超难奥数题之数论专题及答案

如此逐个验证 k 的值，可得“好数”有 3 与 6，4 与 12，6 与 12，10 与 15，共有 4 对。
【例 2】【分析】 因为 75= 3× 52 ，所以我们如果设 m= 3p × 5q ， n= 3x × 5y ，那么 p、x 中较小的数是 1，q、y 中较小的数是 2．我们知道一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的质数加 1 的乘积。 所以（p + 1）×（q + 1）=12 ，（x + 1）×（y + 1）=10 ，又 12 = 3× 4 = 2 × 6 ， 10= 2 × 5 ，不难得出
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数列找规律
【例 1】 一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？
【例 2】 有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情 况。 ⑴出现这种情况的价格共有多少种？ ⑵其中最贵的价格是多少元？
【例 3】 “不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从 1 到 10 分各 1 张)。在一个风雨交加的下午， 帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店门口给帅帅留了一个牌子：
【例 4】 下列⑴~(20)的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的 得数。
1
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质合看分解
【例 1】 2001 个连续的自然数之和为 a×b×c×d，若 a、b、c、d 都是质数，则 a＋b＋c＋d 的最小 值是多少？
【例 2】 有 3599 只甲虫，依次编号为 1，2，3，……，3599，开始时头都朝东。第 1 秒钟，编号为 1 的倍数的甲虫向右转 90 度；第 2 秒钟，编号为 2 的倍数的甲虫向右转 90 度；第 3 秒钟，编 号为 3 的倍数的甲虫向右转 90 度，……，如此进行。那么，1 小时后，第 3599 号甲虫头朝 哪个方向？
当 k = 6 时，有 =1 6
2+3 = 6 × (2 + 3)
1 10
+
1 15
，由于
a
<
b
≤
16
，有
a b
= =
10 15
满足；
当 k = 7 时，有 1= 1 + 7 = 1 + 1 ，由于 a < b ≤ 16 ，此时没有满足条件的 a 、 b ； 7 7 × (1 + 7) 8 56
【例 2】 已知 m、n 两个数都是只含质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 m 有 12 个约数，n 有 10 个约数，求数 m 与 n 的和。
【例 3】 如果 n 个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明， n 的最大值为 4 。 ⑵当 n = 4 时，求 4 个质数的乘积的最小值。
由于 a < b ≤ 16 ，故 1 = 1 + 1 > 1 + 1 = 1 ，得 k < 8 。 k a b 16 16 8
当 k = 2 时，有 1= 2
1+ 2 = 2 × (1 + 2)
1 3
+
1 6
，由于
a
<
b
，有
a b
= =
3 6
满足；
当 k = 3 时，有 1= 3
1+3 = 3× (1 + 3)
答案：
【例 1】 【分析】
设这两个数为 a 、 b ，且 a < b ，有= ab k (a + b) ，即 1 + 1 =1 ，这样就变成了分数拆分问
ab k
题。单位分数的拆分，主要方法是从分母 N 的约数中任意找出两个数 m 和 n ，
有： 1 = m + n = m + n = 1 + 1 ， N N(m + n) N(m + n) N(m + n) A B
p = 3 ， q = 2 ， x = 1， y = 4 ．所以 m= 33 × 52 ， n= 3× 54 ， m + n =2550 。
【例 3】【分析】 ⑴因为如果这些数中有 3 个数除以 3 的余数各不相同或者完全相同，则这 3 个数之和必然是
3 的倍数，不可能是质数，所以这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个。 所以，最多可以写出 2 × 2 =4 个。 ⑵当 n = 4 时，因为这个数组中所有的数都是质数，所以这 4 个数不可能有被 3 除余数为 0 的，否则，在 n = 4 的情况下，这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个， 所以这些数中至少有两个被 3 除余数为 0 的，即被 3 整除的，所以这两个数中至少有一个 不是 3 这个唯一被 3 整除的质数，那么是合数，与题意不符，因此这 4 个数被 3 除的余数 的情况只有1、1、 2 、 2 。 写出所有除以 3 余1的奇质数： 7 、13 、19 、 31、 37 、 43 、 61、 67 、 73 、 79 …… 写出所有除以 3 余 2 的奇质数：5 、11、17 、23 、29 、 41 、47 、53 、59 、71、83…… 以上两行数中各有 4 个数当中的两个。 ①如果这 4 个数中含有 5 ，那么另外 3 个数被 5 除的余数可能为1、 2 、 3 、 4 。 这两行数被 5 除的余数分别如下： 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、1、 2 、 3 、 4 …… ( 0 )、1、 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、 4 、1、 3 …… 如果这其余的 3 个数被 5 除的余数各不相同，那么必有两个余数恰好在(1、 4 )、( 2 、 3 ) 这两个括号中的一个括号中。这时，该括号中余数对应的两个数与 5 的和是一个被 5 整除 的合数，与题意不符； 如果这 3 个数被 5 除的余数都相同，根据上面所列的余数的情况，这 3 个数中必然有一个 数大于或等于 37 ，这时这 4 个数的乘积至少为 5 × 7 ×11× 37 =14125 ； 如果这 3 个数被 5 除的余数仅有两个相同，容易判断，这三个余数只能是1、 3 、 3 或 2 、 2 、 4 或1、1、 2 或 3 、 4 、 4 。通过尝试，得到 5 、 7 、17 、19 这组乘积的值最小，乘 积为 5 × 7 ×17 ×19 =11305 。 ②如果这 4 个数中不含有 5 ，那么，这四个数的乘积至少是 7 ×11×13×17 =17017 。
【例 3】 若整数 A 使得(A－42)能整除(42A－1)，那么所有这样的 A 是多少？
【例 4】 在 1，2，3，…，1994，1995 这 1995 个数中找出所有满足下面条件的数来：1995＋a 能整 除 1995×a。
1
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测试题
【例 1】 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。那 么在 1，2，……，16 这 16 个整数中，有“好数”多少对？
1 4
+
1 12
，有
a=4 b = 12
满足；
当 k = 4 时，有 1= 4
1+ 2 = 4 × (1 + 2)
1 6
+
1 12
，由于
a
<
b
≤
16
，有
a=6 b = 12
满足；
2
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当 k = 5 时，有 1= 1 + 5 = 1Leabharlann Baidu+ 1 ，由于 a < b ≤ 16 ，此时没有满足条件的 a 、 b ； 5 5 × (1 + 5) 6 30