绝对值不等式的解法

二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法3：构造函数法
解：由原不等式
x 2 x 1 5 0
令f (x) x 2 x 1 5 即f (x) 0
y
2
1
2x 6, x 2 f (x) 2,2 x 1
2x 4, x 1
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
3 2 0 1 2 x
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P
A
B
2
1
x 2 PA , x 1 PB
当x 3或2时，PA PB 5
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法2
思考：|x+2|去绝对值符号之后，式子是怎样的？当满足什么条件时是 本身（相反数）？
当x 2 0时，即x 2时， 当x 1 0时，即x 1时，
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
解下列不等式. （1）3 2x 5 (2) 3x 4 1
解：由原不等式得
5 3 2x 5
得33
2x 2x
5 5
解得 1 x 4
x [1,4]
解：由原不等式得 3x 4 1或3x 4 1
解得x 1或x 5 3
x (, 5] [1,) 3
[拓展2]解下列不等式.
5x 6 6 x 0
2
练习：解下列不等式
（3）2x 1 x 1 2
（3）2x 1 x 1 2
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0存在实数解,求m的范围
含绝对值的不等式的解法
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义，掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式： ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0,求m的范围
1.通过本节课的学习，你学到了什么？ 知识、方法、思想.
2.本节课学完了，你还有什么困惑？
怎么解不等式 x 2 1 x x 1 2 2
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2
x (1,0) (1,2)
问题拓展 （1）如果把|x|<2中的x换成“x-1”,
即|x-1|<2如何解？
（2）如果把|x|>2中的x换成“3x-1”, 即|3x-1|>2如何解？
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
2
1
4、当x 2且x 1时，x
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
2
1
解：当 (xx22)时 1
x
5得xx
2解得x 3
3
当x 221xx1时5得3
2
5
x
1解得x
当x x
1时 2 x
1
5得xx
1 解得x 2
2
综上：x (,3] [2,)
零点分段法
求出使绝对值里面的式子等Biblioteka Baidu0的x的值，在数轴上标出并分区间，在各段判 断绝对值里面式子的符号，并去绝对值
对应的点到原点的距离.
一、你能用哪些方法解下列方程
或不等式？
（1）│x│＝2
（2）│x│<2
2 x 2
（3）│x│> 2
x 2或x 2
小结1 如果a＞0，下列不等式的解集是
什么？
x a x a x a
x a x x a或x a
如果a≤0，上述结论还成立吗？
成立，所以a R
解：由原不等式得 5x 6 6 x 得5x 6 6 x或5x 6 (6 x)
解得：x 0或x 2 x (,0) (2,)
x a x a x a
x a x x a或x a
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)