最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案
2020-2021苏州市高中必修三数学上期中试卷(带答案)
2020-2021苏州市高中必修三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．142．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．123．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +6．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．157．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．458．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.31 9．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．210．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．1511．已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．2312．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题13．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 为_______．14．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________． 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.16．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．17．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 18．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.19．已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$35y x =-，则m 的值为__________．x0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.220．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．三、解答题21．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.22．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32i i y ==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑，()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.23．己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.24． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.25．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.26．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B．2．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.3．C解析：C【解析】【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可．【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．4．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.5．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．6．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7．C解析：C 【解析】【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为41205=， 故选D ． 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;应填答案 解析：12【解析】 【分析】 【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当2,135S i ==<,则执行运算132,222S i =-==;继续运行: 325,3236S i =-==;继续运行: -----;当35i =时;12S =,应填答案12．14．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的解析：36p【解析】分析：不等式组0303xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y+<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y+<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936Pππ==，故答案为36p.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．15．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：13【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABPDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3 tan3CBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 16．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相133π【解析】【分析】不妨设2AB=33AB=，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1332AB=率公式可得结果.【详解】依题意，不妨设2AB=，33AB=，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为133222AB⨯=，由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108Pππ⨯⨯+⨯⨯==，故答案为108.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 17．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7，∴v0=2,v1=2×2-1=3,v2=3×2+3=9,v3=9×2=18.故答案为：18.18．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中解析：23【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C⨯⨯=种,其中23C表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C表示从三种组合中选一个，12C表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=.考点：古典概型及其概率计算公式．19．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据解析：3【解析】由题意可得：0135635x++++==，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ， 即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算$,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．20．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.三、解答题21．见解析 【解析】 【分析】 【详解】 解：流程图如下：程序如下：INPUT a，bIF a＝0 THENIF b＜0 THENPRINT“任意实数”ELSEPRINT“无解”ELSEIF a＞0 THENPRINT“x＜“；﹣b/aELSEPRINT“x＞“；﹣b/aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.22．（1）见解析；（2）1.744【解析】【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值..【详解】(1)由题意得,()()()()71772211i ii i i tty y r tty y ===--=--∑∑∑∴0.75>所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知得()()()71721 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3yt =+ 将2019年对应的8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y=+⨯=. 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨. 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 23．（1）89 （2）78【解析】 【分析】（1）列出基本事件共9个，统计满足条件的共8个，得到答案. （2）画出图像，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】（1）满足,x y M ∈，且, x y 为整数的基本事件有：()0,1,0,(), 0()0,1-，()(),,(),(1,11,01,12,12,0),(),)1(2,--共9个，满足0x y +≥的基本事件有：()()0,00,1,1,11,01(),,1()(),,,1(2,)--,(),2,0(2,1)共8个， 由古典概型可知：0x y +≥的概率为89. （2）设事件A 为：,, 0x y M x y ∈+≥，由几何概型中的面积型，结合图象可知：()2111721128AEO S S P A S S ∆⨯⨯==-=-=阴阳正.【点睛】本题考查了古典概型和几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力. 24．（1）6791；（2）一年中平均有120天的空气质量达到一级． 【解析】 【分析】（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中， 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的概率．（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一级． 【详解】解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天， ∴从这15天的数据中任取3天的数据， 则至少有一天空气质量达到一级的概率为：1221351051053331515156791C C C C C p C C C =++=． （2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，13601203E η∴=⨯=（天)，∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．（1）0.04a =（2）基本事件见解析, 所求的概率为815【解析】 【分析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出a ；（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为a ，b ，c ，d ，第五组的2人表示为A ，B ，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。
2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}，则A ∩B =______．2. 已知复数z 满足z2+i =i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为______． 3. 已知向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值是______． 4. 函数y =√2−x的定义域为______．5. 在等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=8，则前5项和S 5= ______ ．6. 已知tanα=2，则sinαcosα+2sinα的值为______．7. “x >2”是“x >1”的______ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8. 已知函数y =sin2x 的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数y =sin(2x +π6)的图象，则φ的值为______． 9. 设函数f(x)={e x ,x ≥02x +1,x <0，则不等式f(x +2)>f(x 2)的解集为______．10. 已知函数f(x)=lnx −mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围为______． 11. 已知各项都为正数的等差数列{a n }中，a 5=3，则a 3a 7的最大值为______． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．13. 若方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2，则cos(x 1−x 2)=______．14. 已知函数f(x)=3x 2−x 3，g(x)=e x−1−a −lnx ，若对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)，则实数a 的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C =120°，c =7，a −b =2．(1)求a ，b 的值； (2)求sin(A +C)的值．16.已知向量a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)．]，求x的值；(1)若a⃗//b⃗ ，x∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ ，x∈[0,π217.已知等比数列{a n}满足a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=|a n−2n+1|，求数列{b n}的前n项和为T n．18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所米，∠COD=120°，现根据需要把此窑在圆的圆心为O.经测量AB=4米，BC=√33洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF=θ，矩形EFGH的面积为S．(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2)求cosθ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？19. 已知函数f(x)=√x −1√x ．(1)求f(x)的图象在x =1处的切线方程； (2)求函数F(x)=f(x)−x 的极大值；(3)若af(x)≤lnx 对x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足(n −1)a n+1=na n −a 1,n ∈N ∗．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2−a 1=1，且对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，求整数a 1的值；(3)设数列{b n }满足b n =a n +310，若a 2−a 1=15，且存在正整数s ，t ，使得a s +b t 是整数，求|a 1|的最小值．21. 已知二阶矩阵M =[a13b ]的特征值λ=−1所对应的一个特征向量为[−13]． (1)求矩阵M ；(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2=x ，求曲线C 的方程．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosβy =tsinβ(t 为参数，0<β<π2)，若曲线C 被直线l 截得的弦长为√13，求β的值．23. 设正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求证：ab+c +bc+a +ca+b ≥32．24. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．25. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AA 1=b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE =13BB 1，C 1F =13CC 1.设λ=ba ．(1)当λ=3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，求λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解：∵集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】−1【解析】解：由z2+i =i ，得z =i(2+i)=−1+2i ． ∴复数z 的实部为−1． 故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】1【解析】解：∵向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴2x −2=0，求得x =1， 故答案为：1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出x 的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】(1,2)【解析】解：函数y =√2−x中，令{x −1>02−x >0， 解得1<x <2，所以函数y 的定义域为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1,a4=8，∴q3=a4a1=8，解得q=2，则前5项和S5=1×(1−25)1−2=25−12−1=31．故答案为：31．6.【答案】25【解析】解：∵tanα=2，∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25．故答案为：25．由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】充分不必要【解析】解：当x>2时，x>1一定成立．当x>1时，x>2不一定成立，比如当x=32时，满足x>1时，但x>2不成立．∴“x>2”是“x>1”充分不必要条件．故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】π12【解析】解：把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数y=sin(2x+π6)=sin(2x+2φ)的图象，∴2φ=π6，则φ=π12，故答案为：π12．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】(−1,2)【解析】解：根据题意可知函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x+2)>f(x2)等价于x+2>x2，即x2−x−2<0，解得−1<x<2，即不等式的解集为(−1,2)利用该分段函数的单调性可得x+2>x2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题．10.【答案】(−∞,−1e)【解析】解：由f(x)=lnx−mx ，得f′(x)=x+mx2(x>0)．令f′(x)=0，则x=−m，因为f(x)=lnx−mx的极小值大于0，所以−m>0，所以m<0，所以当x>−m时，f′(x)>0，当0<x<−m时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,−m)上单调递减，在(−m,+∞)上单调递增，所以f(x)极小值=f(−m)=ln(−m)+1>0，所以m<−1e，综上，m的取值范围为(−∞,−1e).故答案为：(−∞,−1e).对f(x)求导，根据f(x)=lnx−mx的极小值大于0，可得m<0，然后判断f(x)的单调性求出极小值，再由f(x)的极小值大于0，建立关于m的不等式，求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.【答案】9【解析】解：依题意，等差数列{a n }各项都为正数， 所以a 3>0，a 7>0， 所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．当且仅当a 3=a 7=3时等号成立． 故答案为：9．因为等差数列{a n }各项都为正数，所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.【答案】13【解析】解：如图，∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 (DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6， 得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得−ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得13CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴13×3×3cosC =1，∴cosC =13， 故答案为13．利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决． 此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.【答案】−35【解析】解：由方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2， 得cos(2x 1−π6)=cos(2x 2−π6)， ∵x ∈(0,π)，∴2x −π6∈(−π6,11π6)，∴2x 1−π6+2x 2−π62=π，∴x 1=7π6−x 2．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2).又cos(2x 2−π6)=35．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)=−cos(2x 2−π6)=−35． 故答案为：−35． 由已知可得x 1+x 2=7π6，得到x 1=7π6−x 2，则cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)，结合已知得答案．本题考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题．14.【答案】[1,e 2−4−ln3)【解析】解：f(x)=3x 2−x 3，x ∈(0,3)， f′(x)=6x −3x 2=3x(2−x)，可得：函数f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而f(0)=f(3)=0，f(2)=4． ∴f(x)∈(0,4]=A ．g(x)=e x−1−a −lnx ，x ∈(0,3)， g′(x)=e x−1−1x ，在x ∈(0,3)上单调递增， g′(1)=0，∴函数g(x)在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．x →0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a ，g(3)=e 2−a −ln3． 令B =[1−a,e 2−a −ln3)．对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)⇔A ⊆B ．∴1−a ≤0，且4<e 2−a −ln3． 解得1≤a <e 2−4−ln3．∴实数a 的取值范围为[1,e 2−4−ln3)． 故答案为：[1,e 2−4−ln3)．f(x)=3x2−x3，x∈(0,3)，f′(x)=6x−3x2=3x(2−x)，可得其单调性极值与最值，设其值域为A.g(x)=e x−1−a−lnx，x∈(0,3)，g′(x)=e x−1−1x，在x∈(0,3)上单调递增，g′(1)=0，x→0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a，g(3)=e2−a−ln3.令B= [1−a,e2−a−ln3).对于任意x1∈(0,3)，总是存在两个不同的x2，x3∈(0,3)，使得f(x1)=g(x2)=g(x3)⇔A⊆B.即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：(1)∵余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，且c=7，C=120°，∴可得a2+b2+ab=49，∵a−b=2，∴b2+2b−15=0，∵b>0，∴可得b=3，a=5．(2)∵由(1)可知a=5，b=3，c=7，∴cosB=a2+c2−b22ac =1314，∵B为△ABC的内角，∴sinB=√1−cos2B=3√314，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=3√314，∴sin(A+C)的值为3√314．【解析】(1)由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49，结合a−b=2，即可解得a，b的值．(2)由(1)及余弦定理可求cos B，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin(A+C)的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)∵a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)，a⃗//b⃗ ，∴cosxsinx=√3cos2x，∴cosx(sinx−√3cosx)=0，∴cosx =0或sinx −√3cosx =0， 即cosx =0；或tanx =√3， ∵x ∈[0,π2]，∴x =π2或x =π3；(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =cos 2x +√3cosxsinx =1+cos2x 2+√32sin2x =sin(2x +π6)+12∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴f(x)∈[0,32]，故f(x)的最大值为32，此时x =π6．【解析】(1)利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解； (2)把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 此题考查了向量共线，数量积，三角函数求值等，难度不大．17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q(q ≠0)，∵a 2，a 3+1，a 4成等差数列，∴2(a 3+1)=a 2+a 4， ∵a 2=2，∴2(2q +1)=2+2q 2，解得q =2或q =0(舍)． ∴a 1=a 2q=1．∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1； (2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，∴c n+1−c n =2n −2(n +1)+1−(2n−1−2n +1)=2n−1−2． ∴当n ≥3时，c n+1>c n ． 又c 4=1>0，∴当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1． ∵c 1=0，c 2=c 3=−1，∴b 1=0，b 2=b 3=1． ∴T 1=0，T 2=1，T 3=2，当n ≥4时，T n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b n=2+b 4+b 5+⋯+b n =2+(23+24+⋯+2n−1)−(7+9+⋯+2n −1) =2+23(1−2n−3)1−2−7+2n−12(n −3)=2n −n 2+3．综上，T n ={0,n =11,n =22,n =32n −n 2+3,n ≥4．【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；(2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，作差可得当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1，再求出数列{b n }的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{b n }的前n 项和为T n ．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.【答案】解：(1)如下图所示，作OP ⊥CD 分别交AB ，GH 于点M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD =120°， 故OM ⊥AB.ON ⊥GH ，P 、M 、N 分别为CD ，AB ，GH 的中点． ∠CON =60°，在Rt △COP 中，CP =2，∠COP =60°，所以OC =43√3，OP =23√3， ∴OM =OP −PM =OP −BC =√33， 在Rt △ONG 中，∠GON =∠OGF =θ，OG =OC =43√3， ∴GN =43√3sinθ，ON =43√3cosθ，∴GH=2GN=83√3sinθ，GF=MN=ON−OM=43√3cosθ−√33，∴S=GF⋅GH=(43√3cosθ−√33)⋅83√3sinθ=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).∴S关于θ的函数关系式为：S=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).(2)根据(1)，知：S′=83(4cos2θ−4sin2θ−cosθ)=83(8cos2θ−cosθ−4)，∵θ∈(0,π3)，∴cosθ∈(12,1)．故令S′=0，解得cosθ=1+√12916∈(12,1)．设θ0∈(0,π3)且cosθ=1+√12916，∴S′>0，得0<θ<θ0，即S在(0,θ0)单调递增，S′<0，得θ0<θ<π3，即S在(θ0,π3)单调递减，∴当θ=θ0时，S取得最大值，∴当cosθ0=1+√12916时，矩形EFGH的面积S最大．【解析】本题第(1)题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；第(2)题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出S′=0时的cosθ的值，三角计算即可得出结果．本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力．本题属中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x+2x√x，∴f′(1)=1．f(1)=0，∴切点(1,0)．∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为：y=x−1．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x−x(x>0)．F′(x)=2√x2x√x1，∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减，又F′(1)=0．x∈(0,1)时，F′(x)>0，函数F(x)在(0,1)上单调递增；x∈(1,+∞)时，F′(x)<0，函数F(x)在(0,1)上单调递减．∴x=1时，函数F(x)取得极大值，F(1)=−1．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x)，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x −a2(x x x)=√x)2√x−a2x x．①a≤0时，g′(x)>0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递增．又g(1)=0，∴∃x0∈(0,1]时，g(x0)<0，与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立矛盾，舍去．②a≥1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2≤0，∴u(x)≤0，∴g′(x)≤0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递减．又g(1)=0，∴g(x)≥g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，∴a≥1成立．③0<a<1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2>0，由u(x)=0，解得：√x1=1−√1−a2a =2∈(0,1)；√x2=1+√1−a2a>1．∴0<x1<1<x2．∴x∈(x1,1)时，u(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在x∈(x1,1)单调递增．又g(1)=0，∴g(x1)<g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，舍去．综上可得：a≥1成立．【解析】(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x2x√x，可得f′(1)=1.切点(1,0).利用点斜式即可得出切线方程．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x −x(x>0).F′(x)=2√x+2x√x1，F′(x)在(0,+∞)上单调递减，而F′(1)=0.即可得出单调性与极值．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x )，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x−a2(√x+x√x)=√x)2√x−a2x√x.a分类讨论，令u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：(1)数列{a n}满足(n−1)a n+1=na n−a1,n∈N∗.①当n≥2时，(n−2)a n=(n−1)a n−1−a1,n∈N∗②①−②得(n−1)a n+1−2(n−1)a n+(n−1)a n−1=0，所以a n+1−2a n+a n−1=0，所以数列{a n}为等差数列．(2)由(1)得a2−a1=1，所以数列的公差为1，由于对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，所以13<1S 1<43，则34<S 1<3，即34<a 1<3．所以1S 1+1S 2=1+13=43，这与题意相矛盾，所以a 1≠1．当a 1=2时，a n =n +1， 所以S n =n(n+3)2>0，1S 1=12>13，1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n>13恒成立．由于1S n=23(1n −1n+3)，所以1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n=23(1−14+12−15+13−16+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n −1n+3)，=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)<119<43．综上所述a 1=2．(3)由于a 2−a 1=15，所以数列{a n }的公差d 为15， 所以a n =a 1+15(n −1)， 则b n =a 1+15n +110，由题意知设存在正实数s 和t ，使得a s +b t =l ， 则a 1+s5+a 1+t5+110=l ，则20a 1=2(5l −s −t)+1由于5l −s −t ∈Z ，所以2(5l −s −t)为偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120． 当a 1=120时，b 4=1920， 所以存在a 1+b 4=l ∈Z ， 综上所述，|a 1|=120．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明． (2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：(1)依题意，得[a 13b]⋅[−13]=[1−3]，即{−a +3=1−3+3b =−3，解得{a =2b =0， ∴M =[2130]．(2)设曲线C 上一点P(x,y)在矩阵M 的作用下得到曲线y 2=x 上一点P′(x′,y′)，则 [x′y′]=[2130]⋅[xy ]，即{x′=2x +y y′=3x ．∵y′2=x′， ∴9x 2=2x +y ，∴曲线C 的方程为y =9x 2−2x ．【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得a 、b 的值，即可得到矩阵M ；第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程．本题属中档题．22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4．转换为直角坐标方程为y =k(x −1)(k =tanβ)， 由于曲线C 被直线l 截得的弦长为√13， 所以圆心到直线的距离d =√4−134=√32=√3−k|2，解得k =±√3， 由于0<β<π2， 所以k =tanβ=√3， 解得β=π3．【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由于a +b +c =1，则a b+c +b c+a +c a+b =1−(b+c)b+c+1−(c+a)c+a+1−(a+b)a+b=1b+c+1c+a +1a+b −3，对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式 [(b +c)+(c +a)+(a +b)](1b+c+1c+a+1a+b)≥(√b +c √b+c√c +a ⋅√c+a√a +b ⋅√a+b )2=9， 所以1b+c +1c+a +1a+b ≥92，从而ab+c +bc+a +ca+b ≥92−3=32，当且仅当a =b =c =13时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式． 本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构．24.【答案】解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且有{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，即{(1−34)[1−P(C)]=112P(B)P(C)=14， 解得P(B)=38，P(C)=23．∴乙击中目标的概率为38，丙击中目标的概率为23． (2)由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =2)=14，P(X =0)=P(B −)P(C −)=58×13=524， P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=1324，∴X 的分布列为：E(X)=0×524+1×1324+2×14=2524．【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴AA 1⊥平面ABC ，∵AB ，AC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∵∠BAC =90°，∴建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，设a =1，则AB =AC =1，AA 1=3，∴A(0,0，0)，E(1,0，1)，A 1(0,0，3)，F(0,1，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=−12，∴向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120°． ∴异面直线AE 与A 1F 所成角为60°．(2)∵E(a,0，b3)，F(0,a ，2b3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，b3)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，2b3)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +b3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay +2b3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(−λ3,−2λ3,1)， 同理得平面A 1EF 的一个法向量p ⃗ =(2λ3,λ3,1)，∵平面AEF ⊥平面A 1EF ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−2λ29−2λ29+1=0，解得λ=23．∴当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，λ的值为23．【解析】(1)推导出AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与A 1F 所成角． (2)推导出平面AEF 的法向量和平面A 1EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面A 1EF ，能求出λ的值．本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3]C．（2，3]D．[2，3]∪{﹣2} 2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（）A．B．C．D．3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（）A．160B．180C．200D．2204．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a•e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A．125B．100C．75D．1508．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若，S n＜2，则{a n}的公比的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选题（共4小题）.9．（5分）已知函数，则（）A．g（x）的图象关于点对称B．g（x）的图象的一条对称轴是C．g（x）在上递减D．g（x）在值域为（0，1）10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则（）A．若S5＞S9，则S15＞0B．若S5＞S9，则S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则S7＞S8D．若S6＞S7，则S5＞S611．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（）A．B．C．k＝1D．k＞1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为．14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为．15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．19．（12分）在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．20．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项相分别为S n，T n．①是否存在正整数k．使得T k+1＝T k+b k+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②解关于n的不等式S n≥b n．21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax•sin x．（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3]C．（2，3]D．[2，3]∪{﹣2}解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣2或x＞2}，∴A∩B＝（2，3]．故选：C．2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（）A．B．C．D．解：∵角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），∴tanα＝＝，∴cos2α＝3sinα﹣sin2α，∴sinα＝，故选：C．3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（）A．160B．180C．200D．220解：∵a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18＝54＝3（a1+a20）∴a1+a20＝18∴＝180故选：B．4．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件解：定义域为R⇒a≥0，∵{a|a≥1}⫋{a|a≥0}，∴函数“的定义域为R”是“a≥1”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f（x），得f（π）＜0，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a•e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A．125B．100C．75D．150解：由题意得V＝a•e﹣50k＝a，①可令t天后体积变为a，即有V＝a•e﹣kt＝a，②由①可得e﹣50k＝，③又②÷①得e﹣（t﹣50）k＝，两边平方得e﹣（2t﹣100）k＝，与③比较可得2t﹣100＝50，解得t＝75，即经过75天后，体积变为a．故选：C．8．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若，S n＜2，则{a n}的公比的取值范围是（）A．B．C．D．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1．∵，S n＜2，∴＞0，＜2，∴1＞q＞0．∴1≤4﹣4q，解得．综上可得：{a n}的公比的取值范围是：．故选：A．二、多项选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）已知函数，则（）A．g（x）的图象关于点对称B．g（x）的图象的一条对称轴是C．g（x）在上递减D．g（x）在值域为（0，1）解：∵函数＝﹣sin x﹣cos x＝﹣2sin（x+），令x＝，求得g（x）＝﹣2，为最小值，故A错误、B正确；当x∈（﹣，），x+∈（﹣，），函数g（x）单调递减，故C正确；当x∈（﹣，），x+∈（0，），函数g（x）∈[﹣2，0），故D错误，故选：BC．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则（）A．若S5＞S9，则S15＞0B．若S5＞S9，则S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则S7＞S8D．若S6＞S7，则S5＞S6解：若S5＞S9，则5a3＞9a5，即5（a1+2d）＞9（a1+4d），即a1+＜0，∴d＜﹣a1＜0，数列{a n}是递减数列，又S15＝15a8＝15（a1+7d）＜15（a1﹣a1×7）＝﹣a1＜0，故选项A错误；又d＜﹣a1＜0，不妨取d＝﹣a1，则a7＝a1+6d＝﹣a1＜0，故选项B错误；若S6＞S7，则a7＜0，又a1＞0，∴数列{a n}是递减数列，∴S8＜S7，故选项C正确；又当a7＜0时，a6有大于0的情形，故选项D错误，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．解：函数f（x）的图象如图所示：因为b＞a＞1，则由图知1＜a＜2＜b，A正确，且由f（a）＝f（b）可得：lg（b﹣1）＝﹣lg（a﹣1），则（a﹣1）（b﹣1）＝1，故a+b＝ab，B正确，所以≥2＝2，又因为a＜2，所以“＝”不能取，故，D正确，故选：ABD．12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（）A．B．C．k＝1D．k＞1【解答】解∵函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，∴e x•x﹣（lnx+k）﹣x＝0，∴xe x﹣k﹣ln（xe x）＝0，令t＝xe x，（t＞0），则g（t）＝t﹣k﹣lnt，（t＞0）此函数只有一个零点，∴，可知g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；∴g（1）＝0，∴k＝1，此时＝1⇒．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为．解：因为f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）对任意的x都成立，即ax2﹣（a+2）x+a2＝ax2+（a+2）x+a2，所以﹣（a+2）x＝（a+2）x恒成立，所以a+2＝0即a＝﹣2，f（x）＝﹣2x2+4，由＜0，解得，﹣或x＞2．故答案为：．14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为．解：2﹣4y2＝xy+≥2＝2y，当且仅当xy＝，即x＝1时，等号成立．所以4y2+2y﹣2≤0，即2y2+y﹣1≤0，解得y≤，又∵y＞0，故0＜y≤．所以y的最大值为．故填：．15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为40000元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．解：设1月月底小王手中有现款为a1＝（1+20%）×10000﹣1000＝11000元，n月月底小王手中有现款为a n，n+1月月底小王手中有现款为a n+1，则a n+1＝1.2a n﹣1000，即a n+1﹣5000＝1.2（a n﹣5000），所以数列{a n﹣5000}是首项为6000，公比为1.2为公比的等比数列，∴，即＝50000，年利润为50000﹣10000＝40000元，故答案为：40000．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为2解：根据题意构造F（x）＝xf（x）﹣x，由定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，又F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）+x＝﹣xf（x）+x＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＞1，即F′（x）＝f（x）+xf′（x）﹣1＞0，所以F（x）在[0，+∞）递增，所以F（x）为R上的奇函数且单调递增，因为对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，即F（e x）﹣F（ax）＞0，即F（e x）＞F（ax），可得e x＞ax对任意x∈R恒成立．又y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，e x﹣a＞0，函数y＝e x﹣ax为增函数，e x＞ax对任意x∈R不恒成立；当a＞0时，x＞lna时，y′＞0，函数y递增；x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna时，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则a﹣alna＞0，解得0＜a＜e，故正整数a的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．解：（1）函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x﹣φ）．∵|φ|≤，∴﹣φ∈[﹣，]，g（φ）＝f（）＝sin（﹣φ）∈[﹣，1]．（2）若φ＝，则f（x）＝sin（2x﹣φ）＝sin（2x﹣）．∵sinα﹣2cosα＝0，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝﹣，故f（α）＝sin（2α﹣）＝sin2α﹣cos2α＝﹣×（﹣）＝．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．解：∵（1）当a＝3时函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x，函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x＝﹣x3+x2﹣2x，∴f′（x）＝﹣x2+3x﹣2，﹣x2+3x﹣2＞0，即1＜x＜2﹣x2+3x﹣2＜0即x＞2，x＜1．所以函数f（x）的单调增区间（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1），（2，+∞）（2）对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1），即x2﹣ax+2a＞0，△＝a2﹣8a，g（x）＝x2﹣ax+2a，当△＜0时0＜a＜8，不等式成立．当△≥0时，即a≥8，a≤0，g（1）＞0，≤1﹣1＜a≤0，综上实数a的取值范围：﹣1＜a＜8．19．（12分）在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．20．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项相分别为S n，T n．①是否存在正整数k．使得T k+1＝T k+b k+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②解关于n的不等式S n≥b n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比是q，由题意得，解得：d＝2，故a n＝a1+（n﹣1）d＝2n，由题意得，解得：q＝2，故b n＝b1q n﹣1＝2n；（2）①假设存在T k+1＝T k+b k+32，即T k+1﹣T k＝b k+32，即b k+1＝b k+32，即2k+1＝2k+32，解得：k＝5，故存在k＝5符合题意；②令f（n）＝S n﹣b n，即解不等式f（n）≥0，f（n+1）﹣f（n）＝S n+1﹣S n﹣（b n+1﹣b n）＝a n+1﹣（b n+1﹣b n）＝2（n+1）﹣2n，令F（n）＝2（n+1）﹣2n，n∈N*，F（n+1）﹣F（n）＝2﹣2n，当n＝1时，F（n+1）﹣F（n）＝0，即F（1）＝F（2）＝2，当n≥2时，F（n+1）﹣F（n）＜0，即F（2）＞0＝F（3）＞F（4）＞…＞F（n）＞…，故n＝1，2时，f（n+1）﹣f（n）＞0，n＝3时，f（n+1）﹣f（n）＝0，n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＜0，又f（1）＝S1﹣b1＝a1﹣b1＝0，f（4）＝f（3）＝S3﹣b3＝a1+a2+a3﹣b3＝4，f（5）＝S5﹣b5＝a1+a2+a3+a4+a5﹣b5＝﹣2＜0，故0＝f（1）＜f（2）＜f（3）＝f（4）＞0＞f（5）＞f（6）＞…＞f（n）＞…，故f（n）≥0即S n≥b n的解为n∈{1，2，3，4}．21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．解：（1）设x∈[﹣4，0）时，﹣x∈（0，4]，所以g（﹣x）＝﹣x2﹣4x，又函数g（x）是奇函数，所以g（x）＝﹣g（﹣x）＝x2+4x，所以函数g（x）的解析式为：g（x）＝；（2）设该区间为[a，b]⊆[2，4]，则g（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，g（x）在区间[a，b]上递减，由题意可得：，解得a＝2，b＝，所以函数g（x）在[2，4]上的“8倍倒域区间”为[2，+1]；（3）由g（x）＝，则函数g（x）在[﹣4，﹣2]，[2，4]上单调递减，在区间[﹣2，2]上单调递增，设g（x）的“k倍倒域区间”为[a，b]，且k≥8，则，解得ab＞0，①当2≤a＜b≤4时，，即方程x3﹣4x2+k＝0在[2，4]上有两个不同的根，令f（x）＝x3﹣4x2+k，x∈[2，4]，f′（x）＝x（3x﹣8），当x∈[2，]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈[]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（2）＝﹣8+k，f（4）＝k，f（）＝﹣+k，要使得f（x）在[2，4]上有两个不同的零点，则，解得k∈[8，），同理可得：﹣4≤a＜b≤﹣2时，k∈[8，）；②﹣4≤a≤﹣2＜b＜0时，可得b＝﹣，矛盾，舍去，③0＜a＜2＜b≤4时，可得a＝，矛盾，舍去，④﹣2≤a＜b＜0时，g（x）在[a，b]上递增，则，两式相减可得：，又a≠b，故a+b+4＝，即，代入a，可得ab＝0，矛盾，舍去，同理，0＜a＜b≤2也不符，舍去，综上，k．22．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax•sin x．（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．解：（1）f（0）＝1，f′（x）＝e x+a sin x+ax cos x，f′（0）＝1，故所求切线方程为：y＝x+1；（2）证明：a＝﹣2，f（x）＝e x﹣2x sin x，g（x）＝﹣2sin x，x∈（﹣π，0），g′（x）＝，x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在[﹣，0）递减，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣2x2cos x，x∈（﹣π，﹣），h′（x）＝xe x﹣4x cos x+2x2sin x＝x（e x﹣4cos x+2x sin x），x∈（﹣π，﹣）时，h′（x）＜0，故h（x）在（﹣π，﹣）递减，h（﹣π）＝2π2﹣＞0，h（﹣）＝（﹣﹣1）＜0，h（﹣π）h（﹣）＜0，由零点存在性定理知：h（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，即g′（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，该零点即为x0，x∈（﹣π，x0）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，x∈（x0，﹣）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，又x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣π，x0）递增，在（x0，0）递减，∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＞g（﹣）＝2﹣＝＞0，∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＝﹣2sin x0＜﹣2sin x0＜2，故x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一的极大值点，且0＜g（x0）＜2．。
2020年江苏省高三(上)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，0，2}，则A∩B=______．2.已知复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的模是______3.函数f（x）=的定义域为______．4.根据如图所示的流程图，输出y的值为______．5.袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为______．6.已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+（a-2）y+1=0，则l1⊥l2的充要条件是______．7.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-＜φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是______．8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1a3=-3，S5=15，则S8的值是______．9.函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（-2，2]上，f（x）=，则f（f（2019））的值为______．10.若cos2α=sinα，0＜．则α的值为______11.已知实数x，y满足若对任意实数x，y都有，若对任意实数x，y都有a≥恒成立，则实数a的最小值为______．12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，D为边BC上一点，且AD=，E为边AC的中点，则的值为______．13.已知函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______14.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E（0，1），点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当||取得最小值时，直线GF的方程为______二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，-），且0＜θ＜．（1）若，求cos2θ的值．（2）若||=，求sinθ的值．16.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且c=a cos B+．（1）求tan B的值．（2）若a=1，求三角形ABC的面积．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点A为上顶点，直线AF1交椭圆于点B．（1）若a=，c=1，求点B的坐标；（2）若AF2⊥BF2，求椭圆的离心率．18.伦敦眼坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m），游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12（单位：10m），游客在乘坐舱P看建筑BC 的视角为θ．（1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ=30°，求建筑BC的高度．（2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角θ为45°时，拍摄效果最好，若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度．（为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m）19.已知函数f（x）=e x-1-，g（x）=ax-1-ln x．（1）若y=f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）对任意实数x＞0，都有g（x）＞0，求实数a的取值范围；（3）当0＜a＜1时，证明：存在唯一x1，x2∈（1，+∞）使得f（x1）=g（x2）=0，且x1＜x2．20.正项数列{a n}的前n项和为S n，且（1-q）S n+qa n-a1=0，n∈N+．（q为常数）；（1）求证：数列{a n}为等比数列．（2）若0＜q，且|b n|=11，对任意n≥2，n∈N+都有a1b1+a2b2+…+a n b n＞0，求b1的值．（3）若q=2，是否存在正整数m，k，n（m＜k＜n），且m+n＞2k，使得三项成等比数列．21.已知a，b∈R，向量是矩阵M=的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立析坐标系，若直线l的极坐标方程是）=，直线l与曲线C相交于A，B两点，若AB=．求实数a的值．23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直平面ABC，PA=2，AB=1，AD=2．（1）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值（2）点Q在PC上，且直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，确定点Q 的位置．24.若抛物线y2=4x，焦点为F，点A（1，2）为抛物线上的一点，直线L交抛物线于B、C两点，（1）若点F为三角形ABC的重心，求直线l的方程；（2）若直线AB与直线AC的斜率之和为0，求证：直线l的斜率为定值．答案和解析1.【答案】{2}【解析】解：∵集合A={1，2}，B={-1，0，2}，∴A∩B={2}．故答案为：{2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】5【解析】解：复数z===4-3i，则复数z的模==5．故答案为：5．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】（-∞，-1]∪[3，+∞）【解析】解：要使函数有意义，可得x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3．函数的定义域为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．利用被开方数非负，求解二次不等式得到函数的定义域．本题考查函数的定义域求法，考查计算能力．4.【答案】-2【解析】解：模拟执行如图所示的流程图如下；x=-2，x≤0，x=2-2=；x＞0，y=log2=-2；所以输出y的值为-2．故答案为：-2．模拟执行流程图的运行过程，即可得出程序结束时输出y的值．本题考查了程序的运行过程与应用问题，是基础题．5.【答案】【解析】解：从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；故其概率是==．故答案为：．根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6.【答案】a=1【解析】解：∵l1⊥l2⇔a+a-2=0，解得a=1．∴l1⊥l2的充要条件是a=1．故答案为：a=1．利用l1⊥l2⇔a+a-2=0，解得a．本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：函数f（x）=sin（2x+φ）的图象关于直线x=对称，则2×+φ=+kπ，k∈Z；解得φ=+kπ，k∈Z；又-＜φ＜，所以φ=．故答案为：．根据三角函数图象的对称性，结合φ的取值范围，即可求得φ的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】48【解析】解：因为a1a3=-3，S5=15，∴a1（a1+2d）=-3①，5a1+10d=15②，①②联立可得，a1=-1，d=2，则S8=8×（-1）=48．故答案为：48由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．9.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），则f（2019）=f（-1+2020）=f（-1），又由f（x）=，则f（-1）=|tan（-）|=1，则f（f（2019））=f（1）=sin=1；故答案为：1．根据题意，由f（x+4）=f（x）分析可得f（2019）=f（-1+2020）=f（-1），结合函数的解析式分析可得f（-1）的值，进而计算可得答案，本题考查函数的周期性的应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵0＜，∴sinα＞0，∵cos2α=sinα，即1-2sin2α=sinα，∴2sin2α+sinα-1=0，解得：sinα=，或-1（舍去），∴α=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2sin2α+sinα-1=0，解得sinα=，结合α的范围即可求值得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．11.【答案】1【解析】解：实数x，y满足若对任意实数x，y都有，不等式组的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与D（-1，0）连线的斜率，显然BD的斜率取得最大值，最大值为：1，对任意实数x，y都有a≥恒成立，则实数a的最小值为：1．故答案为：1．画出约束条件的可行域，求出的最大值，然后求解a的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，是中档题．12.【答案】【解析】解：因为：在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，D为边BC上一点，且AD=，∴AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cos120°⇒7=4+BD2+2BD⇒BD=1 （负值舍）；∴=（-）•（）=（-）•（）=×（--）=（×32-×2×3×cos120°-22）=；故答案为：．先根据余弦定理求出BD ，再结合向量的运算代入数量积，整理即可求解．本题考查了数量积运算性质、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：①当x ≤0时，令x 3-ax 2-1=0，显然x ≠0，则x ＜0时，，记，则，令g ′（x ）=0，解得，易知当时，g ′（x ）＞0，当时，g ′（x ）＜0，故，作g （x ）的图象如下，②当x ＞0时，令，即，作图如下，容易求得函数y =ln x 上斜率为的切线方程，此时a =1-ln2，由图可知，满足条件的a 的取值范围为或a ＞1-ln2．故答案为：．分x ≤0及x ＞0两种情况，结合图象分析可得．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算能力，属于中档题．14.【答案】y=-x+1+【解析】解：设F（t，0），（0＜t≤4）．则直线EF的方程为：+y=1，可得：y=-+1．设G（a，b），（a，b＞0）．则×（-）=-1，+=1，联立解得a=，b=．∴G（，）．可得：a2+（b-1）2=1．（去掉点（0，0），（0，2）），圆心M（0，1），半径r=1．A（0，4），B（4，4）．∴+3=（-a，4-b）+3（4-a，4-b）=（12-4a，16-4b）．∴当||==2，设P（3，4）．可得：直线PM方程为：y=x+1．联立：y=x+1．x2+（y-1）2=1，x＞0，解得：x=，y=1+．G（，1+）．∴a=，b=1+时，||取得最小值，由=＞0，解得t=±1，∵k OG==+1．∴k EF=-=，可得：t=+1．因此取t=+1，直线GF的方程为：y-0=（x--1），化为：y=-x+1+．故答案为：y=-x+1+．设F（t，0），（0＜t≤4）．则直线EF的方程为：+y=1，可得：y=-+1．设G（a，b），（a，b＞0）．可得：×（-）=-1，+=1，联立解得G（，）．可得：a2+（b-1）2=1．（去掉点（0，0），（0，2）），圆心M（0，1），半径r=1.+3=（12-4a，16-4b）．当||==2，设P（3，4）．可得：直线PM方程为：y=x+1．联立：y=x+1．x2+（y-1）2=1，x＞0，解得：G（，1+）．进而得出结论．本题考查了直线与圆的方程、向量坐标运算性质、点的轨迹方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）由，可得=0，则sinθ-cosθ=0，又0＜θ＜，则tanθ=，可得θ=，所以cos2θ=cos=-．（2）由题意可得=（1+sinθ，cosθ-），所以||==，则sin（θ-）=，又0，所以-＜，所以cos（θ-）==，所以sinθ=sin[（θ-）+]=sin（θ-）+cos（θ-）=+=．【解析】（1）结合向量垂直的坐标表示即可求解；（2）由题意可得=（1+sinθ，cosθ-），利用向量的运算可求sin（θ-）=，可求范围-＜，根据同角三角函数基本关系式可求cos（θ-）的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinθ的值．本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（1）由余弦定理可得，c=a cos B+b=a，化简可得，，所以cos A==，因为0＜A＜π，所以A=，∵tan C=，tan B=tan（）==-7，（2）过B作BD⊥AC，垂足为D，Rt△BDC中，CD=a•cos C=，BD=a•sin C=，Rt△ADB中，AD=BD=，所以AC=AD+CD=，S△ABC==．【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简可求A，然后结合三角形的内角和及两角差的正切公式即可求解tan B；（2）过B作BD⊥AC，由a=1，结合锐角三角函数分别求出CD，AD，BD，进而可求AC ，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.【答案】解：（1）当a=，c=1可得b2=a2-c2=2-1=1，所以椭圆的方程为：+y2=1，所以由题意可得A（0，1），F1（-1，0），F2（1，0），所以直线AF1的方程为：y=x+1，代入椭圆可得：3x2+4x=0，所以x B=-，代入直线方程可得y B=-+1=-，所以点B的坐标为：（-，-）；（2）由题意可得直线AF1的方程为：+=1，与椭圆的方程联立，整理可得：（a2+c2）x2+2a2cx=0，所以可得x B=-，代入直线方程可得y B=，即B（-，），因为AF2⊥BF2，所以=0，而=（c，-b），同理可得=（，-），所以c[-b]=0，整理可得：4c2=a2，所以离心率e=．【解析】（1）由a，c的值及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程，进而可得A，F1的坐标，求出直线AF2的方程代入椭圆中可得B的坐标；（2）设直线AF1的方程代入椭圆求出B的坐标，再由AF2⊥BF2，所以=0，可得A，C的关系，进而求出离心率．考查椭圆的性质，属于中档题．18.【答案】解：（1）建立如图所示平面直角坐标系．直线CD的倾斜角为165°，∴，则CD所在直线方程为y=-（2-）x+12．令x=12，解得y=．∴建设BC的高度为（单位：10m）；（2）设建筑BC的高度为h（单位：10m），圆M：x2+（y-6）2=36．设三角形BPC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知：，∴R=．则点P满足圆N：，x≤12．又点P在圆M上，则||．∴．故建筑BC的最低高度为时，可以拍摄到效果最好的照片．【解析】（1）由题意建立平面直角坐标系，可得CD所在直线方程，令x=12解得y值即为建设BC的高度；（2）设建筑BC的高度为h（单位：10m），圆M：x2+（y-6）2=36，利用正弦定理求出三角形BPC的外接圆的半径，得到三角形BPC的外接圆方程，结合点P在圆M上，由两圆相交得圆心距与半径的关系，由此求得建筑BC的最低高度．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1），由题意可得，f′（1）=1-=0即a=1；（2）对任意实数x＞0，都有g（x）=ax-ln x-1＞0，可得a＞，令h（x）=，则，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当0＞1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，故当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a＞1，（3）①先证x1，x2存在性和唯一性，由=0可得x=1-ln a，当1＜x＜1-ln a时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1-ln a时，f′（x）＞0，函数单调递增，∵f（1）=1-＜0，f（2+）=，设t=1+，（t＞2），则f（2+）==e t-（t-1）（t+1）=e t-t2+1，＞0，故存在唯一的x1∈（1，+∞）使得f（x1）=0，当0＜a＜1时，g′（x）=，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞时，g′（x）＞00，g（x）单调递增，∴g（x）=，所以t时，g（t）＞0，又g（1）=a-1＜0，故存在唯一x2∈（1，+∞）使得g（x2）=0，②要证x1＜x2，只要证g（x1）＜0，因为g（x1）=ax1-1-ln x1且=0，即证＜0即证，由y=在（e，+∞）上单调递减且x＞1时，e x＞ex＞e∴，则g（x1）＜0，由g（（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，g（x2）=0所以x1＜x2．【解析】（1）由题意可得f′（1）=0，代入可求a；（2）由已知不等式可进行分离参数，然后转化为求解函数的最值问题，构造函数，结合导数可求；（3）结合导数及函数的性质及零点判定定理可证明本田综合考查了导数的极值存在条件，由不等式的恒成立求解参数范围问题及利用导数证明不等式问题，属于导数与函数的综合应用．20.【答案】解：（1）（1-q）S n+qa n-a1=0 ①，（1-q）S n-1+qa n-1-a1=0 （n≥2），②，①-②得：a n=qa n-1（n≥2），又a n＞0，∴，∴数列{a n}是公比为q的等比数列；（2）当b1=1时，a1b1+a2b2+…+a n b n＞a1-（a2+a3+……+a n）=＞0（0＜q），成立，当b1=-1 时，a1b1+a2b2+…+a n b n＜-a1+（a2+a3+……+a n）=-＜0（0＜q），与题意矛盾，∴b1=1；（3）假设存在，则由题意可知：，∴，设k-m=a，n-k=b，∴b＞a≥1，∴，∴（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0，记f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab，∴函数f（k）是开口向上的二次函数，对称轴为k=，令t=b-a，则t＞0，∴0＜≤1，即对称轴k∈（0，1），又∵f（0）=ab＞0，f（1）=2b-a-1+ab+a-b=2b-a+（a-1）（b+1）＞0，∴f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab＞0，∴（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0 不成立，综上所述，不存在三项成等比数列．【解析】（1）利用换下标作差的方法即可得到，所以数列{a n}是公比为q的等比数列；（2）对b1的值分情况讨论，根据题意可知当b1=1时符合题意，当b1=-1 时与题意矛盾，从而确定b1的值；（3）假设存在，则由题意可知：，即，设k-m=a，n-k=b，所以b＞a≥1，则（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0，记f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab，利用二次函数的性质可得f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab＞0，故（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0 不成立，所以不存在三项成等比数列．本题主要考查了数列的递推式，考查了数列求和，是中档题．21.【答案】解：由题意可得：•=3，可得a+1=3，1+b=3，解得a=b=2．∴M=．设λ为矩阵M的另一个特征值，则=（λ-2）2-1=0，解得λ=3或1．∴矩阵M的另一个特征值为1．【解析】由题意可得：•=3，可得a+1=3，1+b=3，解得a，b．可得M．设λ为矩阵M的另一个特征值，可得=0，解得λ．本题考查了矩阵变换、特征值与特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.【答案】解：曲线C的参数方程是，转化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=4．直线l的极坐标方程是）=，转换为直角坐标方程为x+y-2a=0．所以圆心（1，0）到直线x+y-2a=0的距离d==，解得：a=．【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.【答案】解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直平面ABC，PA=2，AB=1，AD=2．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（1，0，-2），=（1，2，-2），=（0，2，-2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角B-PC-D所成平面角为θ，则二面角B-PC-D所成平面角的余弦值为：cosθ===．（2）设Q（m，n，t），，0≤λ≤1，则（m，n，t-2）=（λ，2λ，-2λ），解得m=λ，n=2λ，t=2-2λ，∴Q（λ，2λ，2-2λ），=（λ-1，2λ，2-2λ），平面PCD的法向量=（0，1，1），∵直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，∴==．解得或．∴点Q是PC的中点或点Q在PC上，且．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D所成平面角的余弦值．（2）设Q（m，n，t），，0≤λ≤1，则（m，n，t-2）=（λ，2λ，-2λ），求出Q（λ，2λ，2-2λ），=（λ-1，2λ，2-2λ），平面PCD的法向量=（0，1，1），由直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，能求出点Q是PC的中点或点Q在PC上，且本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足线同角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.【答案】解：（1）设B（），C（），A（1，2），抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由点F为三角形ABC的重心，得，由②得，y1+y2=-2，由①得，，联立可得：，，则B（，-1-），C（，-1+），∴，则BC所在直线l的方程为y+1+=-2（x-1-），即2x+y-1=0；证明：（2）由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线AC的斜率为-k，AB：y-2=k（x-1），代入y2=4x，得ky2-4y-4k+8=0．则，得B（，），AC：y-2=-k（x-1），代入y2=4x，同理可得C（，-），则．∴直线l的斜率为定值-1．【解析】（1）设B（），C（），A（1，2），求出抛物线的焦点坐标，再由重心坐标公式列式求解B，C的坐标，求出直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线AC的斜率为-k，写出直线AB的方程，与抛物线方程联立求得B点坐标，同理求得C点坐标，再由斜率公式可得直线l 的斜率为定值-1．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题(含答案)
2020-2021苏州市高三数学上期中模拟试题(含答案)一、选择题1．下列命题正确的是A．若 a＞b,则a2＞b2B．若a＞b，则 ac＞bcC．若a＞b，则a3＞b3D．若a>b，则1a＜1b2．关于x的不等式()210x a x a-++<的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．[)(]3,24,5--⋃B．()()3,24,5--⋃C．(]4,5D．（4,5）3．已知等比数列{}n a中，31174a a a=，数列{}nb是等差数列，且77b a=，则59b b+=（）A．2B．4C．16D．84．已知幂函数()y f x=过点(4,2)，令(1)()na f n f n=++，n+∈N，记数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，则10nS=时，n的值是（）A．10B．120C．130D．1405．20,{0,x yz x y x y x yy k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z的最大值为6，z的最小值为（）A．0B．-1C．-2D．-36．当()1,2x∈时，不等式220x mx++≥恒成立，则m的取值范围是（）A．()3,-+∞B．()22,-+∞C．[)3,-+∞D．)22,⎡-+∞⎣7．如图，有四座城市A、B、C、D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．606km C．605km D．3km8．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，60A=︒，43a= 4b=，则B=（）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒9．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14 B ．21C ．28D ．3510．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B．(C．()D．)11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．14．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________． 15．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．17．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 23．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.24．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C2．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案
Ḁሴࠫሿ㓴ᴹ⭢ǃ҉ǃщйሴˈᐢ⸕⭢ࠫѝⴞḷⲴᾲ⦷ᱟ ˈ⭢ǃщҼӪ䜭⋑ᴹ
ࠫѝⴞḷⲴᾲ⦷ᱟ ˈ҉ǃщҼӪ䜭ࠫѝⴞḷⲴᾲ⦷ᱟ ˊ⭢҉щᱟࠫѝⴞḷӂ⤜・ˊ
˄˅≲҉ǃщҼӪ㠚ࠫѝⴞḷⲴᾲ⦷˗
˄˅䇮҉ǃщҼӪѝࠫѝⴞḷⲴӪᮠѪ ;ˈ≲ ; Ⲵ࠶ᐳࡇ઼ᮠᆖᵏᵋˊ
ˊδᵢ从┗࠼ ࠼ε
（2）由（1）知 a 5,b 3, c 7 ，所以 cos B a2 c2 b2 13 ，................................. 10 分
2ac
14
因为 B 为 ABC 的内角，所以 sin B 1 cos2 B 3 3 ，................................................12 分 14
OJ [
ˊ࠭ᮠ \
[ ⲴᇊѹฏѪ Ÿ ˊ
ˊㅹ∄ᮠࡇ ^DQ` ѝˈ D D ˈ 6Q ᱟ ^DQ` Ⲵࡽ Q 亩઼ˈࡉ 6
Ÿˊ
ˊᐢ⸕ WDQD
ࡉ
VLQ D FRVD VLQ D
Ⲵ٬Ѫ
Ÿ
ˊ
ˊ³ [ ! ´ᱟ³ [ ! ´Ⲵ Ÿ ᶑԦˊ˄൘³࠶ݵнᗵ㾱ǃᗵ㾱н࠶ݵǃݵ㾱ǃᰒн࠶ݵ৸н
Ⲵ⢩ᖱ٬
O
ᡰሩᓄⲴањ⢩ᖱੁ䟿Ѫ
ª º «¬ »¼
ˊ
˄˅≲⸙䱥 0 ˗ ˄˅䇮ᴢ㓯 & ൘ਈᦒ⸙䱥 0 ⭘лᗇࡠⲴᴢ㓯 &
Ⲵᯩ〻Ѫ \ [ ˈ≲ᴢ㓯 & Ⲵᯩ〻ˊ
%ˊδᵢ从┗࠼ ࠼ε ᐢ⸕ᴢ㓯 & Ⲵᶱḷᯩ〻Ѫ U FRVD VLQD ˄ D Ѫ৲ᮠ˅ˈⴤ㓯 O Ⲵ৲ᮠᯩ〻Ѫ
江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 含解析答案
江苏省苏州市2020届第一学期高三期中调研试卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ．答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2) 考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +> 22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)．10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x +'=+=，当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值；（2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=-． （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷 新课标 人教版
江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷一、选择题： 2020。
11。
14。
1、若sin cos 0θθ⋅<，则θ在A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第二、三象限D 、第二、四象限 2、设全集{2,4,6,8,10}U =，集合{2,4,6}A =，{4,8}B =，则()U A C B =IA 、{2,6}B 、{4,6}C 、{4}D 、{6} 3、函数32()31f x x x =-+的极小值为A 、2B 、1C 、3-D 、4- 4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图象与y 轴交于点(0,4)（如图所示），则方程()0f x =在[2,6]上的根是A 、6B 、4C 、2D 、2- 5、已知函数3()2cos()12f x x ππ=-+，则下列 正确的是A 、()f x 是周期为1的奇函数B 、()f x 是周期为2的奇函数C 、()f x 是周期为2的偶函数D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数 6、设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若6312S S =，则93S S = A 、13 B 、12 C 、23 D 、347、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数命题B ：不等式2(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为∅ 若A 与B 中有且仅有一个是真命题，则实数a 的取值范围是 A 、(5,1][3,)-+∞U B 、[5,1](3,)-+∞U C 、(5,1)[3,)-+∞U D 、(5,1)(3,)-+∞U 8、已知数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2006a =A 、0B 、1C 、43D 、29、已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||cos ||cos AB ACBC AB AC AB B AC C+⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则ABC ∆为 A 、三边均不等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形10、某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1，2，3，……，m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，定义记号ij a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1ij a =，否则0ij a =，则等式41424343n a a a a ++++=L L 的实际意义是 A 、第4名工人操作了3台织布机 B 、第4名工人操作了n 台织布机C 、第3名工人操作了4台织布机D 、第3名工人操作了n 台织布机 二、填空题：11、若向量(1,3)a =-r ，(,2)b x =r，且//a b r r ，则x =__________12、函数y =____________13、直线2my x =与圆2240x y mx ny +++-=交于,M N 两点，且,M N 关于直线0x y +=对称，则弦MN 的长为________________14、在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，11tan ,tan 23A B ==，且ABC ∆最短边的长为1，则ABC ∆的面积为_____________15、在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n a a nS +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点121122(,),(,),,(,),12n n n S S S P a P a P a nL L L L （n 是正整数）都在直线11122y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111222(,),(,),,(,),n n n P a S P a S P a S L L L L （n 是正整数）在直线_______________上16、设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为c给出下列四个函数：（1）3y x =；（2）4sin y x =；（3）lg y x =；（4）2xy =，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是___________ 三、解答题：17、已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1:1l x y +=相切，圆心在直线20x y +=上 （1）求圆C 的方程。
江苏省2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1， 解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________． 【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0， 解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________． 【答案】【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________． 【答案】12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角， 即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围． 试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可 （2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时）， 由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值； （2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+； （3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020届江苏省苏州中学高三上学期阶段性考试(一)数学试题(解析版)
2020届江苏省苏州中学高三上学期阶段性考试（一）数学试题一、填空题1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝_____【答案】{﹣1，0}【解析】根据集合的交集运算，求解即可.【详解】由集合的交集运算，容易知：A ∩B={}1,0-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题.2．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是________．【答案】1x ∃>，23x <【解析】全称命题的否定是特称命题，∴该命题的否定为“1x ∃>，23x <”。
点睛：命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定，掌握其方法：全称的否定是特称，特称的否定是全称，命题否定是条件不变，结论变。
4．“x ＞1”是“x 2＞x”的 条件．【答案】充分不必要【解析】试题分析：由题意把x 2＞x ，解出来得x ＞1或x ＜0，然后根据命题x ＞1与命题x ＞1或x ＜0，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解：∵x 2＞x ，∴x ＞1或x ＜0，∴x ＞1⇒x 2＞x ，∴x ＞1是x 2＞x 充分不必要，故答案为充分不必要．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．若2(2)31f x x =+，则函数()f x = 【答案】2314x + 【解析】设2t x =，则2t x =，求得()2314t f t =+，从而可得结果. 【详解】设2t x =，则2t x =， 因为()2231f x x =+，所以()22331124t t f t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭， 所以()2314x f x =+，故答案为2314x +. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6．函数y =的定义域是_____【答案】[﹣7，1]【解析】由被开方数是非负数，求解一元二次不等式即可得结果.【详解】要使得函数有意义，则2760x x --≥，分解因式可得()()710x x +-≤解得[]7,1x ∈-.故答案为：[﹣7，1].【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负数.7．函数ln x y x=的单调增区间是__________． 【答案】(0)e ，【解析】函数的定义域为0x >，且：221ln 11ln 'x x x x y x x ⨯-⨯-==， 求解不等式'0y >可得：0x e <<， 则函数ln x y x=的单调增区间是()0e ，. 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为_____【答案】12【解析】对该函数进行求导，判断单调性，根据单调性求解函数在区间上的最值.【详解】因为y ＝3x 3﹣9x +5，故()()299911y x x x =-=+-'， 令0y '>，又[]2,2x ∈-，解得[)2,1x ∈--和(]1,2， 故函数在[)2,1--和(]1,2上单调递增；令0y '<，又[]2,2x ∈-，解得()1,1x ∈-,故函数在()1,1-单调递减. 则函数在[]22-,上的最大值 ()()(){}{}max 2,1max 11,1111max f x f f =-==；则函数在[]22-,上的最小值 ()()(){}{}min min 2,1max 1,11f x f f =-=--=-；故该函数的最大值与最小值的差为()11112.--=故答案为：12.【点睛】本题考查由导数求函数的最值，属导数应用基础题.9．水波的半径以0.5m /s 的速度向外扩张，当半径为25m 时，圆面积的膨胀率是_____．【答案】25π【解析】写出水波面积与时间的函数，由导数计算圆面积的膨胀率，代值进行求解.【详解】因为水波的半径扩张速度为0.5m /s ，故水波面积为()22214S r vt t πππ===， 故水波面积的膨胀率为12S t π'=. 当水波的半径为25时，由25vt =，解得50t =， 即可得150252S ππ=⨯='. 故答案为：25π.【点睛】本题考查导数的定义，难点是构造函数，理解膨胀率的意义是面积关于时间的导数. 10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是_____【答案】（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解析】由函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为121x x +<-，求解即可.【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为（﹣∞，0]上的减函数，则该函数在()0,+∞为增函数，故f （x +1）＜f （2x ﹣1） 等价于121x x +<-.两边平方整理得()20x x ->解得()(),02,x ∈-∞⋃+∞.故答案为：()(),02,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用函数单调性以及奇偶性求解抽象函数不等式，属函数性质综合基础题.11．已知()22201900x x f x ax x ⎧≥=⎨⎩，，＜是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是_____【答案】[2035，+∞）【解析】由()f x 是奇函数，可解得参数a ，再分类讨论求解不等式..【详解】因为函数()f x 是奇函数，故可解的2019a =-；（1）当320190,?82t t +<-<0时， 即673t <-,且4t >此时无解，t ∈∅；（2）当320190,?82t t +>->0 即()673,4t ∈-，此时()()320190,820f t f t +>->显然f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0不可能，故舍去；（3）当320190,?820t t +>-< 即4t >时，此时f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0等价于()()2035720030t t -+≥解得t 2035≥或20037t ≤-, 故此时不等式解集为[)2035,+∞ （4）当320190,?820t t +- 即673t <-时，不等式等价于()()222320191640t t +--≤ 解得200320357t -≤≤ 故此时不等式无解.（5）当320190t +=或当820t -=时，不等式显然不成立.综上所述：[)2035,t ∈+∞故答案为：[)2035,+∞.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数，以及解不等式.12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝_____【答案】2017或2019【解析】对该函数进行分类讨论，在不同的情况下，寻找函数的最值，进而求解.【详解】 当2018a >时，()202120182020,201920182020,2018202120182020,2018x a x a f x x a x a x a x -->⎧⎪=--+≤≤⎨⎪-++<⎩此时可知()()20181min f x f a a ==-=，解得2019a =；当2018a =时，()20212018f x x =-，函数最小值为0，不符合题意；当2018a <时，()202120182020,2018201920182020,2018202120182020,x a x f x x a a x x a x a -->⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-++<⎩此时()()20181min f x f a a ==-=，解得2017a =；综上所述，2017a =或2019a =.故答案为：2017或2019.【点睛】本题考查双绝对值函数，涉及分类讨论及分段函数的最值.13．若方程23220222b bcosx sin x x ππ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，有两个不同的实数解，则b 的取值范围是_____【答案】1b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】利用同角三角函数关系，将方程化为含有cosx 的二次型，将方程根的个数问题，转化为一元二次方程根的分布问题，进而求解参数范围.【详解】232202b bcosx sin x ---=等价于22cos 2102b x bcosx -+-=， 令[],0,1cosx t t =∈， 则222102b t bt -+-=. 其()()421b b =+-n ，（1）当0<n 时，方程无根，显然不满足题意；（2）当0=n 时，解得1b =或2b =-，当1b =时，方程等价于212202t t -+=，解得12t = 此时12cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根，满足题意； 当2b =-时，方程等价于22420t t ++=，解得1t =-此时1cosx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦没有实数根，故舍去. （3）当0>n 时，解得1b >或2b <-，要满足题意， 只需方程222102b t bt -+-=的一个根在[)0,1， 另一个根不等于1，且不在区间[)0,1.令()22212b f x t bt =-+- 若要保证方程222102b t bt -+-=的一个根在()0,1 此时()()010f f ⋅<，即513022b b ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 解得6 ,25b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意 而当方程的一个根为0时，解得2b =，方程的两根分别为t=0和t=2，此时0cosx =和2cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数根， 故满足题意.综上所述：1,b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为1b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查方程根的分布问题，对方程根的讨论是其中的难点.14．在直角三角形ABC 中，682A AB AC π∠===，，，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE BF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_____．【答案】[﹣20，4]【解析】建立直角坐标系，求出圆心及半径，写出圆方程，根据直线方程及圆方程，通过韦达定理，将AE BF ⋅u u u r u u u r转化为函数，求函数的范围即可.【详解】根据题意，建立如图直角坐标系：容易知()()()0,0,0,6,8,0A B C设内切圆半径为r ，根据等面积法可求得：()1122AB BC AC r AB AC ++⋅=⋅ 求得2r =，解得圆心坐标为()2,2，故内切圆方程为()()22224x y -+-=；若过圆心的直线没有斜率，解得()()2,0,2,4E F ，或()()2,4,2,0E F 容易知4AE BF ⋅=u u u r u u u r ，或20AE BF ⋅=-u u u r u u u r若过圆心的直线存在斜率，不妨设直线方程为：()22y k x -=-联立圆方程可得()()222214140k x k x k +-++=设()()1122,,,E x y F x y则：21212244,1k x x x x k +==+， ()()()2221212122222y y k x x k k x x k =+-++-则121216AE BF x x y y y ⋅=+-u u u r u u u r将上述结果代入即可得：146AE BF y ⋅=-u u u r u u u r ，又()10,4y ∈故()20,4AE BF ⋅∈-u u u r u u u r .综上所述：[]20,4AE BF ⋅∈-u u u r u u u r故答案为：[﹣20，4].【点睛】本题考查直线与圆的问题，涉及圆方程的求解，以及韦达定理，函数的最值，属圆与直线综合基础题.二、解答题15．已知函数f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝4x +1，的定义域都是集合A ，函数f （x ）和g （x ）的值域分别为S 和T ，（1）若A ＝[1，2]，求S ∩T（2）若A ＝[0，m ]且S ＝T ，求实数m 的值（3）若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f （x ）＝g （x ），求集合A ．【答案】（1）S ∩T ＝{5}．（2）m ＝4（3）{0]，或{4}或{0，4}．【解析】（1）根据定义域，求得两个函数的值域，再求交集即可；（2）根据函数单调性，得()()f m g m =，解方程即可；（3）由题意，解方程f （x ）＝g （x ）即可.【详解】（1）若A ＝[1，2]，则函数f （x ）＝x 2+1的值域是S ＝[2，5]，g （x ）＝4x +1的值域T ＝[5，9]，∴S ∩T ＝{5}．（2）若A ＝[0，m ]，则S ＝[1，m 2+1]，T ＝[1，4m +1]，由S ＝T 得m 2+1＝4m +1，解得m ＝4或m ＝0（舍去）．故4m =.（3）若对于A 中的每一个x 值，都有f （x ）＝g （x ），即x 2+1＝4x +1，∴x 2＝4x ，解得x ＝4或x ＝0，∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．【点睛】本题考查函数的定义域、值域、以及集合的运算，属综合基础题.16．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－10． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．【答案】（1）－35 （2）－4π 【解析】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35． (2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45． 由cosβ＝－10，β∈(0，π)， 得sinβ＝10，β∈(2π，π)． 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×(－10)－(－35)×10＝－2． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足60,160()1150,611002t t f t t t +≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩()t N ∈，价格为()200g t t =-(1100,)t t N ≤≤∈. （1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）求t 为何值时，日销售额最大.【答案】(1)2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩； (2)t 为60时，日销售额最大.【解析】试题分析：（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数； （2）求出分段函数的最值即可．试题解析：(1)由题意知，当160t ≤≤，t N ∈时，2()()()(60)(200)14012000h t f t g t t t t t =⋅=+⋅-=-++， 当61100t ≤≤，t N ∈时，211()()()(150)(200)2503000022h t f t g t t t t t =⋅=-⋅-=-+，所以，所求函数关系为2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ (2) 当160t ≤≤，t N ∈时，22()14012000(70)16900h t t t t ==-++=--+， 所以，函数()h t 在[1,60]上单调递增，故max ()(60)16800h t h ==（百元）， 当61100t ≤≤，t N ∈时，2211()25030000(250)125022h t t t t =-+=--， 所以，函数()h t 在[61,100]上单调递减，故max ()(61)16610.5h t h ==（百元）， 因为16610.516800<所以，当t 为60时，日销售额最大.试题点睛：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．18．已知函数()11f x x=-，（x ＞0）． （1）当0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）时，求证：ab ＞1；（2）是否存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求m 的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2）不存在适合条件的实数a ，b ，证明见详解；（3）104m ＜＜．【解析】（1）根据函数单调性，初步判断,a b 与1的大小关系，根据f （a ）＝f （b ）得到,a b 等量关系，用均值不等式进行处理；（2）对,a b 与1的大小关系进行分类讨论，寻找满足题意的,a b ； （3）对,a b 的取值进行分类讨论，利用函数的单调性，进行求解. 【详解】（1）证明：∵x ＞0，∴()111110 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数． 由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）， 可得 0＜a ＜1＜b 和1111a b-=-， 即112a b+=． ∴2ab ＝a +b ＞1，即ab ＞1．（2）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y ()11f x x==-的定义域、值域都是[a ，b ]，则a ＞0，()111110 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ①当a ，b ∈（0，1）时，()11f x x=-在（0，1）上为减函数． 故()().f a bf b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a ＝b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ②当a ，b ∈[1，+∞）时，()11f x x=-在（1，+∞）上是增函数．故()().f a a fb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.a ab b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时， 由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ． （3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故1111.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在． ②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ 2）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]所以a ，b 不存在． 故只有a ，b ∈[1，+∞）． ∵()11f x x=-在[1，+∞）上是增函数， ∴()().f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根． 设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 21m =，x 1•x 21m=． ∴()()()()12120110110.x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪--⎩V ＞＞＞，即140120.m m -⎧⎪⎨-⎪⎩＞＞解得104m ＜＜． 故m 的取值范围是104m ＜＜． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，定义域和值域，所使用的方法是分类讨论，对学生的思辨能力要求较高，属函数综合较难题目. 19．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值；（2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值． 【答案】（1）a ＝5．b ＝﹣15．（2）1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，（1，+∞）．（3）124． 【解析】（1）根据导数的几何意义，即切线的斜率，待定系数即可求解； （2）求导，对参数进行分类讨论，利用导数判断单调性即可；（3）利用导数对函数单调性进行讨论，求极小值关于a 的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】（1）f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）， 由f ′（2）＝9，得a ＝5． ∴()3251333f x x x x =-+- ∴f （2）＝3，∴（2，3）在直线9x ﹣y +b ＝0上， ∴b ＝﹣15．（2）①若a ＝0，()221111(1)2326f x x x x =-+-=--+， ∴f （x ）的单调减区间为（1，+∞）．②若a ＜0，则()()()21'111f x ax a x a x x x R a ⎛⎫=-++=--∈ ⎪⎝⎭，， 令f ′（x ）＜0，得()110x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＞．∴1x a＜，或x ＞1．∴f （x ）的单调减区间为1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，（1，+∞）．（3）()()1'1f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0＜a ＜1， 列表：由图可知： f （x ）的极小值为()321111111323a f a a a a a ⎛⎫=⋅-++-⎪⎝⎭ 22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+．当23a =时，函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124．故函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124. 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及含参函数单调性的讨论，以及函数极值的求解，属导数综合基础题.20．数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称数列{a n }为S 数列．（1）S 数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S 数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． ②是否存在正项递增等比数列为S 数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；证明见详解（2）①存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②不存在，证明见详解.【解析】（1）根据对新数列的定义，利用1n n n a S S -=-进行计算证明； （2）①假设存在等差数列，根据数列的公差进行分类讨论即可；②用反证法证明，假设存在满足题意的数列，结合数列{}1n S +的单调性，推出矛盾.【详解】（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∴n ≥2时，()1n p S a p N⋅-=∈，∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ， 而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2，故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ， （i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不 可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1； （ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意； （iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，()()11112n n na d a m d -+=+-，故()()()()111112112n n n a dn n a m n Zd d --+--==-+∈， ∵()12n n Z -∈，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，110a d +≥， ∴111a aZ d d≥-∈，， 此时()()()()()11112110222n n n n n n a n n d -----+≥-++=≥符合题意，综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0， ∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，∵()()()11111111111111n nn n n nnn a q q q q S q qS q q a q q+++--+---===----()2111111n q q q q q q q q q q q --=++=+-=+--＜， ∴21n nS q q S +＜＜，即21m n m a q S a q +＜＜， 即a m +1＜S n +1＜a m +2， ∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ， 这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S 数列． 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及等差数列和等比数列，数列的单调性，属数列综合困难题.。
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟.2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2.已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果．【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x'+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立． 故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大． 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合已知得答案．【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==，所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值．【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x =，所以cos 0x =或sin 0x x =，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=； （2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ； （2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，3BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）1129cos θ+=【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=， 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=， 在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，433OG OC ==所以433GN θ=，433ON θ=， 所以8233GH GN θ==，43333GF MN ON OM θ==-=-， 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ+=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=-， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>，(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120 【解析】【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈，则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈， 所以2(5)l s t --是偶数，所以1201a ≥，所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈，综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．【选做题】本题包括21.22.23三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．．．．．．．．．．.．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==， = k ∴=因为02πβ<<， 所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==，11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021苏州市高三数学上期中一模试题(含答案)
因为 A(0, ) ，则 sin A 0，
所以 sin B 3 cos B 0 ，即 tan B 3 ，解得 B ， 3
由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 3b2 ，
即 4b2 a c2 ，解得 a c 2 ，故选 A．
A． 4, 2
B．,4 2,
C． 2, 4
D． , 2 4,
8．若 a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd
B．若 a＞b，c＞d，则 a+c＞b+d
C．若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 c d ab
D．若 a＞b，c＞d，则 a﹣c＞b﹣d
9．若不等式 m 1 2 在 x 0,1时恒成立，则实数 m 的最大值为（ ）
B． y 2(x2 3) x2 2
C． y ex 4ex
D． y sin x 4 (0 x ) sin x
3．关于 x 的不等式 x2 a 1 x a 0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是
（）
A．3,2 4,5 B． 3,2 4,5 C． 4,5
D．（4,5）
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得 sin B 3 cos B 0 ，解得 B ，再由余弦定理，求得 3
4b2 a c2 ，即可求解，得到答案．
【详解】
在 ABC 中，因为 b sin A 3a cos B 0 ,且 b2 ac ，
由正弦定理得 sin B sin A 3 sin Acos B 0 ，
显然没有实数满足 x2 1； 选项 D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为 sin x 2 ，
江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷
江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}260x x x --≤，B ＝{}24x x >，则A B ＝A ．(2，3)B ．[2，3]C ．(2，3]D ．[2，3] {﹣2}2．角α的终边经过点(3﹣sin α，cos α)，则sin α的值为A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列的前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点(0，﹣e)，且与曲线C ：()y f x =相切，则直线l 的斜率为A ．﹣2B ．2C ．﹣eD ．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为49a ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A ．(0，34]B ．(0，23]C ．(0，34)D ．(0，23)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则A ．()g x 的图像关于点(2，0)对称B ．()g x 的图像的一条对称轴是x ＝6πC ．()g x 在(56π-，6π)上递减D ．()g x 在(3π-，3π)值域为(0，1)10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则A ．若59S S >，则150S >B ．若59S S =，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >，则56S S >11．已知函数()lg(1)f x x =-，1b a >>且()()f a f b =，则A ．1＜a ＜2B ．a ＋b ＝abC ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>--12．函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0，+∞)上有唯一零点0x ，则A ．00e 1x x =B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式(2)()0x f x -<的解集为．14．对任意正数x ，满足224y xy y x +=-，则正实数y 的最大值为．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为．（取1.211＝7.5，1.212＝9）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当x ≥0时，()1xf x '>()f x -．若对任意x ∈R ，不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω＞0，ϕ≤2π)的最小正周期为π．（1）求ω的值及()(6g f πϕ=的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R)．（1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对于任意x ∈[1，+∞)都有()2(1)f x a <-成立，求实数a 的取值范围．在①c sin B C 2+＝a sinC ，②2cosA(b cosC ＋c cosB)＝a ，③(sinB ﹣sinC)2＝sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝(1)b ，．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3-，求b 的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．①是否存在正整数k ，使得1k T +=32k k T b ++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥．若函数()f x 在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k a](k ＞0)，则称[a ，b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数()g x ，当x ∈[0，4]时，2()g x x =-4x +．（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[2，4]内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x ax x =+⋅．（1）求曲线C ：()y f x =在x ＝0处的切线方程；（2）当a ＝﹣2时，设函数()()f x g x x=，若0x 是()g x 在(﹣π，0)上的一个极值点，求证：0x 是函数()g x 在(﹣π，0)上的唯一极大值点，且0＜0()g x ＜2．。
江苏省2020版高三上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省2020版高三上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2020高二下·北京期中) 已知，那么 ________.2. （1分）(2020·南京模拟) 设复数，其中为虚数单位，则 ________.3. （1分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于________4. （1分）关于x不等式（x2﹣x）（ex﹣1）＞0的解集为________5. （1分）直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是________6. （1分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________7. （1分） (2019高一下·雅安月考) 已知向量与向量同向的单位向量的坐标为________．8. （1分）若，且tanx=3tany，则x﹣y的最大值为________9. （1分）函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为________10. （1分） (2020高三上·宁波期中) 已知圆：，线段在直线上运动，点是线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是________．11. （1分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1处的切线与圆（x﹣2）2+y2=4相交于A、B两点，并且弦长|AB|=2 ，则 + ﹣的最小值为________．12. （1分） (2020高一上·蚌埠期末) 在区间上的零点的个数是________.13. （1分） (2019高二上·保定月考) 过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________.14. （3分） A．若不等式|2a﹣1|≤|x+ |对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．B．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为________．C．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：（t为参数），则直线l截圆C所得弦长为________．二、解答题 (共10题；共100分)15. （15分）已知f（x）=sin2x+acosx+2的最大值为g（a）．（1）求g（a）的表达式；（2）解不等式g（2sinx+4）≤5；（3）若函数F（x）=g（x）﹣kx﹣3在[0，+∞]上有两个零点，求实数k的取值范围．16. （15分） (2019高一上·连城月考) 已知f(x)是定义在[－4，4]上的奇函数,当x∈(0，4]时,函数的解析式为(a∈R), 且．（1）试求a的值；（2）求f(x)在[-4，4]上的解析式；（3）求f(x)在[-4，0)上的最值（最大值和最小值）．17. （10分） (2016高一上·周口期末) 已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．18. （15分）据俄罗斯新罗西斯克2015年5月17日电记者吴敏、郑文达报道：当地时间17日，参加中俄“海上联合﹣2015（Ⅰ）”军事演习的9艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群．接到命令后我军在港口M要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口M北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．19. （10分）(2018·绵阳模拟) 如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．20. （5分）已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（1）若函数f（x）在区间(m,m+)上存在极值，求实数m的取值范围；（2）∃x∈[1，+∞），使，求实数t的取值范围．21. （5分） (2016高三上·扬州期中) 已知矩阵M= 的一个特征值为4，求实数a的值．22. （10分）(2020·辽宁模拟) 某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品的需求量的限制，并有如下关系：商品的月需求量（万件）车间最多正常运行个数345若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：商品的月需求量（万件）未正常生产的一个车间的月维护费（万元）500600试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品的月利润为最大．23. （10分）如图，在五棱锥F﹣ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．24. （5分） (2019高一上·长春月考) 已知集合，，若，求的取值范围.。
2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x＞0}，则A∩B=______．2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部为______．3.已知向量=（x，2），=（2，-1），且⊥，则实数x的值是______．4.函数的定义域为______．5.在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，则前5项和S5= ______ ．6.已知tanα=2，则的值为______．7.“x＞2”是“x＞1”的______ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）8.已知函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ（）个单位长度得到函数的图象，则φ的值为______．9.设函数，则不等式f（x+2）＞f（x2）的解集为______．10.已知函数的极小值大于0，则实数m的取值范围为______．11.已知各项都为正数的等差数列{a n}中，a5=3，则a3a7的最大值为______．12.已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足，若，则cos C=______．13.若方程在（0，π）的解为x1，x2，则cos（x1-x2）=______．14.已知函数f（x）=3x2-x3，g（x）=e x-1-a-ln x，若对于任意x1∈（0，3），总是存在两个不同的x2，x3∈（0，3），使得f（x1）=g（x2）=g（x3），则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=120°，c=7，a-b=2．（1）求a，b的值；（2）求sin（A+C）的值．16.已知向量=（cos x，cos x），=（cos x，sin x）．（1）若∥，，求x的值；（2）若f（x）=•，，求f（x）的最大值及相应x的值．17.已知等比数列{a n}满足a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n-2n+1|，求数列{b n}的前n项和为T n．18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB=4米，米，∠COD=120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF=θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19.已知函数．（1）求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）求函数F（x）=f（x）-x的极大值；（3）若af（x）≤ln x对x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}满足．（1）证明：数列{a n}为等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，若a2-a1=1，且对任意的正整数n，都有，求整数a1的值；（3）设数列{b n}满足，若，且存在正整数s，t，使得a s+b t是整数，求|a1|的最小值．21.已知二阶矩阵的特征值λ=-1所对应的一个特征向量为．（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为y2=x，求曲线C的方程．22.已知曲线C的极坐标方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数，），若曲线C被直线l截得的弦长为，求β的值．23.设正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：．24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．25.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=b，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且，．设．（1）当λ=3时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）当平面AEF⊥平面A1EF时，求λ的值．答案和解析1.【答案】{1，2}【解析】解：∵集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x＞0}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】-1【解析】解：由，得z=i（2+i）=-1+2i．∴复数z的实部为-1．故答案为：-1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】1【解析】解：∵向量=（x，2），=（2，-1），且⊥，∴2x-2=0，求得x=1，故答案为：1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出x的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】（1，2）【解析】解：函数中，令，解得1＜x＜2，所以函数y的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴，解得，则前5项和．故答案为：31．6.【答案】【解析】解：∵tanα=2，∴=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】充分不必要【解析】解：当x＞2时，x＞1一定成立．当x＞1时，x＞2不一定成立，比如当x=时，满足x＞1时，但x＞2不成立．∴“x＞2”是“x＞1”充分不必要条件．故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】【解析】解：把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ（）个单位长度，得到函数=sin（2x+2φ）的图象，∴2φ=，则φ=，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】（-1，2）【解析】解：根据题意可知函数f（x）在R上单调递增，则不等式f（x+2）＞f（x2）等价于x+2＞x2，即x2-x-2＜0，解得-1＜x＜2，即不等式的解集为（-1，2）利用该分段函数的单调性可得x+2＞x2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题．10.【答案】【解析】解：由，得f'（x）=（x＞0）．令f'（x）=0，则x=-m，因为的极小值大于0，所以-m＞0，所以m＜0，所以当x＞-m时，f'（x）＞0，当0＜x＜-m时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，-m）上单调递减，在（-m，+∞）上单调递增，所以f（x）极小值=f（-m）=ln（-m）+1＞0，所以m＜-，综上，m的取值范围为（-∞，-）．故答案为：（-∞，-）．对f（x）求导，根据的极小值大于0，可得m＜0，然后判断f（x）的单调性求出极小值，再由f（x）的极小值大于0，建立关于m的不等式，求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.【答案】9【解析】解：依题意，等差数列{a n}各项都为正数，所以a3＞0，a7＞0，所以a3a7≤==9．当且仅当a3=a7=3时等号成立．故答案为：9．因为等差数列{a n}各项都为正数，所以a3a7≤==9．本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.【答案】【解析】解：如图，∵，∴CE=2ED，由得=-6，得=-6，得+2-9=-6，得=1，∴=1，∴，故答案为．利用E为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为之间的关系即可解决．此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.【答案】-【解析】解：由方程在（0，π）的解为x1，x2，得=cos（），∵x∈（0，π），∴∈（，），∴，∴．∴cos（x1-x2）=cos（）．又cos（）=．∴cos（x1-x2）=cos（）=-cos（）=-．故答案为：-．由已知可得，得到，则cos（x1-x2）=cos（），结合已知得答案．本题考查y=A cos（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题．14.【答案】[1，e2-4-ln3）【解析】解：f（x）=3x2-x3，x∈（0，3），f′（x）=6x-3x2=3x（2-x），可得：函数f（x）在（0，2]上单调递增，在（2，3）上单调递减．而f（0）=f（3）=0，f（2）=4．∴f（x）∈（0，4]=A．g（x）=e x-1-a-ln x，x∈（0，3），g′（x）=e x-1-，在x∈（0，3）上单调递增，g′（1）=0，∴函数g（x）在（0，1]上单调递减，在（1，3）上单调递增．x→0+时，g（x）→+∞；g（1）=1-a，g（3）=e2-a-ln3．令B=[1-a，e2-a-ln3）．对于任意x1∈（0，3），总是存在两个不同的x2，x3∈（0，3），使得f（x1）=g（x2）=g （x3）⇔A⊆B．∴1-a≤0，且4＜e2-a-ln3．解得1≤a＜e2-4-ln3．∴实数a的取值范围为[1，e2-4-ln3）．故答案为：[1，e2-4-ln3）．f（x）=3x2-x3，x∈（0，3），f′（x）=6x-3x2=3x（2-x），可得其单调性极值与最值，设其值域为A．g（x）=e x-1-a-ln x，x∈（0，3），g′（x）=e x-1-，在x∈（0，3）上单调递增，g′（1）=0，x→0+时，g（x）→+∞；g（1）=1-a，g（3）=e2-a-ln3．令B=[1-a，e2-a-ln3）．对于任意x1∈（0，3），总是存在两个不同的x2，x3∈（0，3），使得f（x1）=g（x2）=g（x3）⇔A⊆B．即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）∵余弦定理cos C=，且c=7，C=120°，∴可得a2+b2+ab=49，∵a-b=2，∴b2+2b-15=0，∵b＞0，∴可得b=3，a=5．（2）∵由（1）可知a=5，b=3，c=7，∴cos B==，∵B为△ABC的内角，∴sin B==，∵sin（A+C）=sin（π-B）=sin B=，∴sin（A+C）的值为．【解析】（1）由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49，结合a-b=2，即可解得a，b的值．（2）由（1）及余弦定理可求cos B，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin（A+C）的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵，，，∴，∴，∴cos x=0或，即cos x=0或tan x=，∵，∴或；（2）===∵，∴，∴，∴，故f（x）的最大值为，此时．【解析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．此题考查了向量共线，数量积，三角函数求值等，难度不大．17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为q（q≠0），∵a2，a3+1，a4成等差数列，∴2（a3+1）=a2+a4，∵a2=2，∴2（2q+1）=2+2q2，解得q=2或q=0（舍）．∴．∴数列{a n}的通项公式为；（2）设，∴=2n-1-2．∴当n≥3时，c n+1＞c n．又c4=1＞0，∴当n≥4时，c n＞0，即n≥4时，．∵c1=0，c2=c3=-1，∴b1=0，b2=b3=1．∴T1=0，T2=1，T3=2，当n≥4时，T n=b1+b2+b3+b4+…+b n=2+b4+b5+…+b n=2+（23+24+…+2n-1）-（7+9+…+2n-1）=．综上，．【解析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；（2）设，作差可得当n≥4时，c n＞0，即n≥4时，，再求出数列{b n}的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{b n}的前n项和为T n．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.【答案】解：（1）如下图所示，作OP⊥CD分别交AB，GH于点M，N，由四边形ABCD，EFGH是矩形，O为圆心，∠COD=120°，故OM⊥AB．ON⊥GH，P、M、N分别为CD，AB，GH的中点．∠CON=60°，在Rt△COP中，CP=2，∠COP=60°，所以OC=，OP=，∴OM=OP-PM=OP-BC=，在Rt△ONG中，∠GON=∠OGF=θ，OG=OC=，∴GN=sinθ，ON=cosθ，∴GH=2GN=sinθ，GF=MN=ON-OM=cosθ-，∴S=GF•GH=（cosθ-）•sinθ=（4cosθ-1）sinθ，θ∈（0，）．∴S关于θ的函数关系式为：S=（4cosθ-1）sinθ，θ∈（0，）．（2）根据（1），知：S′=（4cos2θ-4sin2θ-cosθ）=（8cos2θ-cosθ-4），∵θ∈（0，），∴cosθ∈（，1）．故令S′=0，解得cosθ=∈（，1）．设θ0∈（0，）且cosθ0=，∴S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在（0，θ0）单调递增，S′＜0，得θ0＜θ＜，即S在（θ0，）单调递减，∴当θ=θ0时，S取得最大值，∴当cosθ0=时，矩形EFGH的面积S最大．【解析】本题第（1）题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；第（2）题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出S′=0时的cosθ的值，三角计算即可得出结果．本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力．本题属中档题．19.【答案】解：（1）函数．f′（x）=+，∴f′（1）=1．f（1）=0，∴切点（1，0）．∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为：y=x-1．（2）F（x）=f（x）-x=--x（x＞0）．F′（x）=+-1，∴F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又F′（1）=0．x∈（0，1）时，F′（x）＞0，函数F（x）在（0，1）上单调递增；x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，函数F（x）在（0，1）上单调递减．∴x=1时，函数F（x）取得极大值，F（1）=-1．（3）令g（x）=ln x-af（x）=ln x-a（-），x∈（0，1]，∴g′（x）=-（+）=．①a≤0时，g′（x）＞0，对x∈（0，1]恒成立，∴g（x）在x∈（0，1]单调递增．又g（1）=0，∴∃x0∈（0，1]时，g（x0）＜0，与af（x）≤ln x对x∈（0，1]恒成立矛盾，舍去．②a≥1时，设u（x）=-a+2-a，x∈（0，1]，△=4-4a2≤0，∴u（x）≤0，∴g′（x）≤0，对x∈（0，1]恒成立，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．又g（1）=0，∴g（x）≥g（1）=0，这与af（x）≤ln x对x∈（0，1]恒成立，∴a≥1成立．③0＜a＜1时，设u（x）=-a+2-a，x∈（0，1]，△=4-4a2＞0，由u（x）=0，解得：==∈（0，1）；=＞1．∴0＜x1＜1＜x2．∴x∈（x1，1）时，u（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在x∈（x1，1）单调递增．又g（1）=0，∴g（x1）＜g（1）=0，这与af（x）≤ln x对x∈（0，1]恒成立，舍去．综上可得：a≥1成立．【解析】（1）函数．f′（x）=+，可得f′（1）=1．切点（1，0）．利用点斜式即可得出切线方程．（2）F（x）=f（x）-x=--x（x＞0）．F′（x）=+-1，F′（x）在（0，+∞）上单调递减，而F′（1）=0．即可得出单调性与极值．（3）令g（x）=ln x-af（x）=ln x-a（-），x∈（0，1]，∴g′（x）=-（+）=．对a分类讨论，令u（x）=-a+2-a，x∈（0，1]，△=4-4a2，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：（1）数列{a n}满足．①当n≥2时，②①-②得（n-1）a n+1-2（n-1）a n+（n-1）a n-1=0，所以a n+1-2a n+a n-1=0，所以数列{a n}为等差数列．（2）由（1）得a2-a1=1，所以数列的公差为1，由于对任意的正整数n，都有，所以，则，即．所以，这与题意相矛盾，所以a1≠1．当a1=2时，a n=n+1，所以＞0，，恒成立．由于，所以，=．综上所述a1=2．（3）由于，所以数列{a n}的公差d为，所以，则，由题意知设存在正实数s和t，使得a s+b t=l，则，则20a1=2（5l-s-t）+1由于5l-s-t∈Z，所以2（5l-s-t）为偶数，所以|20a1|≥1，所以．当时，，所以存在a1+b4=l∈Z，综上所述，|．【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明．（2）利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：（1）依题意，得•=，即，解得，∴M=．（2）设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M的作用下得到曲线y2=x上一点P′（x′，y′），则=•，即．∵y′2=x′，∴9x2=2x+y，∴曲线C的方程为y=9x2-2x．【解析】本题第（1）题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得a、b的值，即可得到矩阵M；第（2）题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C的方程．本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程．本题属中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为y=k（x-1）（k=tanβ），由于曲线C被直线l截得的弦长为，所以圆心到直线的距离d==，解得k=，由于，所以，解得．【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由于a+b+c=1，则=，对于正数a，b，c，由柯西不等式，所以，从而，当且仅当时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式．本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构．24.【答案】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A，B，C，则P（A）=，且有，即，解得P（B）=，P（C）=．∴乙击中目标的概率为，丙击中目标的概率为．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=2）=，P（X=0）=P（）P（）==，P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A，B，C，则P（A）=，且，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，∵AB，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵∠BAC=90°，∴建立分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴的空间直角坐标系，设a=1，则AB=AC=1，AA1=3，∴A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），F（0，1，2），=（1，0，1），=（0，1，-1），∵||=||=，=-1，∴cos＜＞===-，∴向量和所成角为120°．∴异面直线AE与A1F所成角为60°．（2）∵E（a，0，），F（0，a，），∴=（a，0，），=（0，a，），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（-，-，1），同理得平面A1EF的一个法向量=（，，1），∵平面AEF⊥平面A1EF，∴=-，解得λ=．∴当平面AEF⊥平面A1EF时，λ的值为．【解析】（1）推导出AA1⊥平面ABC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，建立分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE与A1F所成角．（2）推导出平面AEF的法向量和平面A1EF的一个法向量，由平面AEF⊥平面A1EF，能求出λ的值．本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年苏州市高中必修三数学上期中一模试题(附答案)
2020年苏州市高中必修三数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．493．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +5．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．157．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．569．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.11．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A ．20B ．25C ．30D ．3512．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元）23456销售轿车y （台数）3 4 6 10 12A ．17B ．18C ．19D ．20二、填空题13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 14．在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x ≤≤（）”发生的概率为____________．15．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．16．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．17．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．18．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 19．已知变量,x y 取值如表：x0 1 45 6 8若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________．三、解答题21．为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表：表2：女生上网时间与频数分布表：（1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，22．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关； （2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K 2＝()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -++++23．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C )具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C )的回归方程y bx a =+$$$；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C ,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nxyx nx ==-=-∑∑，a y bx =-$$24． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.25．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52销量为y （万份）7.5 7.1 6.0 5.6 4.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】 【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．4．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．5．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．6．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.8．A解析：A【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．D解析：D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠； 22,78,100n m s ==≠；23,77,100n m s ==≠； 24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12．C解析：C 【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C--=，所以所求概率为：3336433634 C C CC--=.14．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率．【详解】设事件A表示11|422xx⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．15．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：5 6【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305 366=.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.16．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.17．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．19．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.35.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =. 故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都解析：16【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在{}012345A =，，，，，内任取一个点，共有66⨯种结果，满足条件的事件是点正好在直线y x =上，可以列举出结果数，得到概率． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是横纵坐标都在{}012345A =，，，，，内任取一个点， 共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是点正好在直线y x =上，可以列举出共有（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）共有6种结果， ∴要求的概率是61366P ==， 故答案为16. 【点睛】本题考查等可能事件的概率，解决本题的关键是注意利用列举法求满足条件的事件数时，注意做到不重不漏，千万不要漏掉原点．三、解答题21．（1）225；（2）见解析，否；（3）710【解析】 【分析】（1）直接根据比例关系计算得到答案.（2）完善列联表，计算22002.198 2.70691K =≈<，得到答案. （3）5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为,,A B C ，上网时间不少于60分钟的有2人，记为,D E ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数x ，依据题意有30750100x =，解得：225x =. 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （2）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2220060304070200 2.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.（3）因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3:2， 所以5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为,,A B C ，上网时间不少于60分钟的有2人，记为,D E ，从中任取两人的所有基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10种，其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种，∴710P =. 【点睛】本题考查了独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（2）35【解析】 【分析】（1）根据列联表里的数据，计算出2K 的值，然后进行判断；（2）根据分层抽样的要求得到没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人，再求出总的情况数和符合要求的情况数，由古典概型公式，得到答案. 【详解】解：（1）根据列联表,计算()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2220(90402070)11011016060⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 559.167 6.6356=≈> 所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”； （2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人， 没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人. 随机抽出2人，总的情况数为26C ，至少有1名“没有私家车”人员的情况数为2264C C -， 所以根据古典概型的公式得：22642693155C C P C -===． 【点睛】本题考查列联表分析，分层抽样，古典概型，属于中档题.23．(1) $11942y x =+ (2) 5125颗.【解析】 【分析】（1）根据题中信息，作出温差()xC o与出芽数y （颗）之间数据表，计算出x 、y ，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出b$和$a ，即可得出回归直线方程； （2）将4月1日至7日的日平均温差代入回归直线方程，可得出100颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出10000颗绿豆种子在一天内的发芽数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 在△ ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b， c， C＝ 120°， c＝ 7， a－b＝ 2.
(1) 求 a，b 的值；
(2) 求 sin(A ＋ C) 的值．
π)上的解为
x 1，x 2，则 cos(x1－ x2)＝ ________．
14. 已知函数 f(x) ＝ 3x2－ x3，g(x) ＝ ex－1－ a－ ln x ．若对于任意 x1∈ (0， 3)，总是存在两
个不同的 x2， x 3∈ (0， 3)，使得 f(x 1)＝ g(x 2)＝ g(x3)，则实数 a 的取值范围是 ________．
6.
已知
tan
α ＝2，则 cos
sin α α＋ 2sin
的值为 ________． α
7. “ x＞ 2”是“ x＞ 1”的 ________条件． (选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” 或“既不充分又不必要” )
π 8. 已知函数 y＝ sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ (0＜ φ＜ 2 )个单位长度得到函数 y＝
B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos α＋ 2 3sin α ( α为参数 )，直线 l 的参数方程为
x＝1＋ tcos β ，
πБайду номын сангаас
y＝ tsin β
a 的取值范围．
5
20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 {a n} 满足 (n－ 1)an＋1＝ nan－ a1， n∈N* .
(1) 求证：数列 {a n} 为等差数列；
(2) 设数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn.若 a2－ a1＝ 1，且对任意的正整数
＋…＋ 1 ＜ 4，求整数 Sn 3
2.
已知复数
z 满足
z ＝i(i 2＋ i
为虚数单位
)，则复数
z 的实部为 ________．
3. 已知向量 a＝ (x ， 2)， b＝ (2，－ 1)，且 a⊥b，则实数 x 的值是 ________．
4. 函数 y＝ lg （x－ 1） 的定义域为 ________． 2－ x
5. 在等比数列 {a n} 中， a1＝ 1， a4＝ 8， Sn 是 {a n} 的前 n 项和，则 S5＝ ________．
21. 【选做题】 从 A ， B ，C 三小题中选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，则 按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. ( 选修 42：矩阵与变换 )
a1
已知二阶矩阵 M ＝
的特征值 λ＝－ 1 所对应的一个特征向量为
3b
－1 3.
(1) 求矩阵 M ； (2) 设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C′的方程为 y2＝ x，求曲线 C 的方程．
3
18. (本小题满分 16 分 ) 如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧
CD ，下部是一个矩形 ABCD ，圆弧 CD 所在圆
的圆心为
O.经测量
AB ＝ 4
m， BC ＝
3 3
m，∠ COD ＝ 120°，现根据需要把此窑洞窗口形状
改造为矩形 EFGH ，其中 E， F 在边 AB 上， G，H 在圆弧 CD 上．设∠ OGF＝ θ，矩形 EFGH
1
16. (本小题满分 14 分 ) 已知向量 a＝ (cos x， 3cos x)， b＝ (cos x， sin x)． π (1) 若 a∥b， x∈[0 ， 2 ]，求 x 的值； π (2) 若 f(x) ＝ a·b，x∈ [0， 2 ] ，求 f(x) 的最大值及相应 x 的值．
2
17. (本小题满分 14 分 ) 已知等比数列 {a n} 满足 a2＝ 2，且 a2， a3＋ 1， a4 成等差数列． (1) 求数列 {a n} 的通项公式； (2) 设 bn＝ |an－ 2n＋ 1|，求数列 {b n} 的前 n 项和 T n.
的面积为 S.
(1) 求矩形 EFGH 的面积 S 关于变量 θ的函数关系式； (2) 求 cos θ 为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？
4
19. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 f(x) ＝ x－ 1 .
x
(1) 求 f(x) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程； (2) 求函数 F(x) ＝ f(x) － x 的极大值； (3) 若 af(x) ≤ ln x 对 x∈ (0， 1]恒成立，求实数
11. 在各项都为正数的等差数列 {a n} 中，已知 a5＝ 3，则 a3a7 的最大值为 ________．
12. 已知菱形
ABCD
的棱长为
3，E 为棱 CD 上一点且满足
C→E＝
2E→D.若
→ AE
·
E→B
＝－
6，
则 cos C＝ ________．
13.
若方程
cos(2x
－
π 6
)
＝
35在
(0，
a1 的值；
n，都有
13＜
1 S1
＋
S12＋
1 S3
6
(3)
设数列 {b n} 满足
bn＝
an＋
3 10.若
a2－ a1＝ 15，且存在正整数
求 |a1|的最小值 .
s， t，使得 as＋ bt 是整数，
7
高三数学附加题试卷 (一 ) 第页 (共 2 页 )( 这是边文，请据需要手工删加 )
2019～ 2020 学年第一学期高三期中调研试卷 ( 一 ) 数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟 )
2019～2020 学年第一学期高三期中调研试卷 数学
2019 ． 11 一、 填空题：本大题共
(满分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合 A ＝{ － 2，－ 1， 0，1， 2} ， B＝{x|x ＞ 0} ，则 A ∩B ＝ ________．
π sin(2x ＋ 6 )的图象，则 φ的值为 ________．
ex， x≥ 0， 9. 设函数 f(x) ＝
则不等式 f(x ＋ 2)＞ f(x 2)的解集为 ________．
2x＋ 1， x＜ 0，
10. 已知函数
f(x)
＝
ln
x
－
m的极小值大于 x
0，则实数 m 的取值范围是 ________．