二次函数的性质及待定系数法

二次函数的性质

1、小军从所给的二次函数图象中观察得出了下面的信息：①a＜0；

②c=0；③函数的最小值是-3；④当x＜0时y＞0；⑤当0＜x

1＜x2

＜2时y

1＞

y2．你认为其中正确的个数为（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2、（1）抛物线y=-（x+2）2+3的顶点坐标是（）

A．（-2，3） B．（2，3） C．（2，-3） D．（-2，-3）(2)二次函数y=（2x-1）2+2的顶点的坐标是（）

A．（1，2） B.

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2,

2

1

C．（1，-2） D.

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-2,

2

1

(3)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

x …-3 -2 -1 0 1 …

y …-3 -2 -3 -6 -11 …

则该函数图象的顶点坐标为（）

A．（-3，-3）B．（-2，-2）C．（-1，-3）D．（0，-6）

3、（1）在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）

A.x>1

B.x<1

C.x>-1

D.x<-1

（2）若二次函数y=（x-m）2-1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A.m≥1

B.m≤1

C.m=1

D.m>1

4、若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）

A．直线x=1 B．直线x=-2 C．直线x=-1 D．直线x=-4

5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是

（）

A．图象的对称轴是直线x=1

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1，3

D．当-1＜x＜3时，y＜0

6、关于二次函数y=-2x2+3，下列说法中正确的是（）

A．它的开口方向是向上

B．当x＜-1时，y随x的增大而增大

C．它的顶点坐标是（-2，3）

D．当x=0时，y有最小值是3

7、已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：

①其图象的开口向下；

②其图象的对称轴为直线x=-3；

③其图象顶点坐标为（3，-1）；

④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）（填序号）

求二次函数解析式

知识点：

二次函数解析式有三种常见形式：

（1）一般形式（或三点式）：)0,,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 为常数 （2）顶点式（或配方式）：

)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 为常数， （3）两点式（或交点式）：()()21x x x x a y --=()0,,21≠a x x a 是常数， 题型一：“平移的口诀”确定函数的解析式

1、将平移前的函数化成()2

y a x h k =-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况．

2、平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即a 不变。

3、对于函数2y ax bx c =++向左或向右平移m 个单位，其解析式变为

()()2

y a x m b x m c =±+±+，其中向左为“m +”，向右为“m -”。

练习：

1、已知下列函数：①2x y =；②2x y -=；③2)1(2

+-=x y 其中，图像可以经过平移得到函数322

-+=x x y 的图像的有（ ）（填写正确的序号） 2、在平面直角坐标系中，如果抛物线2

2x y =不动，而把x 轴，y 轴分别向上，

向右平移两个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（ ）

3、把抛物线2y ax bx c =++向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为21

2

y x =-，求原来抛物线的解析式。

4、把抛物线

2

)1

(-

=x

y沿y轴向上或向下平移后所得的抛物线经过Q（3，0），求平移后

抛物线的解析式。

题型二一般式2

y ax bx c

=++()0

a≠

1、任何二次函数都可以整理成一般式2

y ax bx c

=++()0

a≠的形式

2、如果已知二次函数的图象上的三点坐标，可用一般式求解二次函数解析式1、已知已知一个二次函数过()

00

，、()

111

-，、()

19

，三点，（1）求二次函数的解析式⑵求这个二次函数的最值

2、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，

-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为（）

3、如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P

的坐标．