第9章 差错控制编码

特点：接收端只检错不纠错。
分类：停发等候重发、返回重发和选择重发。
停发等候重发
1 2 2 NCK 2 2 3 ACK 3 4 ACK 4 4 4 t ACK NCK 4 NCK 4 t
发
ACK
收
1
特点：
1、时延较大，使传输效率受影响。
2、工作原理及设备都比较简单，用于计 算机通信系统。
返回重发
发

a n2 a1 a n2 a1
这种二维奇偶监督码适于检测突发错码，一 维奇偶监督码一般只适于检测随机错码。 由于方阵码只对构成矩形四角的错码无法检 测，故其检错能力较强。


二维奇偶监督码不仅可用来检错，还可以用 来纠正一些错码。例如，仅在一行中有奇数 个错码时。
3 、恒比码 • 从确定码长的码组中挑选那些1和0的比例为 恒定值的码组作为许用码。 • 通过计算接收码组中“1”的数目是否正确， 判断是否有误。 • 我国邮电部门采用五中取三的恒比码作为数 字保护电码。
这种信道称之为混合信道。
常用的三种差错控制方式：
1、前向纠错（FEC） 2、检错重发（ARQ） 3 、混合纠错（HEC）
1、前向纠错
信源
编码器
正向 信道
译码器
用户
原理：发送端发出能够纠正错误的编码；接
收端接收到这些码组后，通过译码能自动发 现并纠正传输中的错误。
特点：只有正向信道，适合于只能提供单向
分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错能 力之间满足下列关系：
（1）当码字用于检测错误时，如果要检测e 个错误，则 d0 ≥e+1； （2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t 个错误，则 d0 ≥2t+1；
（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误 时（e>t），则 d0≥t+e+1。
例：已知3个编码组为（001010）、（101101）、 （010001）。试问其检错和纠错能力？ 解 该码的两两码组之间的最小码距为 d0=4，因此：
信道发生误码的原因及分类
随机差错：差错出现的位置是随机分布的。由
信道的加性随机噪声引起的。一般将这种信道称
为随机信道。
突发差错：差错的出现是一连串出现的。这种情 况如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落， 造成一串差错；光盘上的一条划痕等等。这样的 信道我们称之为突发信道。
混合差错：既有突发错误又有随机差错的情况。
第9章
9.1 9.2 9.3 9.4 引言
差错控制编码
检错和纠错的基本原理 常用的简单编码 线性分组码
9.5
9.6
循环码
卷积码
9.1 引言
• 差错控制编码，也称检、纠错编码，属于信道编码 范畴。
• 目的：纠、检传输差错，降低系统的误码率，提高
通信质量。 • 基本思想：在发送的信码中增加一些多余码元（监 督码元），这些监督码元与信息码元之间存在某种 数学约束关系，接收时利用这种关系来发现或纠正 传输过程中产生的错码。
若用于检出错码，则由d0≥e+1可得e=3(能检出3位错 码)
若用于纠正错码，则由d0≥2t+1 可得t=1(能纠正1位 错码) 若用于纠、检错结合，则由d0≥e+t+1 （e>t）得
t=1，e=2（纠正1位错码，同时检出2位错码）
编码效率：指一个码组中信息位所占的比例， 表示为
Rc k n n r n 1 r n 因为k<n，所以，Rc<1。显然，编码的冗
t
收
1
2*
3
4
5
6
wk.baidu.com
2
3
7
8
9
10 11
8
12
特点：
1、传输效率最高。
t
2、发端和收端都需要缓存器，设备复杂 昂贵。
3 、混合纠错
信源 ARQ FEC 正向 信道 反向 信道 FEC ARQ 用户
原理：内层采用FEC方式，纠正部分差错； 外层采用ARQ方式，重传那些虽已检出但 未纠正的差错。
特点：在实时性和译码复杂性方面是FEC 和ARQ方式的折中，适于环路延迟大的高 速数据传输系统。
C3 = 0010 ，它们的码距分别为 d12 = 4、d23 = 3、d13 = 1，则最小码距
d0 min(d12 , d23 , d13 ) 1
一种编码的检错和纠错能力将取决于d0
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码 字之间的距离，码的最小距离越大，说明码 字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。
若传输中产生了差错，使接收码组变成 1000111001，则合成码组为1000111001＝01000。 由于接收码组中信息位有偶数个“1”，所以校验码 组应取合成码组的反码，即10111。由于其中有4个 “1”和1个“0”，按上表判断信息位中左边第2位 为错码。
若接收码组错成1100101001，则合成码组 变成1100101001＝10000。由于接收码组中信 息位有奇数个“1”，故校验码组就是10000， 按上表判断，监督位中第1位为错码。
• 码重：指码组中非“0”码元的个数。对于二进制编码， 码重是码组中1的个数。
例如：010101码组的重量为3 • 码距（汉明距离）：指两个等长码组之间对应位置上数 字不同的位数，即两个码组对应位模2加的重量。
例如：010101与011011之间的距离为3
最小码距：指在某种编码集合中，任意两个码组 之间距离的最小值，记为d0 例：有3个码字C1 = 0000、C2 = 1111、
0 0 0 0 1 1
存在错码。
若收到00011，检测结果为 0 0 0 1 1 0 认为无错。可见，奇偶监督码不能检出偶数个错码。
2 、二维奇偶监督码（方阵码）
• 特点：能检出奇数个和大多数偶数个错 误，适于检测成串出现的突发错码。 监督列
a
每行表 示一个 码组
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9
5
t
收
1 2* 3 4 5 6 2 3 4* 5 6 7 8
4 5* 6
t
特点：
1、传输效率比停发等候重发高。
2、发端需要缓存器。
3、主要用于数据通信系统。
选择重发
发
1 2 3 4 5 6 2 3 7 8 9 10 11 8 12 13 14 15 16
1 n 1 2 n 1
a a a
1 n2 2 n2

a a a
1 1 2 1
a
1 0 2 0
a a
a

m n 1 m n2

m 1
a
m 0
cn 1
cn 2
c1
c0
监督行

这种编码有可能检测偶数个错码。但构成矩 形的4个错码，譬如图中 2 2 m m
错了，就检测不出。
例：设信息码元为1101，试按照偶数监督规则构造相应
的码字。若接收到的码字分别为10011、00001、00011
（有下划线的码为错码），试问检测结果如何？ 解 编出的码字为11011 对10011进行如下运算： 1 0 0 1 1 1 由于结果为“1”，故知存在错码。 若收到00001，检测结果为
余度越大，编码效率越低。
因此好的编码方案要满足：在一定的差 错控制能力要求下，使得编码效率尽可能的高， 同时译码方法尽可能的简单。
9.3 常用的简单编码
1、 奇偶监督码 奇偶监督码（也称奇偶校验码）分为： an 1 an 2 a0 0 偶数监督码 奇数监督码 an 1 an 2 a0 1 译码方法：对于偶数监督码，接收端对接收到的码 组按上式进行“模2加” 计算，若计算结 果为“1”说明存在错码，结果为“0”认为无错。 检错能力：可检出单个或奇数个错码。 编码效率：高（因为只有一位监督位）。 应 用：许多计算机数据传输系统都用其来检测随机 出现的零星差错。
纠错编码的分类
（1）按照信道编码的不同功能，可以将它分 为检错码和纠错码。 （2）按照信息码元和监督码元之间的检验关 系，可以将它分为线性码和非线性码。 （3）按照信息码元和监督码元之间的约束方 式不同，可以将它分为分组码和卷积码。 （4）按照信息码元在编码后是否保持原来的 形式，可以将它分为系统码和非系统码。
• 能够检测出码组中所有奇数个及部分偶数个 错误。
例：五位保护电码表
数字 0
1
电码 01101
01011
数字 5
6
电码 00111
10101
2
3
11001
10110
7
8
11100
01110
4
11010
9
10011
4 、正反码 正反码的编码： 它是一种简单的能够纠正错码的编码。其中的监 督位数目与信息位数目相同，监督码元与信息码 元相同或者相反则由信息码中“1”的个数而定。 例如，若码长n = 10，其中信息位 k = 5，监督 位 r = 5。其编码规则为： 当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息 位的简单重复； 当信息位有偶数个“1”时，监督位是信息位 的反码。 例如，若信息位为11001，则码组为 1100111001；若信息位为10001，则码组为 1000101110。
信道的场合以及一点发送多点接收的同播系 统。
优点：接收信号时延小、实时性好。
2、检错重发
信源
编码器
缓冲与 控制
正向 信道 反向 信道
译码器
缓冲与 用户 控制
原理：发送端发送能够检错的编码，接收端接
收到后进行检测，通过反向信道反馈一个应答信 号给发端，发端分析应答信号，如果接收有误， 将存储在缓冲器中的码组读出后重复传输，直到 接收端认为已正确接收。
（5）按照纠正错误的类型不同，可以将它分 为纠正随机错误码和纠正突发错误码。
（6）按照信道编码所采用的数学方法不同，
可以将它分为代数码、几何码和算术码。 随着数字通信系统的发展，可以将信道 编码器和调制器统一起来综合设计，这就是 所谓的网格编码调制。
9.2
检错和纠错的基本原理
• 码长：指码组（或称码字）中码元的个数。 例如：010101码字的长度为6
最后，若接收码组为1001111001，则合成 码组为1001111001＝01010，校验码组与其相 同，按上表判断，这时错码多于1个。 上述长度为10的正反码具有纠正1位错码的 能力，并能检测全部2位以下的错码和大部分2 位以上的错码。
• 正反码的解码

在上例中，先将接收码组中信息位和监督位 按模 2 相加，得到一个5位的合成码组。然 后，由此合成码组产生一个校验码组。 若接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合 成码组就是校验码组；若接收码组的信息位 中有偶数个“1”，则取合成码组的反码作为 校验码组。 最后，观察校验码组中“1”的个数，按下表 进行判决及纠正可能发现的错码。


校验码组和错码的关系 校验码组的组成
1 2
错码情况 无错码 信息码中有1位错码，其位置对应 校验码组中“0”的位置
全为“0” 有4个“1”和1 个“0”
3
有4个“0”和1 个“1”
其他组成
监督码中有1位错码，其位置对应 校验码组中“1”的位置
错码多于1个
4
例如：
若发送码组为1100111001，接收码组中无错码， 则合成码组应为1100111001=00000。由于接收码 组信息位中有奇数个“1”，所以校验码组就是00000。 按上表判决，结论是无错码。