大学物理 上册(第五版)重点总结归纳及试题详解 第一章 质点运动学

第一章 质点运动学

一、 基本要求

1． 掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。

2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。 3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。 4．理解伽利略坐标变换和速度变换。

二、 基本内容

1． 位置矢量（简称位矢）

位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。 r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。r 同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。

注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t =r r ；（2）相对性：用r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 表达形式可以是不相同的。它表示了r 的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r 为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。

在直角坐标系Oxyz 中

x y z =++r i j k

==r r

r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos

质点的运动方程为 ()()()()t x t y t z t ==++r r i j k （矢量式）

或()

()()⎪⎩

⎪

⎨⎧===t z z t y y t x x （标量式）。 2．位移

()(),t t t x y z ∆=+∆-=∆+∆+∆r r r i j k ∆r 的模∆=r

注意：（1）∆r 与r ∆的区别：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2）∆r 与

s ∆的区别：s ∆表示t ~t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当0→∆t 时，s ∆=∆r 。

3. 速度

d dt

=

r

v ，是质点位置矢量对时间的变化率。 在直角坐标系中

x y z d dx dy dz dt dt dt dt

=

=++=++v v v v r i j k i j k

v 的大小：===v v

v 的方向：在直线运动中，0>v 表示质点沿坐标轴正向运动，0

坐标轴负向运动；在曲线运动中，v 沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。

注意：（1）瞬时性：质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性：速度为矢量，具有大小、方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系、坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性：因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意

dt dr 与d dt r ，dt

dr

与d dt r 的区别。

4． 加速度

d dt

=

a v

，描述质点速度对时间的变化率，其中包括速度的大小和方向随时间的变化。不论速度的大小变化，还是速度方向的变化，都会产生加速度。加速度也为矢量。

在直角坐标中 x y z a a a =++a i j k

其中，22x x d d x a dt dt =

=v ，22y y d d y a dt dt ==v ，22z z d d z a dt dt

==v ，=a 在自然坐标系中

n t a a =+a n t

其中，2

n a ρ

=

v ，t d a dt

=

v ，2

2n

t a a =+a ，a 与切向的夹角arctan n t a a θ= 加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a 与v 同向，则质点作加速运动，a 与v 反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a 方向总是指向曲线凹的一侧。

5．圆周运动的角速度、角加速度 角速度 dt

d θ

ω=

角加速度 22dt

d dt d θ

ωβ== 角量与线量的关系： R ω=v ，t a R β=，2n a R ω= 6．伽利略速度变换

'=+u v v 其中v 为运动物体相对固定参照系的速度，称为绝对速度；'v 为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u 为运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。

三、习题选解

1-1 从原点到P 点的位置矢量26=-+r i j 。而P 点到Q 的位移42∆=-r i j 。求从原点到Q 点的位置矢量，并作图表示。

解： 由位移定义 Q P ∆=-r r r 设Q 点坐标为(,)x y

则 ()()()2626x y x y ∆=+--+=++-r i j i j i j 而 x y ∆=∆+∆r i j

显然 ⎩⎨⎧-=-=∆=+=∆264

2y y x x

⎩⎨

⎧==4

2

y x 故 24Q x y =+=+r i j i j 如图所示。 题1-1图

1-2 设质点沿x 轴运动，其运动方程为323t t x -=（式中x 以m 计，t 以s 计）。求：（1）质点在3s 末的速度和加速度；（2）质点在1.5s 是作加速运动还是作减速运动；

（3）第1s 末到第3s 末时间内的位移和路程。

解：（1） 263dx t t dt ==-v ，66d a t dt

==-v

将 3t s =代入上两式分别得

19m s -=-⋅v ， 212a m s -=-⋅

（2）将 1.5t s =代入,a v 表达式分别得

()212

6363 2.25663t t t t m s a t m s

--=-=-=⋅=-=-⋅v

a 与v 反向，质点作减速运动。

（3）位移 ()()m x x x 21331-=-=∆-

由 2630t t =-=v 得：01=t ，s t 22=，即2t s =时质点瞬时静止，其后反向运动。

故路程 ()()()()m x x x x x 6321231=-+-=∆-

1-3 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为2x t =，()2192SI y t =-（式中x ，y 以m 计，t 以s 计）

。求：（1） 求质点的轨道方程；（2） 求t 时刻质点的位置矢量，速度矢量；（3） 什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？（4） 什么时刻质点离原点最近？求这一距离。

解： （1）由2219,2t y t x -==消去t 得轨道方程为

219221922

x x y -

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-= (0)x > （2） ()()()()22192t x t y t t t =+=+-r i j i j 而 2x dx dt =

=v 4y dy t dt

==-v 故 24x y t =+=-i j i j v v v （3） ⊥r v 时 则 0⋅=r v 即

()()()()22219240x y x y x y x y t t t +⋅+=+=⨯+-⨯-=i j i j v v v v

()()

()224119242180t t t t --=-=