状态变量

H
(z)

2

1
1 z1 0.5z1

1 1.414 z 1 1 0.9z1
0.7z2 0.81z 2
画出级联型网络结构，在延时支路输出端建立状态变量
w1(n), w2 (n), w3(n)
写出状态变量 w1(n 1), w2 (n 1), w3(n 1) 的节点方程
a12
w2
(n)

b1
x(n)

w2
(n)

a22
w1
(n)

a21w2
(n)

b2
x(n)
y(n) c1w1(n) c2w2 (n) dx(n)
w1(n

w2
(n
1) 1)

a11 a22
a12 a21


w1 (n) w2 (n)
状态方程
w1(n 1) 0.5 0 0 w1(n) 2

w2
(n
1)

1.5
0.9
0.81

w2
(n)



2
x(n)
w3(n 1) 0 1 0 w3(n) 0
输出为 y(n) w2 (n 1) 1.414w2 (n) 0.7w3(n) 1.5w1(n) 0.514w2 (n) 0.11w3(n) 2x(n)
输出方程
y(n) a1w1(n) a2w2 (n) a3w3(n) a0x(n)
w1(n)
y(n) a1
a2
a3


w2
(n)


a0
x(n)
w3 (n)
建立状态方程和输出方程的方法
• 按顺序在 z1支路输出端建立状态变量 wi (n) ，在 z1 支路 输入端建立状态变量 wi (n 1)

1
z2 a1z a2
b2 a2b0

b0 z2 b1z b2 z2 a1z a2

b0 a0

b1 z 1 a1 z 1
b2 z2 a2 z2
b1

a1b0

1 z


b0
利用参数矩阵求单位抽样相应
W(n 1) AW(n) Bx(n)
状态变量分析法
• 差分方程、系统函数、单位抽样响应描述 系统是把系统看成一个黑盒子，仅研究外 部特性
• 状态分析法用于研究系统内部结构，以及 系统内部一些变量随输入信号的变化特性
状态方程和输出方程
• 状态变量分析法有两个基本方程： 状态方程： 把系统内部一些称为状态变量的节点变 量和输入联系起来 输出方程： 把输出信号和那些状态变量联系起来

w2
(n)

w2
(n

1)

w2
(n)

a2
w1
(n)

a1w2
(n)

x(n)
y(n) b2w1(n) b1w2 (n) b0w2 (n)
w1(n 1) w2 (n)

w2 w2
(n 1) w2 (n) (n) a2w1(n)
,
D

d
22
M
d12 L d21 L
d1M
d2M

M
cL1 cL2 L
cLN

dL1 dL2 L
d LM

• A、B、C、D都是常数矩阵，称参数矩阵。维数分别是
N N,M M,LN,LM
W(n) 是N维状态矢量 X(n) 是M维输入信号
Y(n) 是L维输出信号
a0
a1
a3
a4
y(n)
节点方程
w1(n 1) x(n) w2 (n 1) w1(n) w3 (n 1) w2 (n)
状态方程
w1(n 1) 0 0 0 w1(n) 1

w2
(n

1)

1
0
0

w2
(n)


0
x(n)
w3(n 1) 0 1 0 w3(n) 0
wenku.baidu.com取z变换
zW(z) AW(z) BX (z)
1)
式中
Y (z) CW(z) dX (z)
W(z) W1(z) W2 (z) L Wi (z) ZT wi (n) X (z) ZT x(n) Y (z) ZT y(n)
2)
WN (z)
由1)式
W(z)zI A BX (z) W(z) zI A1 BX (z)
输出方程
y(n) 1.5
0.514
w1(n)
0.11

w2
(n)


2
x(n)
w3 (n)
例
3
H (z) ai zi i0
有限长脉冲响应直接型网络结构，在延时支路输出端 建立状态变量 w1(n), w2 (n), w3(n)
x(n) 2
z1 w1(n) z1 w2 (n) z1 w3 (n)
a22

a12 L a1N
b11
a21 L
a2 N

,
B


b22
M
b12 L b21 L
b1M
b2 M

M
aN1 aN 2 L
aNN

bN1 bN 2 L
bNM

c11 C c22

c12 L c1N
d11
c21 L
c2
N



b1 b2

x(n)
y(n) c1
c2


w1 w2
(n) (n)


dx(n)
用矩阵符号表示
A

a11 a22
a12 a21

,
B

b1 b2

,
C

c1
c2 , D d
,
W(n)

w1 w2
(n) (n)
x(n)
w1 z 1
k1
k1 w2
z 1
k2
k2 wN 1 z 1
kN 1 kN 1
z 1
kN wN
y(n)
建立状态变量 w1(n), w2 (n),L , wN (n)
求系统函数

zI

A

z a2
1
z

a1

zI

A 1

z(z

1 a1)
a2
z a1

a2
1
z

zI

A 1
B

z(z
1 a1)
a2
z a1

a2
1
z

0 1

z2

1 a1z

a2
1

z
H (z) CzI A 1 B d
令 n n0 k 1 则 k n n0 1
W(n) Ann0 W(n0 ) Ann0 1Bx(n0 ) Ann0 2Bx(n0 1) L ABx(n 2) Bx(n 1)
nn0
W(n) Ann0 W(n0 ) Al1Bx(n l) l 1
x(n) 2
z 1
0.5
1
w1 (n)
y(n)
z 1
0.9
1.414
w2 (n) z1
0.81
0.7
w3 (n)
w1(n 1) 0.5w1(n) 2x(n) w2 (n 1) w1(n 1) w1(n) 0.9w2 (n) 0.81w3(n)
1.5w1(n) 0.9w2 (n) 0.81w3(n) 2x(n) w3 (n 1) w2 (n)
y(n) (b2 b0a2 )
(b1

b0a1
)

w1 w2
(n) (n)


b0
x(n)
上面两式分别称为此二阶网络的状态方程和输出方程，分别表 示输入与状态变量的关系和输出与状态变量的关系。
状态方程左端是n+1时刻的状态变量的值，它由输入信号、系 统参数以及n时刻的状态变量值确定。
bi 表示由输入节点到 wi (n 1) 节点的支路增益 • C矩阵是状态矢量 W(n) 到输出节点y(n) 的支路增益组成的
系数矩阵
ci 表示从状态变量节点 wi (n)到输出节点的支路增益
• d表示输入节点到输出节点的支路增益
例
H
(z)

2(1 z1)(11.414z1 0.7z2 ) (1 0.5z1)(1 0.9z1 0.81z2 )
一般的二阶网络基本信号流图
a11
w1(n)
z 1
w1 (n)
b1 x(n)
a12
c1
d
y(n)
b2 w2 (n)
a21 z 1 a22
c2 w2 (n)
可以得到：
w1(n 1) w1(n)

w1(n) a11w1(n) w2 (n 1) w2 (n)
• 状态变量节点的选择 确定一组最少的节点变量，只要已知输入信号和n0 时刻这些节点的变量值，就可以计算出 n n0时 刻的输出信号以及系统内部任意节点变量的值。 这样的一组最少的节点变量定位状态变量。
• 一般状态变量选在基本信号流图中单位延时支路 输出节点处
w1(n) w2 (n 1)
单输入单输出的情况：
d
x(n)
W(n 1) W(n)
y(n)
B
z 1
C
A
W(n), W(n 1) 是状态矢量，A矩阵是 W(n) 到 W(n 1) 那些支路增 益组成的矩阵
aij 表示第j个状态变量节点wj (n) 到第i个状态变量节点wi (n 1) 的支路增益
• B矩阵是输入x(n)到状态矢量 W(n 1) 的支路增益组成的系 数矩阵

a1w2
(n)

x(n)
y(n) (b2 b0a2 )w1(n) (b1 b0a1)w2 (n) b0x(n)
w1(n w2 (n
1) 1)

0

a2
1 a1


w1 w2
(n) (n)

0 1
x(n)
带入2)式
Y (z) CzI A 1 BX (z) dX (z)
则
H (z) Y (z) CzI A1 B d
X (z)
A1 A* det(A)
I 为NxN单位矩阵
例
0 1 0
A


a2
a1

,
B

1
C b2 a2b0 b1 a1b0 , d b0
列出所有节点的变量方程，找出状态变量 wi (n 1)与 wi (n)
和输入 x(n) 之间的关系，并用矩阵方程表示
找出输出信号y(n)与状态变量 wi (n) 以及输入信号的关系， 并用矩阵方程表示
利用参数矩阵求系统函数
W(n 1) AW(n) Bx(n) y(n) CW(n) dx(n)
W(n) 采用零状态响应代替，令 n0 0
n
h(n) C Al1B (n l) d (n) l 1




0 d
n
C Al1B
l1
n0 n0
n0
已知状态变量分析法的四个参数矩阵，可以求单位抽 样响应
例 求如图所示的N阶FIR网络德系统函数及单位抽样响应
W(n 1) AW(n) BX(n)
式中
Y(n) CW(n) DX(n)
W(n) w1(n) w2 (n) L wN (n)T X(n) x1(n) x2 (n) L xM (n)T Y(n) y1(n) y2 (n) L yL (n)T
a11
A


用n代替n’ nn0 W(n) Ann0 W(n0 ) Al1Bx(n l) l 1 第一项与输入无关，成为零输入响应；第二项与初始状态无 关，称为零状态响应。由系统的输出方程
y(n) CW(n) dx(n)
则系统的单位抽样响应
h(n) CW(n) d (n)
n n0
W(n0 1) AW(n0 ) Bx(n0 )
n n0 1
W(n0 2) AW(n0 1) Bx(n0 1) A2W(n0 ) ABx(n0 ) Bx(n0 1)
n n0 k W(n0 k 1) AW(n0 k) Bx(n0 k) Ak1W(n0 ) AkBx(n0 ) Ak1Bx(n0 1) L ABx(n0 k 1) Bx(n0 k)
一般的二阶网络的状态方程和输出方程可表示为： W(n 1) AW(n) Bx(n)
y(n) CW(n) Dx(n)
如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号，
x1(n), x2 (n),L , xM (n)
L个输出信号， y1(n), y2 (n),L , yL (n)
则状态方程和输出方程分别为：