绝对值不等式的解法
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
绝对值不等式的解法课件
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}
R
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 1．|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c . 2．|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
(1)解不等式|x＋2|＞|x－1|； (2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即 6x＋3＞0，
由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，∴x≥6 或 x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的 取值范围．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类 讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动 向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．
绝对值不等式解法
典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平 方 法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点： 段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3） （2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分 当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解 法 当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为： 公 式 法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2
绝对值不等式的解法
不等式的解集易得. 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式
基础练习
解下列不等式： 解下列不等式： （1）2|x|<5 ） （2）|2x|>5 ） （3）|x-1|<5 ） （4）|2x-1|<5 ）
5 5 {x | − < x < } 2 2 5 5 {x | x > 或x < − } 2 2
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
探索2.不等式| -1|+|x+2|≥5 +2|≥5的解法 探索2.不等式|x-1|+| +2|≥5的解法 2.不等式
方法1：利用绝对值的几何意义， 方法 ：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想． 合的思想．
+2|=5的解为 解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
{x | −4 < x < 6} {x | −2 < x < 3}
方法小结
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 和 型不等式比较： 型不等式比较
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 对原不等式两边平方得 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 － 所以，不等式|x|<1的解集为 -1<x<1} 的解集为{x|所以，不等式 的解集为
高中数学绝对值不等式的解法
x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
含绝对值不等式的解法
4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
1.1.3绝对值不等式的解法
类型 3 引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
例4:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 当6-x≦0时,显然无解； 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a 10
( B )a 1
1 (C ) a 10
( D)a 1
4.| x-1 | > 2( x-3)
X<5 X<-1 或 x>1
5.| 2x+1 |> | x+2 |
学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。 主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化 ； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号 ； ①含一个绝对值符号直接分类 ；②含两个或两
3 x 解：由于y 2 是增函数，f(x) 2 2等价于 x 1 x 1 , 2
(1)当x 1时， x 1 x 1 2，上式恒成立
2当 1 x 1 时 ， x 1 x 1 2 x,
3 3 上式化为2x .即 x 1 2 4 3当 x 1 时 ， x 1 x 1 2 ， 上 式 无 解
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
绝对值不等式的解法
画出数轴
在数轴上标出关键点，如$a$和 $a+b$，以及不等式的解集范围。
确定解集
根据数轴上的位置关系，确定不等式 的解集。例如，对于不等式$|x-a| < b$，解集为$(a-b, a+b)$。
区间表示法
开区间表示法
使用开区间表示不等式的解集，例如$(a, b)$表示$a < x < b$。
闭区间表示法
使用闭区间表示不等式的解集，例如$[a, b]$表示$a leq x leq b$。对于一元一次绝对值不等式，通常使用开区间表示 法。
03
一元二次绝对值不等式解法
转化为一元二次不等式组
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为一元二次 不等式组。
解一元二次不等式
利用一元二次不等式的解法，分别求出不等式组的解 集。
其中$a, b, c, d, e$为常数，且$c neq 0, e neq 0$）的不等式。
几何意义与数轴表示
几何意义
绝对值不等式表示数轴上的点到某一点的距离与某个值的大小关系。例如，不等式$|x - a| < b$（其 中$b > 0$）表示数轴上到点$a$的距离小于$b$的点的集合。
数轴表示
通过数轴可以直观地表示绝对值不等式的解集。例如，对于不等式$|x - a| < b$（其中$b > 0$）， 解集为$(a - b, a + b)$，在数轴上表示为以点$a$为中心、长度为$2b$的开区间。
绝对值不等式的解法
汇报人：XX
• 绝对值不等式基本概念 • 一元一次绝对值不等式解法 • 一元二次绝对值不等式解法 • 高次及分式绝对值不等式解法 • 含有参数绝对值不等式解法 • 总结与拓展
_高考数学绝对值不等式的解法
■ 钟昌华
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式 ． 解决对值不等式 解绝对值不等式的关键是去绝对值符 是高考数学的重要内容， 号， 等价转化为不含绝对值符号的不等式， 用已有方法求解． 去 绝对值符号的方法就是解不等式的方法， 有下列 5 种． 一、 注意绝对值的定义， 用公式法： 利用 | x | ＜ a 与 | x | ＞ a（ a ＞ 0 ） 型不等式解集的求解 1 ． 绝对值的几何意义： | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离； | x1 － x2 | 是指数轴上 x1 ， x2 两点间的距离． 2 ． 当 c ＜ 0 时， | ax + b | ＞ cx ∈ Ｒ， | ax + b | ＜ cx ∈ ． 3 ． 形如 a ＜ | f（ x） | ＜ b（ b ＞ a ＞ 0 ） 型不等式． 将原不等式转化为以下不等式进行求解： a ＜ | f（ x） | ＜ b（ b ＞ a ＞ 0 ） a ＜ f（ x） ＜ b 或 － b ＜ | f （ x） | ＜ － a． 需要提醒一 点的是， 该类型的不等式容易错解为： a ＜ | f （ x） | ＜ b（ b ＞ a ＞ 0 ） a ＜ f（ x） ＜ b． 例 1 解不等式 | 2 x － 3 | ＜ 3 x + 1 ． 解： 由题意知 3 x + 1 ＞ 0 ， 原不等式转化为 － （ 3 x + 1 ） ＜ 2 x 2x － 3 ＞ － 3x － 1， x ＞ 2 /5， － 3 ＜ 3 x + 1 2 x － 3 ＜ 3 x + 1 ， x ＞ － 4 ， x ＞ 2 / 5 ． 3x + 1 ＞ 0 x ＞ － 1 /3 二、 定义法： 利用零点分段法， 去掉绝对值再解 a （ a ＞ 0） ， | a | = 0 （ a = 0 ） ， 形如 | f （ x） | ＜ g（ x） ，| f （ x） | ＞ 解： 因为不等式两边都是非负， 所以两边同时平方． 原不等 2 2 所以原不等式解集 式可化为（ x － 2 ） ＜ （ x + 1 ） ． 解得 x ＞ 1 / 2 ， 为（ 1 / 2 ，+ ∞ ） ． 注： 题目中两边都是非负值才能用平方法， 否则不能用平方法． 四、 分类讨论法： 通过合理分类去绝对值后再求解 | f （ x） | ＞ a（ a ∈ Ｒ） 型不等式． 形如 | f （ x） | ＜ a， 分析： 根据 a 的符号， 准确的去掉绝对值符号， 再进一步求 解． 这也是其他类型的解题基础 ． （ 1 ） 当 a ＞ 0 时，| f （ x） | ＜ a － a ＜ f （ x） ＜ a，| f （ x） | ＞ af （ x） ＞ a 或 f （ x） ＜ － a． （ 2） 当 a = 0， | f （ x） | ＜ a， 无解． | f （ x） | ＞ a 使 f （ x） ≠ 0 | f （ x） | ＜ a， 的解集． （ 3 ） 当 a ＜ 0 时， 无解． | f （ x） | ＞ a 使 f （ x） 有意义的 x 的解集． b ＞ 0， 例 4 设 a ＞ 0， 解关于 x 的不等式： | ax － 2 | ≥ bx． 解： 原不等式可化为 ax － 2 ≥ bx 或 ax － 2 ≤ － bx， 即（ a － b） x 2 ≥ 2 ① 或（ a + b） x ≤ 2 x ≤ ②． 当 a ＞ b ＞ 0 时， 由①得 a+b x≥ 2 2 2 ．当 ， 所以此时， 原不等式解为： x ≥ 或x≤ a－b a－b a+b
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
含绝对值不等式的解法规律
含绝对值不等式的解法规律含有绝对值的不等式解法可以分为以下三种情况：
情况一：绝对值函数的值大于等于零，即|a|≥0。
对于这种情况，不等式的解集就是所有满足条件的实数集，即解集为全体实数集R。
情况二：绝对值函数的值与另一函数的值比较，即|a|≤b或|a|≥b。
对于这种情况，我们需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。
具体的转化方法如下：
对于|a|≤b这种形式的不等式，可分为a≤b和-a≤b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≤b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≤b。
对于|a|≥b这种形式的不等式，可分为a≥b和-a≥b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≥b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≥b。
情况三：绝对值函数的值与另两个函数的值比较，即|a-b|≤c 或|a-b|≥c。
对于这种情况，我们同样需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。
具体的转化方法如下：
对于|a-b|≤c这种形式的不等式，可分为a-b≤c和b-a≤c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≤b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≤c，即a-b≥-c。
对于|a-b|≥c这种形式的不等式，可分为a-b≥c和b-a≥c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≥b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≥c，即a-b≤-c。
需要注意的是，在进行不等式的转化时，必须考虑绝对值内部的数值正负情况，以找到正确的不等式形式。
绝对值不等式的解法 课件
归纳升华 1．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不 等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法．分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图 象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋ a |－|x － 1－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥12的解集； (2)若对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空 集，求实数b的取值范围．
[规范解答]
(1)当a＝1时，f(x)≥
1 2
等价于|x＋1|－|x|
≥12.(1分)
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解；
②当－1＜x＜0时，不等式化为x＋1＋x≥12，
解得－14≤x＜0；
③当x≥0时，不等式化为x＋1－x≥12，解得x≥0. (3分) 综上所述，不等式f(x)≥1的解集为－14，＋∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞ [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值．
法一：因为f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|(0≤a≤1)， 当x≤－ a时，f(x)＝－x－ a＋x－ 1－a＝－ a－ 1－a＜0. 当－ a＜x＜ 1－a时，f(x)＝x＋ a＋x－ 1－a＝ 2x＋ a－ 1－a≤2 1－a＋ a－ 1－a＝ a＋ 1－a. 当x≥ 1－a 时，f(x)＝x＋ a －x＋ 1－a ＝ a ＋ 1－a. 所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
绝对值不等式的解法
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。
2、绝对值不等式的解法
复习：如果a>0，则
|x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
数都不是原不等式的解 将点A向左移动 个单位 。 1 到点A1， 这时有 A1 A A1 B 5； 同理， 将点B向 右移动一个单位到点 1， 这时也有 B1 A B1 B 5， B 从数轴上可以看到点 1与B1之间的任何点到点 ， A A B的距离之和都小于 ； 点A1的左边或点 1的右边 5 B 的任何点到点 ， ， 的距离之和都大于 故原不等 A 。
8.解不等式:
( 2) x 2 x 3 4 解 : 当x 3时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解 得x , 即 不 等 式 组 2 x2 x3 4 的 解 集 是 ,3]. ( 当 3 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显 然 成 立 所 以 不 等 式 组 , x2 x3 4 的 解 集 为 3,2). ( 当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为x 2) ( x 3) 4, ( x 2 3 即x , 不 等 式 组 的 解 集 是 2, ). [ 2 x2 x3 4 综上所述 原不等式的解集是 . , R
b
x
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二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法3：构造函数法
解：由原不等式
x 2 x 1 5 0
令f (x) x 2 x 1 5 即f (x) 0
y
2
1
2x 6, x 2 f (x) 2,2 x 1
2x 4, x 1
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
3 2 0 1 2 x
当x 2 0时，即x 2时， 当x 1 0时，即x 1时，
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
对应的点到原点的距离.
一、你能用哪些方法解下列方程
或不等式？
（1）│x│＝2
（2）│x│<2
2 x 2
（3）│x│> 2
x 2或x 2
小结1 如果a＞0，下列不等式的解集是
什么？
x a x a x a
x a x x a或x a
如果a≤0，上述结论还成立吗？
成立，所以a R
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0,求m的范围
1.通过本节课的学习，你学到了什么？ 知识、方法、思想.
2.本节课学完了，你还有什么困惑？
怎么解不等式 x 2 1 x x 1 2 2
问题拓展 （1）如果把|x|<2中的x换成“x-1”,
即|x-1|<2如何解？
（2）如果把|x|>2中的x换成“3x-1”, 即|3x-1|>2如何解？
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c c或ax b c
解：由原不等式得 5x 6 6 x 得5x 6 6 x或5x 6 (6 x)
解得：x 0或x 2 x (,0) (2,)
x a x a x a
x a x x a或x a
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
2
练习：解下列不等式
（3）2x 1 x 1 2
（3）2x 1 x 1 2
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0存在实数解,求m的范围
含绝对值的不等式的解法
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义，掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式： ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P
A
B
2
1
x 2 PA , x 1 PB
当x 3或2时，PA PB 5
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法2
思考：|x+2|去绝对值符号之后，式子是怎样的？当满足什么条件时是 本身（相反数）？
2
1
4、当x 2且x 1时，x
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
2
1
解：当 (xx22)时 1
x
5得xx
2解得x 3
3
当x 221xx1时5得3
2
5
x
1解得x
当x x
1时 2 x
1
5得xx
1 解得x 2
2
综上：x (,3] [2,)
零点分段法
求出使绝对值里面的式子等于0的x的值，在数轴上标出并分区间，在各段判 断绝对值里面式子的符号，并去绝对值
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2
x (1,0) (1,2)
解下列不等式. （1）3 2x 5 (2) 3x 4 1
解：由原不等式得
5 3 2x 5
得33
2x 2x
5 5
解得 1 x 4
x [1,4]
解：由原不等式得 3x 4 1或3x 4 1
解得x 1或x 5 3
x (, 5] [1,) 3
[拓展2]解下列不等式.
5x 6 6 x 0