计量经济学--异方差性讲解

Yi
1
X
0i
2*
X
i
ui
(1) (2)
(3) (4)
其中，1，
表示转换模型的参数。经转换有：
2
var(ui )
E(ui )2
E
ui
i
2
1
2 i
E(ui2 )
sin cei2is
know
1
2 i
(
2 i
)
sin
ceE
(ui2
)
2 i
1
(5)
即，转换后模型的干扰项满足同方差性假定，再 用OLS方法，就可以得到BLUE估计量
3.3 异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资 料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗 机构数与人口数的回归模型。对模型估计的结果如下：
Yˆi -563.0548 5.3735Xi
(291.5778) (0.644284) t (-1.931062) (8.340265)
此时如果仍采用
计算斜率参数的方差，将会
产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
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3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标 志误差，因此也影响到t检验的效果
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联 系，随着随机误差项方差的增大，模型的预测区 间也随之增大，模型的预测误差也会相应增加。
图1：我国税收和GDP
图2：1998年我国制造工业和利润
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量也 增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，随 着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布却没 有出现这一特征。
异方差的性质
➢经典线形回归模型的一个重要假定是同方差性：
每万元年收益 比重
1098元
42.6%
198元
2.57%
414元
3.00%
225元
1.43%
储蓄热情极高
储蓄热情极低 寻求其他投资
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第二节 异方差性的后果
本节基本内容：
●对参数估计统计特性的影响 ●对参数显著性检验的影响 ●对预测的影响
异方差对OLS估计量的主要影响
满足同方差假定 线性性 无偏性 最具有效性
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简而言之：
此时采用普通最小二乘法 估计模型所得到的结果，
其准确性难以保证！！
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估计模型的数学方法
估计模型的数学方法估计模型的数学方法估计模型的…数学…方法
加权最小二乘法普通最小二GL乘S法法 广义最小二乘法
（WLS法） （OLS法） WLS法
（GLS法）
OLS法
20
广义最小二乘法（GLS）
——这就是GLS方法，得到的是GLS估计量
GLS(generalized least squares)比OLS更多地利用了样 本数据所提供的信息
对于双变量模型：
Yi 1 2 Xi ui
可以写为：
Yi 1X 0i 2 X i ui 其中，恒有X0i 1。用i去除(2)得：
Yi
i
1
X 0i
i
2
Xi
i
ui
i
进一步，可以写作：
PRF的干扰项 u i 是同方差的（homoscedastic）
即： E（ui2） 2
i 1, 2, , n (3.3.1)
➢异方差性是指，ui 的条件方差（= Yi 的条件方差）
随着X的变化而变化，用符号表示为：
E (ui2
)
2 i
(3.3.2)
Var(Yi ) Var(ui )
异方差产生的主要原因
而对于高收入家庭，他们满足基本消费后，收入剩余较 多，由于各个家庭在消费习惯、消费心理、家庭成员构 成不同，有的家庭可能储蓄较多，有的家庭可能储蓄少， 各个家庭之间的储蓄就会出现较大差异。此时用线性模 型来居民储蓄问题时就有可能会出现异方差问题
研究居民家庭储蓄行为 如政策的变动，自然灾害的发生、 金融危机的爆发等。 这些偶然因素本身均会造成随机误 差项的异方差性。
R2 0.785456 R2 0.774146 F 69.56003
式中 Y表示卫生医疗机构数（个）， X 表示人口数
量（万人）。
模型显示的结果和问题
●人口数量对应参数的标准误差较小； ● t统计量远大于临界值，可决系数和修正的可决系 数结果较好，F检验结果明显显著； 表明该模型的估计效果不错，可以认为人口数量 每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735个。
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ห้องสมุดไป่ตู้
研究居民家庭储蓄行为
Yi : 第i个家庭的储蓄额 X i : 第i个家庭的可支配收入
Yi b0 b1X i i × ln(Yi ) b0 b1 ln( X i ) i
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年收益额 同年人均可支配收入
时间 年利率
1993.7 10.98% 2002.2 1.98% 2007.12 4.14% 2008.12 2.25%
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
异方差较之 同方差更为
常见
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异方差的具体理由
➢按照边错边改学习模型（error—learning models)，人 们的行为误差随时间而减少。
➢随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵活
性。在做储蓄对收入的回归中， i2与收入俱增
OLS 估计量
存在异方差 线性性 无偏性 最具有效性
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1.最小二乘估计量仍旧是线性无偏的
因为此时随机误差项仍旧满足零均值假定 可以证明线性： 无偏性
2.普通最小二乘估计量不再是有效的
前面推导斜率参数的方差时，我们得到下面的公式 当模型满足同方差假定时
但当模型中出现异方差时
由此可见模型中出现异方差时，斜率系数方差公式中多出了 一个因子
➢随着数据采集技术的改进，
2 i
可能减小
➢异常值（outliers）的出现可能导致异方差性
➢回归模型的设定偏误：比如忽略了重要的解释变量
做商品的需求量对价格的回归时，没有将互补品或替 代品的价格包括近来，会引起异方差问题
比如我们在研究居民储蓄问题时:
对于低收入家庭，他们满足基本消费以后，所剩无几， 因此各个家庭之间的储蓄不会有很大差异；
然而，这里得出的结论可能是不可靠的，平均说来每 增加1万人口可能并不需要增加这样多的医疗机构，所 得结论并不符合真实情况。 有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？更为 接近真实的结论又是什么呢？
3.2 异 方 差 性
本章讨论四个问题： ●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救