4.1 线性方程组有解的条件

(1) 0, 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解； 故： (2) 0, R( A) 1, R(B) 2, 方程组无解；
(３) 3, R( A) R(B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1
此时
B
r
0
3
3
6
r
0
1
1
2
,
0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 1 2
x2 x3
c1
1
0
c2
0
2
0
1 2
, c1
, c2
R.
x4 0 1 0
例4
对于线性方程组
(1 x1
)
(1
x1
)
x2 x2
x3 x3
0, 3,
书本P112,T6
x1 x2 (1 )x3 ,
问取何值时,有解?有无穷多个解? 并求无穷多解的通解。
c1n d1
c2n
d2
M M
crn
dr
0 0
d
r 1
0
M M
0 0
初等变换不改变矩阵的秩，故有：R( A) R( A) r,
增广矩阵B 通过初等行 变换化为阶
梯型矩阵B
R(B)
R(B)
r, r
1,
当dr1 0, 当dr1 0.
故：
方程组(1)有解的充分必要条件为 dr1 0 ，此时R(A)=R(B)。
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
21
4 3
c2
,
x3 c1,
x4
c2 ,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
,
c1
,
c2
R.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1, 2,
2x1 x2 2x3 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换化成行阶梯形，
1 2 3 1 1 B 3 1 5 3 2
r
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
推论2 R( A) n A 0 Ax 0只有零解 Ax b有唯一解
注：R( A) n时，一定有R(A,b)=R(A)=n
二、线性方程组的求解方法
齐次线性方程组：将系数矩阵化成行最简形矩 阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
Amn x b
（2）
如何利用系数矩阵A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定理1 线性方程组(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(B). 其中又分为两种情况：
1o 有唯一解 R A R B n
2o有无穷多解 R A RB n
若方程组(1) 无解 R A RB
例1
求解齐次线性方程组
x1 2
2x2 2x3 x4 x1 x2 2 x3 2
x4
0
0
.
x1 x2 4x3 3x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，有：
1 2 2 1
A
2 1
1 1
2 4
2 3
r2 2r1 r3 r1
1 2 2 1 0 3 6 4 0 3 6 4
00
LL
00
（2）
其中 cii 0, i 1, 2,L , r. 恒等式“0=0” 可能出现（或不出现）。
此时(2)对应的增广矩阵为：
c11 c12 L
系数矩阵A通过 初等行变换化为
0
c22 L
阶梯型矩阵
A
B
M 0
M 0L
0 0 L
0
0L
M M 0 0 L
c1r L c2r L M crr L 0L 0L M 0L
解 对增广矩阵 B ( A,b) 作初等行变换，
1
B
1
1
1
1
1
1 1
1
0
3
1
r3 r1
1
r3 (r1 r2 ) 3
1
1 3
1
1
3
3
3
1 1 1
r2 r1
r3 (3 )r1
0
0
0
(3 )
3
(1 )(3 )
1 1 1
0
3
0 0 (3 ) (1 )(3 )
通解
x1 x2
x3 x3
1
2
即
x1 x2 x3
1
c
1
1
1
2
,(c
0
R)
思考：此题系数矩阵为方阵，还有无其他求解方法？？？
另一种解法：(推荐)
线性方程组的系数行列式为:
1 1 A 1 1
11
根据克拉默法则，有:
1
1 2(3 ) 1
(1) 0, 且 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解；
例３
求解非齐次方程组
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
.
x1 x2 2x3 3x4 1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 1 1 1 0 r B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
1 1 0 1 1/ 2
0
0
1
2
1
2
0 0 0 0 0
1
r3 r2
0
r2 (3)
0
2 1 0
2 2 0
1 4
3
0
r1
2r2
1
0 0
0 1 0
2 2 0
5/ 3
4/3 0
即得与原方程组同解的方程组
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
2
x3
4 3
x4
,
(
x1
x2
x3 ,
2 x3
5 3
x4
0,
2 x3
4 3
x4
0,
x4 可任意取值).
若R(A)<n时，Ax=0有无穷多组解，此时称为非零解。 定理2 齐次线性方程组 Amn x 0, 解的情况和条件 分别为：
1.只有唯一零解 R A n
2. 有非零解 R A n
特别地，若A为方阵，即m=n时，有：
推论1 R( A) n A 0 Ax 0有非零解 Ax b无解或有无穷多解
第四章 线性方程组的理论
线性方程组有解的条件 线性相关性的理论 线性方程组解的结构
第一节 线性方程组有解的条件
一、线性方程组有解的判定条件
在第一章已用消元法讨论线性方程组
（1）
的求解问题.
如果方程组有解,称(1)是相容的, 如果方程组无解,称(1)不相容.
第三章中(1) 式写成以向量 x 为未知元的方程
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x3
x2 x4 2x4 1
1 2
2
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
令 x2 c1 , x4 c2，方程的通解可写为：
c22 x2 L c2r xr L c2n xn d2
LLLL
crr xr L crn xn dr
00
00
LL
00
方程组有无穷多解，其中自由变化未知量有n-r个。
综上所述，原命题得证。
称Ax 0为Ax b所对应的齐次线性方程组
或导出组(derived system )
对于齐次线性方程组Ax=0，至少有一个零解。
证明：在第一章中，我们已经证明，不失一般性， 线性方程组(1)经过初等变换化成如下阶梯形方程组：
c11 x1 c12 x2 c1r xr L c1n xn d1
c22 x2 L c2r xr L c2n xn d2
LLLL
crr xr L crn xn dr
0 dr1
当R(A)=R(B)=r=n时，此时方程组变为：
c11 x1 c12 x2 L c1n xn d1
c22 x2 L L c2n xn d2
LLLL
cnn xn dn
00
M
00
方程组有唯一解；
当R(A)=R(B)=r<n时，此时方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr L c1n xn d1
课后思考题：
√ √
(2) 0,=-3 分别代入到原方程组，
求解方法同前。
定理3 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是 R(A ) = R(A,B ) .
例5 设C=AB，则 R(C) min{R( A), R(B)}. 证明： AB C, 即AX C有解X B.
根据定理3，有R( A) R( A,C ) 而R(C ) R( A,C ), 因此R(C ) R( A). 再由AB C ,得BT AT C T , 即BT X CT有解X AT . 根据定理3，有R(BT ) R(BT ,CT ) 而R(CT ) R(BT ,CT ), 因此R(C ) R(B). 综上，原命题得证。