2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准

（高二年级）

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）

1．若对于任意实数x ，|||1|2x a x a +-+≤恒成立，则实数a 的最小值为

13

．

2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．

3．若23234560123456(2)x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，则135a a a ++= －4 ．

4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a ，腰长为，则33

2

a b ab +的值为 3 ．

5．设2,51(n n n a b n n ==-∈N *，201512201512{,,,}{,,,}a S a a a b b b =，则集合S 中的元素的个数

为 504 ．

6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，，CAP ∠为锐角，||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=．当

||AB AC AP ++取得最小值时，tan CAP ∠=

7

2． 7．已知正三棱锥P ABC -的底面的边长为6,

1 ．

8

．函数()1)f x =

的值域为[2．

9．已知12,F F 是椭圆2

214

x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段

AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为11

5

-． 10．使得1

2p +和212

p +都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．

二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）

11．设平面点集18

{(,)|()()0}25A x y y x y x

=-⋅-≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤．若(,)x y A

B ∈，求

2x y -的最小值． 解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .

令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.

易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）

因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为

(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2

π

θπ∈.

又点P 在曲线1825y x =上，所以有18

(1cos )(1sin )25

θθ++=，

即7

sin cos sin cos 025

θθθθ+++=. ………………………………………（10分）

设sin cos t θθ+=，则2

1s i n c o s (1

)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，

解得15t =或11

5

t =-（舍），即1

sin cos 5

θθ+=. ………………………………………（15分）

结合22sin cos 1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin 5θ=，3

cos 5

θ=-．

所以，点P 的坐标为29(,)55，2z x y =-的最小值为min 29

2155

z =⨯-=-． ………（20分）

12．设n T 是数列{}n a 的前n 项之积，满足1,n n T a n =-∈N *．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22212n n S T T T =+++，求证：111123

n n n a S a ++-

<<-． 解 （1）易知111

2

T a ==，0,1n n T a ≠≠，且由111,1n n n n T a T a ++=-=-，得 111

11n n n n n T a a T a +++-==-，即11111n n n a a a ++=--，即111111n n

a a +-=--． ……………（5分） 所以

1

111

11111112

n n n n a a =+-=+-=+---，故

1111

n n

a n n =-=

++． ………………………………………（10分） （2）由（1）得121

1

n n T a a a n ==+．

一方面，222111

23(1)n S n =++++

11111112334(1)(2)222

n a n n n +>+++=-=-⋅⋅+++；……………（15分） 另一方面，

222

11111123(1)444n S n <+++--+-11121

35571323()()2222223n n n =+++=-⋅⋅+++

．

又12121111

332233

3n n a n n n ++-

<-=-=-+++． 所以 1111

23

n n n a S a ++-<<-． ………………………………………（20分）