平面向量的概念和线性运算 ppt课件

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ；结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

高中数学第25讲平面向量的概念及其线性运算配套课件

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第25讲平面向量的概念及其线性运算
双向
固•
基
础• •
• —— 知识梳理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称向量
定义
表示
在平面中，既有
________又有__方__向____ 大小的量
用 a，b，c，…，或A→B， B→C，…表示
向量的模
向量 a 的__大__小____，也就是表示向量 a 的有向
点面讲考向
1.平面向量有关的概念 2.平面向量的线性运算
选择(1) 解答(1)
2012年广东T8(C)
选择(1) 2012年广东T3(A)
•
3.向量共线定理
选择(2) 解答(1)
2012年浙江T5(B)
• 4.向量线性运算
选择(2) 2012年天津T7(C)
• 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2012年课标地区真题卷情况．
实数λ与向量a的 (2)当λ＞0时，λa
积是一个向_量_______，这
与a的方向相同________；当
种运算叫做向
λ＜0时，λa与
数量乘的________，
a的相方反向
记λ作a ________
______；当λ
＝0时0 ，λa＝ ________
(1)对向量加法的分配律：
λ(a＋b)＝ λa＋__λb______ (2)对实数加法的
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
[答案] (1)× (2)√
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第25讲平面向量的概念及其线性运算

人教高中数学必修二B版《平面向量及其线性运算》平面向量初步说课教学课件复习(向量的概念)

课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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②字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联
系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与
终点表示向量，如A→B，C→D，E→F等．
(2)两种向量表示方法的作用
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手抄报：课件/shouchaobao/
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中可以看成是向量的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
栏目导引
第六章平面向量初步
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的课件
【解】 (1)可以写出 12 个向量，分别是：A→B，A→C，A→D，B→C，
B→D，C→D，B→A，C→A，D→A，C→B，D→B，D→C，故填 12.
(2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
6．1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念
课件
第六章平面向量初步
考点
学习目标
理解向量的有关概念及向量的几向量的概念
何表示

平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)

3
动脑思考探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ．（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别

高考一轮第四章第一节平面向量的概念及其线性运算ppt

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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
返回
2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形法则
返回
向量
运算
定义求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差三角形法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”，所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.

高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1

【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量、相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。

平面向量的概念及线性运算-课件

解析：如图所示，A CA BB C 所以 AC 10 2 ，方向为西南方向．
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M
M A M B M C M A M A M B M A M C 3 M A (A B A C )3 M A A M 0
基础达标
1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中，与向量AE相等的向量是 B O ，与向量BF共线的向量是 A O ，与向量CF的模相等的向量是 C O D E B F B O C O A O D O A E D E .
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021年2月28日星期日2021/2/282021/2/282021/2/28
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解：若两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确． ③④正确．
题型二平面向量的线性运算【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、 AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.

平面向量的概念PPT课件

04
平面向量数量积概念及性质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向，负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量的起点和终点坐标可以决定向量的坐标，而点的坐标可以用来表示向量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长，进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角，进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

2025年高考一轮总复习
第五章平面向量与复数
第一讲平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向单位向量长度等于 1 个单位长度的向量量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了．正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点，则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.

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uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
uuu r
PAPBPD ,即 PDPC, C､P､D 三点共线且 |PC|
uuu r
uuu r uuu r
42
33
C.1a 1b D.1a 2b
24
33
u u u ru u u ru u u r 解析 : 如图 ,A F A D D F
由题意知, DE: BE 1: 3 DF: AB,
DF 1uAuBur. 3
uuur AF
1
a 1b 1g(1 a 1b)
2a1b.
2 2 32 2 3 3
答案:B
O uu A u ra,O uu B u rb,则
uuu r abBA.
(5)实数与向量积的定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0 时,λa与a方向相同;λ<0时,λa与a方向相反;λ=0时,λa=0.
(6)向量的加法､减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;向量加法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).
u u u ru u u r u u u ru u u r 3 . 平面上有三点 A ､ B ､ C ,设 m A B B C ,n A B B C ,若向量 m ,n 的长度恰好相等 ,则有 ()
A.A､B､C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶点 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形
u A uB u ra,u B uC u rb,再作
即 a b u A u B u r u B u C u r u A u C u r 求.两个向量和的运算叫做向量的
加法.
(2)向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求
和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量.
(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.
(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为 1的向量叫做单位向量.
2.向量的线性运算
(1)向量加法的定义
已知uAu向Cur 量,则a､buA,u如叫Cur 图做,a平与面b的内和任,取记一作点a+Ab,.作
|B C |
答案:D
uuu r uuu r 5.已知 V A BC的三个顶点 A ､B､C及平面内一点 P满足 PAPB
uuu r PC0,则 P点是 V A BC的 ( )
A .外心 B.内心
C.重心 D .垂心
解析 :以 PA ､PB为邻边作平行四边形 A PB D .如图所示 ,则
uuu ruuu r
解析 :以向量 AB,BC 为邻边构造平行四边形 A BCD ,如图 ,
uuu r uuur
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
则 BCAD ,所以 mABBC,nABBCD B,向量 m ,n
的长度相等 ,即平行四边形 A BCD 对角线长度相等 ,所以 A B
2
uuur uuur AB CA
2(CuuBur CuuAur)
2CuuBur
1CuuAur
3
3
33
2a1b. 33
答案:B
2.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD uuur uuur
的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC a,BDb,则 uuur AF等于( )
A.1a 1b B.2a1b
(3)向量求和的平行四边形法则
u u u r u u u r 已知两个不共线向量a､b,作 A Ba,A D b 对,A､B､D三点
不共线,以AB､AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上
uuur 的向量是 A C =a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四
边形法则.
(4)向量的减法
向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若
第五模块平面向量第二十三讲
平面向量的概念及线性运算
回归课本
1.向量的概念 (1)把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)把只有大小,没有方向的量(如年龄､身高､长度､面积､体积
､质量等),称为数量. (3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向
量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行 (共线).
CD 为矩形 ,故 V A BC必为直角三角形且 B为直角 .
答案:C
uuur uuur uuur 4.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若 OA3OB2OC0,
uuur 则|uAuB ur|等于 ( )
|BC|
A.1 B.1 C.1 D.2
3 u u u r2u u u r u u u r
若λ,μ为实数,则 (λ+μ)a=λa+μa λ(μa)=λμa λ(a+b)=λa+λb.
3.向量共线的条件平行向量基本定理:如a=λb,则a∥b,如果a∥b(b≠0),则存在惟
一实数λ使a=λb.
考点陪练
1.(2010g全国Ⅱ)VABC中,点D在边AB上,CD平分ACB,若
uuur uuur
uuur
CBa,CAb, a 1, b 2,则CD( )
A.1a2b 33
C.3a4b 55
B.2a1b 33
D.4a3b 55
解析:如图,CD平分ACB,由角平分线定理得
AD
AC
|
b|
uuur 2,所以AD
uuur 2DB
2
uuur uuur AB,所以CD
DB BC | a|
3
uuur uuur uuur CA ADCA
u u u r u u u r u u u r u O C 0 (O A O B )2(O C O B )0
u B u A u r2u B u C u r0 u B u A u r 2u B u C u r, |u u A u u B u u rr|2.