选的边为：(3,6)，(1,3)，(6,7)，(1,2)，(5,6)，(1,4)用破圈法：依次去掉的边为：(2,7)，(4,5)，(2,3)5.10. （1）用D 算法：v1 v2 v3 v4 v5 v6 置定端距离路由 0 1 0 1 9.2 1.1 3.5 3 1.1 1 9.2 3.5 2.95 2.9 3 9.2 3.5 8 4 3.5 1 9.2 86 8 5 9.229.21（2）用F 算法：(0)0.09.2 1.1 3.51001001.30.0 4.71007.21002.51000.0100 1.8100100100 5.30.0 2.47.5100 6.4 2.28.90.0 5.17.7100 2.7100 2.10.0W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(0)111111222222333333444444555555666666R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (6)0.09.2 1.1 3.5 2.981.30.0 2.4 4.8 4.29.32.58.20.0 6.0 1.8 6.97.18.8 4.60.0 2.47.54.7 6.4 2.28.20.0 5.15.28.52.78.72.10.0W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(6)111135221135353135355444355155356166R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦v2到v4：v2到v1到v4，距离为4.8 v1到v5：v1到v3到v5，距离为2.9（3）9.2,9.3,8.2,8.8,8.2,8.7i t =，图的中心为v3/v5 24.7,22,25.4,30.4,26.6,27.2i s =，图的中点为v2（4）若端有权，则将端的权值除以2加到其各边的权上，再用F 算法。

数理逻辑参考答案

以下是参考答案。

对于较长的答案，只要回答出要点即可。

每题10分。

酌情评分。

1（A）、答案：300元。

源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。

1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。

2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。

另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。

剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。

2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。

因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。

(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。

(2)亚当：布拉德说的是真话。

(3)亚当：科尔在撒谎。

(3)布拉德：科尔在撒谎。

对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。

(2)科尔：亚当是无辜的。

(3)亚当：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ，这是不可能的。

如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。

根据Ⅱ，这也是不可能的。

因此，A是不可能的。

对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。

(2)亚当：亚当有罪。

(3)布拉德：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ。

数字逻辑(科学出版社第五版)课后习题答案综述

第一章开关理论基础1.将下列十进制数化为二进制数和八进制数十进制二进制八进制49 110001 6153 110101 65127 1111111 177635 1001111011 11737.493 111.1111 7.7479.43 10011001.0110111 231.3342.将下列二进制数转换成十进制数和八进制数二进制十进制八进制1010 10 12111101 61 751011100 92 1340.10011 0.59375 0.46101111 47 5701101 13 153.将下列十进制数转换成8421BCD码1997=0001 1001 1001 011165.312=0110 0101.0011 0001 00103.1416=0011.0001 0100 0001 01100.9475=0.1001 0100 0111 01014.列出真值表，写出X的真值表达式A B C X0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 X=A BC+A B C+AB C+ABC5.求下列函数的值当A,B,C为0,1,0时：A B+BC=1(A+B+C)(A+B+C)=1(A B+A C)B=1当A,B,C为1,1,0时：A B+BC=0(A+B+C)(A+B+C)=1(A B+A C)B=1当A,B,C为1,0,1时：A B+BC=0(A+B+C)(A+B+C)=1(A B+A C)B=06.用真值表证明下列恒等式(1) (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)A B C (A⊕B)⊕C A⊕(B⊕C)0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1所以由真值表得证。

（2）A⊕B⊕C=A⊕B⊕CA B C A⊕B⊕C A⊕B⊕C0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 07.证明下列等式（1） A+A B=A+B证明：左边= A+A B =A(B+B )+A B =AB+A B +A B =AB+A B +AB+A B =A+B =右边(2) ABC+A B C+AB C =AB+AC证明：左边= ABC+A B C+AB C = ABC+A B C+AB C +ABC =AC(B+B )+AB(C+C ) =AB+AC =右边（3） E D C CD A C B A A )(++++=A+CD+E 证明：左边=E D C CD A C B A A )(++++ =A+CD+A B C +CD E =A+CD+CD E =A+CD+E =右边（4） C B A C B A B A ++=C B C A B A ++证明：左边=C B A C B A B A ++=C B A C AB C B A B A +++)( =C B C A B A ++=右边8.用布尔代数化简下列各逻辑函数表达式9.将下列函数展开为最小项表达式 (1) F(A,B,C) = Σ(1,4,5,6,7)(2) F(A,B,C,D) = Σ(4,5,6,7,9,12,14) 10.用卡诺图化简下列各式（1）C AB C B BC A AC F +++=化简得F=C(2)C B A D A B A D C AB CD B A F++++=F=D A B A +（3） F(A,B,C,D)=∑m (0,1,2,5,6,7,8,9,13,14)化简得F=D BC D C A BC A C B D C ++++(4) F(A,B,C,D)=∑m (0,13,14,15)+∑ϕ(1,2,3,9,10,11)化简得F=AC AD B A ++11.利用与非门实现下列函数，并画出逻辑图。

2010参考答案及详细解析

参考答案及详细解析第一部分数量关系．．［解析］本题为立方修正数列，，，，，，，（），所以选择选项。

．．［解析］本题为平方递推数列，，，，，（），最后计算直接用尾数判断即可，所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列。

×，×，×，×，×（）。

所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列，与年国考题第一个数字推理题规律相同。

从第三项开始，递推式为（）×。

或者用乘法拆分，分别为：×，×，×，×，×，下一项为×。

故选。

．．［解析］本题为递推数列，递推式为×（），≥。

故选。

．．［解析］本题为几何类题目。

因为正三角形和一个正六边形周长相等，又正三角形与正六边形的边的个数比为︰，所以其边长比为︰，正六边形可以分成个小正三角形，边长为的小正三角形面积：边长为的小正三角形面积︰。

所以正六边形面积：正三角形的面积×。

所以选。

．．［解析］原答案选是错的，应选，解析您自己想。

．．［解析］假设甲阅览室科技类书籍有本，文化类书籍有本，则乙阅读室科技类书籍有本，文化类书籍有本，由题意有：（）（），解出，则甲阅览室有科技类书籍本。

．．［解析］本题为工程类题目。

设总工程量为，则甲的效率是，乙的效率是，工作小时后，完成了。

第小时甲做了，完成了总工程量，剩余的由乙在第十四小时完成。

在第十四小时里，乙所用的时间是小时，所以总时间是小时。

．．［解析］本题为概率类题目。

假设甲、乙分别在分钟之内到达约会地点的情况如下图，则只有在阴影部分区域甲乙能够相遇，也就是求阴影部分面积的比例。

很容易看出，阴影部分的面积为。

．．【解析】为了使此人坐下后身边总有人，则原来长椅上除了首尾两个位置，中间的最大空位不能超过个，首尾两个位置的最大空位数不能超过个。

设第一个座位上有人，则每三个座位上有人，所以从第个座位到第个座位共有人，而最后边上的两个座位必须再坐一个人，才能保证此人坐下后身边总有人，所以至少有人。

高等数学课后习题及参考答案第五章

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n i i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22012-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解942394194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk kk k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(l i m )(l i m 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(2ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(1111121010021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--23cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-23cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023023202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11111211)1(111xxdt t dt t tx dx , 而⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x xdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰32sin ππdx xx;解343432sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰02cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==022020202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-102)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 3831=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

数值分析第五版第5章习题答案

第5章
）矩阵行列式的值很小。

）矩阵的范数小。

）矩阵的范数大。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，
∞
•可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。

对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）|| A ||1 = || A T||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。

答：正确。

A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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2020_2021学年高中数学第五章数列5.5数学归纳法课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册20

第五章数列5.5数学归纳法课后篇巩固提升基础达标练1.(2020巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于()A.1B.2C.3D.03,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.2.设S k=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k,则S k+1为()A.S k+12k+2B.S k+12k+1+12k+2C.S k+12k+1−12k+2D.S k+12k+2−12k+1,则由S k=1k+1+1k+2+…+12k,①得S k+1=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12(k+1).②由②-①,得S k+1-S k=12k+1+12(k+1)−1k+1=1 2k+1−12(k+1).故S k+1=S k+12k+1−12(k+1).3.(2020宁波高二月考)用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+13n≥56时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是()A.13k+1+13k+2+13k+3B.13k+1+13k+2−23k+3C.13k+3−1k+1D.1n=k时,左边为1k+1+1k+2+…+13k,当n=k+1时,左边为1k+2+1k+3+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3,所以左边需添加的项是13k+1+13k+2+13k+3−1k+1=13k+1+13k+2−23k+3,选B.4.用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n+2(n ∈N +)”时,第一步的验证为 .n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立5.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n )=2n-1·(n 2+n )时,从n=k 到n=k+1左边需要添加的因式是 .n=k 时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k ),当n=k+1时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k )(k+1+k+1), 由k 到k+1需添加的因式为2k+2.k+26.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n 2-n (n ∈N +).当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k (k ≥1,k ∈N +)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k 2-k. 则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k 2-k+(4k+1) =2k 2+3k+1=2(k+1)2-(k+1). 所以当n=k+1时,命题成立. 综合(1)(2)可知,原命题成立.7.(2020江西南昌二中高二期末)数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n =S n +1S n-2(n ∈N +).(1)求S 1,S 2,S 3,S 4的值;(2)猜想数列{S n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.当n=1时,∵a 1=S 1=S 1+1S 1-2,∴S 1=12.又a 2=S 2-S 1=S 2+1S 2-2,∴S 2=23,同理S 3=34,S 4=45.(2)猜想S n =nn+1(n ∈N +).下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k (k ∈N +,k ≥1)时结论成立,即S k =kk+1,当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k =S k+1+1Sk+1-2,∴1Sk+1=2-S k .∴S k+1=12-S k=12-kk+1=k+1k+2,即当n=k+1时结论成立.由①②,知S n=nn+1对任意的正整数n都成立.能力提升练1.利用数学归纳法证明1n +1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是()A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.增加了12k+1和12k+2两项,同时减少了1k这一项D.以上都不对n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k++1+…+12k ;当n=k+1时,左端为1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2,对比两式,可得结论.2.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是() A.P(7)一定不成立 B.P(5)可能成立C.P(2)一定不成立D.P(4)不一定成立P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C.3.(2020浙江诸暨中学高二月考)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.9C.36D.6f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).∵3k-1-1是2的倍数,∴18(3k-1-1)能被36整除,∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值为36.4.数列{a n }中,已知a 1=2,a n+1=a n3a n +1(n ∈N +),依次计算出a 2,a 3,a 4后,归纳、猜想得出a n 的表达式为 .1=2,a 2=27,a 3=213,a 4=219,猜测a n =26n -5. n =26n -5 5.(2020北京人大附中高二期中)已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N +),用数学归纳法证明f (2n )>n2,请补全证明过程:(1)当n=1时,f (21)=1+12>12. (2)假设n=k 时命题成立,即f (2k )>k 2,则当n=k+1时,f (2k+1)=f (2k )+ >k+12,即当n=k+1时,命题成立.综上所述,对任意n ∈N +,都有f (2n )>n2成立.f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N +),所以f (2n )=1+12+13+…+1n+…+12n .所以当n=k 时,f (2k )=1+12+13+…+1k +…+12k >k2, 当n=k+1时,f (2k+1)=1+12+13+…+1k+…+12k +12k +1+12k +2+…+12k+1=f (2k)+12k +1+12k +2+…+12k+1>k+12,故答案为:12k +1+12k +2+…+12k+1.2k +1+12k +2+…+12k+16.是否存在a ,b ,c ,使等式1n 2+2n 2+3n 2+…+n n 2=an 2+b k +cn对一切n ∈N +都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.n=1,2,3可得{a +b +c =1,8a +4b +2c =5,27a +9b +3c =14,解得a=13,b=12,c=16.下面用数学归纳法证明1n 2+2n 2+3n 2+…+n n 2=2n 2+3n+16n=(n+1)(2n+1)6n.即证12+22+…+n 2=16n (n+1)(2n+1),①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k 时等式成立,即12+22+…+k 2=16k (k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k 2+(k+1)2 =16k (k+1)(2k+1)+(k+1)2 =16[k (k+1)(2k+1)+6(k+1)2] =16(k+1)(2k 2+7k+6) =16(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②,知当n ∈N +时等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.素养培优练1.(多选)(2020江苏江阴高级中学高二期中)用数学归纳法证明2n -12n +1>nn+1对任意n ≥k (n ,k ∈N )的自然数都成立,则以下满足条件的k 的值为( ) A.1B.2C.3D.4n=1,则2n -12n +1=13,nn+1=12,2n -12n +1>nn+1不成立;取n=2,则2n -12n +1=35,nn+1=23,2n -12n +1>nn+1不成立; 取n=3,则2n -12n +1=79,nn+1=34,2n -12n +1>nn+1成立; 取n=4,则2n -12n +1=1517,nn+1=45,2n -12n +1>nn+1成立;下面证明:当n ≥3时,2n -12n +1>nn+1成立. 当n=3,则2n -12n +1=79,nn+1=34,2n -12n +1>nn+1成立; 设当n=k (k ≥3)时,有2k -12k +1>kk+1成立, 则当n=k+1时,有2k+1-12k+1+1=3×2k -12k +1+12k -12k +1+3,令t=2k -12k +1,则2k+1-12k+1+1=3t+1t+3=3-8t+3, 因为t>kk+1, 故2k+1-12k+1+1>3-8kk+1+3=4k+14k+3,因为4k+14k+3−k+1k+2=2k -1(4k+3)(k+2)>0,所以2k+1-12k+1+1>k+1k+2=k+1(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,2n -12n +1>nn+1对任意的n ≥3都成立. 故选CD .2.(2019江苏高二期中)已知m,n为正整数, (1)证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(2)对于n≥6,已知1-1n+3n<12,求证:1-mn+3n<12m,m=1,2,…,n;(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.x=0时,1≥1,即(1+x)m≥1+mx成立;当x≠0时,用数学归纳法证明.①当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立.②假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.综合①②知,对一切正整数m不等式都成立.(2)证明当n≥6,m≤n时,由(1),得1-1n+3m≥1-mn+3>0,于是1-mn+3n≤1-1n+3nm=1-1n+3n m<12m,m=1,2,…,n.(3)解由(2)知,当n≥6时,1-1n+3n+1-2n+3n+…+1-nn+3n<12+122+…+12n=1-12n<1,∴n+2n+3n+n+1n+3n+…+3n+3n<1,即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n,即当n≥6时,不存在满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,3≠4,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.。

数逻课后答案

三、综合题
1．如图所示逻辑电路是一个什么电路，当A 3 ～A 0 输入 0110，B 3 ～B 0 输入 1011，Cin输入 1 时，Cout及S 3 ～S 0 分别输出什么？
1
A3 Cout
B3
A2
B2
A1
B1
A0
B0
+
S3
+
S2
+
S1
+
S0
Cin
答：图中所示电路是 4 位串行进位全加器电路 C out =1，S 3 S 2 S 1 S 0 =0001 2．使用门电路设计一个 4 选 1 的数据选择器，画出逻辑图。解：4 选 1 数据选择器有 4 个数据输入，2 个选择输入端（S 1 S 0 ），端（D 0 D 1 D 2 D 3 ） 1 个数据输出端（Y）。真值表如下： D D0 D1 D2 D3 S1 0 0 1 1 S0 0 1 0 1 Y D0 D1 D2 D3
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 1 1 1 0 0 1 1 1
Y A B ( A B) BC
4
第 2 章习题
一、单选题
1.若在编码器中有 50 个编码对象，则输出二进制代码位数至少需要（ B ）位。 A）5 B）6 C）10 D）50 2.一个 16 选 1 的数据选择器，其选择控制（地址）输入端有（ C ）个，数据输入端有（ D ）个，输出端有（ A ）个。 A）1 B）2 C）4 D）16 3.一个 8 选 1 的数据选择器，当选择控制端S 2 S 1 S 0 的值分别为 101 时，输出端输出（ D ）的值。 D）D 5 A）1 B）0 C）D 4 4.一个译码器若有 100 个译码输出端，则译码输入端至少有（ C ）个。 A）5 B）6 C）7 D）8 5.能实现并-串转换的是（ C ）。 A）数值比较器 B）译码器 C）数据选择器 D）数据分配器 6.能实现 1 位二进制带进位加法运算的是（ B ）。 A）半加器 B）全加器 C）加法器 D）运算器 7.欲设计一个 3 位无符号数乘法器（即 3×3），需要（）位输入及（ D ）位输出信号。 A）3，6 B）6，3 C）3，3 D）6，6 8.欲设计一个 8 位数值比较器，需要（）位数据输入及（ B ）位输出信号。 A）8，3 B）16，3 C）8，8 D）16，16 9. 4 位输入的二进制译码器，其输出应有（ A ）位。 A）16 B）8 C）4 D）1

数理经济学第5章课后题答案

第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点,要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。

（1）164..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2）32..),(min max 222122121=+=x x t s x x x x f or（3)11..),(min max 22=+=+=y x y x t s xy y x f or 和解：（1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ，2x 和λ分别求偏导数可得:1221120401640x x L x L x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得128, 2x x **==，2λ*=，此时16f =。

则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。

（2）首先写出拉格朗日函数：222121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ,2x 和 λ分别求偏导数可得：12121212221224020320x x L x x x L x x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得121, 1x x **==,12λ*=，此时1f =;或者121, 1x x **==-，12λ*=-，此时1f =-；或者121, 1x x **=-=，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **=-=-，12λ*=-，此时1f =-。

则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点,且在这些点处约束条件满足约束规格。

（3）首先写出拉格朗日函数：221212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--将L 对x ,y ，1λ和2λ分别求偏导数可得：1212122220201010x yL y x L x y L x y L x y λλλλλλ=--=⎧⎪=--=⎪⎨=--=⎪⎪=--=⎩ 解得111,0,2x y λ***===-2,1λ*=，此时0f =；或者110,1,2x y λ***===- ，21λ*=,此时0f =。

离散数学第五章答案

离散数学第五章答案离散数学第五章答案【篇一：3~离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数5】题五（第五章格与布尔代数）1．设〈l，?〉是半序集，?是l上的整除关系。

问当l取下列集合时，〈l，?〉是否是格。

a) l={1，2，3，4，6，12}b) l={1，2，3，4，6，8，12}c) l={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈l，?〉是格，因为l中任两个元素都有上、下确界。

631b) 〈l，?〉不是格。

因为l中存在着两个元素没有上确界。

例如：8?12=lub{8，12}不存在。

12 63 1c) 〈l，?〉不是格。

因为l中存在着两个元素没有上确界。

倒例如：4?6=lub{4，6}不存在。

712．设a，b是两个集合，f是从a到b的映射。

证明：〈s，?〉是〈2b，?〉的子格。

其中s={y|y=f (x)，x∈2a}[证] 对于任何b1∈s，存在着a1∈2a，使b1=f（a1），由于f(a1)={y|y∈b∧(?x)(x∈a1∧f (x)=y)}b 所以b1∈2b，故此s?2b；又b0=f (a)∈s (因为a∈2a)，所以s非空；对于任何b1，b2∈s，存在着a1，a2∈2a，使得b1=f (a1)，b2=f (a2)，从而l∪b{b1，b2}=b1∪b2=f (a1)f (a2)=f (a1∪a2) （习题三的8的1））由于a1∪a2?a，即a1∪a2∈2a，因此f (a1∪a2)∈s，即上确界l∪b{b1，b2}存在。

对于任何b1，b2∈s，定义a1=f –1(b1)={x|x∈a∧f (x)∈b1}，a2=f-1(b2)={x|x∈a∧f (x)∈b2}，则a1，a2∈2a，且显然b1=f (a1)，b2=f (a2)，于是glb{b1，b2}=b1∩b2=f (a1)∩f (a2)f (a1∩a2) （习题三的8的2））又若y∈b1∩b2，则y∈b，且y∈b2。

由于y∈b1=f(a1)={y|y∈b∧(?x)(x∈a1∧f (x)=y)}，于是存在着x∈a1，使f(x)=y，但是 f (x)=y∈b2。

5.数字逻辑-平时作业(官方参考答案)

发布人: 李娜, 发布时间: 2020-06-04 10:59:551.简述PN结的形成过程，并说明PN结的电学特性。

答：形成原理：采用不同的掺杂工艺形成的P型半导体与N型半导体制作在同一块硅片上，P型和N型半导体接触后，在接触面N型区的多子电子向P型区扩散，同时P型区的多子空穴也向N型区扩散，在接触面的N型区留下了正电荷，在P型区留下了负电荷，形成自建电场，自建电场使载流子漂移，漂移的方向正与以上扩散的方向相反，平衡时，载流子的漂移与扩散相等，自建电场区没有载流子，称之为空间电荷区PN结。

电学特性：PN结具有单向导电性，在PN结两端加上电场，P区接正极，N区接负极，这种接法称为正向偏置，简称正偏；反之，称为反向偏置，简称反偏。

正向偏置时导通，反向偏置时截止。

当接上正向电压，削弱了自建电场，使载流子沿扩散的方向持续运动，就有了正向导通电流；当接上反向电压，相当于增强了自建电场，使载流子（少子）沿漂移的方向运动，漂移的电流很小，等同于反向截止。

2.简述双极型晶体管的三种工作状态。

答：（1）截止状态：集电区电流Ic=0，这时，晶体管的集电极与发射极之间就像一个断开的开关。

（2）放大状态：集电区电流Ic随着基区电流IB的增加而增加。

（3）饱和状态：集电区电流Ic不再随着基区电流IB的增加而增加。

此时，集电极失去了收集电子的能力。

晶体管的集电极与发射极之间就像一个闭合的开关。

3.简述场效应晶体管的工作原理。

答：场效应管是以输入电压来控制输出电流。

（1）场效应管结构在N沟道场效应管中，S是N型半导体，于是G是P型半导体，在符号中箭头就由G指向S。

反之，在P沟道场效应管中，S是P型半导体，G是N型半导体，在符号中箭头指向就是由S指向G。

以N 型为例，在N型半导体两侧各扩散两个P型区，形成两个PN结。

在N型半导体两端引出漏极D、源极S；两个P区联在一起作为栅极G；三个电极，漏极D、源极S、栅极G；（2）工作原理：正常情况下，G极空置，将D、S极加上正电压UDS，电路中就会有电流ID，N型半导体就是导体，是可以导电。

高等数学课后习题答案--第五章

x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .

第5章-课后习题答案

第5章习题解答5-1由与非门组成的基本 RS 触发器的R d ,S d 之间为什么要有约束？当违反约束条件时，输出端Q 、Q 会出现什么情况？试举例说明。

解：由与非门组成的基本 RS 触发器的R d 和S d 之间的约束条件是：不允许 R d 和S d 同时为0。

当违反约束条件即当 R d = S d =0时，Q 、Q 端将同时为1,作为基本存储单元来说，这既不是0状态，又不是1状态，没有意义。

5-2 试列出或非门组成的基本 RS 触发器的真值表，它的输入端R d 和S d 之间是否也要有约束？为什么?解：真值表如右表所示、Rd 、Sd 之同也要有约束条件，即不允许 Rd=Sd=1，否则Q 、Q 端会同时出现低电平。

5-3画出图5-33由与非门组成的基本 RS 触发器输出端 Q 、Q 的电压波形，输入端 R D 、S D 的电压波形如图中所示。

解：见下图:5-4画出图5-34由或非门组成的基本 RS 触发器输出端 Q 、Q 的电压波形，输入端S D 、R D 的电压波形如图中所示。

廟人1 ■0 0 — -- ----- r■ '■ »■'0 0 1 0 1\ 0 01 ）」不定图 5-33~II~甘----------------------------- 7图5-345-5图5-35所示为一个防抖动输出的开关电路。

当拨动开关S时，由于开关触点接通瞬间发生振颤，R D、S D的电压波形如图中所示。

试画出Q、Q端对应的电压波形。

图 5-35解：见下图:解：见下图:5-6 在图5-36电路中、若CP、S、R的电压波形如图中所示，试画出 Q、Q端与之对应的电压波形。

假定触发器的初始状态为Q = 0。

图5-36解：见下图:5-7在图5-37(a)所示的主从RS触发器中，CP、R、S的波形如图5-37(b)所示，试画出相应的Q m、Q m、Q和Q的波形图。

图5-37解：主从RS触发器的工作过程是：在CP= I期间主触发器接收输入信号，但输出端并不改变状态，只有当 CP下降沿到来时从触发器甚才翻转，称为下降沿触发。

数字逻辑课后习题答案（科学出版社_第五版）

（2）A⊕B⊕C=A⊕B⊕CA B C A⊕B⊕C A⊕B⊕C0 0 0 1 10 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 0 07.证明下列等式（1）A+A B=A+B证明：左边= A+A B=A(B+B)+A B=AB+A B+A B=AB+A B+AB+A B=A+B=右边(2)ABC+A B C+AB C=AB+AC证明：左边= ABC+A B C+AB C= ABC+A B C+AB C+ABC=AC(B+B)+AB(C+C)=AB+AC=右边（3）EDCCDACBAA)(++++=A+CD+E证明：左边=EDCCDACBAA)(++++=A+CD+A B C+CD E=A+CD+CD E=A+CD+E=右边（4）C B A C B A B A ++=CB C A B A ++证明：左边=CB AC B A B A ++=CB AC AB C B A B A +++)(=C B C A B A ++=右边8.用布尔代数化简下列各逻辑函数表达式(1) F=A+ABC+A C B +CB+C B = A+BC+C B(2) F ＝(A+B+C )(A+B+C) = (A+B)+C C = A+B(3) F ＝ABC D +ABD+BC D +ABCD+B C = AB+BC+BD(4) F=C AB C B BC A AC +++= BC(5) F=)()()()(B A B A B A B A ++++＝BA 9.将下列函数展开为最小项表达式(1) F(A,B,C) = Σ(1,4,5,6,7)(2) F(A,B,C,D) = Σ(4,5,6,7,9,12,14)10.用卡诺图化简下列各式（1）CAB C B BC A AC F +++=0ABC00 01 11 1011111化简得F=C(2)CB A D A B A DC AB CD B A F++++=111111ABCD 00 01 11 1000011110化简得F=DA B A +（3） F(A,B,C,D)=∑m (0,1,2,5,6,7,8,9,13,14)1111111111AB CD 00 01 11 1000011110化简得F=DBC D C A BC A C B D C ++++(4) F(A,B,C,D)=∑m (0,13,14,15)+∑ϕ(1,2,3,9,10,11)Φ1ΦΦ1ΦΦ1Φ1AB CD 00 01 11 1000011110化简得F=ACAD B A ++11.利用与非门实现下列函数，并画出逻辑图。

清华线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答3 -37穴1 =, $1.求下列矩阵的特征值和特征向量：（1）-3-31丿/\~37 A.所以, （■ 1I - A ）X = 0的基础解系为:(6,1-一 37)T .因此,A 的属于'i 的所有特征向量为:匕(6,1 -、37)丁(匕=0).2I所以，（’2l-A ）x=0的基础解系为:(6,1 . 37)T .因此,A 的属于■ 2的所有特征向量为:k 2(6,1 37)T (k 2 =0).'3 -1九-31-1 ⑵ 2 0 1 : 解：打-A =-2 丸-1-12」-11h -2nn2亠=('-1)「-2)解:-2 3所以，特征值为：’1=1（单根）,'2=2（二重根）J 2 1 -1、5 0 0、入 1 — A =-21 -1T0 1-11 -b1°0 °」所以，（、| —A ）x =o 的基础解系为：（0,1,1）T .因此，A 的属于-1的所有特征向量为：匕（0,1,1）丁你1 =0）.'-11 -1、1 -1'花 1 — A =-2 2 -1 T 0 0 1r 11><00 0」所以，（，2l -A ）x =：0的基础解系为：（1,1,0）T .因此，A 的属于-2的所有特征向量为：k 2（1,1,0）T （k 2 =0）.所以，特征值为:1=2 （二重根）*0 0 0 "人I —A= -1 1—1 TIT 1 -b所以，（\l -A ）X=0 的基础解系为：（1,1,0）T ,（-1,0,1）T .九-20 0 扎1—A=-1 丸-1 -1-11九一32 0 0' ⑶ 1 1 1 解:J -1 3」2)-210所以，（■1l -A ）x =0的基础解系为：（1,0,0,0）T .因此，A 的属于 > 的所有特征向量为： k 1（1,0,0,0）T （k^-0）所以，特征值为：'1 - 1 （三重根）'-3 -5 2、「10 1、入1 —A=2 3-1 T ■" T 0 1 -1J1 0」e 0 0」T所以,（‘1l _A ）x =0的基础解系为：（-1,1,1） •q 2 3 4^扎—1-2-3 -4 0 1 2 3解：XJ — A =0 &一1-2-3 0 0 1 2 0 0 九-1-2 1°0 0 bZ-1因此，A 的属于-i 的所有特征向量为：k i （1,1,0）T • k 2（-1,0,1）T （k i ,k 2为不全为零的任意吊数）。

离散数学杨圣洪第五章习题解答

⎜0 0 0 0 0 1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
10 ⎟⎟⎟⎠
(6)算出任意二点之间长度为 1、2、3、……、n-1 的路的条数，从而判断它是否连通？
长度为 1 的路就是邻接矩阵
⎜⎛ 0 1 0 0 0 0⎟⎞
⎜0 0 1 0 0 0⎟
⎜⎜1 0 0 0 1 0⎟⎟
⎜0 0 0 0 0 1⎟
⎜0 0 1 0 0 1⎟ ⎜0 0 1 0 0 0⎟ ⎜1 0 0 0 1 0⎟
⎜⎜ 1
(1)各点的度数：deg(1)=2，deg(2)=2, deg(3)=3, deg(4)=2, deg(5)=3, deg(6)=2，和=14 入度：deg(1)=1, deg(2)=1, deg(3)=1, deg(4)=1, deg(5)=1, deg(6)=2，和=7 出度：deg(1)=1, deg(2)=1, deg(3)=2, deg(4)=1, deg(5)=2, deg(6)=0，和=7 出度和=入度和，所有点度数 14=边数 7 的两倍 (2)如果不考虑边的方向，度数为奇数的结点 3、5，所以存在一条无向的 Euler 路，但不存在无向的 Euler 回路。如：31-12-23-35-54-46-65 如果考虑边的方向，由于结点 3、5、6 的入度不等于出度，所以不存在有向 Euler 路，也不存在有向 Euler 回路。 (3)n=6，不考虑边的方向，存在 Hamilton 路的充分条件是，任意二点的度数>=5， deg(1)+deg(6)=4<5 ，所以不满足该充分条件，但是跨越每个点一次的路是存在的，如 1-2-3-5-4-6，所以该充分条件并不是必要的。 (4) Powell 着色方法对其各个结点进行着色，先按节点的度数进行排队： deg(3)=deg(5)>deg(1)=deg(2)=deg(4)=deg(6)，队列为 3-5-1-2-4-6 用 1 号色着结点 3，与 3 不相邻的 4 着 1 号色，未着色 5-1-2-6 用 2 号色着结点 5，与 5 不相邻的 1 着 2 号色，未着色 2-6 用 3 号色着结点 2，与 2 不相邻的 6 着 3 号色。 (4)由于原图只有 2 个封闭的区域，与一个完全开放的区域，因此其对偶图只有 3 个结