2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析
2013年高考数学理科全国卷1及答案
盐津二中卓余网2013年普通高等学校招生全国统一考试（1卷）数 学（理科）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式()()()P AB P A P B24SR如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343VR 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p kn …第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
盐津二中卓余网一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、212、复数2(1)2i i-=（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i - 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（ ）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） ABCD5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）盐津二中卓余网6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2013全国各地高考数学试卷9套附答案
1.2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i zb a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；C 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。
2013年高考理科数学全国卷1-答案
故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ， 化简得22221=-x x …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12， 得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
2013年高考数学全国卷1理科
2013年高考数学全国卷1理科DA 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、18+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π9、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝( )A 、5B 、6C 、7D 、810、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )侧视图 俯视4 4 4 2224 2 主视图A 、x 245＋y 236＝1B 、x 236＋y 227＝1C 、x 227＋y 218＝1 D 、x 218＋y 29＝1 11、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A 、（－∞，0]B 、（－∞，1]C 、[－2，1] D 、[－2，0]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______.15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______16、若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A ，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11nnn n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan 22.51tan45︒-=︒=︒和tan22.50︒>，得tan22.51︒，因此1)OC h ==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠---=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。
（21）【解析】（1）
例：瓶子里的水渐渐升高了。令 得：
得：
六、看图写话
在 上单调递增
红火——红红火火许多——许许多多来往——来来往往
9、区分以下形近字或音近字：得： 的解析式为
三、词语。且单调递增区间为 ，单调递减区间为
金黄的秋天大大的公园绿色的小伞（2） 得
（8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的
实轴长为
（A） （B） （C）4（D）8
（9）已知 ，函数 在 单调递减，则 的取值范围
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数 ，则 的图像大致为
（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为 的直径，且 ，则此棱锥的体积为
（1）【解析】选
， ， ， 共10个
（2）【解析】选
甲地由 名教师和 名学生： 种
（3）【解析】选
， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为
（4）【解析】选
是底角为 的等腰三角形
（5）【解析】选
， 或
（6）【解析】选
（7）【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）【解析】选
设 交 的准线 于
（14）设 满足约束条件 则 的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.
2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页．考试时间120 分钟．满分150 分．答题前，考生务必用0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ 卷答题卡和第Ⅱ 卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1 , x2 ,x n的标准差( x1x) 2(x2x) 2( x n x)2s n其中 x 为样本平均数球的面积公式S 4 R2第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数12i（i是虚数单位）的虚部是1 iA ．31C．3 D ．1 B．222. 已知R是实数集，M x 21 , N y y x 1 1 ，则N C R M xA．(1,2)B．0,2 C.D．1,23.现有 10 个数，其平均数是 4 ，且这 10 个数的平方和是 200 ，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．44.设 S n为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8a2a50，则S4 S2A．5B．8C．8D． 155.已知函数 f ( x)sin(2x) ，若存在a(0,) ，使得 f (x a) f (x a) 恒成立，则 a6的值是A ．B ．3C ．4 D ．626. 已知 m 、 n 表示直线， , , 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1） m,n , nm, 则（ 2） , m,n,则 nm（ 3） m , m , 则 ∥（ 4） m, n, mn,则A ．（ 1）、（2）B ．（3）、（ 4）C ．（2）、（ 3）D ．（2）、（ 4）7. 已知平面上不共线的四点O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC,则| AB |等于|BC |A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为3，则这个三2角形的周长是A ． 18B ． 21C ． 24D ． 159. 函数 f ( x)lg x1的零点所在的区间是xA ． 0,1B ． 1,10C ． 10,100D ． (100, )10. 过直线 yx 上一点 P 引圆 x 2y 26x 7 0 的切线，则切线长的最小值为23210 D ． 2A ．B ．2C ．2211. 已知函数 f ( x)x 2 ax 2b . 若 a,b 都是区间 0,4 内的数，则使 f (1)0 成立的概率是3B ．13 5A ．4C ．D ．48812. 已知双曲线的标准方程为x 2 y 2 1 ，F 为其右焦点， A 1 , A 2 是实轴的两端点， 设 P 为9 16双曲线上不同于A 1 , A 2 的任意一点， 直线 A 1 P, A 2 P 与直线 xa 分别交于两点 M , N , 若FM FN0 , 则 a 的值为16B ．925 16A ．5C ．D ．995第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ 卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ 卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．开始13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2, i 1 否14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.i 10是1a1输出 aa111第14 题图i i1结束第13题图15. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R 2(lg E 11.4)．2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震， 2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是 2008年地震能量的倍．16.给出下列命题：①已知都是正数，且a1a，则a b；1bb②已知 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若x R , f (x) 0 ，则 f (1) f (2)一定成立；③命题“x R ，使得x2 2 x 1 0 ”的否定是真命题；④“ x1, 且 y 1 ”是“ x y 2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知向量 a(1, cos x ) 与 b ( 3 sin x cos x, y) 共线，且有函数 yf ( x) ．2 2 2（Ⅰ）若 f ( x) 1，求 cos(22x) 的值；3（Ⅱ）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ，且满足 2a cosC c 2b ，求函数f ( B) 的取值范围 .18．（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为n ，公差d 0,且3 5 1413 成等比数列．SS S50, a , a , a（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n 的前 n 项和 T n .a n19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC AC，2，CD面ABC ，BE 1CD BE∥CD，F 为 AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF ∥面 ABC ；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥 A BCDE 的体积.EC AB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y 关于x的线性回归方程 y?4 x 139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分 12 分）已知函数ax b1, f ( 1)) 的切线方程为x y 3 0 .f (x)2在点 (x1（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）设 g ( x) ln x ，求证： g (x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立.22. （本小题满分14 分）实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F1,, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为 y 轴，两曲线在第一象限内相交于点 A ,且AF1AF2，△ AF1 F2的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC 2 AB ,求直线l的斜率k.yAF1 B o F2xC参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）BDBADBBDBC CB二．填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）313． 214.1915. 10216. ①③3三．解答题17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ a 与 b 共线1cos x∴xy 23 sin x cos2 2y3 sin x cosxcos 2x3sin x1(1 cos x) sin( x) 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分22 2226 2∴ f ( x)sin( x ) 1 1 ，即 sin(x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分62 2 cos(26 12x) cos2( x) 2cos 2 ( x) 1 2sin 2 ( x ) 1 33 3 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosC sin C2sin B 2 sin( A C )2sin A cosC sin C2sin A cosC2 cos Asin C∴ cosA1 ，∴在ABC 中 ∠ A231f (B)sin(B)26 25 ∵∠ A∴ 0 B ,B3 3 666∴1sin(B) 1, 1 f ( B) 32623∴函数f (B) 的取值范围为 (1, ]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10 分12 分2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )18．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）依题意得3a132d5a1455022d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( a13d ) 2a1 ( a112d )解得 a13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分d2a n a1，即2n 1． 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( Ⅱ) bn3n1， bn a n3n1(2n 1) 3n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分a nT n353732(2n 1) 3n 13T n 3 3 5327 33(2n 1) 3n 1(2n 1) 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2T n 3 2 3 2 32 2 3n 1(2n1)3n32 3(13n 1 )( 2n 1)3n132n 3n∴ T n n 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）取AC 中点 G,连结 FG、 BG，∵F,G分别是 AD,AC的中点D1∴FG∥ CD,且 FG= DC=1 ．2∵ BE∥ CD ∴ FG 与 BE 平行且相等F∴ EF∥ BG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分EEF 面 ABC, BG面 ABC GC ∴ EF ∥面 ABC A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵△ ABC 为等边三角形∴ BG⊥ AC B 又∵ DC⊥面 ABC,BG面 ABC∴ DC⊥ BG2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )∴ BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线AC,DC，∴ BG⊥面 ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵EF∥ BG∴EF⊥面 ADC∵ EF面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和 E－ ADC ．V A BCDE V E ABC V E ACD131113333．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分34321264另法：取 BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AO BC ，又 CD平面ABC ,∴CD AO, BC CD C , ∴AO平面，∴AO为V A BCDE的高，BCDEAO 3, S BCDE(12)1 3 ,V A BCDE1333．222322420．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取 2 组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6）（ 5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以P( A)102．所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1533( Ⅱ )当 x10时， ?413921921910 |2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分26261326当x30时， ?413937937916 |2;2626132612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）将 x 1 代入切线方程得y2∴ f ( 1)b a2 ，化简得 b a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分11f ( x)a( x21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 22013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )f ( 1)2a2(b a)2b b1 ．442解得： a2, b2∴ f ( x)2x2x 2．12x2（Ⅱ）由已知得ln x在 [1,) 上恒成立x21化简得 ( x21) ln x2x2即 x2 ln x ln x 2 x20在 [1,) 上恒成立．设 h(x)x 2 ln x ln x 2x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分8分h (x)2xln x x 12x1∵ x 1∴ 2x ln x0,2，即 h ( x) 0 ．10 分x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增， h( x)h(1) 0∴ g(x) f (x) 在 x[1,) 上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（本小题满分 14分）解（ 1）设椭圆方程为x2y21 (a b 0) ， AF1 m, AF2 n a2b2m 2n24c2由题意知m n 4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分mn 6解得 c 29 ，∴ b 212 9 3 ．∴椭圆的方程为x 2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1213∵ y A c3，∴ y A1,代入椭圆的方程得x A 2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）设直线l的方程为y 1 k ( x 2 2 ) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 )---2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )由 AC 2AB得 x22 22( x 2 2)，1化简得 2x1x222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分联立直线与抛物线的方程y1k( x 2 2)，x 28 y得 x28kx162k80∴ x1 2 28k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分联立直线与椭圆的方程y1k( x2 2 )x 24y 212得2)2(8 1622)32216 28 0k x k x k kk∴ x2 2 2162k 28k②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分14k2∴ 2x1x22(8k2 2 )162k 28k2 2 2 214k 2整理得： (16k42)(112k)0 4k 2∴ k2，所以直线 l的斜率为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分44-11-/11。
2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) |x A, yA, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为 （ A ） 3 （ B ）6 （C ） 8 （D ） 10（ 2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A ） 12 种 （ B ） 10 种 （ C ） 9种 （D ） 8 种（ 3）下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 ： | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3（ B ） p 1 ,p 2（ C ） p 2 ，p 4 （ D ） p 3 , p 4（ 4）设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点， P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形，则直线 x 上的一点，2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5（ 5）已知 { a n } 为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7（ 6）如果执行右边的程序图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和（ B ）AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N（ C ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（ D ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ A ） 6 (B)9 （ C ） 12 （ D ） 18（ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点，| AB | 4 3 ，则 C 的实轴长为（ A ） 2 （ B ） 2 2 （ C ） 4 （ D ） 8（ 9）已知 0 ，函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减，则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2（ 10）已知函数 f ( x) 1 ，则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x（ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形， 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2（ 12）设点 P 在曲线 y 1 e x上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) | xA, y A, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为（A ） 3（B ） 6（C ） 8（D ） 10（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （A ） 12 种 （B ） 10 种（C ） 9 种（D ）8 种（3）下面是关于复数z 2 1 i的四个命题p ： |z | 2p 2 :122zip 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A )p ,p 3（B ） p 1 ,p 2（C ）p 2 ， p 4 （D ） p 3 , p 42（4）设FF 是椭圆 1, 222x yE : 1(a b 0)22ab的左、右焦点， P 为直线3ax上的一点，2F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则21E的离心率为(A)1 2(B)23(C)3 4(D)45（5）已知 {a } 为等比数列， a 4a 72， a 5a 68 ，则 a 1 a 10n(A)7(B)5(C)5(D)7（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N (N 2)和实数 a 1,a 2 ,..., a N 输入 A, B , 则(A) A B 为 a 1,a 2,..., a N 的和（B ） A B 2为a a a 的算式平均数1, 2 ,..., N（C ） A和B 分别是a 1,a 2,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（D）A和B分别是a1,a2,..., a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 (B)9 （C）12 （D）18（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16y x的准线交于A, B 两点，| AB | 4 3 ，则C 的实轴长为（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8（9）已知0，函数( ) sin( )f x x 在,4 2单调递减，则的取值范围(A)1 5[ , ]2 4(B)1 3[ , ]2 4(C)1(0, ]2(D) (0, 2]（10）已知函数 f (x)1ln( x 1) x，则y f ( x) 的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为 O 的直径，且SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)26(B)36(C)23(D)22（12）设点P 在曲线1xy e 上，点Q 在曲线y ln(2 x) 上，则| PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B) 2(1 ln 2) (C) 1 ln 2 (D) 2(1 ln 2)专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科)第Ⅰ卷(选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． (1)【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+,即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =,1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽,理2，5分】如图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果是（ )（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=,224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<,31114612s =+=，628n =+=;返回，88<不成立，输出1112s =,故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中,不是．．公理的是（ ） （A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． (4）【2013年安徽，理4,5分】“0a ≤"是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增"的( ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽,理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94,88,92，90,五名女生的成绩分别为88，93，93,88，93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错; 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=,五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==,五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6)【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）(A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- (D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<,故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C))s (co 1θρρθ=∈=R 和 (D)()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=,故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,,使得1212===n nf x f x f x x x x ()()(),则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D){}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．(9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中,O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（)（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=,可得出60AOB∠=︒，点)A ，点)1B-，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩,由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10)【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =,则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得,1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解,()2f x x =有1个解,因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11)【2013年安徽，理11,5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =，得12a =．(12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ,c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =,则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得,53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽,理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ,B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB∠为直角，则a 的取值范围为 ． 【答案】[1)+∞，【解析】如图,设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--,()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥,∴0CA CB ⋅=,即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．(14)【2013年安徽，理14，5分】如图,互不相同的点A 1，A 2,…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上,所有n n A B相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ===．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽,理15,5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时,S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确,如图（1）所示；如（2)图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3)所示,当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误;当1CQ =时,截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图(1) 图（2） 图（3）三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16)【2013年安徽，理16,12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1)求ω的值；（2）讨论f (x ）在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+= =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽,理17,12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注:区间()αβ，的长度定义为βα-;（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：(1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+,故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+,则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=,得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>, ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．(18)【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E :2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程;（2)设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ,并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：(1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． (1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠．解:（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ,所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2)设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠,OF CD ⊥．因为OP ⊥底面,CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =,则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan1tan45︒-=︒=和tan22.50︒>， 得tan22.51︒，因此1)OC h==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠， 故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=（20）【2013年安徽，理20,13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明： （1)对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈,满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ,由(1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 解：(1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n xf x x n -++'=>,故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =,当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥． 又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈,满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21,13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． (1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B :“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===,故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时,整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学"所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知:事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．（注：[]x 表示不超过x 的最 大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin CC.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x yb(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7． 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8． 答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ²CH ＝OC ²CC 1，即222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)²(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ²sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3.令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max ＝9，即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)． 15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R . ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sinC ＝1+22=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG ＝3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A(0,0)，D (0，0)，C(0)，P (0,0． PC ＝(，PD＝(0，． AP ＝，0，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1²PC＝(x ，y ，z)²(，＝0，n 1²PD＝(x ，y ，z)²(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2²AP ＝(m ，p ，q，0＝0，n 2²AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n .由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为πarccos 3-20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1²A 2.P (A )＝P (A 1²A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1²B 2²A 3)＝P (B 1)P (B 2)²P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ²B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0²P (X ＝0)＋1²P (X ＝1)＋2²P (X ＝2)＝98.21．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1. 所以a ＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1²x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1²x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|²|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|²|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013 全国大纲卷理科数学第11页。
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WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) |x A, yA, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为 （ A ） 3 （ B ）6 （C ） 8 （D ） 10（ 2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A ） 12 种 （ B ） 10 种 （ C ） 9种 （D ） 8 种（ 3）下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 ： | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3（ B ） p 1 ,p 2（ C ） p 2 ，p 4 （ D ） p 3 , p 4（ 4）设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点， P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形，则直线 x 上的一点，2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5（ 5）已知 { a n } 为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7（ 6）如果执行右边的程序图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和（ B ）AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N（ C ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（ D ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ A ） 6 (B)9 （ C ） 12 （ D ） 18（ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点，| AB | 4 3 ，则 C 的实轴长为（ A ） 2 （ B ） 2 2 （ C ） 4 （ D ） 8（ 9）已知 0 ，函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减，则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2（ 10）已知函数 f ( x) 1 ，则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x（ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形， 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2（ 12）设点 P 在曲线 y 1 e x上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题 ~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22题 ~第 24 题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（ 13）已知向量 a,b 夹角为 45°，且 | a | 1,| 2ab |10 ，则 b____________.x y 1, x y 3, 2 y 的取值范围为 __________. （ 14）设 x, y 满足约束条件 0, 则 z x x y 0,（ 15 ）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作。
设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作互相独立， 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________________.(16) 数列a n 满足 a n 1 ( 1)na n 2n 1 ，则 a n 的前 60 项和为________.三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（ 17）（本小题满分 12 分） 已知 a,b, c 分别为 ABC 的三个内角A, B, C 的对边， a cosC 3a sin C b c0 .（Ⅰ）求 A ； （Ⅱ）若 a2 ，ABC 的面积为 3 ，求 b, c . （ 18）（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售 . 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 .（Ⅰ）若花店一天16 枝玫瑰花，求当天ynn N ）购进的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，的函数解析式 ; （Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量 n14 15 16 17 18 19 20专业技术参考资料WORD 格式整理频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（ⅰ）若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列、数学期望及 方差；（ⅱ）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由 . （ 19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，AC BC 1 AA 1 ，D 是棱 AA 1的C1B12中点，DC BD 。
A1 1（ 1） 证明：DCBC ；1 D（ 2） 求二面角 A 1BD C 1 的大小 . C B A （ 20）（本小题满分 12 分）设抛物线 C ：x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点 .（ 1） 若 BFD 90 ， ABD 的面积为 42 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （ 2） 若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 之有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值 . （ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 满足 f ( x)f (1)e x 1f(0) x 1x 2 .2 （ 1） 求 f ( x) 的解析式及单调区间；（ 2） 若 f ( x) 1 x 2 a x b ，求 (a1)b 的最大值 . 2请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的A第一题计分。
作答时请写清题号。
（ 22）（本小题满分 10 分）选修4— 1；几何证明选讲如图， D , E 分别为ABC 边 AB, AC 的中点，直线DE 交 ABC 的 G DE F外接圆于 F ,G 两点，若 CF / /AB ，证明：（Ⅰ）CD BC ；B C专业技术参考资料WORD 格式整理（Ⅱ）BCD ∽ GBD（ 23）（本小题满分10 分）选修 4— 4；坐标系与参数方程已知曲线C1x 2cosx 轴的正半轴为极轴建立的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，y 3sin坐标系，曲线 C2的极坐标方程式2 . 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A, B, C , D 依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为2, .2（Ⅰ）求点A, B, C , D 的直角坐标；（Ⅱ）设 P 为 C1上任意一点，求| PA |2| PB |2| PC |2| PD |2的取值范围 .（ 24）（本小题满分10 分）选修 4— 5；不等式选讲已知函数 f ( x) | x a | | x 2 |（Ⅰ）当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3 的解集；（ 2）若 f ( x) | x 4 | 的解集包含 [1,2] 求 a 的取值范围 .专业技术参考资料WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）【解析】选 Dx 5, y 1,2,3, 4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y 1共 10个 （ 2）【解析】选 A甲地由 1名教师和 2 名学生： C 21C 4212 种 （ 3）【解析】选 Cz 2 2( 1 i) 1 i 1 i ( 1 i )( 1 i)p 1 : z 2 ， p 2 : z 22i ， p 3 : z 的共轭复数为 1 i ， p 4 : z 的虚部为 1 （ 4）【解析】选 CF 2 PF 1 是底角为30 的等腰三角形 PF 2 F 2 F 1 2( 3a c) 2ce c 3 （ 5）【解析】选 D2 a 4 a 4 a 72 ， a 5a 6 a 4 a 7 8 a 4 4,a 7 2 或 a 4 2,a 7 4 a 4 4,a 7 2 a 1 8,a 10 1 a 1 a 10 7a 4 2,a 7 4 a 10 8,a 1 1 a 1 a10 7 （ 6）【解析】选 C（ 7）【解析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3此几何体的体积为 V 1 1 6 3 3 93 2（ 8）【解析】选 C设 C : x 2 y 2 a 2 (a 0) 交 y 216x 的准线 l : x 4 于 A( 4,2 3) B( 4, 2 3) 得：a 2( 4) 2 (2 3) 2 4 a 2 2a 4 （ 9）【解析】选A2 ( x ) [ 5, 9] 不合题意排除( D )4 4 41 ( x )3 5]合题意排除(B)(C ) [ ,4 4 4专业技术参考资料WORD 格式整理另： ( ) 2 ， ( x )[ , ] [ , 3]2 4 2 4 4 2 2 得：, 3 1 5 2 4 2 2 2 4 4 （ 10）【解析】选 Bg( x ) ln(1 x ) x g (x) x 1 xg (x) 0 1 x 0, g( x) 0 x 0 g (x)g(0) 0 得： x 0 或 1x 0 均有 f (x) 0 排除 A,C ,D （ 11）【解析】选 AABC 的外接圆的半径 r 3 ，点 O 到面 ABC 的距离 dR 2 r 26 3 3 SC 为球 O 的直径 2 6 点 S 到面 ABC 的距离为2d3此棱锥的体积为 V 1S ABC2d 1 3 2 6 23 34 36 另： V 1 S AB C 2R 3 排除 B,C , D3 6 （ 12）【解析】选A函数 y 1e x与函数y ln(2 x) 互为反函数，图象关于 y x 对称 21 1 1 e x x函数 y x x )到直线 y x 的距离为 d 2e 上的点 P( x, e 2 2 2设函数 g( x)1 e x x g ( x) 1 e x 1 g(x)min 1 ln2 dmin 1 ln 2 2 2 2由图象关于 yx 对称得： PQ 最小值为 2d min 2(1 ln 2)二．填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。