判断函数组线性无关的一个充要条件
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
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函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
常微分方程
常微分方程第一二章考测验试卷(8)班级： 学号： 姓名： 得分：一．填空题（10 分）1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2．当 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。
3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是 ，有只含y 的积分因子的充要条件是 。
4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经换 ，可化为伯努利方程。
二.求一曲线，是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。
（10 分）三.出伯努利方程的积分因子。
（15 分）四．求下列方程的通解。
（45 分）1．33(1)0y x y ''--= 2. dxdy =312+++-y x y x 3．x(4ydx+2xdy)+y 3(3ydx+5xdy)=04．（y-1-xy ）dx+xdy=05．dxdy =y+sinx 6．(x 2y 3+xy)y '=17．(x 2-1)y '+y 2-2xy+1=0 8.32y x dx+4223yx y -dy=0 五．证明题。
（20 分）（1） 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解（2） 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
参考答案一． 填空题。
1．dxdy =P （x ）y+Q(x) e dx x P )( e ⎰dx x P )((⎰+⎰-c dx e x Q dx x P )()() 2．x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 3．N X N y M x ∂∂-∂∂=)(ϕ MX N y M y -∂∂-∂∂=)(ϕ 4．n y x Q y x P dxdy )()(+= e ⎰-dx x P n )()1( 5．)()()(2x R y x Q y x P dx dy ++= y(x)=)(x y +z 二．解：设曲线的切点为（x,y ），设切线的方程为Y-y=y '(X-x)，与坐标轴的交点为（0,y-xy '），（x-'yy ） 由题意得：y-xy '=x, 即 dx dy =xy -1 令 x y =u 得y=ux 则dx du =u-1 u=-ln x +c 即x y =-ln x +c 方程的通解为y=cx--xln x 三．解：伯努利方程为：dxdy =P (x)y+Q(x)y n 两边同乘以y n -得：y n -dxdy = p(x)y 1+-n +Q(x) 则 [p(x)y 1+-n +Q(x)]dx- y n -dy=0N x N y M ∂∂-∂∂=n nyy n x P ----)1)((=(n-1)P(x) 则积分因子为)(x μ=e ⎰-)()1(x P n 则)(x μyn -dy= )(x μ[p(x)y 1+-n +Q(x)]dx 令'μ(x) =yn -)(x μ= y n - e ⎰-)()1(x P n 则'μ(x)即为伯努利方程的积分因子。
2005—数二真题、标准答案及解析
2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题,每小题4分，满分24分。
把答案填在题中横线上）(1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ 。
（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3)=--⎰1221)2(xxxdx______ 。
（4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ 。
（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ 。
（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 。
二、选择题（本题共8小题，每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f(x)在),(+∞-∞内（A ） 处处可导。
(B) 恰有一个不可导点.（C ） 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x ）是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x ）是偶函数⇔f(x ）是奇函数。
（B ） F(x ）是奇函数⇔f （x)是偶函数。
（C ） F （x ）是周期函数⇔f （x)是周期函数.(D) F （x)是单调函数⇔f(x ）是单调函数。
［ ］(9）设函数y=y （x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y （x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是33002 80EA 胪 ］21477 53E5 句38360 95D8 闘38444 962C 阬I7(A)32ln 81+. （B) 32ln 81+-。
(整理)自考微分方程试题a.
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11.y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．第二套一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ,2,1,0,±±==k k y π或,2,1,0,2±±=π+π=k k x ． 2．方程y x xy sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 x o y 平面 ． 3．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 充分必要 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．4．方程)sin(d d y x y xy +=的任一非零解 不能 与x 轴相交． 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程1d d +=y x y （ B ）奇解．（A ）有无数个 （B ）无 （C ）有一个 （D ）有两个7. 方程21d d y xy -=过点)0,0(（ A ）． （A ）只有一个解 （B ）有无数个解 （C ）只有两个解 （D ）无解 8．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解唯一的（ C ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 9．方程03=+'+''xy y x y 的任一非零解在xoy 平面上（ A ）与x 轴相切．（A ）不可以 （B ）只有在点)0,1(-处可以（C ）只有在原点处可以 （D ）只有在点)0,1(处可以10．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.y x xy -=e d d 12. 1d d =-xy x y 13. 0d )2e (d e =++y y x x y y14．)1ln(2y y '+= 15．012=+'+''y y y四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程x y y 2cos 4=+''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x ty y t x 2d d d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设方程)(d d 2y f x xy =中，)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，且0)(<y yf ，)0(≠y ．求证：该方程的任一满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在． 19．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
函数线性相关与无关的判断方法
函数线性相关与无关的判断方法
判断函数集合中的函数是否线性相关或线性无关，可以使用以下方法：
1. 解线性方程组：对于给定的函数集合，可以将其表示为一个线性方程组，然后解该方程组，如果方程组存在非零解，则函数集合线性相关；反之，如果方程组只有零解，则函数集合线性无关。
2. 行列式判断法：对于一个函数集合，可以构造一个矩阵，将函数依次作为矩阵的行或列。
然后计算该矩阵的行列式，如果行列式的值不为零，则函数集合线性无关；反之，如果行列式的值为零，则函数集合线性相关。
3. 线性组合判断法：对于给定的函数集合，可以尝试找到一组不全为零的系数，使得函数集合中的函数的线性组合等于零函数。
如果能找到这样的系数，则函数集合线性相关；反之，如果不存在这样的系数，则函数集合线性无关。
4. 维数判断法：对于一个函数集合，在向量空间中可以将其表示为向量的形式。
如果该函数集合所生成的向量空间的维数等于函数集合中函数的个数，则函数集合线性无关；反之，如果向量空间的维数小于函数集合中函数的个数，则函数集合线性相关。
微分方程选择题及答案
选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ （3）1323yd y ye dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）33sin d ydx dy e y dx +=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）(A)112y x =+ (B) 2x y Ce = （C ）21212x y C e x C =++ (D)2112x y Ce x =++答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）3、 下列等式中（）是线性微分方程.(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)20y x ''+= (D) 2y y xy '-=答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y ,故应选（B ）4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)n n xx nn n x n n d y d ydy e e e e y e dx dx dx-++-++++= 是（）.（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)sin(2),cos()sin()x x x答案： D难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin 22sin cos xx x= ，因此应选（D ）7、 下列（ ）不是全微分方程.(A)32(3)0ydx x xy dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=(B)2210xy y xdx dy y y+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A难度等级1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M Nx y y x∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）8、 方程22()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.（A ）21()x xμ=（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1(,)x y x yμ=+ 答案： C难度等级1 知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2dy y ydx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)1dy y dx x=+ 答案： D难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中12,C C 为任意常数).(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+答案： C难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但210C > 不是任意常数，故应选（C ）11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)xy y e ''-= (B)20y y ''-=（C)0y y ''+=(D)0y y ''-=答案： D难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,xxe e- 知，方程对应的特征方程的特征根为121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()x y C C x e =+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=(B)210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=答案： D难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,x xe xe 知，方程对应的特征方程的特征根为121λλ== ，因此对应的特征方程是22(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方程应是210y y '''-+=，故应选（D ）13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是0y '''=，故应选（D ）14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xy C C x C e =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+(B)0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xx e 知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程33dyx y y dx=+ 化为线性方程. （A ）1z y -= （B ）2z y -= （C ）3z y -= (D) 4z y -= 答案： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y ,得3231dyy y x dx--=+,因此要使方程为线性，只需令2z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx-=+，这是线性方程，故应选（B ）16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 答案： B难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为ln ln dy y ydx y x=-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,ln 1,1M Ny y x∂∂=+=∂∂ 因此不是全微分方程，又将方程改写为ln 11ln ln dx y x x dy y y y y y-==-+因此是线性方程（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121cos(2)4y x C x C =++(B)121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121cos(2)4y x C x C =-++答案： D难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程21x y '=的通解是（ ）.(A)1y C x =+ (B) 1y C x =+ （C ）1Cy x =-+ (D) 1y x C =-+答案： D难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为21dy dx x = 并积分，得通解1y xC =-+，故应选（D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）20、 若6y x = 是微分方程22(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是（）（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）（2）知识简单应用层次，难度等级221、 微分方程xy y e '''-=的通解是（ ）.(A) 122x x xy C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++(B)12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++答案： D难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12xy C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xx y e *=不满足方程，故应选（D ）22、 若1()y x ϕ= , 2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。
线性代数判断题及其答案
线性代数判断题线性代数课程组判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ）2、行列式01111≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）3、3阶行列式843576321的值等于行列式853472361的值. （ ） 4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）5、行列式321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ）6、行列式2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=成立. （ ）7、行列式25434232124108684642⨯==D 成立. （ ）8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ）10、行列式25479623875156422547962356428751==D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ）13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ）14、行列式4444543225169454321111=D 是范德蒙行列式. （ ）15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）18、行列式1694432111中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）19、设行列式3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D . （ ） 20、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则3222111=++c b a c b a . （ ）21、如果行列式D 有两列元素对应成比例，则0=D . （ ）22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即03232223121=+++n n A a A a A a . （ ）23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ） 24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ） 25、两个零矩阵必相等. （ ） 26、两个单位矩阵必相等. （ ）27、3阶数量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a . （ ）28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （ ） 29、若矩阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵. （ ）30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n=A n B n. （ ）31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，AB 的行列式||AB 与BA 的行列式||BA 也不相等. （ ） 32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （ ） 33、设A,B 都是三阶方阵，则B A B A +=+. （ ）34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也可逆，且111)(---=B A AB . （ ） 35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （ ）36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （ ） 37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （ ）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （ ） 39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （ ）41、如果A 2-6A=E ，则1-A = A-6E. ( )42、设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2531，则A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1532. ( )43、设A 是n 阶方阵，且1=A ，则115)5(---=n T A . （ ）44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ） 46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E . （ ）48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （ ）49、设A 是4×5矩阵，)(A r =3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （ ） 50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有)()(B r A r =. （ ） 51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则4)(0<≤A r . （ ） 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ） 54、等价的矩阵有相同的秩. （ ） 55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （ ）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （ ）57、设A 为三阶方阵且2-=A ，则=A A T 3108. （ ）58、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ） 59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （ ） 60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （ ） 61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O O A C ，则C 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--O BA O C 11. （ ） 64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ）65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）66、若4321αααα，，，线性无关，则)4(21>n n ααα ，，线性相关.（ ）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （ ） 68、若02211=++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性相关. （ ）69、若对任意一组不全为的数n k k k ，，， 21，都有02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性无关. （ ）70、若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关，且可由向量组B ：s βββ,,,21 线性表出，则s m ≤. （ ）71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ） 72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）73、设向量组im i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个子组。
线性代数第一章到五章(答案)
第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12n λλλ=(1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2 解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xx x x x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010302001000 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式ccb ba a ------1111111的值是 1 。
解ccb ba a------1111111=1011111a b b cc----=101111a b cc--=1010101abc =113. 行 列 式210000121000002100001200000121012-------- 的 值是 27 。
微积分简答题答案
微积分简答题答案您的位置：考核练习>> 简答练习 [当前练习：第一阶段基础测验]1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是的朴素思想。
问题反馈【教师释疑】、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。
2、公元3世纪，中国数学家刘徽的，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的问题反馈【教师释疑】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。
这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）[习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：￥(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5:3．用十进制四位浮点数计算 （1）++；（2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ |=210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = ~（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
微积分简答题答案
微积分简答题答案您的位置：考核练习>> 简答练习 [当前练习：第一阶段基础测验]1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是的朴素思想。
问题反馈【教师释疑】、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。
2、公元3世纪，中国数学家刘徽的，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的问题反馈【教师释疑】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。
这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
最佳一致逼近
构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：指导教师：日期：2012.06.20构造C[0，1]上W=&(1，x ，…，x 9)到f(x)=e x上的最佳逼近（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师摘要： 本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。
通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。
关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数最佳平方逼近一般而言，在[a , b ]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a , b ]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。
一、预备知识1．函数系的线性关系定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，在区间[a , b ]上连续，如果关系式0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ϕϕϕϕ 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。
如果函数系{ϕk (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。
设)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=的全体是C [a , b ]的一个子集，记为},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ并称)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是生成集合的一个基底。
公共课数学二模拟题2020年(181)_真题-无答案
公共课数学二模拟题2020年(181)(总分100,考试时间60分钟)单项选择题1. 1.设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)=( )A. ln3—1。
B. 一ln3—1。
C. 一ln2—1。
D. ln2—1。
2. 2.设{an}与(bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．A. 若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B. 若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C. 若{an}无界且anbn=0，则bn=0D. 若an为无穷大，且anbn=0，则bn一定是无穷小3. 3.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的A. 列向量组线性无关．B. 列向量组线性相关．C. 行向量组线性无关．D. 行向量组线性相关．4. 4.设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，b为任一m维列向量，则A. 线性方程组Ax=b必无解．B. 线性方程组Ax=b必有唯一解．C. 线性方程组Ax=b必有无穷多解．D. A的任意m个列向量都线性无关．5. 5.设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于( )A. a．B. ．C. an-1．D. an．6. 6.极限( )．A. 等于1B. 为∞C. 不存在但不是∞D. 等于07. 7.已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( )A. B.C. D.8. 8.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=( )A. B.C. D.9. 9.设f(χ)＝∫0χdt∫0ttln(1＋u2)du，g(χ)＝(1－cost)dt，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的( )．A. 低阶无穷小B. 高阶无穷小C. 等价无穷小D. 同阶但非等价的无穷小10. 10.n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )A. 充分必要条件。
线性微分方程的基本理论
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定理4.4 若函数组 x1(t)，x2 (t), , xn (t) 是方程（3.2.2）
在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的
Wronskian 行列式 W[x1(t)，x2 (t), , xn (t)]
在该区间上任何点都不为零. 证明: 用反证法
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推论4.2：设 x1(t)，x2 (t), , xn (t) 是方程 (4.2)
在区间（a,b）上的n个解。如果存在 t0 (a,b), 使得它的Wronskian 行列式
W[x1(t0 ),……，xn (t0 )] 0
则该解组在（a,b）上线性相关.
推论4.3 方程（4.2）的n个解 x1(t)，x2 (t), , xn (t)
a1(t)
d n1x dt n1
an1 (t )
dx dt
an
(t)x
称L为线性微分算子. 例如:
L[et ] [n
n1
a1(t)
a2(t)n2
an1(t)
an(t)]et
性质3.1 L(cx) cL(x)
c 为常数.
性质3.2 L(x1 x2 ) L(x1) L(x2 )
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则在（a,b）上线性无关的充要条件为
x1(t) 或 x2 (t) 在（a,b）上不恒为常数.
x2 (t)
x1 (t )
例3: sin t, cos t在任何区间上都线性无关.
cos2 t,1 sin2 t 在任何区间上都线性相关.
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注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取
微分方程复习题(1)
常微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：12．形如_ 的方程称为齐次方程。
答： )(xy g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答:cos 2,sin 2x x .1。
二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答：xx x e ,e3。
若()t ϕ和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵,则()t ϕ和()t ψ具有的关系是 。
4。
一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 .5。
方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。
有只含y 的积分因子的充要条件是 .6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。
7。
称为n 阶齐线性微分方程。
8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m Px 是m 次多项式）中,则方程有形如 的特解.9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解.10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。
9。
微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为 .10。
若()(0,1,2,,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 .11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解， ()(0,1,2,,)i x t i n =是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 。
常微分方程A卷及答案
安 庆 师 范 学 院《常微分方程》A 卷 一、判断题（8分，每题2分）1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。
（ ）2、函数221c x e c y +=是微分方程02=-'-''y y y 的通解。
（ ）3、阶线性齐次微分方程的个解12(),(),,()n x t x t x t 在],[b a 上线性无关的充要条件是()0,[,]W t t a b ≠∈。
（ ）4、设)(t Φ为X t A X )(='的基解矩阵，则)(t ψ为其基解矩阵存在阶常数矩阵，使C t t )()(Φ=ψ。
（ ）二、选择题（10分，每题2分）1、 微分方程24()cos y y y y ''''''+-=是（ ）。
A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程C 四阶非线性方程D 四阶线性方程2、 下列方程中为齐次方程的是 （ ）。
A ()y xy y ϕ''=+B tany xy y x x '=+C ()y xy f y '''=+D cos cos ydx xdy = 3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（ ）维线性空间。
AB 1n +C 1n -D 2n +4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（ ）条件。
A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既不是充分也不是必要条件 5. 方程dx y dt dy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的奇点(0,0)的类型是 （ ）。
A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数12(),(),,()n X t X t X t 是线性方程组()X A t X '=的基本解组的充要条件是：（1）；（2）。
2、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy+=存在只与有关而与无关的积 分因子的充分必要条件是。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2022年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核某50%+终结性考试某50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项： A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项： A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项： A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项： A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项： A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项： A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
两个函数线性无关的条件
两个函数线性无关的条件
在数学中，线性无关是指两个函数之间没有一定的变化关系。
什么样的条件下会出现两个函数线性无关的情况？这里列出了五种不同的条件：
一、两个函数的斜率不同
在函数线性无关的情况下，两个函数的斜率是不同的，即每增加一个单位的x，y的变化量也不同。
二、两个函数的因变量不同
两个函数的因变量也有很大的影响，两个函数当自变量相同的时候，如果它们的因变量不同，这就意味着这两个函数是线性无关的。
三、两个函数有不同的初始条件
两个函数在某一个自变量时，如果它们“0”状态下拥有不同的值，那么就会出现线性无关的情况。
四、两个函数不存在共同的点
画出来的两个函数，当两个函数的横纵坐标没有共同的点，就表明两个函数是线性无关的。
五、不存在任何一个k值使得两个函数相等
如果两个函数不存在任何一个满足kg(x)=h(x)这个关系的常数k，就表
明这两个函数是线性无关的。
总结
以上就是出现两个函数线性无关的五种情况，根据以上情况可以很容
易确定两个函数之间是否存在着线性关系。
学好数学能帮助我们很好
的分析和判断出现线性无关的情况，不仅可以帮助我们求解数学问题，还可以对我们的生活和工作具有很大的帮助。
大学数学练习题
大学数学习题及答案一填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程的常数解是________.6 方程一个非零解为x1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11 一阶线性方程有积分因子().12 求解方程的解是( ).13已知(为恰当方程,则=____________.14 ,,由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程的通解是( ).16方程的阶数为_______________.17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.19．方程所有常数解是____________________．20．方程的基本解组是____________________．21．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．23．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二单项选择:1 方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y 轴外的全平面2 方程( ) 奇解.(A) 有一个(B) 有两个(C) 无(D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A) (B)(C) (D)4 方程的一个特解形如( ).(A)(B)(C)(D)5 连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件．（A）必要（B）充分(C) 充分必要(D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7 方程过点(0,0)有( ).(A) 无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8 初值问题x , 在区间,上的解是( ).(A) (B) (C) (D)9 方程是( ).(A) 一阶非线性方程(B)一阶线性方程（C)超越方程(D)二阶线性方程10 方程的通解是( ).(A)(B) (C)(D)11 方程的一个基本解组是( ).(A) (B)(C)(D)12 若y1和y2是方程的两个解,则（e1,e2为任意常数）(A) 是该方程的通解(B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13 方程过点(0,0)的解为,此解存在( ).(A)(B) (C)(D)14 方程是( ) .(A) 可分离变量方程(B) 齐次方程(C)全微分方程(D) 线性非齐次方程15 微分方程的通解是( ).(A) (B) (C)(D)16 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A)(B)(C)(D)17 方程的一个数解形如( ).(A) (B)(C)(D)18 初值问题在区间上的解是( ).(A)(B)(C)(D)19．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）20. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三21．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+222．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解23．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定三求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1)(2)(3)(4)(5)2 求方程的解3 解方程:并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4 求方程:5求方程: 的通解6 求的通解.7 求解方程:8 求方程: 的解9 求方程的通解10 求下列方程组的通解11求初值问题的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解(1) (2) (3) (三种方法) (4)13 计算方程的通解14计算方程15 求下列常系数线性微分方程:16 试求x的基解矩阵17 试求矩阵的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵的特征值和特征向量19 解方程组20．求下列方程组的通解．四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5条件 6 线性相关五证明题1在方程中已知p(x);q(x)在上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。