两条直线的位置关系课件
合集下载
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
平面内两直线的位置关系课件
系。
2.如图所示，已知：直线AB与CD交于点O,
∠EOD=900,回答下列问题：
1.∠AOE的余角是
；补角是 。
2.∠AOC的余角是
；补角是
；对
顶角是
。E
D
A
O
B
C
①一个角为60°,则它的余角为___3_0°___ ; ②一个锐角为X，则它的余角为_(9_0_°_-_X_)_; ③一个角为60°，则它的补角为__1_2_0°___; ④一个角为X，则它的补角为_(1_8_0_°_-_X_)；
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红 球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2。
1
2
根据：入射角 等于反射角。
∠1=∠2
余角 与 补角 的定义
E
D
F
12
∠2 = ∠1
C
A 图 2–1 B
∠ADC + ∠1 = 90
∠BDC + ∠1 =9°0°
∠ADF + ∠1 =180
∠BDE + ∠1 =°180°
互为补角的有：
B ∠1和∠ADF ∠2和∠BDE ∠1和∠BDE ∠2和∠ADF
补角与余角与角的位置无关，只与它的数量有关
互余与互补是
1.下列说法正确的有 ①②。⑤（填序指号两）个角之间的
①已知∠A=40º，则∠A的余角等于5数们00的量位关置系关，系与无它 ②若1+∠2=180º，则∠1和∠2互为补关角。。 ③若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补 ④一个角的补角必为钝角。 ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大900 ⑥两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关
∴2x＋90°＋x＝180°
2.如图所示，已知：直线AB与CD交于点O,
∠EOD=900,回答下列问题：
1.∠AOE的余角是
；补角是 。
2.∠AOC的余角是
；补角是
；对
顶角是
。E
D
A
O
B
C
①一个角为60°,则它的余角为___3_0°___ ; ②一个锐角为X，则它的余角为_(9_0_°_-_X_)_; ③一个角为60°，则它的补角为__1_2_0°___; ④一个角为X，则它的补角为_(1_8_0_°_-_X_)；
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红 球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2。
1
2
根据：入射角 等于反射角。
∠1=∠2
余角 与 补角 的定义
E
D
F
12
∠2 = ∠1
C
A 图 2–1 B
∠ADC + ∠1 = 90
∠BDC + ∠1 =9°0°
∠ADF + ∠1 =180
∠BDE + ∠1 =°180°
互为补角的有：
B ∠1和∠ADF ∠2和∠BDE ∠1和∠BDE ∠2和∠ADF
补角与余角与角的位置无关，只与它的数量有关
互余与互补是
1.下列说法正确的有 ①②。⑤（填序指号两）个角之间的
①已知∠A=40º，则∠A的余角等于5数们00的量位关置系关，系与无它 ②若1+∠2=180º，则∠1和∠2互为补关角。。 ③若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补 ④一个角的补角必为钝角。 ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大900 ⑥两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关
∴2x＋90°＋x＝180°
七年级数学下册-：两条直线的位置关系---课件-(15张PPT)
【例3】直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把
∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE.
解：设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，
∵∠AOC=75°
(已知)
∴∠BOD=∠AOC=75°，（对顶角相等）
∴2x+3x=75°,解得x=15°，
∴∠BOE=2x=30°，
∵∠AOE+∠BOD=180°（平角的定义）
∴∠AOE=180°－∠BOD=180°－30°=150°.（等式的基本性质）
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （1）写出与∠COD互余的角；
D
解:(1)∵∠AOC=∠BOD=90°， A
C
∠COD+∠AOD=90°，
∠COD+∠BOC=90°
∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC； O
B
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （2）求∠COD的度数；
D
解:(2)如图，
C A
∵∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC
=145°-90°
O
B
=55°
∴∠COD=∠BOD-∠BOC
解：如图，
∵∠DOF＝50°，
（已知）
∴∠COE＝∠DOF＝50°.
（对顶角相等）
∵∠AOC＝65°
（已知）
∠BOE＋∠COE＋∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC
＝180°－50°－65°
＝65°.
（等式的基本性质）
【例2】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角 的度数.
高中数学北师大版必修2《第2章11.3两条直线的位置关系》课件
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
7
D [设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故 l1 与 l2 垂直．选 D.]
8
2．过点 A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1,2)，Q(－5,0)的直 线垂直，则 m＝________.
－2 [由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解得 m＝－2.]
21
过点 Ax0，y0且与直线 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程的 求法有两种方法：
1先求斜率斜率存在时，再用点斜式求直线方程. 2与 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程设为 Ax＋By＋m＝0 或 Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点 Ax0，y0求出 m，便可得到 直线方程.
22
数学北师大版 高中数学
1.3
两条直线的 位置关系
学习目标
核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平 行或垂直．(重点) 2.能根据直线平行或垂直求直 线方程．(重点)
1.通过利用直线的斜率和截距判断 两直线 平行或垂直提升数学抽象素 养. 2.根据直线平行或垂直求直线方程 提升数学运算素养.
2
两条直线的位置关系
37
[解] (1)设所求直线方程为 2x＋3y＋C1＝0，则由题意得 2×1＋ 3×(－4)＋C1＝0，解得 C1＝10，
所以所求直线方程为 2x＋3y＋10＝0. (2)设所求直线方程为 3x＋2y＋C2＝0， 由题意得 3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得 C2＝5， 所以所求直线方程为 3x＋2y＋5＝0.
17
利用平行、垂直关系求直线方程 【例 2】 已知点 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系
点 (x，y)
关于点、线 (a，b) x＝a y＝x x＋y＝k x－y＝k
对称点 (2a－x，2b－y)
(2a－x，y) (y，x)
(k－y，k－x) (k＋y，x－k)
9
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx10＋＋kb2|.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( √ ) (4) 直 线 外 一 点 与 直 线 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 就 是 点 到 直 线 的 距 离.( √ )
因为 l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得 d＝|－8－2（2＋－3120）| ＝2 1313.
答案：2
13 13
02
突破核心命题
14
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2024·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1 ＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的( C )
(2)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是 ________.
由题意，设直线l的方程为x－y＋a＝0， 又过点(0，3)，则0－3＋a＝0，得a＝3， 故直线l的方程为x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0
12
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为 ________.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0
一,平面内两直线位置关系PPT课件
（2）两直线斜率不存在且两直线不重合
l1: x=x1
l2: x=x2
l1∥l2
讨论
x1≠x2
已知直线 l1 ： A1x+B1y+C1 = 0 ， l2 ： A2x+B2y+C2= 0 （A1B1C1 ≠ 0
那么l1 ∥l2 的充要条件是什么？
A2B2C2≠ 0 ）.l1 Nhomakorabea∥l2A1 A2
=
B1 B2
一平面内两直线位置关系1平行2重合垂直垂直3相交斜交二两直线平行的条件1两直线斜率存在且两直线不重合当直线l1和l2有斜截式方程l1
一，平面内两直线位置关系
（1）平行
（2）重合 （3）相交
垂直 斜交
二，两直线平行的条件
（1）两直线斜率存在且两直线不重合
当直线l1和l2有斜截式方程
l1：y＝kx＋b1， l2：y＝k2x＋b2时，
l1∥l2
k1＝k2且b1≠b2.
如果l1∥l2(如图)，那么直线l1和l2在y轴上的截距不相等， 即b1≠b2，但它们的倾斜角相等，即α1＝α2. ∴tanα1＝tanα2即k1＝k2. 反过来，如果b1≠b2，则l1和l2不重合.又如果k1＝k2，即 ｔaｎα1＝tanα2，那么由0°≤α1＜1８0°，0°≤α2＜1 ８0°，并利用正切函数的图象，可知 α1＝α2，所以l1∥l2.
ab
a b 0
1×1＋k1·k2＝0
即l1⊥l2
k1·k2＝－1.
（2）两直线斜率有不存在或有零时
例3.已知两条直线: l1 : 2x 4 y 7 0,l2 : 2x y 5 0,
求证: l1 l2 .
例4.求过点A(2,1),且与直线 2x y 10 0 垂直的直线 l 的方程.
_2.1.1两条直线的位置关系 课件 2023—2024学年北师大版数学七年级下册
A
M
C
∴∠1= ∠BOC,∠2= ∠AOC ∴∠1+∠2= ∠BOC + ∠AOC
21 O
N
= (∠BOC+∠AOC)
B
= ∠AOB
∴∠MON= ∠AOB
记忆口诀：一半一半又一半
典例精析 例2： 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别
平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数？图中哪些角互为余角？
O
A
∠AOB度数.理由对顶角相等.
D
例3. 判断以下说法是否正确：
(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(× ) (2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×) (3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．( ×) (4)互补的两个角不可能相等．( ×) ((56))钝 互角余没 的有 两余 个角 角，一但定一都定是有锐补角角，．两(个√锐) 角一定互余．(×) (7)如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．(×) (8)如果∠A＝x°，∠B＝(90－x)°，那么∠A与∠B互余．(√)
即其中的一个角是另外一个角的补角.
几何语言： ∵∠1+∠2=180°(或∠1=180°-∠2)，
∴∠1与∠2互为补角 .
12
典例精析
∠α 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
∠α的余角 58° 45° 13°
27°37′ 90°－ x°
∠α的补角 148° 135° 103°
117°37′ 180°－x°
M
C'
N ∴∠MOB'= ∠BOB'，∠C'ON= ∠C'OC
两条直线的位置关系ppt课件
判定： 若∠1+∠2=90 ° ，则∠1与∠2互为余角. 性质： 若∠1与∠2互为余角， 则∠1+∠2=90 ° .
理论说明对顶角性质：
A
D
因为直线AB,CD相交于点O（已知）
O
所以∠AOD＋∠AOC＝180°（补角的意义）
C
B
∠AOD＋∠BOD＝180°（补角的意义）
所以∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）
－40°＝140°（等量代换）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
解：因为OE平分∠BOC，
A
所以∠BOE=∠COE＝65°
得∠BOC＝130°.
C
O
因为直线AB、CD相交于点O， 所以∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠AOD＝∠BOC＝130°.
余角、补角的识别及性质总结
一、余角的识别：
两角的和为90度，则两角互为余角. 特别说明：余角只与数量有关，与位置无关 判定：若∠1+∠2=900，则∠1与∠2互为余角. 性质：若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=900.
二、补角的识别： 两角的和为180度，则两角互为补角. 特别说明：补角只与数量有关，与位置无关.
请将图简化成几何图，并抽
象成数学问题： ON 与 DC 交于点 O ，∠ DON =∠ CON
=90°， 且∠1=∠2.
问:1）图中有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 2）有哪些角相等？为什么？
归纳总结: 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角 相等.
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°， 求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。
理论说明对顶角性质：
A
D
因为直线AB,CD相交于点O（已知）
O
所以∠AOD＋∠AOC＝180°（补角的意义）
C
B
∠AOD＋∠BOD＝180°（补角的意义）
所以∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）
－40°＝140°（等量代换）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
解：因为OE平分∠BOC，
A
所以∠BOE=∠COE＝65°
得∠BOC＝130°.
C
O
因为直线AB、CD相交于点O， 所以∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠AOD＝∠BOC＝130°.
余角、补角的识别及性质总结
一、余角的识别：
两角的和为90度，则两角互为余角. 特别说明：余角只与数量有关，与位置无关 判定：若∠1+∠2=900，则∠1与∠2互为余角. 性质：若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=900.
二、补角的识别： 两角的和为180度，则两角互为补角. 特别说明：补角只与数量有关，与位置无关.
请将图简化成几何图，并抽
象成数学问题： ON 与 DC 交于点 O ，∠ DON =∠ CON
=90°， 且∠1=∠2.
问:1）图中有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 2）有哪些角相等？为什么？
归纳总结: 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角 相等.
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°， 求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。
中职数学基础模块下册《两条直线的位置关系》课件
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些物理现象， 如光的反射和折射、力的合成与分解等。
化学
在化学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些化学反应的原 理，如酸碱中和反应、氧化还原反应等。
经济学
在经济学中，利用两条直线的位置关系可以分析一些经济现象， 如供需关系、成本与收益分析等。
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条直线的位置关系，可以确定几何图形的形状和大小，如 平行四边形、矩形、菱形等。
解决几何问题
利用两条直线的位置关系，可以解决一些几何问题，如求角度、求 距离等。
证明几何定理
通过两条直线的位置关系，可以证明一些几何定理，如平行线的性 质定理、垂直平分线的性质定理等。
相交直线
相交直线的定义
相交直线
两条直线在同一平面内只有一个公共点时，这两条直线称为相交直线。
平行直线
两条直线在同一平面内没有公共点时，这两条直线称为平行直线。
相交直线的性质
唯一性
两条相交直线只有一个交 点。
不平行性
两条相交直线不能是平行 的。
对称性
两条相交直线关于它们的 交点对称。
相交直线的交点与方程
交点坐标
求解方法
两条直线的交点坐标可以通过联立两 直线的方程求解得到。
解方程组的方法包括代入法、加减法 、消元法等。
方程联立
通过将两条直线的方程联立，可以消 去一个变量，从而求解出交点的坐标 。
CHAPTER 04
重合直线
重合直线的定义
重合直线的定义
两条直线在同一平面内，没有其他公共点，则这两条直线重合。
中职数学基础模块下 册《两条直线的位置 关系》
两条直线的位置关系(复习课)课件
要点一
总结词
将两条直线的位置关系应用于实际问题中，进行解析和解 答。
要点二
详细描述
在实际问题中，如建筑、工程、交通等领域，经常涉及到 两条直线的位置关系。通过将实际问题转化为数学模型， 利用几何知识和数学方法进行解析和解答，可以解决实际 问题。例如，在建筑设计中，需要判断建筑物的立面是否 与地面平行或垂直；在交通规划中，需要判断道路的走向 是否与另一条道路相交或平行。
在此添加您的文本16字
详细描述：在解析几何中，两条直线与x轴的夹角是解决 许多问题的重要参数，如求交点、判断平行等。
两条直线与y轴的夹角
总结词：角度计算 详细描述：计算两条直线与y轴的夹角
，同样需要先确定直线的斜率，然后 利用三角函数计算夹角。
总结词：性质分析
详细描述：分析两条直线与y轴夹角的 大小关系，可以推断出两条直线的倾 斜程度和方向。
总结词：应用实例
详细描述：在解析几何中，两条直线 与y轴的夹角是解决许多问题的重要参 数，如求交点、判断垂直等。
利用夹角判断两条直线的位置关系
总结词：平行与垂直的判断 总结词：位置关系的性质
详细描述：根据两条直线与坐标轴的夹角，可以判断两 条直线是平行、垂直还是相交。
详细描述：通过夹角判断位置关系时，需要考虑夹角的 大小和方向，以及直线的斜率。
两条直线的位置关系( 复习课)ppt课件
目录
• 两条直线的位置关系概述 • 两条直线交点的问题 • 两条直线与坐标轴的夹角问题 • 两条直线的距离问题 • 综合应用题
01
两条直线的位置关系概 述
平行与垂直的定义
平行
在同一平面内，两条直线没有交 点，则这两条直线平行。
垂直
两条直线相交形成的角为90度， 则这两条直线垂直。
总结词
将两条直线的位置关系应用于实际问题中，进行解析和解 答。
要点二
详细描述
在实际问题中，如建筑、工程、交通等领域，经常涉及到 两条直线的位置关系。通过将实际问题转化为数学模型， 利用几何知识和数学方法进行解析和解答，可以解决实际 问题。例如，在建筑设计中，需要判断建筑物的立面是否 与地面平行或垂直；在交通规划中，需要判断道路的走向 是否与另一条道路相交或平行。
在此添加您的文本16字
详细描述：在解析几何中，两条直线与x轴的夹角是解决 许多问题的重要参数，如求交点、判断平行等。
两条直线与y轴的夹角
总结词：角度计算 详细描述：计算两条直线与y轴的夹角
，同样需要先确定直线的斜率，然后 利用三角函数计算夹角。
总结词：性质分析
详细描述：分析两条直线与y轴夹角的 大小关系，可以推断出两条直线的倾 斜程度和方向。
总结词：应用实例
详细描述：在解析几何中，两条直线 与y轴的夹角是解决许多问题的重要参 数，如求交点、判断垂直等。
利用夹角判断两条直线的位置关系
总结词：平行与垂直的判断 总结词：位置关系的性质
详细描述：根据两条直线与坐标轴的夹角，可以判断两 条直线是平行、垂直还是相交。
详细描述：通过夹角判断位置关系时，需要考虑夹角的 大小和方向，以及直线的斜率。
两条直线的位置关系( 复习课)ppt课件
目录
• 两条直线的位置关系概述 • 两条直线交点的问题 • 两条直线与坐标轴的夹角问题 • 两条直线的距离问题 • 综合应用题
01
两条直线的位置关系概 述
平行与垂直的定义
平行
在同一平面内，两条直线没有交 点，则这两条直线平行。
垂直
两条直线相交形成的角为90度， 则这两条直线垂直。
两条直线的位置关系第二课时课件
2.完成《有效课堂》第32页 第10题.
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
2.1—4
2.1—4
问题四：体育课上老师是怎样测量跳远 成绩的？能说说说其中的道理吗？与同 伴交流.
活动内容： 1.你学到了哪些知识点？
2.你学到了哪些方法？
3.你还有哪些困惑？
l
垂线的概念：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 通常用“⊥”表示两直线垂直。
回顾思考
1.在同一个平面内，两条直线 的位置关系有哪些？
2.相交线和平行线的定义分 别是什么？
在同一平面内， 两条直线的位置关系
相交 平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.若两条直线只有一个公共点， 我
们称这两条直线为相交线.
2.在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线.
图一：宫殿
图 二 ： 建 筑 物
图三：桥
图四：门
学习目标
1.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直 线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直 的符号表示；
2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线， 探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性 质以及点到直线的距离；
3.体会生活中处处有数学，培养我们发现问 题与解决问题的能力.
要求：请同学们自主学习教材第 41-42页的内容，同时完成导学案上的 “自主学习”，并用笔就你遇到的问题 进行标注，时间是5分钟.
1.点A和直线m的位置关系有两种：点A 可能在直线m上，也可能在直线m外。
2.平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直。
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
2.1—4
2.1—4
问题四：体育课上老师是怎样测量跳远 成绩的？能说说说其中的道理吗？与同 伴交流.
活动内容： 1.你学到了哪些知识点？
2.你学到了哪些方法？
3.你还有哪些困惑？
l
垂线的概念：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 通常用“⊥”表示两直线垂直。
回顾思考
1.在同一个平面内，两条直线 的位置关系有哪些？
2.相交线和平行线的定义分 别是什么？
在同一平面内， 两条直线的位置关系
相交 平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.若两条直线只有一个公共点， 我
们称这两条直线为相交线.
2.在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线.
图一：宫殿
图 二 ： 建 筑 物
图三：桥
图四：门
学习目标
1.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直 线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直 的符号表示；
2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线， 探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性 质以及点到直线的距离；
3.体会生活中处处有数学，培养我们发现问 题与解决问题的能力.
要求：请同学们自主学习教材第 41-42页的内容，同时完成导学案上的 “自主学习”，并用笔就你遇到的问题 进行标注，时间是5分钟.
1.点A和直线m的位置关系有两种：点A 可能在直线m上，也可能在直线m外。
2.平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直。
两条直线的位置关系ppt课件
解:(1)d= +(−) =.
(2)直线 3x=5 的一般形式为 3x-5=0
|×(−)−|
d= + =.
6
二、探究提高
【例1】 (1)过点P(2,-1)且平行于直线x-2y+3=0的直线方
程为 (
)
A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y=0
【小结】 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可设
为:Ax+By+C1=0;
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可设为:Bx-Ay+C1=0.
8
【例3】 求经过直线l1:x+4y-8=0与直线l2:4x-y-15=0的
交点,且与直线y=3x+4平行的直线l的方程.
分析:通过解方程组可以求出两条直线交点的坐标,再根
6.求 x 轴上到直线 x-y+1=0 的距离等于 2 的点的坐标.
解:设 x 轴上点 A(m,0),
由题意得
|+|
+(−)
=2
解得 m=-5 或 3
∴点 A 的坐标为(-5,0)或(3,0).
13
7.已知三条直线2x+ay+8=0,3x+4y=10,2y-x=10相交于
一点,求a.
分析:求两平行线之间的距离可以求一条直线上一点到另一
条直线的距离;求三角形的面积关键在于求它的高,它的高可以
用点到直线的距离公式求顶点到对边的距离.
【解】 (1)方法 1:在直线 2x-3y+8=0 上取一点 A(-4,0),利用点
(2)直线 3x=5 的一般形式为 3x-5=0
|×(−)−|
d= + =.
6
二、探究提高
【例1】 (1)过点P(2,-1)且平行于直线x-2y+3=0的直线方
程为 (
)
A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y=0
【小结】 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可设
为:Ax+By+C1=0;
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可设为:Bx-Ay+C1=0.
8
【例3】 求经过直线l1:x+4y-8=0与直线l2:4x-y-15=0的
交点,且与直线y=3x+4平行的直线l的方程.
分析:通过解方程组可以求出两条直线交点的坐标,再根
6.求 x 轴上到直线 x-y+1=0 的距离等于 2 的点的坐标.
解:设 x 轴上点 A(m,0),
由题意得
|+|
+(−)
=2
解得 m=-5 或 3
∴点 A 的坐标为(-5,0)或(3,0).
13
7.已知三条直线2x+ay+8=0,3x+4y=10,2y-x=10相交于
一点,求a.
分析:求两平行线之间的距离可以求一条直线上一点到另一
条直线的距离;求三角形的面积关键在于求它的高,它的高可以
用点到直线的距离公式求顶点到对边的距离.
【解】 (1)方法 1:在直线 2x-3y+8=0 上取一点 A(-4,0),利用点
北师大版数学七年级下册.1两条直线的位置关系课件
12 34
A
B
N
图2
讲授新课
（2）因为∠1= ∠2，
DO
C
∠ 1+∠3=90° ,
12
∠ 2+∠4=90°， 同角(或等角)的余角相等
34
所以 ∠ 3=∠4.
（3）因为∠1= ∠2， ∠1+∠AOC=180°,
A
N
图2
B
同角(或等角)的补角相等
∠ 2+∠BOD=180°， 所以∠AOC=∠BOD.
对顶角的特点：1.有公共顶点， 2.两边互为反向延长线. 3.对顶角是成对出现的.
定义：直线AB与CD相交于点O，∠1与
1
∠2有公共顶点O，它们的两边互为
反向延长线，这样的两个角叫做对
顶角.
性质：对顶角相等.
讲授新课
巩固练习 1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ D ）
1 2
A
12
B
2 1
2 1
第二章 相交线与平行线
2.1.1两条直线的位置关系 （第1课时）
学习目标
1.通过观看图片，能说出同一平面内两条直线的位置 关系，认识平行线与相交线； 2.通过视察、测量、说理等过程，认识对顶角，探索 出“对顶角相等”的性质； 3.通过具体情境，认识补角、余角，探索其性质并能 解决简单的实际问题.
情境导入
视察下面的几幅生活中的图片 ，想想在同一平面内，两条直 线的位置关系都有哪两种？
探究新知
一、相交线、平行线的概念
1.若两条直线只有一个公共点，我们称这 两条直线为相交线. 2.在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线.
探究新知
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m? 5
1
.
∵l1⊥l2，∴k1·k2=-1.
? 1?m ? 1 ? ? 1,? m ? ?6. 5
题型分类 深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直 【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P 在 x轴上，分别求满足下列条件的 P 点坐标.
（1）∠MOP =∠OPN （O是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角. 思维启迪 ∠MOP =∠OPN ? OM∥PN ，∠MPN是
以为（3，3）或
???158
,
9 5
??. ?
题型二 两直线的交点
【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 思维启迪 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式； 也可利用直线系方程求解.
解
方法一
先解方程组
?3x ?? 5 x
解析 设B（x，1），则由|AB|=5，
得（x-2）2=25，
∴x=7或x=-3.
∴B 点坐标为（7，1）或（-3，1）.
4.已知直线l的倾斜角为 3? ，直线l1经过点
4 A （3，2）、B （a，-1），且l 1与l 垂直，直
线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于
（ B）
A.-4
公共点的坐标与方程组
? A1x ? B1y ? C1 ? 0
? ?
A2
x
?
0
的解一一对应.
? 的解；
? ?
唯一解，交点坐标就是方程组
无解 ； 无数个解 .
3.三种距离公式 （1）点A （x1，y1）、B （x2，y2）间的距离:
|AB |= (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 .
B.-2
C.0
D.2
解析 l的斜率为-1，则l1的斜率为1,
kAB= 2 ? (? 1) =1,a=0. 3? a
由l1∥l2, ? 2 ? 1, b=-2,所以a+b=-2. b
5.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P （-2，-1），
Q（3，m），若l1⊥l2，则实数m= -6 .
解析
由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2=
（1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ， AD ⊥CD ，
∵kBC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x=3.
又kAD =kBC ，∴
y? x
3
=0，即y=3.
此时AB与CD 不平行.
故所求点D 的坐标为（3，3）.
（2）若AD 是直角梯形的直角边，
则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，kAD =
当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1.
所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相
垂直”的充要条件.
3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个
端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标
是
（ A）
A.（-3，1）或（ 7，1） B.（2，-3）或（2，7）
C.（-3，1）或（ 5，1） D.（2，-3）或（2，5）
? ?
2 2
y y
? ?
1 1
? ?
0 ,
0
得l1、l2的交点（-1，2），
y ? 3 ，kCD = x
y x?3
.
由于AD ⊥AB ，∴ y ? 3·3=-1.
x y 又AB∥CD ，∴ x ? 3 =3.
? ?
x
?
18 5
,
解上述两式可得
? ?
y
?
9
,
此时AD 与BC 不平行.
?5
故所求点D 的坐标为
???158
,
9 5
??, ?
综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可
§9.2 两条直线的位置关系
基础知识 自主学习
要点梳理 1.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 l 1,l 2，其斜率分别为 k1,k2,则有l1∥l2 ? k1=k2 .特别地，当直线l1、 l2的斜率都不存在时，l1与l2 平行 .
(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2 ? k1·k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两直线垂直. 2.两直线相交 交点：直线l1:A1x+B1y+C 1=0和l2:A2x+B2y+C 2=0的
（2）点P （x0，y0）到直线l：Ax+By+C =0的距离:
Ax0 ? By0 ? C
d=
A2 ? B2 .
（3）两平行直线 l1：Ax+By+C 1=0与l2：Ax+By +C 2=0
C2 ? C1 （C 1≠C 2）间的距离为d= A2 ? B2 .
基础自测
1.（2008·全国Ⅱ文，3）原点到直线x+2y-5=0的
距离为
A.1
B. 3
C.2
（ D） D. 5
解析 d ? ? 5 ? 5. 1? 22
2.（2008·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和
直线x-ay=0互相垂直”的
（ C）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立；
知能迁移1 已知A（0，3）、B（-1，0）、C （3， 0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形 （A、B、C 、D 按逆时针方向排列）. 解 设所求点D 的坐标为（x，y）， 如图所示，由于kAB =3，kBC =0， ∴kAB·kBC =0≠-1， 即AB与BC 不垂直，故AB、BC 都 不可作为直角梯形的直角边.
∴kMP ·kNP =-1.
2 又kMP = 2 ? x（x≠2），kNP =
2 （x≠5）， x?5
∴ 2 ? 2 =-1，解得x=1或x=6,
2? x x?5
即P （1，0）或（6，0）.
探究提高 （1）充分掌握两直线平行与垂直的条 件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1和l2, l1∥ l2 ? k1=k2, l1⊥l2 ? k1·k2= -1. 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直 线的斜率是多少一定要特别注意. （2）注意转化与化归思想的应用.
? MP⊥NP ，故而可利用两直线平行和垂直 的条件求得.
解 设P（x，0），
（1）∵∠MOP =∠OPN ，∴OM∥NP .
∴kOM=kNP .又kOM=
2? 2?
0 0
=1，
k NP
?
0 ? (?2) ? x? 5
2 (x ? x? 5
5),
? 1 ? 2 ,∴x=7，即P（7，0）.
x?5
（2）∵∠MPN =90°，∴MP⊥NP ，