与圆有关的专题综合讲义(六)

与圆有关的专题综合讲义（六）

例1如图，半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E，过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若E为半径OB的中点，求线段OF的长度．

例2 如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=_________．

例3 如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）．连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E．

（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；

（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；

（3）如图2，连接PD，设△PAB的内切圆半径为r，求证：．

例4 如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E．（1）当BC=6且∠ABC=60°时，求的长；

（2）求证：AE=BE．

（3）过A点作AM∥BP，求证：AM是⊙O的切线．

例5 如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．

（1）求证：直线FB是⊙O的切线；

（2）若BE=cm，则AC=_________cm．

例6 如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．

（1）若C（3，m），求m的值；

（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？

若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．

例7 如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动

点，且A（﹣1，0），E（1，0）．

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；

（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：①的值不变，②

的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值．

例8 如图①，直线AB的解析式为y=kx﹣2k（k＜0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO=60°．经过A、O两点的⊙O1与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．

（1）求C点的坐标；

（2）如图②，过O1作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D 点坐标，不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接OO1与⊙O1交于点G，点P为劣弧GF上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H 点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧GF运动时（不与G、F两点重合），O1H﹣O1I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围．

与圆有关的专题综合讲义（六）

参考答案与试题解析

1．如图，半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E，过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若E为半径OB的中点，求线段OF的长度．

考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

分析：（1）连接OD、OC．欲证PD是⊙O的切线，只需证明OD⊥PD即可；通过全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的对应角∠OCP=∠ODP=90°来证明该结论；

（2）利用等边三角形的判定知△ODB和△PCD均为等边三角形，然后由等边三角形的“三线合一”的性质、勾股定理求得OF的长度．

解答：（1）证明：连接OD、OC．

∵OC=OD（⊙O的半径），AB是直径，直径AB⊥弦CD（已知），

∴OE是∠COD的平分线，

∴∠COE=∠DOE；

在△COP和△DOP中，

∵，

∴△COP≌△DOP（SAS），

∴∠OCP=∠ODP（全等三角形的对应角相等）；

又∵CP是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°（切线的性质），

∴∠ODP=90°（等量代换），

∵点D在⊙O上，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AB，点E是OB的中点，

∴OD=BD；

又∵OB=OD，

∴OB=OD=BD，

∴△BOD是等边三角形，

∴∠ODB=60°，

∴∠ODE=∠BDE=30°（等腰三角形的“三线合一”的性质），

∴CD=2DE=4；

∵∠ODP=90°，

∴∠CDP=60°；

∵PC、PD是⊙O的两条切线，

∴PC=PD，

∴△PCD是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形），

∴CD=PD，

∴点F是PC的中点；

在Rt△CDF中，CD=4，∠CDF=30°，则CF=CD=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）；

在Rt△OCF中，OF=（勾股定理）．

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形．

2．如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=．

考点：圆周角定理；平行线的判定；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．

分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到

∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，

OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结