2.5《平面向量应用举例》课件

量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
2.向量在运动学中的应用
思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对 岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h， 如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？
|v|=
㎞/h.
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际 速度v的大小是多少？
F1 F2
西
东
南
1.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物 理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体 的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要 作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值.
Y 例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、
BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的 关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设
uuur AB
ar ,
uuur AD
r b,
uuur AR
rr
,则
uuur AC
r a
r b
uuur uuur 由于AR与 A共C线，故设
北
位移的方向是南偏西30°，大小
B
是 km.
西
A东
C
南
一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东
45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2|
=4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方向为西偏北60°，
求这三个力的合力所做的功.
F3 北
W=F·s= J.
r
向量的长度(模) | a | x12 y12
若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= x2 x1 2 y2 y1 2
向量的夹角公式
rr
cos ar br ＝
| a || b |
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
向量平行和垂直的坐标表示
rr
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
C
r
b
ar O
B
量 AC CB ，即 AC CB 0
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：ACCB a b a b
22
2
2
a b a b
思考：能否用向量 坐标形式证明？
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
二、平面向量在物理中的应用
1.向量在力学中的应用
思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是 10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重 力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？
F1+F2+G=0 |F1|=|F2|=10N
A
120° B
rr
n(ar
r b
),
n
R
uuur uuur
又因为 ER与共E线B，
所以设
uuur ER
uuur m EB
m(ar
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
r b )，
D
F
C
uuur uuur uuur 2
因为 AR AE ER
ER
T
所以
rr
1
r b
m(ar
1
r b
)
因此n(ar
2
r b)
1
r b
2
m(ar
1Abr )
B
2
2
即(n
m)ar
(n
m
1)br
r 0
2
由于向量ar
,
r b不共线
D
F
C
n m 0，
n
m 1 2
0，
ER
T
解得：n= m = 1 3
A
B
uuur 所以AR
1
uuur AC
uuur ,同理TC
1
uuur AC
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC.
练习.证明直径所对的圆周角是直角. 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
3.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1) (2)
(3)
≤
rr 当且仅当a / /b时，等号成立．
(4)cos =
rr ar br
rr
为a，b的夹角
| a || b |
rr
r
r
设 a, b 为两个向量, a x1, y1 ,b x2, y2
rr
向量数量积的坐标表示 a • b＝ x1x2 y1y2
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法 解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似 、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
2.平面向量数量积的运算律.
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度与两
条邻边长度之间有何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.
已知：平行四边形ABCD,
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相 A
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向
r
r
设 a, b 为两个向量, a x1, y1 ,b x2, y2
a / /b x1 y2 x2 y1
a b x1x2 y1 y2 0
一、平面几何中的向量方法
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你
能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB AB AD, AC AB AD,
2.5平面向量应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角 等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用 向量方法解决平面几何中的一些问题.
本节课我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几 何中的运用，向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与 物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题 也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运 用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
P113习题2.5A组：3，4. B组：2.
敬请指导
.
|F1|、|G|、θ之间的关系如何？
F
θ∈[0°，180°)
F1 θ F2 G
思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关 于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什 么？单调性如何？
θ∈[0°，180°)
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？ 为什么？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶， 才能使航程最短？ 与上游河岸的夹角为78.73°.
B v1 v
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要 几分钟？
例3 一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地， 然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C 两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.
O C
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上 运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的 大小有什么关系？
夹角越大越费力.
思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G， 那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？
F1＋F2＋G=0.
思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么
r2 r2 0 即AC CB 0 ，∠ACB=90°
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。