2019年初高中数学衔接教材(完整版).doc
数学组初高中衔接校本教材(最终稿)
一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+-【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+=+=*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)(3)(4) -+解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式6==-(3) 原式=(4) 原式==-说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母()形式() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(22)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。
2019年人教版B数学必修一初升高衔接课
初升高衔接课同学们，新的征程开始了，首先要祝贺同学们进入新的学校继续学习，为三年后的金榜题名打下坚实的基础．初中知识是高中学习的基础，本节课的内容能够很好的把初中与高中知识衔接起来，帮助你赢在高中起跑线上！一 数与式的运算●知识点1 二次根式 (1)定义：一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式．(2)二次根式a 2的意义：a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)分母(子)有理化：①定义：把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．②方法：(ⅰ)分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；(ⅱ)分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．(4)注意点：①x 2的意义为求算术平方根，是非负值，故x 2＝x 不正确，应为x 2＝|x |； ②对于双根号，如3－22，可以通过配方成(2－1)2，实现开方的目的，不能简单认为不能开方；③根式有理化是重要的解题思想，因此遇到无理式，尽量设法转化为有理式，特别是分子中含有无理式时，容易忽视分子有理化．试比较下列两个数的大小：12－11和11－10.【导学号：60462000】[解] ∵12－11＝12－111＝(12－11)(12＋11)12＋11＝112＋11，11－10＝11－101＝(11－10)(11＋10)11＋10＝111＋10，又∵12＋11>11＋10>0，∴12－11<11－10.[规律方法] 比较两个无理数的大小的一般方法是：通过平方，把无理数化为有理数来比较大小.但本题是巧妙地运用有理化知识，将分子有理化后，转化为比较分母的大小，计算量小，解法简洁.[对点练]已知：y ＝8－x ＋x －8＋12，求x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2的值．[解] 因为8－x ＋x －8有意义，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－x ≥0，x －8≥0，解得x ＝8.所以y ＝8－x ＋x －8＋12＝8－8＋8－8＋12＝0＋0＋12＝12.所以x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2＝(x ＋y )2xy －(x －y )2xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋1228×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1228×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17224－⎝ ⎛⎭⎪⎫15224＝174－154＝12.●知识点2 常用的乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (2)完全平方公式 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； (2)立方差公式 (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．计算：(x ＋1)(x －1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1).【导学号：60462001】[解] 法一：(应用平方差、立方差公式) 原式＝(x 2－1)[(x 2＋1)－x ][(x 2＋1)＋x ] ＝(x 2－1)[(x 2＋1)2－x 2] ＝(x 2－1)(x 4＋x 2＋1) ＝x 6－1.法二：(应用立方和立方差公式) 原式＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x 3＋1)(x 3－1) ＝x 6－1.[规律方法] 在代数式的化简、求值与证明中，要注意公式的灵活运用. [对点练](1)已知x ＋1x ＝5，求x 2＋1x 2的值； (2)已知x 2－3x ＋1＝0，求x 3＋1x 3的值.【导学号：60462002】[解] (1)由已知等式平方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x 2＋2＋1x 2＝25， 所以x 2＋1x 2＝23.(2)因为x 2－3x ＋1＝0，所以x －3＋1x ＝0即x ＋1x ＝3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝9，所以x 2＋1x 2＝9－2＝7所以，x 3＋1x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋1x 2＝3×(7－1)＝18. 即x 3＋1x 3＝18.●知识点3 因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的逆运算进行因式分解．(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法．(3)公式法：把乘法公式反过来用，用某些多项式因式分解的方法． (4)求根法：若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就可分解为a (x －x 1)(x －x 2)．(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式． 如2x 3－x －1，试根知x ＝1为2x 3－x －1＝0的根，通过拆项，2x 3－x －1＝2x 3－2x 2＋2x 2－2x ＋x －1提取公因式后分解因式．因式分解：(1)2x 2＋4xy ＋2y 2－8z 2； (2)x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2.[解] (1)原式＝2(x 2＋2xy ＋y 2－4z 2) ＝2[(x ＋y )2－4z 2] ＝2(x ＋y －2z )(x ＋y ＋2z )(2)如图，将x 2分解成图中的两个x 的积，再将aby 2分解成－ay 与－by 的乘积．而图中的对角线上的两个式子的乘积的和为－(a ＋b )xy, p所以原式＝(x －ay )(x －by )[对点练]因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)xy－1＋x－y.[解](1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x 用1来表示(如图②所示)．(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．(3)法一：(提取公因式法)xy－1＋x－y＝(xy＋x)－(1＋y)＝x(1＋y)－(1＋y)＝(x－1)(y＋1)法二：(十字相乘法)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y＋1)(如图④所示)．④二一元一次、一元二次方程及不等式●知识点1一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的等式叫一元一次方程．(2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.(3)关于方程ax＝b解的讨论：①当a ≠0时，方程有唯一解x ＝ba ； ②当a ＝0，b ≠0时，方程无解；③当a ＝0，b ＝0时，方程有无数解，此时任一实数都是方程的解．已知(a 2－1)x 2－(a ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程．(1)求代数式201(a ＋x )(x －2a )＋3a ＋5的值． (2)求关于y 的方程a |y |＝x 的解．[解] (1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－(a ＋1)≠0，解得：a ＝1，则方程变为－2x ＋8＝0，解得：x ＝4， 原式＝201(1＋4)(4－2)＋3＋5＝2018. (2)当a ＝1，x ＝4时，|y |＝4，所以y ＝±4.●知识点2 一元二次方程(1)定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．(2)判断依据：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有 ①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－b2a ；③当Δ<0时，方程没有实数根．判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，若方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－ax －1＝0；(2)a(a＋1)x2＋x－a(a－1)＝0. 【导学号：60462003】[解](1)Δ＝a2＋4>0，所以方程有两个不相等的实数根，解得x1＝a－a2＋42，x2＝a＋a2＋42.(2)当a＝0时，方程的根为x＝0，当a＝－1时，方程的根为x＝2. 当a≠0且a≠－1时，Δ＝1＋4a2(a2－1)＝(2a2－1)2≥0，故当a＝±22时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根，即当a＝22时，x1＝x2＝1－2，当a＝－22时，x1＝x2＝1＋2；当a≠0且a≠－1且a≠±22时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1＝1－1a，x2＝－a a＋1.[对点练]解方程(1)x2－ax＋(a－1)＝0；(2)x2－2x＋a＝0.[解](1)因为Δ＝a2－4a＋4≥0，方程有实数根，方程变为(x－1)[x－(a－1)]＝0，解得x1＝1，x2＝a－1，当a＝2时，方程有两个相等的实数根x＝1，当a≠2时，方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1.(2)Δ＝4－4a ，当a >1时，Δ<0，方程无实数根；当a ＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根1； 当a <1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a .●知识点3 根与系数的关系 (1)根与系数的关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .(2)应用：若已知x 1，x 2是一元二次方程的两个根，则可设一元二次方程为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0；对应的一元二次函数设为f (x )＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2.若x1，x 2是方程x 2＋2x －2018＝0的两个根，试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；(2)1x 1＋1x2；(3)(x 1－5)(x 2－5)；(4)|x 1－x 2|. [思路探究] 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用根与系数的关系来解答．[解] 由题意，根据根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2018；(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2)2－2(－2018)＝4040；(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2－2018＝11009；(3)(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2018－5(－2)＋25＝－1983； (4)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2)2－4(－2018)＝8076＝22019.[对点练](1)若关于x 的方程x 2－x ＋a －4＝0的一个根大于零、另一个根小于零，求实数a 的取值范围．(2)若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，求实数a的取值范围.【导学号：6046204】[解](1)设方程的两个根为x1，x2，由题意x1x2＝a－4<0，解得a<4.所以实数a的取值范围是a<4.(2)设方程的两个根为x1，x2，由题意(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1<0，即a＋1＋1<0，解得a<－2.所以实数a的取值范围是a<－2.●知识点4不等式(1)解一元一次不等式(组)的注意事项．①移项要变号．②不等式两边同除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同除一个负数，不等号方向改变.③解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找”．(2)含字母的一元一次不等式可化为形如mx>n的不等式，需要分以下几种情况讨论(形如mx<n的不等式类比求解)．f(x)>0⇔f(x)g(x)>0g(x)f(x)<0⇔f(x)g(x)<0g(x)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎨⎧ f (x )g (x )≥0g (x )≠0 f (x )g (x )≤0⇔⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0g (x )≠0 解下列不等式及不等式组(1)3－x <2x ＋6.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12>1，7x －8<9x .(3)2x －3x ＋1<0. [解] (1)原不等式变为－3x <3，解得不等式的解为x >－1. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x >－4，故不等式组的解集为x >1.(3)原不等式等价于(2x －3)(x ＋1)<0， 所以原不等式的解为－1<x <32. [对点练](1)x －22≥7－x 3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧5x －2>3(x ＋1)，12x －1≤7－32x .(3)1x ＋2≤3. [解] (1)原不等式变为3x －6≥14－2x ， 即5x ≥20，解得不等式的解为x ≥4. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧2x >5，2x ≤8，即⎩⎨⎧x >52，x ≤4，故不等式组的解集为52<x ≤4. (3)原不等式可化为：1x ＋2－3≤0，即3x ＋5x ＋2≥0，上不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋5)(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得x <－2或x ≥－53.故不等式的解为x <－2或x ≥－53.三 正、反比例函数与一次、二次函数●知识点1 正比例函数与一次函数 (1)定义． ①一次函数．若两个变量y ，x 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (b 为常数，k 为不等于0的常数)的形式，则称y 是x 的一次函数．②正比例函数．在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，若b ＝0，称y 是x 的正比例函数． (2)性质．①正比例函数的特征．正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点的一条直线． ②一次函数的图象、性质．位：km/h)之间的函数关系(30≤x ≤120)，已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h ，耗油量增加0.002 L/km.图1(1)当速度为50 km/h 、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为________ L/km 、________L/km.(2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式． (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【导学号：60462005】[解析] (1)设AB 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 把(30,0.15)和(60,0.12)代入y ＝kx ＋b 中得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 30k ＋b ＝0.15，60k ＋b ＝0.12解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001，b ＝0.18， 所以AB ：y ＝－0.001x ＋0.18，当x ＝50时，y ＝－0.001×50＋0.18＝0.13， 由线段BC 上一点坐标(90,0.12)得： 0．12＋(100－90)×0.002＝0.14. [答案] 0.13 0.14(2)由(1)得：线段AB 的解析式为： y ＝－0.001x ＋0.18.(3)设BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把(90,0.12)和(100,0.14)代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧ 90k ＋b ＝0.12，100k ＋b ＝0.14解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.002，b ＝－0.06， 所以BC ：y ＝0.002x －0.06，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－0.001x ＋0.18，y ＝0.002x －0.06，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝0.1.答：速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km. ●知识点2 反比例函数(1)定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．自变量x 的取值范围是x ≠0.(2)图象与性质：①当k >0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；②当k <0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大．如图2，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上有一点A (m,4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，CD ＝43.图2(1)点D 的横坐标为________(用含m 的式子表示)． (2)求反比例函数的解析式． [解] (1)由题意知，B (m,0)，又C 点是由B 向右平移2个单位得到的，则C (m ＋2,0)， 又CD ∥y 轴，所以点D 的横坐标为m ＋2. (2)因为CD ∥y 轴，CD ＝43， 所以点D 的坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2，43，因为A ，D 在反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上， 所以4m ＝43(m ＋2)，解得：m ＝1， 所以点A 的坐标为(1,4)，所以k ＝4m ＝4， 所以反比例函数的解析式为：y ＝4x . [对点练]如图3，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于点A (－4，－2)，B (m,4)，与y 轴相交于点C .【导学号：60462006】图3(1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求点C 的坐标及△AOB 的面积．[解] (1)因为点A (－4，－2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，所以k ＝－4×(－2)＝8.所以反比例函数的表达式为y ＝8x ；因为点B (m,4)在反比例函数y ＝8x 的图象上， 所以4m ＝8，解得：m ＝2，所以点B (2,4)． 将点A (－4，－2)，B (2,4)代入y ＝－ax ＋b 中， 得：⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝4a ＋b ，4＝－2a ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以一次函数的表达式为y ＝x ＋2.(2)令y ＝x ＋2中x ＝0，则y ＝2，所以点C 的坐标为(0,2)．所以S △AOB ＝12OC ×(x B －x A )＝12×2×[2－(－4)]＝6.●知识点3 一元二次函数(1)一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与性质．①一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点坐标为(h ，k )(a ≠0)；③两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．如图4，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B 两点，与y轴交于点C ，点B 的坐标为(3,0)．图4(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．[解] (1)把点B 的坐标(3,0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3得：0＝－32＋3m ＋3，解得：m ＝2，所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，所以顶点坐标为(1,4)．(2)连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时P A ＋PC 的值最小， 设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 因为点C (0,3)，点B (3,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝3k ＋b .3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，所以直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，所以当P A ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1,2)．[对点练]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2,2)两点． (1)试求抛物线的解析式．(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积．(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．[解] (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1，所以抛物线解析式为y ＝12x 2－x ＋2. (2)因为y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32. 所以顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 因为直线BC 为y ＝－x ＋4，所以对称轴与BC 的交点H (1,3)，所以S △BDC ＝S△BDH ＋S △DHC＝12·32·3＋12·32·1＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2，消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1－4(4－2b )＝0，所以b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3， 当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，因为直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，所以158<b≤3.。
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第一讲数与式1、绝对值（ 1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,| a | 0, a 0,a, a 0.（ 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（ 3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（ 1）含有绝对值的不等式① f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是a f ( x) a 。
② f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a 或 f (x) a 。
③f (x)2 2g(x) f (x) g(x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2.求不等式2x 1 5 的解集例 3.求不等式x 3x 2 的解集例 4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．1例 5.解不等式|x －1|＋|2－x|＞3－x．例 6.已知关于x 的不等式|x－5|＋|x －3|＜a有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（ 1）x1x 3 ＞4+x（ 2） |x+1|<|x － 2|（ 3） |x－1|+|2x +1|<4（4）3x 27(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式 2 2(a b)( a b) ab （2）完全平方公式（3）立方和公式2 2 2(a b) a 2abb2 2 33(a b)(a ab b ) ab2 2 3（ 4）立方差公式 3(a b)(a ab b ) ab2 2 2 2（ 5）三数和平方公式(a b c) a b c2(ab bcac)3 3 2 2（ 6）两数和立方公式 3(a b) a 3a b 3abb2（ 7）两数差立方公式 3 3 2 23(a b) a 3a b 3abb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：2（ 1）x－ 3x＋ 2；（ 3）2()x a b xyy．2．提取公因式法例 2.分解因式：2b 5 a 5 b3．公式法例 3.分解因式：（1）（ 2）26x 7 x22aby ；（ 4）xy 1 x（ 2）x39 3x 23x （1）aa416 （ 2）2 23x 2y xy4．分组分解法2 2 2例 4.（ 1） xxy 3y 3x（ 2） 2xxy y4x 5y65．关于 x 的二次三项式ax2+bx +c ( a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程20(a0)xx2(0)axbx c的两个实数根是、，则二次三项式 axbx c a就可12分解为a(x x )(xx ) .1 2例 5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1） 2 2 1 2 x x ；x（ 2）y ．4 4 2 xy3练习（ 1）2 5 6 2 1 x x x ax a21118 x x（ 2）（ 3）（ 4）2 2 2 24m 12m 9 （ 5） 5 7x 6x 12x xy 6y（ 6）2 q p 35a2 b 6ab22 2 42（ 7 ）6 2p q 11 2 3 （ 8 ） a （ 9 ）4x x （ 10）x42x 21（11）x2y 2a2b22ax 2by（）a 2 2(13)x212 4ab 4b 6a 12b 9－2x－ 1（） 1 4 214 34x 13xa ；（ 15）9 ；（ 16）22 2 2 2 2 23x 5xy 2yx 9yb c ab ac bc ；4（ 17）第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式2对于一元二次方程ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x ＝1 ， 2， 2＝2 4bb ；ac2a（ 2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝ x 2＝－b；2a（ 3）当＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是x1， x2，那么x 1＋ x 2＝定理．2、二次函数 2y axbx c 的性质b， x1· x2＝c．这一关系也被称为韦达a a21. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b 4ac b2a2a，。
(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
高数2019新高一数学衔接教材
暑期衔接班新高一数学目录第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形 1、乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。
（3）立方和公式 ；（4）立方差公式 ；（5）三数和平方公式 ；（6）两数和立方公式 ；（7）两数差立方公式 。
2、二次根式：的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定：1）N *）个 2）；3）） ②性质：1）、）；2）、 ）；3） ）。
4、次根式：若存在实数，使得，则称为的次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。
5、分数指数幂：6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-0)a ≥∈⋅⋅⋅=n a a a a n( n )0(10≠=a a 11(pp p ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R (0,rsr sa a a a r +⋅=>∈s R r a aa sr sr ,0()(>=⋅∈s R ∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()(R n x a x n =n a x =a n nma =（4）十字相乘法； （5）求根公式法； （6）换元法、待定系数法典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知，计算的值。
初高中数学衔接校本教材(Word版)
《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢提几点建议：一、“信心”是源泉。
人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。
二、“恒心”是保障。
人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。
:三、“巧心”是支柱。
人无巧心，就缺乏灵气和创造力。
最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！}$临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。
主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学。
A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。
（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。
（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。
初高中数学衔接教材共28页.doc
初高中数学衔接教材引 入 乘法公式第一讲 因式分解第二讲 函数与方程第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．说明：（2）x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3） 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
2019年初升高中衔接教材数学教案讲义大全
初升高数学衔接教案讲义第1章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
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初高中数学衔接教材初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()ab a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a=，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
初高中数学衔接教材 word版配答案(精品版)
数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
初高中数学衔接教材(共28页)
初下中数教贯串课本之阳早格格创做目录引进乘法公式第一道果式收会1.1 提与公果式1.2. 公式法（仄圆好，真足仄圆，坐圆战，坐圆好）1.3分组收会法1.4十字相乘法（沉、易面）1.5闭于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的果式收会．第二道函数与圆程2.1 一元二次圆程2.1.2 根与系数的闭系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象战本量2.2.2 二次函数的三种表示办法2.2.3 二次函数的简朴应用第三道三角形的“四心”乘法公式咱们正在初中已经教习过了下列一些乘法公式：（1）仄圆好公式22+-=-；a b a b a b()()（2）真足仄圆公式222±=±+．()2a b a ab b咱们还不妨通过道明得到下列一些乘法公式：（1）坐圆战公式2233a b a ab b a b+-+=+；()()（2）坐圆好公式2233-++=-；a b a ab b a b()()（3）三数战仄圆公式2222++=+++++；()2()a b c a b c ab bc ac（4）二数战坐圆公式33223+=+++；()33a b a a b ab b（5）二数好坐圆公式33223()33-=-+-．a b a a b ab b对付上头列出的五个公式，有兴趣的共教不妨自己去道明．例1 估计：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：本式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：本式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，供222a b c ++的值． 解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．挖空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．采用题：（1）假如212x mx k ++一个真足仄办法，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ，b 为何真数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）经常正数 （B ）经常背数（C ）不妨是整 （D ）不妨是正数也不妨是背数第一道 果式收会果式收会的主要要收有：十字相乘法、提与公果式法、公式法、分组收会法，其余还应相识供根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 收会果式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2收会成图中的二个x 的积，再将常数项2收会成－1与－2的乘积，而图中的对付角线上的二个数乘积的战为－3x ，便是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．道明：以后正在收会与本例类似的二次三项式时，不妨间接将图1．1－1中的二个x 用1去表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂训练一、挖空题：1、把下列各式收会果式：（1）=-+652x x __________________________________________________.－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay－byx x 图1．1－4 －1 1 xy图1．1－5（2）=+-652x x __________________________________________________. （3）=++652x x __________________________________________________. （4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、采用题：（每小题四个问案中惟有一个是透彻的）1、正在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相共果式的是（ ）A 、惟有（1）（2）B 、惟有（3）（4）C 、惟有（3）（5）D 、（1）战（2）；（3）战（4）；（3）战（5）2、收会果式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 收会果式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可收会为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ） A 、10=a ，2=b B 、10=a ，2-=b C 、10-=a ，2-=b D 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或者9 B 、3± C 、9± D 、3±或者9±三、把下列各式收会果式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提与公果式法例2 收会果式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或者32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++课堂训练：一、挖空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公果式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --收会果式得_____________________.7．估计99992+=二、推断题：（透彻的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3收会果式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++ 课堂训练一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公果式是______________________________.二、推断题：（透彻的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式收会1、()()229n m n m ++--2、3132-x3、()22244+--x x4、1224+-x x4．分组收会法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或者222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂训练：用分组收会法收会多项式（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）91264422++-+-b a b ab a5．闭于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的果式收会．若闭于x 的圆程20(0)ax bx c a ++=≠的二个真数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠便可收会为12()()a x x x x --.例5 把下列闭于x 的二次多项式收会果式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-， ∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦ =(11x x +-++． （2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++． 练 习1．采用题：多项式22215x xy y --的一个果式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．收会果式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．收会果式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．正在真数范畴内果式收会：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 谦脚222a b c ab bc ca ++=++，试判决ABC ∆的形状．4．收会果式：x2＋x －(a2－a)．第二道 函数与圆程2.1 一元二次圆程{情境树坐：可先让教死通过简曲真例探索二次圆程的根的供法，如供圆程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x (3)0322=++x x } 咱们相识，对付于一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用配要收不妨将其变形为2224()24b b ac x a a-+=． ① 果为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac ＞0时，圆程①的左端是一个正数，果此，本圆程有二个不相等的真数根x1，2（2）当b2－4ac ＝0时，圆程①的左端为整，果此，本圆程有二个等的真数根x1＝x2＝－2b a； （3）当b2－4ac ＜0时，圆程①的左端是一个背数，而圆程①的左边2()2b x a+一定大于或者等于整，果此，本圆程不真数根．由此可知，一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况不妨由b2－4ac 去判决，咱们把b2－4ac 喊干一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通时常使用标记“Δ”去表示．综上所述，对付于一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有（1） 当Δ＞0时，圆程有二个不相等的真数根x1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，圆程有二个相等的真数根x1＝x2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，圆程不真数根．例1 判决下列闭于x 的圆程的根的情况（其中a 为常数），如果圆程有真数根，写出圆程的真数根．（1）x2－3x ＋3＝0； （2）x2－ax －1＝0；（3） x2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴圆程不真数根．（2）该圆程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以圆程一定有二个不等的真数根1x =， 2x = （3）由于该圆程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a －1)＝a2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以圆程有二个相等的真数根 x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0， 所以圆程有二个不相等的真数根 x1＝1，x2＝a －1．（3）由于该圆程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a ＜1时，圆程有二个不相等的真数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，圆程有二个相等的真数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，圆程不真数根．道明：正在第3，4小题中，圆程的根的判别式的标记随着a 的与值的变更而变更，于是，正在解题历程中，需要对付a 的与值情况举止计划，那一要收喊干分类计划．分类计划那一思维要收是下中数教中一个非常要害的要收，正在以后的解题中会时常天使用那一要收去办理问题．2.1.2 根与系数的闭系（韦达定理） 若一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有二个真数根1x =，2x =，则有122222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次圆程的根与系数之间存留下列闭系： 如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的二根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b a -，x1·x2＝c a．那一闭系也被称为韦达定理． 特天天，对付于二次项系数为1的一元二次圆程x2＋px ＋q ＝0，若x1，x2是其二根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p ，x1·x2＝q ，即 p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1·x2，所以，圆程x2＋px ＋q ＝0可化为 x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次圆程x2＋px ＋q ＝0的二根，所以，x1，x2也是一元二次圆程x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0．果此有以二个数x1，x2为根的一元二次圆程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知圆程2560x kx+-=的一个根是2，供它的另一个根及k的值．收会：由于已知了圆程的一个根，不妨间接将那一根代进，供出k的值，再由圆程解出另一个根．但是由于咱们教习了韦达定理，又不妨利用韦达定理去解题，即由于已知了圆程的一个根及圆程的二次项系数战常数项，于是不妨利用二根之积供出圆程的另一个根，再由二根之战供出k的值．解法一：∵2是圆程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，圆程便为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，圆程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设圆程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，圆程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知闭于x的圆程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有二个真数根，而且那二个真数根的仄圆战比二个根的积大21，供m的值．收会：本题不妨利用韦达定理，由真数根的仄圆战比二个根的积大21得到闭于m的圆程，进而解得m的值．但是正在解题中需要特天注意的是，由于所给的圆程有二个真数根，果此，其根的判别式应大于整．解：设x1，x2是圆程的二根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或者m＝17．当m＝－1时，圆程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，谦脚题意；当m＝17时，圆程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，分歧题意，舍去．综上，m＝17．道明：（1）正在本题的解题历程中，也不妨先钻研谦脚圆程有二个真数根所对付应的m的范畴，而后再由“二个真数根的仄圆战比二个根的积大21”供出m的值，与谦脚条件的m的值即可．（1）正在以后的解题历程中，如果只是由韦达定明白题时，还要思量到根的判别式Δ是可大于或者大于整．果为，韦达定理创造的前提是一元二次圆程有真数根．例4 已知二个数的战为4，积为－12，供那二个数．收会：咱们不妨设出那二个数分别为x，y，利用二元圆程供解出那二个数．也不妨利用韦达定理转移出一元二次圆程去供解．解法一：设那二个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代进②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112, 6,x y =-⎧⎨=⎩或者226,2.xy=⎧⎨=-⎩果此，那二个数是－2战6．解法二：由韦达定理可知，那二个数是圆程x2－4x －12＝0的二个根．解那个圆程，得x1＝－2，x2＝6．所以，那二个数是－2战6．道明：从上头的二种解法咱们不易创造，解法二（间接利用韦达定理去解题）要比解法一简便．例5 若x1战x2分别是一元二次圆程2x2＋5x －3＝0的二根．（1）供| x1－x2|的值；（2）供221211x x +的值； （3）x13＋x23．解：∵x1战x2分别是一元二次圆程2x2＋5x －3＝0的二根， ∴1252x x +=-，1232x x =-． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x1－x2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 道明：一元二次圆程的二根之好的千万于值是一个要害的量，以后咱们时常会逢到供那一个量的问题，为相识题烦琐，咱们不妨探讨出其普遍顺序：设x1战x2分别是一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则12b x a -+=，22b x a -=，∴| x1－x2|-=||||a a ==．于是有底下的论断：若x1战x2分别是一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则| x1－x2|＝||a （其中Δ＝b2－4ac ）．以后，正在供一元二次圆程的二根之好的千万于值时，不妨间接利用上头的论断．例6 若闭于x 的一元二次圆程x2－x ＋a －4＝0的一根大于整、另一根小于整，供真数a 的与值范畴．解：设x1，x2是圆程的二根，则x1x2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的与值范畴是a ＜4． 练 习1．采用题：（1）圆程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个真数根 （B ）有二个不相等的真数根（C ）有二个相等的真数根 （D ）不真数根（2）若闭于x 的圆程mx2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有二个不相等的真数根，则真数m 的与值范畴是 （ ）（A ）m ＜14（B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．挖空:（1）若圆程x2－3x －1＝0的二根分别是x1战x2，则1211x x +＝． （2）圆程mx2＋x －2m ＝0（m≠0）的根的情况是．（3）以－3战1为根的一元二次圆程是．3|1|0b -=，当k 与何值时，圆程kx2＋ax ＋b＝0有二个不相等的真数根？4．已知圆程x2－3x －1＝0的二根为x1战x2，供(x1－3)( x2－3)的值．A 组1．采用题:（1）已知闭于x 的圆程x2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个道法：①圆程x2＋2x －7＝0的二根之战为－2，二根之积为－7；②圆程x2－2x ＋7＝0的二根之战为－2，二根之积为7；③圆程3 x2－7＝0的二根之战为0，二根之积为73-； ④圆程3 x2＋2x ＝0的二根之战为－2，二根之积为0．其中透彻道法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）闭于x的一元二次圆程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）－1（D）0，或者－12．挖空:（1）圆程kx2＋4x－1＝0的二根之战为－2，则k＝．（2）圆程2x2－x－4＝0的二根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知闭于x的圆程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）圆程2x2＋2x－1＝0的二根为x1战x2，则| x1－x2|＝．3．试判决当m与何值时，闭于x的一元二次圆程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有二个不相等的真数根？有二个相等的真数根？不真数根？4．供一个一元二次圆程，使它的二根分别是圆程x2－7x－1＝0各根的好同数．B 组1．采用题:若闭于x的圆程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的二根互为好同（A）1，或者－1 （B）1 （C）－1 （D）2．挖空:（1）若m，n是圆程x2＋2005x－1＝0的二个真数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是圆程x2＋x－1＝0的二个真数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知闭于x的圆程x2－kx－2＝0．（1）供证：圆程有二个不相等的真数根；（2）设圆程的二根为x1战x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，供真数k 的与值范畴．4．一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的二根为x1战x2．供：（1）| x1－x2|战122x x +； （2）x13＋x23．5．闭于x 的圆程x2＋4x ＋m ＝0的二根为x1，x2谦脚| x1－x2|＝2，供真数m 的值．C 组1．采用题：（1）已知一个曲角三角形的二条曲角边少恰佳是圆程2x2－8x ＋7＝0的二根，则那个曲角三角形的斜边少等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9（2）若x1，x2是圆程2x2－4x ＋1＝0的二个根，则1221x x x x +的值为 （ ）（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果闭于x 的圆程x2－2(1－m)x ＋m2＝0有二真数根（A）α＋β≥12（B）α＋β≤12（C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三边少，那么圆程cx2＋(a（A ）不真数根 （B ）有二个不相等的真数根（C ）有二个相等的真数根 （D ）有二个同号真数根2．挖空：若圆程x2－8x ＋m ＝0的二根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m ＝．3． 已知x1，x2是闭于x 的一元二次圆程4kx2－4kx ＋k ＋1＝0的二个真数根．（1）是可存留真数k ，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－32创造？若存留，供出k 的值；若不存留，道明缘由；（2）供使1221x x x x +－2的值为整数的真数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12x x λ=，试供λ的值． 4．已知闭于x 的圆程22(2)04m x m x ---=． （1）供证：无论m 与什么真数时，那个圆程总有二个相同真数根；（2）若那个圆程的二个真数根x1，x2谦脚|x2|＝|x1|＋2，供m 的值及相映的x1，x2．5．若闭于x 的圆程x2＋x ＋a ＝0的一个大于1、整一根小于1，供真数a 的与值范畴．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象战本量{情境树坐：可先让教死通过简曲真例探索二次函数的图象， 如做图（1）2x y = (2) 2x y -= (3)322-+=x x y 西席可采与估计机画图硬件辅帮教教}问题1 函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间存留何如的闭系？为了钻研那一问题，咱们不妨先画出y ＝2x2，y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，通过那些函数图象与函数y ＝x2的图象之间的闭系，推导出函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间所存留的闭系．先画出函数y ＝x2，y ＝2x2的图象．先列表：从表中不易瞅出，要得到2x2只消把相映的x2的值夸大二倍便不妨了．再描面、连线，便分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1咱们不妨得到那二个函数图象之间的闭系：函数y ＝2x2的图象不妨由函数y ＝x2的图象各面的纵坐标形成本去的二倍得到．共教们也不妨用类似于上头的要收画出函数y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，并钻研那二个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的闭系．通过上头的钻研，咱们不妨得到以下论断：二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象不妨由y ＝x2的图象各面的纵坐标形成本去的a 倍得到．正在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决断了图象的启心目标战正在共一个坐标系中的启心的大小．问题2 函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存留何如的闭系？共样天，咱们不妨利用几个特殊的函数图象之间的闭系去钻研它们之间的闭系．共教们不妨做出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的共教咱们不易创造，只消把函数y ＝2x2的图象背左仄移一个单位，再进与仄移一个单位，便不妨得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．那二个函数图象之间具备“形状相共，位子分歧”的特性．类似天，还不妨通过画函数y ＝－3x2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，钻研它们图象之间的相互闭系．通过上头的钻研，咱们不妨得到以下论断：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决断了二次函数图象的启心大小及目标；h 决断了二次函数图象的安排仄移，而且“h 正左移，h 背左移”；k 决断了二次函数图象的上下仄移，而且“k 正上移，k 背下移”．由上头的论断，咱们不妨得到钻研二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的要收：由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++， 所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象不妨瞅做是将函数y ＝ax2的图象做安排仄移、上下仄移得到的，于是，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具备下列本量：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象启心进与；顶面坐标为24(,)24b ac b a a --，对付称轴为曲线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的删大而减小；当x ＞2b a-时，y 随着x 的删大而删大；当x ＝2b a -时，函数与最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象启心背下；顶面坐标为24(,)24b ac b a a --，对付称轴为曲线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的删大而删大；当x ＞2b a-时，y 随着x 的删大而减小；当x ＝2b a-时，函数与最大值y ＝244ac b a -． 上述二次函数的本量不妨分别通过图2．2－3战图2．2x 与何解：∵y ＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的启心背下；对付称轴是曲线x ＝－1； 顶面坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 与最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的删大而删大；当x ＞－1时，y 随着x 的删大而减小；采与描面法画图，选顶面A(－1，4))，与x 轴接于面B 战C (，与y 轴的接面为D(0，1)，过那五面画出图象（如图2－5所示）．道明：从那个例题不妨瞅出，根据配圆后得到的本量画函图2.2－5数的图象，不妨间接选出闭键面，缩小了选面的盲目性，使画图更烦琐、图象更透彻．函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象做图办法：（1） 决定启心目标：由二次项系数a 决断（2） 决定对付称轴：对付称轴圆程为ab x 2-= （3） 决定图象与x 轴的接面情况，①若△>0则与x 轴有二个接面，可由圆程x2＋bx ＋c=0供出②①若△=0则与x 轴有一个接面，可由圆程x2＋bx ＋c=0供出③①若△<0则与x 轴有无接面.（4） 决定图象与y 轴的接面情况,令x=0得出y=c ，所以接面坐标为（0，c ）（5） 由以上各果素出草图.训练：做出以下二次函数的草图（1）62--=x x y (2)122++=x x y (3)12+-=x y例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的卖价x （元）与产品的日出卖量y （件）之间闭系如下表所示：若日出卖量y 是出卖价x 的一次函数，那么，要使每天所赢得最大的成本，每件产品的出卖价应定为几元？此时每天的出卖成本是几？收会：由于每天的成本＝日出卖量y×(出卖价x －120)，日出卖量y 又是出卖价x 的一次函数，所以，欲供每天所赢得的成本最大值，最先需央供出每天的成本与出卖价x 之间的函数闭系，而后，再由它们之间的函数闭系供出每天成本的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代进圆程，有解得 k ＝－1，b ＝200．∴y ＝－x ＋200．设每天的成本为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 与最大值1600．问：当卖价为160元/件时，每天的成本最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，供b ，c 的值．解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也便是函数y ＝x2的图像，所以， 240,220,4b b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，等价于把二次函数y ＝x2的图像背下仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x2的图像背下仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x2－8x ＋14与函数y ＝x2＋bx ＋c 表示共一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．道明：本例的二种解法皆是利用二次函数图像的仄移顺序去办理问题，所以，共教们要坚韧掌握二次函数图像的变更顺序．那二种解法反映了二种分歧的思维要收：解法一，是间接利用条件举止正背的思维去办理的，其运算量相对付较大；而解法二，则是利用顺背思维，将本去的问题等价转移成与之等价的问题去解，具备估计量小的便宜．以后，咱们正在解题时，不妨根据题手段简曲情况，采用妥当的要收去办理问题．例4 已知函数y ＝x2，－2≤x≤a ，其中a≥－2，供该函数的最大值与最小值，并供出函数与最大值战最小值时所对付应的自变量x 的值．收会：本例中函数自变量的范畴是一个变更的范畴，需要对付a 的与值举止计划．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x2的图象只是对付应着一个面(－2，4)，所以，函数的最大值战最小值皆是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数与最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数与最小值y ＝a2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数与最大值y ＝4；当x ＝0时，函数与最小值y ＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数与最大值y ＝a2；当x ＝0时，函数与最小值y ＝0．道明：正在本例中，利用了分类计划的要收，对付a 的所有大概情形举止计划．别的，本例中所钻研的二次函数的自变量的与值不是与任性的真数，而是与部分真数去钻研，正在办理那一类问题时，常常需要借帮于函数图象去曲瞅天办理问题．①图2.2－6② ③练习1．采用题：（1）下列函数图象中，顶面不正在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）背左仄移1个单位、再进与仄移2个单位得到的（B）背左仄移2个单位、再进与仄移1个单位得到的（C）背下仄移2个单位、再背左仄移1个单位得到的（D）进与仄移2个单位、再背左仄移1个单位得到的2．挖空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶面坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶面正在y轴上；当m＝时，函数图象的顶面正在x轴上；当m＝时，函数图象通过本面．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的启心背，对付称轴为，顶面坐标为；当x＝时，函数与最值y＝；当x时，y随着x的删大而减小．3．供下列扔物线的启心目标、对付称轴、顶面坐标、最大（小）值及y随x的变更情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x正在下列与值范畴内时，分别供函数的最大值或者最小值，并供当函数与最大（小）值时所对付应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示办法通过上一小节的教习，咱们相识，二次函数不妨表示成以下二种形式：1．普遍式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶面式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶面坐标是(－h，k)．除了上述二种表示要收中，它还不妨用另一种形式去表示．为了钻研另一种表示办法，咱们先去钻研二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴接面个数．当扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相接时，其函数值为整，于是有ax2＋bx＋c＝0．①而且圆程①的解便是扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面的横坐标（纵坐标为整），于是，不易创造，扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面个数与圆程①的解的个数有闭，而圆程①的解的个数又与圆程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有闭，由此可知，扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存留下列闭系：（1）当Δ＞0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面，则Δ＞0也创造．（2）当Δ＝0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有一个接面（扔物线的顶面）；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有一个接面，则Δ＝0也创造．（3）当Δ＜0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴不接面；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴不接面，则Δ＜0也创造．于是，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是圆程ax2＋bx ＋c ＝0的二根，所以x1＋x2＝b a -，x1x2＝c a， 即 b a ＝－(x1＋x2)， c a＝x1x2．所以，y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(2b c x x a a ++) = a[x2－(x1＋x2)x ＋x1x2]＝a(x －x1) (x －x2)．由上头的推导历程不妨得到底下论断：若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴接于A(x1，0)，B(x2，0)二面，则其函数闭系式不妨表示为y ＝a(x －x1) (x －x2) (a≠0)．那样，也便得到了表示二次函数的第三种要收：3．接面式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴接面的横坐标．以后，正在供二次函数的表白式时，咱们不妨根据题目所提供的条件，采用普遍式、顶面式、接面式那三种表白形式中的某一形式去解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶面正在曲线y＝x＋1上，而且图象通过面（3，－1），供二次函数的剖析式．收会：正在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶面位子，进而不妨将二次函数设成顶面式，再由函数图象过定面去供解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶面的纵坐标，∴顶面的纵坐标为2．又顶面正在曲线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶面坐标是（1，2）．设该二次函数的剖析式为2=-+<，y a x a(2)1(0)∵二次函数的图像通过面（3，－1），∴2-=-+，解得a＝－2．1(32)1a∴二次函数的剖析式为2=--+，即y＝－2x2＋8x－7．y x2(2)1道明：正在解题时，由最大值决定出顶面的纵坐标，再利用顶面的位子供出顶面坐标，而后设出二次函数的顶面式，最后办理了问题．果此，正在解题时，要充分掘掘题目所给的条件，并巧妙天力用条件简便天办理问题．例2 已知二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，且顶面到x轴的距离等于2，供此二次函数的表白式．收会一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的二面本量上便是二次函数的图象与x 轴的接面坐标，于是不妨将函数的表白式设成接面式．解法一：∵二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a(x ＋3) (x －1) (a≠0)，展启，得 y ＝ax2＋2ax －3a ，顶面的纵坐标为 2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶面到x 轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表白式为y ＝21322x x +-，或者y ＝－21322x x -+． 收会二：由于二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，所以，对付称轴为曲线x ＝－1，又由顶面到x 轴的距离为2，可知顶面的纵坐标为2，或者－2，于是，又不妨将二次函数的表白式设成顶面式去解，而后再利用图象过面(－3，0)，或者(1，0)，便不妨供得函数的表白式．解法二：∵二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，∴对付称轴为曲线x ＝－1．又顶面到x 轴的距离为2，∴顶面的纵坐标为2，或者－2．于是可设二次函数为y ＝a(x ＋1)2＋2，或者y ＝a(x ＋1)2－2，由于函数图象过面(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或者0＝a(1＋1)2－2．∴a ＝－12，或者a ＝12． 所以，所供的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或者y ＝12(x ＋1)2－2．道明：上述二种解法分别从与x轴的接面坐标及顶面的坐标那二个分歧角度，利用接面式战顶面式去解题，正在以后的解题历程中，要擅于利用条件，采用妥当的要收去办理问题．例3 已知二次函数的图象过面(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，供此二次函数的表白式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过面(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所供的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．通过上头的几道例题，共教们是可归纳出：正在什么情况下，分别利用函数的普遍式、顶面式、接面式去供二次函数的表白式？练习1．采用题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的接面个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法决定（2）函数y＝－12(x＋1)2＋2的顶面坐标是（）（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)2．挖空：（1）已知二次函数的图象通过与x轴接于面(－1，0)战(2，0)，则该二次函数的剖析式可设为y＝a(a≠0) ．（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴二接面之间的距离为．3．根据下列条件，供二次函数的剖析式．（1）图象通过面(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且通过面(1，11)；（3）函数图象与x轴接于二面(1－2，0)战(1＋2，0)，并与y轴接于(0，－2)．2.2.3 二次函数的简朴应用一、函数图象的仄移变更与对付称变更1．仄移变更问题1 正在把二次函数的图象举止仄移时，有什么特性？依据那一特性，不妨何如去钻研二次函数的图象仄移？咱们不易创造：正在对付二次函数的图象举止仄移时，具备那样的特性——只改变函数图象的位子、不改变其形状，果此，正在钻研二次函数的图象仄移问题时，只需利用二次函数图象的顶面式钻研其顶面的位子即可．例1供把二次函数y＝x2－4x＋3的图象通过下列仄移变更后得到的图象所对付应的函数剖析式：（1）背左仄移2个单位，背下仄移1个单位；（2）进与仄移3个单位，背左仄移2个单位．收会：由于仄移变更只改变函数图象的位子而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶面位子（即只改变一次项战常数项），所以，最先将二次函数的剖析式变形为顶面式，而后，再依据仄移变更后的二次函数图象的顶面位子供出仄移后函数图像所对付应的剖析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的剖析式可形成y＝2(x－1)2－1，其顶面坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象背左仄移2个单位，背下仄移1个单位后，其函数图象的顶面坐标是(3，－2)，。
2019年版初高中数学衔接工具书——3.1 函数及其表示【原卷版+解析版】
2019年版初高中数学衔接工具书3.1 函数及其表示回顾过去初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，23y x x =+，2y x=等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？1．函数的概念观察下面三个例子：（1）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h ＝130t-5t 2.这里时间t 的变化范围是A ＝{t|0≤t ≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B ＝{h|0≤h ≤845} 思考1：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.这里时间t 的变化范围A ＝{t|1979≤t ≤2001}；臭氧层空洞面积S 的变化范围是B ＝{s|0≤s ≤26} 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？共同特点：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值与其对应，记作：f ：A B →. 1.1 函数的概念如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(______B ．思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？思考4：223y x x =-+函数吗?1.2 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?(1)212)(xx x f --=； (2)22)(-+-=x x x f ．练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）【例2】已知函数1()2f x x =+， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值．练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2(1)f x +，((2))f f ，1(())f f x-．1.3 对函数符号)(x f 的理解)(x f y =与)(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．函数符号)(x f y =表示y 是x 的函数，)(x f 不是表示f 与x 的乘积； 1.4 相同函数当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．(1)12142+-=x x y ； (2));0(,12>-=x x y (3)12-=v u ； (4)2)12(-=x y ．练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？022(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f x x g x f x x g x f x x g x x f x x g x =-=====+==（5）()1f t t =+和1,0()1,0x x g x x x +≥⎧=⎨-+<⎩1.5 区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a b <, 我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b 或(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”满足x a ≥的实数的集合表示为[,)a +∞；满足x a >的实数的集合表示为___________； 满足x b ≤的实数的集合表示为(,]b -∞；满足x b <的实数的集合表示为___________． 【例4】用区间表示下列集合（1）{}|56x x ≤< （2）{}|9x x ≥ （3）{}{}|1|52x x x x ≤--≤< （4）{}{}|9|920x x x x <-<<A 组1．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是()2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，NB ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上4．已知函数22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩， 若f (a )＝3，则a 的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．以上均不对 5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[－2,0] 6．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A ．k <0或k >4B ．0≤k <4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0B 组1．函数f (x )＝x x 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x ) C.1f (x ) D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3] 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．,(0)(),(0)x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ D ．y ＝3x 34．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)5．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为____________．2．函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法． 2.1函数的表示法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1） 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．【例1】 某种笔记本每个5元，买x （{}1,2,3,4,5x ∈）个笔记本记为y （元）.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} ．解析法表示：5,{1,2,3,4,5}y x x =∈ 列表法表示：图象法表示：思考：三种方法表示函数各有什么特点？【例3】画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有: ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以，函数||y x =的图象如图所示 2.2分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．练习1：已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，作出()f x 的图象；求(1)f 、(1)f -、(0)f 、{[(1)]}f f f -2.3 复合函数两个函数()y f u =，()u g x =，且()u g x =的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数(())y f g x =，这样的y 叫做x 的复合函数，u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．对于复合函数(())y f g x =的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理． 【例5】已知()31f x x =-，2()1g x x =+（1）求((1))f g -，((1))g f -的值；（2）求(())f g x ，(())g f x ，(())g g x 的解析式 （3）(())f g x ，(())g f x 是否为同一个函数？说明：一般情况下，复合函数(())f g x 与(())g f x 都不是同一个函数．练习1：已知函数223,(1)()2,(1)x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，（1）求(1)f -，((2))f f ；（2）若()3f a =，求a ．【例6】（1）已知()f x 的定义域为[0,1]，求(1)f x +的定义域；（2）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．小结：（1）已知()f x 的定义域为(,)a b ，求(())y f g x =的定义域；求法：由a x b <<，知()a b g x <<，解得的x 的取值范围即是(())y f g x =的定义域． （2）已知(())y f g x =的定义域为(,)a b ，求()f x 的定义域； 求法：由a x b <<，得()g x 的取值范围，即是()f x 的定义域．练习1：若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．2.4 求函数的解析式【例7】已知一次函数)(x f 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求)(x f【例8】已知(1)=23f x x ++, 求)(x f 的解析式.练习1：已知221)1(x x xx f +=-, 求)(x f 的解析式.【例9】已知1()2()21f x f x x+=+,求)(x f 的解析式1．已知二次函数)(x f 满足(1)1f =，(1)5f -=，图像过原点，则()f x =___________． 2．若x x x f 2)1(+=+，则)(x f =_________________. 3．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)=________．4．若2(1)2f x x x +=+，则)(x f =_________________. 5．若2()2()2f x f x x x +-=++,则)(x f =_________________. 6．设函数)(x f 是定义(,0)(0,)-∞+∞在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式.A 组1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．如果xxx f -=1)1(，则当x ≠0时，)(x f 等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( )A ．1B ．15C ．4D ．30B 组1．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________．2．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．3．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．4．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f (x )的解析式为________________．5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]6．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．3.1 函数及其表示(解析版)回顾过去初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，23y x x =+，2y x=等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？1．函数的概念观察下面三个例子：（1）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h ＝130t-5t 2.这里时间t 的变化范围是A ＝{t|0≤t ≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B ＝{h|0≤h ≤845} 思考1：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.这里时间t 的变化范围A ＝{t|1979≤t ≤2001}；臭氧层空洞面积S 的变化范围是B ＝{s|0≤s ≤26} 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？共同特点：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值与其对应，记作：f ：A B →. 1.1 函数的概念如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(___⊆___B ．思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？解：（1）{}.,,3:,3,B y A x y x f B R A ∈∈=→==满足集合与对应观点下的函数定义，故是函数．（2）函数xx y 2=的定义域为{|0}x x ≠，而函数x y =的定义域为R ，所以它们不是同一个函数．思考4：223y x x =-+函数吗?解：从集合角度看可以是.,,32:,,2B y A x x x y x f R B R A ∈∈+-=→==其中定义域是R ，值域是{}2≥=y y C ，是函数． 1.2 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?(1)212)(xx x f --=； (2)22)(-+-=x x x f ．解：(1)由)(x f 有意义得⎩⎨⎧>-≥-01022x x ，解得∅∈x ．由定义域是空集，故它不能表示函数．(2) 定义域为{2}，()0f x =，值域为{0}，是一个函数． 练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）解：D ．【例2】已知函数1()2f x x =+， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值解：（1）依题意，3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得32x x ≥-≠且，所以函数()f x 的定义域为{|32}x x x ≥-≠且；（2）1(3)132f -==--+；213()233823f ==++； （3）1()2f a a =+；11(1)121f a a a -==-++． 特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值．练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2(1)f x +，((2))f f ，1(())f f x-．解： (3)3327f =⨯-=；()32,f a a =-；222(1)3(1)231f x x x +=+-=+；(2)3224f =⨯-=，((2))(4)34210f f f ==⨯-=；13()2f x x -=--；139(())=3(2)28f f x x x----=--．1.3 对函数符号)(x f 的理解)(x f y =与)(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．函数符号)(x f y =表示y 是x 的函数，)(x f 不是表示f 与x 的乘积； 1.4 相同函数当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．(1)12142+-=x x y ； (2));0(,12>-=x x y (3)12-=v u ； (4)2)12(-=x y ．解：函数12-=x y 的定义域为R ，值域为R ．(1)、（2）式定义域均不是R ，与12-=x y 不是同一个函数；（3）与12-=x y 是同一个函数；（4）的值域为{|0}y y ≥，也与12-=x y 不是同一个函数． 练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？022(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f x x g x f x x g x f x x g x x f x x g x =-=====+==（5）()1f t t =+和1,0()1,0x x g x x x +≥⎧=⎨-+<⎩解：（1）)(x f 的定义域为{|0}x x ≠，()g x 的定义域为R ，不是同一个函数； （2）)(x f 的值域为R ，()g x 的值域为{|0}y y ≥，不是同一个函数； （3）)(x f 与()g x 的解析式不一样，不是同一个函数； （4）是同一个函数； （5）是同一个函数． 1.5 区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a b <, 我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b 或(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”满足x a ≥的实数的集合表示为[,)a +∞；满足x a >的实数的集合表示为_____(,)a +∞______；满足x b ≤的实数的集合表示为(,]b -∞；满足x b <的实数的集合表示为_____(,)b -∞______． 【例4】用区间表示下列集合（1）{}|56x x ≤< （2）{}|9x x ≥ （3）{}{}|1|52x x x x ≤--≤< （4）{}{}|9|920x x x x <-<<解：（1）[5,6) （2）[9,)+∞ (3)[5,1]-- (4) (,9)(9,20)-∞A 组1．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是()2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，NB ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上4．已知函数22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩， 若f (a )＝3，则a 的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．以上均不对 5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[－2,0] 6．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A ．k <0或k >4B ．0≤k <4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0B 组1．函数f (x )＝x x 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x ) C.1f (x ) D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3] 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．,(0)(),(0)x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ D ．y ＝3x 34．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)5．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为____________．2．函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法． 2.1函数的表示法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1） 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．【例1】 某种笔记本每个5元，买x （{}1,2,3,4,5x ∈）个笔记本记为y （元）.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} ．解析法表示：5,{1,2,3,4,5}y x x =∈ 列表法表示：图象法表示：思考：三种方法表示函数各有什么特点？【例3】画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有: ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以，函数||y x =的图象如图所示2.2分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．解：设票价为y ，里程为x ，则依题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x 的取值范围是（1，20]．由空调公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：2,053,5104,10155,1520x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象练习1：已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，作出()f x 的图象；求(1)f 、(1)f -、(0)f 、{[(1)]}f f f -解：(1)112f =+=、(1)0f -=、(0)f π=、{[(1)]}[(0)]()1f f f f f f ππ-===+()f x 的图象如下：2.3 复合函数两个函数()y f u =，()u g x =，且()u g x =的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数(())y f g x =，这样的y 叫做x 的复合函数，u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．对于复合函数(())y f g x =的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理． 【例5】已知()31f x x =-，2()1g x x =+（1）求((1))f g -，((1))g f -的值； （2）求(())f g x ，(())g f x ，(())g g x 的解析式 （3）(())f g x ，(())g f x 是否为同一个函数？解：(1)3(1)14f -=⨯--=-，2(1)(1)12g -=-+=．（1）((1))(2)3215f g f -==⨯-=，2((1))(4)(4)117g f g -=-=-+=； （2）22(())3(1)132f g x x x =+-=+；22(())(31)1962g f x x x x =-+=-+2242(())(1)122g g x x x x =++=++（3）不是同一个函数．说明：一般情况下，复合函数(())f g x 与(())g f x 都不是同一个函数．练习1：已知函数223,(1)()2,(1)x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，（1）求(1)f -，((2))f f ；（2）若()3f a =，求a ．解：（1）(1)2(1)35f -=⨯--=-；((2))(0)3f f f ==-．（2）当1a <时，233a -=，3a =，舍去；当1a ≥时，223a a -=，3a =，或1a =-舍去． 所以3a =．【例6】（1）已知()f x 的定义域为[0,1]，求(1)f x +的定义域；（2）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域． 解：（1）∵()f x 的定义域为[0,1]，∴011x ≤+≤，10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[1,0]-；（2）∵(1)f x -的定义域为[1,0]-，∴211x -≤-≤-，∴()f x 的定义域为[2,1]--， 令211x -≤+≤-，解得32x -≤≤-，∴(1)f x +的定义域是[3,2]--．小结：（1）已知()f x 的定义域为(,)a b ，求(())y f g x =的定义域；求法：由a x b <<，知()a b g x <<，解得的x 的取值范围即是(())y f g x =的定义域． （2）已知(())y f g x =的定义域为(,)a b ，求()f x 的定义域； 求法：由a x b <<，得()g x 的取值范围，即是()f x 的定义域．练习1：若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．解：依题意，0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，解得1022133x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，所以103x ≤≤，所以函数的定义域为1[0,]3． 2.4 求函数的解析式【例7】已知一次函数)(x f 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求)(x f解：设()f x ax b =+，则0=521b a b +⎧⎨-+=⎩，解得25a b =⎧⎨=⎩，所以()25f x x =+． 【例8】已知(1)=23f x x ++, 求)(x f 的解析式.解：方法1（配凑法）：(1)=232(1)1f x x x ++=++，所以()=21f x x +.方法2（换元法）：令1t x =+，则1x t =-，所以()=2(1)321f t t t -+=+，所以()=21f x x +.练习1：已知221)1(xx xx f +=-, 求)(x f 的解析式. 解：方法1（配凑法）：211()()2f x x x x-=-+，所以2()=2f x x +. 方法2（换元法）：令1t x x =-，则222211()2t x x x x=-=+-，所以2()=2f t t +，所以2()=2f x x +. 【例9】已知1()2()21f x f x x+=+,求)(x f 的解析式 解：将表达式中的x 换成1x ，则有12()2()1f f x x x +=+， 与原式联立得：1()2()21(1)12()2()1(2)f x f x x f f x xx ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，(2)2(1)⨯-得：43()21f x x x =-+， 解得421()333x f x x =-+.1．已知二次函数)(x f 满足(1)1f =，(1)5f -=，图像过原点，则()f x =___________．2．若x x x f 2)1(+=+，则)(x f =_________________.3．已知函数f (1－x 1＋x)＝x ，求f (2)=________． 4．若2(1)2f x x x +=+，则)(x f =_________________.5．若2()2()2f x f x x x +-=++,则)(x f =_________________.6．设函数)(x f 是定义(,0)(0,)-∞+∞在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式.解：（1）2()32f x x x =- （2）2()1f x x =- （3）13- （4）2()1f x x =- （5）212()33f x x x =-+ （6）128()55f x x x=-A 组1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果xx x f -=1)1(，则当x ≠0时，)(x f 等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．30B 组1．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________．2．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 3．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．4．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f (x )的解析式为________________．5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510] 6．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．3.1 函数及其表示练习 答案1．函数的概念A 组1．C [C 选项中，当x 取小于0的一个值时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义．]2．C [值域N 应为集合B 的子集，即N ⊆B ，而不一定有N ＝B .]3．C [当a 属于f (x )的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A [当a ≤－1时，有a ＋2＝3，即a ＝1，与a ≤－1矛盾；当－1<a <2时，有a 2＝3，∴a ＝3，a ＝－3(舍去)；当a ≥2时，有2a ＝3，∴a ＝32与a ≥2矛盾． 综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.B 组1．A [f (1x )＝1x1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]4．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 5．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]6．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎨⎧ x ＝52y ＝－122．函数的表示法A 组1．C2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] B 组1．y ＝12x ＋12 解:设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 2．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x.② 由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x 3， 即f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)． 3．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 4．f (x )＝x 2－4x ＋3.5．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.] 6．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
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2019年初高中数学衔接教材(完整版)篇一：初高中衔接教材数学《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？提几点建议：一、“信心”是源泉。
人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。
二、“恒心”是保障。
人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。
三、“巧心”是支柱。
人无巧心，就缺乏灵气和创造力。
最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。
主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学？A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。
（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。
（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。
这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼升华的基础。
解析几何的创建者笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是方法”。
解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。
这么一来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。
C.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。
从心理学角度说，解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就是联系、转换和应用过程；在解题策略上就是方法的选择和调整过程。
D．要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。
比如：数学大师——欧拉，60多岁双目失明，一场大火又吞没了他的研究成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，将它砸得粉碎！”此后17年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了400多篇论文和多部专著。
E.要学好数学，就应该学会辩证思维。
所谓辩证思维，就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是思维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学中的生动体现。
因此，在解题时，应善于运用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律。
F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。
有了自学能力，就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。
G.要学好数学，就应该加强训练。
要真真正正地做到：勤于动手，勤于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。
H.要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。
目的：加深对教材知识的理解，开阔自己的知识视野，进一步提高自己分析问题、解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题中的重要作用。
对于一些好的解（证）法也应单独摘录出来；对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来（此外，对于自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞清错误的根源及如何准确求解）。
这样做，对于学习数学来说，也是一种提高！最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我！！要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生！初高中数学衔接前言现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
第一讲数与式(一)1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即?a,a?0,?|a|??0,a?0,??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：x??x?3＞4．练习1．填空题：（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若a?b，则a?b（B）若a?b，则a?b（C）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2；（2）完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；（2）立方差公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；（3）三数和平方公式(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)；（4）两数和立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；（5）两数差立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．练习1．填空题：（1）19a2?14b2?(12b?13a)（）；（2）(4m?)2?16m2?4m?()；(3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?()．2．选择题：（1）若x2?12mx?k是一个完全平方式，则k等于）（1211m（C）m2（D）m2416322（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）（A）m（B）2（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a2b?2x?1，x2?y2等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数等等．一般地，b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2?a,a?0,?a,a?0.?例1将下列式子化为最简二次根式：?a??（1（2a?0)；（3x?0)．例2(3．例3试比较下列各组数的大小：。